微分中值定理的证明题高等教育微积分_高等教育-微积分.pdf

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1、微分中值定理的证明题 1.若 在 上连续，在 上可导，证明：，使得：。证：构造函数 ，则 在 上连续，在 内可导，且 ，由罗尔中值定理知：，使 即：，而 ，故 。2.设 ，证明：，使得 。证：将上等式变形得：作辅助函数 ，则 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日定理得：故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在

2、和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得，即 ，即：。3.设 在 内有二阶导数，且 ，有 证明：在 内至少存在一点 ，使得：。证：显然 在 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值

3、问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 上连续，在 内可导，又 ，故由罗尔定理知：，使得 又 ，故 ，于是 在 上满足罗尔定理条件，故存在 ，使得：，而 ，即证 4.设函数 在0,1 上连续，在(0,1)上可导，.证明：(1)在(0,1)内存在 ，使得 故设

4、证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使

5、得 (2)在(0,1)内存在两个不同的点 ，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（）令 ，则 F(x)在0，1 上连续，且 F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得 ，即 .（）在 和 上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 ，使得 ，故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考

6、虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 于是 5.设 在0，2a 上连续，证明在0,a 上存在 使得 .【分析】在0,2a 上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到 【证明】令 ，在0,a 上连续，且 当 时，取 故设证明

7、使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得，

8、即有 ；当 时，由根的存在性定理知存在 使得，即 6.若 在 上可导，且当 时有 ，且 ，证明：在 内有且仅有一个点 使得 证明：存在性 构造辅助函数 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知

9、存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得则 在 上连续，且有 ，由零点定理可知：在 内至少存在一点 ，使得 ，即：唯一性：（反证法）假设有两个点 ，且 ，使得 在 上连续且可导，且 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且

10、于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 在 上满足 Rolle 定理条件 必存在一点 ，使得：即：，这与已知中 矛盾 假设不成立，即：在 内仅有一个根，综上所述：在 内有且仅有一个点 ，使得 7.设 在0，1 上连续，在(0，1)内可导，且 =0，故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有

11、二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得=1。试证至少存在一个 (0，1)，使 =1。分析：=1 =1 =x =0 令

12、 ()=证明：令 F()=()在0，1 上连续，在(0，1)内可导，(1)=故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函

13、数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得()=由介值定理可知，一个 (，1)，使 ()=0 又 (0)=0=0 对 ()在0，1 上用 Rolle 定理，一个 (0，)(0，1)使 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同

14、的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得=0 即 =1 8.设 在 上连续，在 内可导，且 试证存在 和 .满足 ，使 。证由拉格朗日中值定理知，故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利

15、用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 9.设 在 上连续,内可导 证明:使得 (1)证:(用 乘于(1)式两端,知)(1)式等价于 (2)为证此式,只要取 取 和 在 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显

16、然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 上分别应用 Cauchy 中值定理,则知 其中 .10.已知函数 在0,1上连续，在（0，1）内可导，证明存在 ，使

17、解：利用柯西中值定理 而 则 （后面略）11.设 在 时连续，当 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连

18、续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 时，则在 内 有唯一的实根 解：因为 ，则 在 上单调增加 （中值定理）而 故在 内 有唯一的实根 12.试问如下推论过程是否正确。对函数 在 上应用拉格朗日中值定理得：故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中

19、值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 即：因 ，故当 时，由 得：，即 解：我们已经知道，不存在，故以上推理过程错误。首先应注意：上面应用拉格朗日中值的 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可

20、考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得是个中值点，是由 和区间 的 端点而定的，具体地说，与 有关系，是依赖于 的，当 时，不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使 成 立，而 中要求 是连续地趋于零。故由 推不出 13.证明：故设证明使得证将上等

21、式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得成立 。证明：

22、作辅助函数 ，则 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日定理知：即：，因 在 内单调递减，故 在 内单调递增，故 即：故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内

23、有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得即：。注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先由不等式出发，选择合适的函数 及相应的区间 ，然后验证条件，利用定理得 ，再根据 在 内符号或单调 证明不等式。14.证明：当 时，。证明：作辅助函数 则 故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得

24、结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得 故 在 上单调递减，又因 ，在 上连续，故 =0，即：，即：。注：利用单调性证明不等式是常用方法之一，欲证当 时 ，故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定

25、理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得常用辅助函数 ，则将问题转化证 ，然后在 上 讨论 的单调性，进而完成证明。15.证明：若 二阶可导，且 ，则 在 内单调递增。证明：因 ，要证 单

26、调递增，只需证 ，即证 。故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得

27、即唯一性反证法假设有两个点且使得设 ，则 ，因为 ，故 是单调递增函数，而 ，因此 ，即：，即：，即 当 时单调递增。故设证明使得证将上等式变形得作辅助函数则在上连续在内可导由拉格朗日定理得即在即设内有二阶导数且有证明在内至少存在一点使得在证显然上连续在内可导又故由罗尔定理知使得又故在于是上满足罗尔定理条件故存在使得而介值定理第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论证明令则在上连续且于是由介值定理知存在存在使得即在和上对分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点使得于是设在上连续证明在令在上连续且当时取即有当时由根的存在性定理知存在使得即若在上可导且当时有且证明在内有且仅有一个点使得证明存在性构造辅助函数则在上连续且有由零点定理可知在内至少存在一点使得即唯一性反证法假设有两个点且使得