第六章离散时间系统的Z域分析高等教育微积分_高等教育-大学课件.pdf

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1、 6.1 Z 变换 双边 Z 变换 F(z)Z 反变换：f k 二 QO z k=-：1 f kz F(z)z j dz 单边 Z 变换 送 f k z-k k=0 fk、j F(z)zk_1dz c z 值范围称作 ROC z 0 主要内容：离散时间信号的 Z 域分析 离散时间系统的 Z 域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟 、双边 Z 变换定乂 C 为 F(z)的 ROC 中的一闭合曲线。物理意义：将离散信号分解为不同频率复指数&Tk的线性组合、单边 Z 变换定乂 Z 反变换:其中，C 为 F(z)的 ROC 中的一闭合曲线。使级数收敛的所有 F(z)的收敛域，用符号 R

2、OC(region of con verge nee表示。三、收敛域(ROC)N 2 1 有限长序列 F(z)=為 f k z _k k=叫边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数

3、为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域 2.右边序列 例：fk 二 akuk 例：fk k 其它 二 RNk F(z)二 N z k=0.k-N z _1 F(z)二 f kz _k ROC CO F(z)八 k 乂 k-k z 1 1-az _1 ROC Re(z)F 2 Im(z)四、常用序列的 Z 变换 1)2)Z k-1,z-0 必 kuk=V1z-1 3)Zej7k=1-e z 1-cos门 oZ j sin 门 0z_1-2z_1 cos0 z?cos(k)uk一 sin(0

4、k)uk 1-cos10z_1 1-2z_1 cos o z 2 si n。才 1-2z cos10 z 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在

5、处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域_N-N F(Z)1-z 因果序列的位移 非因果序列的位移 f k-n zF(z)ROC=Rf i fk-2 1*1 i 0 Fi(z),z Rfi f2(k?F2(Z),z Rf2 1.线性特性 af1k bf2k aF1(z)bF2(z)Z max(Rf1，Rf2)例：RNk二 uk-uk-N 2.位移特性 Zfk 1uk二 z(F(z)-f0)例：F(z)=1/(z-a)|z|a 求 f k。1 1 F(z)=z -1 1-az 由因果序列的位移特性 1 k 1 f k二 Z

6、F(z)二 a uk-1 1 fk fk 1 k k 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直

7、接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域3.指数加权特性 ak f k J F(z/a)z aRf 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分

8、式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域sin 门 o(z/：)1:ksi n(i2-2 Z-1 I Z I :kfk ZdF(Z)_ Z-dz Z Rf 例：已知akuk-1-求 Z(k 1)akuk 1 az 解:(k 1)akuk“Z、1 1-az-2 Z 2(1az)(zJF-a)-1)fik f2k FZ)F2(Z)|z|max(Rm R)sin(11 o k)u k 1 sin 门 o Z-1.2-2 Z cos o z 由因果序列的位移特性 4.Z 域微分特性 1 1 2(1 一 az)5.序列

9、卷积 证：Zfik f2k fink-n n 八 finZ f2【k 一 n n 二 F2(Z)，finz n 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多

10、项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域二 R(Z)F2(Z)k 例：Zfn 二 Zfk uk F(Z)边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中

11、的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域6.初值与终值定理 f0=lim F(z)f =lim(z-1)F(z)z z 1 应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才适用 6.3 逆 Z 变换 一、定义 1 k 1 f k F(z)z dz C为F(z)的ROC中的一闭合曲线。2 兀 j c ResF(z)zkl 尹 zi为F(z)zk-I II在C中的极点 计算方法：?幕级数展开和长除法?部分分式展开?留数计算法 二、部分分式法进行 Z 反变换

12、 1.有理真分式，分母多项式无重根 1 II-Piz 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直

13、接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域n T F(z)八 iN r i 1-1-Piz y dl-1、_qi_(1-Uzji q i l-i 1 l-i(-u)(l-i)!d(z)其中 i=1,丨 l(uz-1)lF(zn F(z)八 i=1 ri 2.有理真分式，分母多项式在z=u处有l阶重极点 3 假分式各部分分式的系数为 ri 二(1-PizT)F(z)z=Pi 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非

14、因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域 解：F(z)A B 1 2 解 1-2zJ(1-2zJ2 1-4z A二F(z)(1-2z，)2|z#-2(-2)dz，B=(1-2zJ2F(z)z=1 C=(1-4z)F(z)z/=4 fk叮-2

15、 2k-(k 1)2k 4 4kuk 4.复根时部分分式展开，可以直接利用sin(00矶 町2-*si nOoZ，31 f1kp sin(k 2例:sin(o(k 1)ukp Z si nO0 1-2z cos1 爲 z 例:z2 F(z)=z2z 求 fk F(z)二 1 1(z/a)-2 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解

16、域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域由指数加权性质 4 k fk二【3(-2)k=.n fk=a cos(k)uk 例 F(z)二 31 It 2si n(-k)sin(k 1)、差分方程的 z 域求解 yk aplk T a2yk-2=b0 f k$f k T k-0 6.4 离散系统的 Z 域分析 时域差分方程 解微分方程 时域响

17、应 yk Z 域代数方程 解代数方程 -Z 域响应 Yz 求 fk。(1+2z1)(1+z+z)，Z 0 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在

18、处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域Yf b0F b1z 1 1 右 a2Z-2 F(Z)yk Z%(z)丫(Z)=4切-1-425-1-4切-2 1-4Z 4Z 2 4F(Z)1-4z 4z2 1-4ZT 4Z2 初始状态为 y-1,y-2 对差分方程两边做 Z 变换，利用 Zyk-1ukH z1丫(z)y-1 Zyk-2uk=z，Y(z)y-1z y-2 讪一1 a2y-2 a2y1z_1 1 a1z_1-a2z，例 1:yk-4yk-1+4yk-2=4(-3)kuk yT=O,y2=2，求 yx k、yfk、yk

19、。Y(z)-41Y(z)-y1+4 2Y(z)+z-1y1+yh2=4 F(z)零输入响应为 丫(_.4yT _ 4zTy_1 _ 4y_2 _ x()2(1-2Z)2Y(Z)31ZY(Z)印切-1 a2zW(z)&2切-2玄乂切/捉一1 弋 F(Z)bF(Z)丫二 _ a1y _1 _ a2y _2P a2y1z 1 1 a1z a2z F(z)H(z)1 yf k=fk*hk Yf=F(z)H(z)求 H(z)的方法:ZH(z)H(z)fk 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收

20、敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域 由系统的冲激响应求解：H(z)二 Zhk 边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换

21、单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域Zyfk=Zfk H(z)由定义式 H(z)由系统的微分方程写出1-2zJcos10 z 3-

22、3 uk 3sin(/3)3sin(/3)边变换反变换二双边变换定乂为的中的一闭合曲线物理意义将离散信号分解为不同频率复指数的线性组合单边变换单边变换定乂反变换送其中为的中的一闭合曲线使级数收敛的所有值范围称作的收敛域用符号表示三收敛域有限长序移非因果序列的位移位移特性二例求解由因果序列的位移特性二二指数加权特性门由因果序列的位移特性门例已知求解域微分特性一序列卷积证八一二二例二初值与终值定理应用终值定理时只有序列终值存在终值定理才适用逆变换式无重根为的中的一闭合曲线为在中的极点八各部分分式的系数为二八其中丨有理真分式分母多项式在处有阶重极点假分式例解解二叮复根时部分分式展开可以直接利用矶町爲例求二由指数加权性质求例二二离散系统的域分析时域