线性代数教案第八节课研究生考试考研数学_高等教育-大学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 线性代数教案 章节题目 4.线性方程组的解 课型 理论 教学目的 1掌握线性方程组有解的充分必要条件.2掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法，掌握利用初等变换方程求解方程组.重 点 利用初等变换求非齐次方程组的解.难 点 关于 n 元线性方程组的相关定理.参考书目 同上 教具 教学后记 教 学 过 程 备 注 复习上节内容。4线性方程组的解：1.给出 n 元线性方程组无解、有唯一解、无穷多解的充要条件.2.进行求解练习 3.介绍关于矩阵方程有解的充分必要条件.对书后较难题进行讲解.作业：P80 12。（1）13 15 学习必备 欢迎下载 4 线性方程组的解 我们知道 n未知

2、数m个方程的线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 可以写成 Axb 其中A(aij)x(x1 x2 xn)T b(b1 b2 bm)T 矩阵B(A b)称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容 利用系数矩阵A和增广矩阵B(A b)的秩 可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时是否唯一等问题 其结论是 定理 1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R

3、(A b)n 注 Axb无解R(A)R(A b)的几种等价叙述 Axb有解R(A)R(A b)Axb无解R(A)R(A b)R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解 定理 1 还可叙述为 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b)在有解的情况下 若如R(A)R(A b)n 则有唯一解 如果R(A)R(A b)n 则有无限多解 证明 只需证明条件的充分性 因为(1)、(2)、(3)中条件的必要性依次是(2)(3

4、)、(1)(3)、(1)(2)中条件的充分性的逆否命题 设R(A)r 为叙述方便 不妨设B(A b)的行最简形为 00000000000000001000100011,12,2211,111rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB (1)若R(A)R(B)则B中的dr1 1 于是B的第r 1行对应矛盾方程0 1 故掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩

5、阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 方程Axb无解 (2)若R(A)R(A b)n 则B中的dr1 0(或dr1不出现)且bij都不出现 于是B对应方程组 nndxdxdx 2211 故方程Axb有唯一解 (3)若R(A)R(A b)n 则中的dr1 0(或dr1不出现)B对应方程组 rnr

6、nrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111 令自由未知数xr1c1 xncnr 即得方程Axb的含nr个参数的解 由于参数可任意取值 故方程Axb有无限多个解 方程Axb的含参数的解称为方程Axb的通解 注 Axb无解R(A)R(A b)的几种等价叙述 Axb有解R(A)R(A b)Axb无解R(A)R(A b)R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解 R(A)R(A

7、b)Axb无解的证明 若R(A)rR(A b)则B=(A b)的行最简形必具有如下形式 00000000000100000010000100001,1,221,1110rnrrrnrnbbbbbbB 于是B0的第r 1 行对应矛盾方程 0 1 故方程Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解的证明 若R(A)R(A b)n 则B=(A b)的行最简形必具有如下形式 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载

8、线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 ndddB1 00 0 100 01210 B0对应方程组为 nndxdxdx 2211 故方程Axb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解的证明 若R(A)R(A b)=rn 则B=(A

9、b)的行最简形必具有如下形式 00 00 00 00 00 00 1 00 0 10 0 01,12,2211,1110rrnrrrnrndbbdbbdbbB B0对应方程组为 rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111 令自由未知数xr1c1 xncnr 即得方程Axb的含nr个参数的解 由于参数可任意取值 故方程Axb有无限多个解 当方程组有无限多个解时 其解的形式为 rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111 nnrrrnrnrrrrnrnrxxxxdxbxbxdxbx

10、bx 11,111,11111 0010 011,1111111rrnrrnnrrnrrddbbxbbxxxxx 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需

11、证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 令自由未知数 xr 1 c1 xn cn r 即得方程 Ax b的含 n r 个参数的解 0010011,1111111rrnrrnrnrnrrddbbcbbcxxxx 这种含参数的解称为方程Ax b的通解 求解线性方程组Axb的步骤 (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解 (2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行

12、最简形 (3)设R(A)R(B)r 把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B(或A)的行最简形 即可写出含nr个参数的通解 例 11 求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 解 对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵 341122121221A463046301221 12132rrrr 00003/42101221 232)3(rrr00003/42103/5201 212rr 即得与原方程组同解的方程组 03420352432431xx

13、xxxx 由此得 432431342352xxxxxx(x3 x4可任意取值)令x3c1 x4c2 把它写成通常的参数形式 2413432431342352cxcxccxccx 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限

14、多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 其中c1 c2 为任意实数 或写成向量形式 1034350122342352212143434321ccccccccxxxx 例 12 求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 解 对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵 341122121221A00003/42103/5201 即得与原方程组同解的方程组 由此得 432431)3/4(2)

