《轴对称变换的实际应用》中学教育中学学案_中学教育-中学课件.pdf

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1、轴对称变换的实际应用 北京市北方交大附中 牟柏林 教材：人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第 14.2.1 第 2节 教 1进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.学 2体会轴对称变换在解决问题中的转化作用，学习将实际问题转化为数学问题 目 的方法，发展应用数学的意识.标 3 体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.教学重点 轴对称变换的应用.教学难点 如何通过轴对称变换进行转化.教学方式 自主探究与启发引导相结合.教学手段 多媒体辅助教学.教学过程 上节课我们学习了轴对称变换作图，给大家布置了利用轴对称变换设计图案的 作业，让我们先来欣赏同学们用轴对称变 换设计

2、的美丽图案！这些美丽的图案你又 是怎样画的呢？1提出问题 播放 CCTV 关于“西气东输”的新闻报道 问题 1 如图，要在燃气管道 l 上修建一个 泵站，分别向 A，B两城镇供气.泵站修在 什么地方，可使所用的输气管线最短?学生利用实物投影展 示作业，教师对学生给 有创意的作 品，复习轴对 称作图和轴对 称性质，为本 节课的内容作 铺垫.予肯定和鼓励.学生阅读思考、尝试独 立求解.选用“西气东 输”作为背景，引导学生关注 国家大事.问 题 探 究 2.引导探究 探究中学生可能遇到如下问题：实际问题数学化；对“线段和最小”的理解；如何想到用轴对称变换求解问 题.教学 环节 教学内容 师生活动 设

3、计意图 通过展示学生 复 习 引 入 教师巡视，观察学生解 决问题的过程与方法，并适时引导.学 生 已 有 一些 解决实际问题 的经验，放手 让学生做，培 养他们的探究 意识 解：作点 B关于直线 l 的对称点 B1，连接 AB1，AB1与直线 l 交于 P，点 P 即为所求.理由：如图，由轴对称性质 BP=B1P，所以 AP+BP=AP+B1P，当 A、P、B1 三点共线时 AB1最短，所以 P 点为所求.3数学思考（1）推理证明的落实 如果 P1是异于点 P 的一点，你能证明 问 题 探 究（1）实际问题数学化 如图，已知点 A、B 在直线 l 的同侧.在 l 上找点 P，使 PA+PB

4、最小.A B l（2）对“线段和最小”的理解 在直线 l 上任取两点 P1、P2，通过度 量，比较 AP1+BP1 与 AP2+BP2的大小.（3）对画图找点的引导 辅助问题：如图，已知点 A、B 在直线 l 的异侧，在 l 上找点 P，使 PA+PB 最小.A l B 解略.（4）求解问题 1 B1 多数学生能将管道画 成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合图形用 符号语言表述问题.教师引导对“线段和最 小”理解不透的学生选 点画图，度量比较发现 其值不等之后，再利用 几何画板进行动态演 示.对于如何找点没有思 路的学生，教师给出辅 助问题，解决后再思考 问题 1的解法.使学生

5、明确将 实际问题数学 化是解决实际 问题的第 步，同时注意 规范表述.使学生透彻理 解“线段和最 小”的含义.设置辅助问题 为问题 1 的解 决作铺垫.学生陈述解法并说明 理由，同时教师强调也 可以通过作点 A 关于 直线对称点来求解.教师再利用几何画板 对点 P 进行验证.学生思考，讨论交流 目标进一步理解轴对称变换并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题体会轴对称变换在解决问题中的转化作用学习将实际问题转化为数学问题的方法发展应用数学的意识体验探究的快乐激发学习数学的兴趣教学重点轴对称教学过程上节课我们学习了轴对称变换作图给大家布置了利用轴对称变换设计图案的作业让我们先来欣赏同学们用轴

6、对称变换设计的丽图案这些丽的图案你又是怎样画的呢学生利用实物投影展示作业教师对学生给予肯定和鼓励提出使所用的输气管线最短学生阅读思考尝试独立求解有创意的作品复习轴对称作图和轴对称性质为本节课的内容作铺垫选用西气东输作为背景引导学生关注国家大事问题探究引导探究探究中学生可能遇到如下问题实际问题数学化如图（二）问 题 探 究 证明：连接 B1P1.由轴对称性质，BP1=B1P1，BP=B1P.所以 AP1+BP1=AP1+B1P1，AP+BP=AP+B 1P=AB1，在 AP1B1中，AP1+B1P1AB1，即 AP1+BP1 AP+BP.（2）对解法的反思 轴对称变换在解决问题中所起的作用是什

7、么呢？“实现了线段长度的等量转化，将 直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定 点问题.”教师引导学生利用轴 对称变换性质和三角 形三边关系完成证明.学生思考后作答，教师再归纳提升.帮助学生体会 轴对称变换在 解决问题中的 转化作用.问题 2 如图，公园内两条小河汇合，两 学生读题，尝试独立求 问题 2 一方面 河形成的半岛上有一处古迹 P，现计划在 解.作为问题 1 解 两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上 教师巡视指导.题方法的巩 修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两 固,同时又 为 座小桥应建在何处，使所修建的道路最 问题 3 的解决 短？作铺垫.（三）拓 1.实际问题数学化 展 如图，P