15、3/5(2xxxxxx 4433432431)3/4(2)3/5(2xxxxxxxxxx 或 4321xxxx103/43/5 0122 43xx 103/43/5012221cc 其中c1 c2 为任意实数 例 13 求解非齐次线性方程组 32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx 解 对增广矩阵B施行初等行变换 322122351311321B104501045011321 121332rrrr200001045011321 23rr 可见R(A)2 R(B)3 故方程组无解 例 14求解非齐次线性方程组 0895443313432143214321xxxxxx

16、xxxxxx 解 因为 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则

17、有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 089514431311311B176401764011311 12133rrrr 000004/14/72/31011311 232)4(rrr000004/14/72/3104/54/32/301 21rr 所以 4433432431 414723454323xxxxxxxxxx 即 004145104743012323214321ccxxxx (c1 c2为任意实数)例 15 设有线性方程组 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx 问取何值时 此方程组(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无限多个解？并在有无限多解时求其

18、通解 解法一 对增广矩阵B(A b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵 有 11131110111B01113111111 31rr )1()2(0310111 1213)1(rrrr)3)(1()3(0030111 23rr (1)当 0 且3 时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解 (2)当 0 时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解 (3)当3 时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 这时 000063303211B000021101101 由此便得通解 213231xxxx(x3可任意取值)掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方

19、程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 即 321xxx021111c (c R)解法二 因系数矩阵A为方

20、阵 故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|0 而 0000111)3(111111111)3(111111111|A(3)2 因此 当 0 且3 时 方程组有唯一解 当 0 时 000010000111011131110111B 知R(A)1 R(B)2 故方程组无解 当3 时 000021101101321131210112B 知R(A)R(B)2 故方程组有无限多个解 并通解为 321xxx021111c (c R)定理 2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b)定理 3 n元齐次线性方程组Ax 0 有非零解的充分必要条件是R(A)n 定理 4 矩阵方程AXB有解

21、的充分必要件是R(A)R(A B)证明 设A为mn矩阵 B为nl矩阵 则X为ml矩阵 把X和B按列分块 记为 X(x1 x2 xl)B(b1 b2 bl)则矩阵方程AXB等价于l个向量方程 Axibi(i 1 2 l)先证充分性 设R(A)R(A B)由于 R(A)R(A bi)R(A B)故有R(A)R(A bi)从而根据定理 2 知l个向量方程Axibi(i 1 2 l)都有解 于是矩阵方程AXB有解 再证必要性 设矩阵方程AXB有解 从而l个向量方程Axibi(i 1 2 l)都有解 设解为 xi(1i 2i ni)T(i 1 2 l)记A(a1 a2 an)即有 1ia12ia2 ni

22、anbi 对矩阵(A B)(a1 a2 an b1 b2 bl)作初等列变换 c n11ic1 nicn(i 1 2 l)便把(A B)的第n 1 列、第nl列都变为 0 即 ),(),(OABAc 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地

23、讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只学习必备 欢迎下载 因此 R(A B)R(A)证明 设X(x1 x2 xl)B(b1 b2 bl)则AXB可写成 AX (b1 b2 bl)于是方程AXB有解的充要条件是方程Axibi(i 1 2 l)都有解 先证充分性 设R(A)R(A B)由于 R(A)R(A bi)R(A B)故有R(A)R(A bi)从而方程Axibi(i 1 2 l)都有解 于是矩阵方程AXB有解 再证必要性 设R

24、(A)R(A B)即R(A)R(A B)则至少可以找到一个bi(1 il)使得R(A)R(A bi)因此方程Axibi无解 从而方程AXB也无解 定理 5 设ABC 则R(C)minR(A)R(B)证 由ABC 知矩阵方程AXC有解XB 于是根据定理 4 有R(A)R(A C)而R(C)R(A C)因此R(C)R(A)又BTATCT 由上段证明知有R(CT)R(BT)即R(C)R(B)综合便得R(C)minR(A)R(B)类似于把定理 2 推广为定理 4 定理 3 也可推广为 定理 6 矩阵方程Amn Xnl 0 只有零解的充分必要条件是R(A)n 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法掌握利用初等变换方程求解方程组重点利用初等变换求非齐次方程组的解难点关于元线性方程组的相关定理参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容线性方程组的解给出元线性讲解作业学习必备欢迎下载线性方程组的解我们知道未知数个方程的线性方程组可以写成矩阵称为线性其中方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵和增广矩阵的秩可以方便地讨论分必要条件是有无限多解的充分必要条件是注无解的几种等价叙述有解无解无解有解无解只需证明无解有唯一解有无限多解定理还可叙述为线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下若如则有唯一解如果则有无限多解证明只