8、为MON 内一定点，分别在 应 OM 与 ON 上找点、B，使 ABP 的周长 用 最小.M A P P O 2.问题求解 N 学生在画图找点过程 解：作点 P 关于 OM、ON 的对称点 P1、中遇到困难时，教师引 P2，连接 P1P2，P1P2 与 OM、ON 分 导学生分析问 题、理 解 别交于 A、B，点 A、B 即为所求.由轴对称性质可将三 A1 M PA1 P M 角形周长转化为 P1A1+A1B1+P2B1，从而使问 题求解.P O B1 B N P2目标进一步理解轴对称变换并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题体会轴对称变换在解决问题中的转化作用学习将实际问题转化为数学问

9、题的方法发展应用数学的意识体验探究的快乐激发学习数学的兴趣教学重点轴对称教学过程上节课我们学习了轴对称变换作图给大家布置了利用轴对称变换设计图案的作业让我们先来欣赏同学们用轴对称变换设计的丽图案这些丽的图案你又是怎样画的呢学生利用实物投影展示作业教师对学生给予肯定和鼓励提出使所用的输气管线最短学生阅读思考尝试独立求解有创意的作品复习轴对称作图和轴对称性质为本节课的内容作铺垫选用西气东输作为背景引导学生关注国家大事问题探究引导探究探究中学生可能遇到如下问题实际问题数学化如图 1.实际问题数学化 如图，已知 MON 内有两定点 A、B，分别在 OM 和 ON 上各点 C、D，使 AC+CD+BD

10、最小.2.问题的求解 解：作点 A关于 OM 的对称点 A1，作点 B 关于 ON 的对称点 B1，连接 A1B1，A1B1 与 OM、ON 分别交于点 C、D，则此时 AC+CD+BD 最小.3.对解法的反思 在解决问题过程中，轴对称变换起到了什 么作用？“利用轴对称变换实现了线段长 度的等量转化.”问题 3 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马 人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一 处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐 篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线 学生利用实物投影展 示自己的成果，教师适 时点评.帮助学生再次 体会轴对称变 换在解决问题 中的转化作 用.问题 3 更为复 杂，对学生

11、更 具挑战性，有 利于发展学生 迁移的能力.O 拓 展 应 用 对于学生可能出现的 问题，教师引导学生讨 论、剖析错误.使学生在收获 成功喜悦的同 时，对轴对称 的画图上升到 理性认识的 层面.目标进一步理解轴对称变换并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题体会轴对称变换在解决问题中的转化作用学习将实际问题转化为数学问题的方法发展应用数学的意识体验探究的快乐激发学习数学的兴趣教学重点轴对称教学过程上节课我们学习了轴对称变换作图给大家布置了利用轴对称变换设计图案的作业让我们先来欣赏同学们用轴对称变换设计的丽图案这些丽的图案你又是怎样画的呢学生利用实物投影展示作业教师对学生给予肯定和鼓励提出使

12、所用的输气管线最短学生阅读思考尝试独立求解有创意的作品复习轴对称作图和轴对称性质为本节课的内容作铺垫选用西气东输作为背景引导学生关注国家大事问题探究引导探究探究中学生可能遇到如下问题实际问题数学化如图 在旷野上，一个人骑马从 A 到 B，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图 所示）.他应该怎样选择饮水点 P，可使使所走的路程 PA+PB 最短?l B 层 如图，公园中有两处古迹 P 和 Q，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并 在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能 使修建的道路最短？C层 如图，现有一条地铁线路 l，小区 A、B在 l的同侧，已知地铁站两入口 C、

13、D 间的长度为 a 米，现设计两条路 AC、BD 连接入口和两小区.地铁站入口 C、D 设计在何处，能使所修建的公路 AC 与 BD 之和最短？四）小 结 反 思 1.引导学生小结、反思（1）怎样将实际问题转化为数学问题?（2）轴对称变换所起的作用是什么?2.教师归纳、提升（1）将实际问题中的条件简化，同时用 数学语言进行表述.（2）利用轴对称变换将不共线的多条路 径转化到一条直线上，从而解决最短路径 问题.在学生反思、回答问题 的基础上，教师再归纳 提升.使学生体会轴 对称变换实际 应用的实质，发展学生应用 数学的意识.A层 五）分 层 作 业 目标进一步理解轴对称变换并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题体会轴对称变换在解决问题中的转化作用学习将实际问题转化为数学问题的方法发展应用数学的意识体验探究的快乐激发学习数学的兴趣教学重点轴对称教学过程上节课我们学习了轴对称变换作图给大家布置了利用轴对称变换设计图案的作业让我们先来欣赏同学们用轴对称变换设计的丽图案这些丽的图案你又是怎样画的呢学生利用实物投影展示作业教师对学生给予肯定和鼓励提出使所用的输气管线最短学生阅读思考尝试独立求解有创意的作品复习轴对称作图和轴对称性质为本节课的内容作铺垫选用西气东输作为背景引导学生关注国家大事问题探究引导探究探究中学生可能遇到如下问题实际问题数学化如图