高三理科数学等差等比数列复习提升训练中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、 高 三 数 学-数列复习 【教学内容】等差、等比数列的定义，性质，通项及求和公式，并能运用它们去解决数列中基本的运算问题。【教学目标】1、等差数列、等比数列的概念及通项公式，前 n 项和的计算公式是学习好数列的基础。首先我们要熟练掌握数列的概念，理解通项及求和公式推导的思想方法，在掌握公式的基础上，熟练掌握由已知 n、an、d(q)、a1、sn中的某三个量，如何去计算另二个量的问题。2、能灵活地运用等差、等比数列的性质，如在等差数列中：（1）当 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq（2）等差数列中任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项（3）等差数列中每 k 项的和仍为等差数列，公差为

2、 k2d 等性质及等比数列中的相关性质，来解决具体问题。3、由于等差数列中 sn是 n 的二次函数（其中 d0）且常数项为零，因此当 a10、d0 时 sn有最大值，当 a10 时 sn有最小值，求 sn的最值时，可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的方法来解决。4、等差等比数列的知识还常运用于函数、方程、不等式、三角及几何等问题，我们要能灵活运用数列的概念及性质来解决这些数学问题。【知识讲解】例 1、等差数列an中，a2+a4+a6+a12+a20+a32=18，求 a8+a13+a17 分析：由等差数列性质可知，等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项，则 a2+a32=

3、2a17，a4+a12=2a8，a6+a20=2a13 2(a8+a13+a17)=18 a8+a13+a17=9 例 2、在等比数列an中，a1+an=66,a2an1=128,sn=126，求 n、q。分析：因为an为等比数列，所以由等比数列的性质：若 m+n=p+q,则 aman=apaq 可知 a2 an1=a1an，代入已知条件可求出 a1、an，知道了 a1、an、sn用通项及求和公式就可以求出 n 与 q 了。解：数列an为等比数列，a2an1=a1an,a1+an=66 a1、an是方程 a1an=128 x266x+128=0 的两根，a1=2 a1=64 或 an=64 a

4、n=2 当 a1=2,an=64 时，由qqaasnn11可得qq1642126，q=2,n=6 同理，当 a1=64,an=2 时可及 q=21,n=6 例 3、四个正数，前三个成等差数列，其和为 48，后三个成等比数列，最后一数为25，求这四个数。解：设此四个数为 ad、a、a+d、25，(ad)+a+(a+b)=48,a=16,又后三个数成等比数列，（a+b）2=25a，即(16+d)2=2516,d2+32d144=0,d=4 或 d=36（舍去），所以四个正数为：12、16、20、25。说明：当几个数成等或等比数列时，我们可以利用对称性质性设出这 n 个数。如三个数成等差数列时，可设

5、为 ad、a、a+d，当四个数成等差数列时，可设为 a3d,ad,a+d,a+2d 等比数列也是类似的，这样设出来的 n 个数具有对称性，往往会给计算带来方便。例 4、已知两个等差数列，它们的前 n 项和之比为1235nn，求这两个数列的第 9 项之比。解：设这两个等差数列分别为an、bn它们的前 n 项和分别为 sn,sn,由等差数列的性质可知 a9=)(21),(211719171bbbaa 38117231752)(172)(17)(21)(21171717117117117199ssbbaabbaaba 说明：这里灵活地运用了等差数列的性质：等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的

6、等差中项及等差数列的求和分式2)(1nnaans一般地，若an、bn均为等差数列，前 n 项和分别为 Sn、Sn，且dcnbanSnSn，则1212121121)12(2)()12(2)(ppppppsspbbpaaba 例 5、若两个方程 x2-x+a=0，x2-x+b=0 的四个根构成以41为首项的等差数列 ab，试求 a、b 的值。解：设四个根以41，41+d，41+2d，41+3d，因为每个方程的两根之和均为 1，41+(41+3d)=(41+d)+(41+2d)=1 d=61,b=4116343 d=144351272410 例 6、已知ABC 中，三内角 A、B、C 的度数依次成等

7、差数列，三边长 a、b、c依次成等比数列，试判断ABC 的形状。证法一、A、B、C 成等差数列,2B=A+C，又 A+B+C=180，B=60A+C=120教学目标等差数列等比数列的概念及通项公式前项和的计算公式是学习好数列的基础首先我们要熟练掌握数列的概念理解通项及求和公式推导的思想方法在掌握公式的基础上熟练掌握由已知中的某三个量如何去计算另二个量的问题等差数列中每项的和仍为等差数列公差为等性质及等比数列中的相关性质来解决具体问题由于等差数列中是的二次函数其中且常数项为零因此当时有最大值当时有最小值求的最值时可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的质来解决些数学问题知识讲解例等差数列中求

8、分析由等差数列性质可知等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项则例在等比数列中求分析因为为等比数列所以由等比数列的性质若则可知代入已知条件可求出知道了 a、b、c 成等比数列，b2=ac,由正弦定理知 sin2B=sinAsinC,sinAsinC=43,积化和差得：cos(A+C)cos(AC)=23，cos(AC)=1,在ABC 中，AC(,)，AC=0，A=C=60，ABC 为等边三角形。证法二：A、B、C 成等差数列，B=60，b2=ac,a2+c22accos60=ac,即 a22ac+c2=0,(ac)2=0,a=c,所以ABC 为等边三角形。例 7、在等差数列an中，

9、若 sp=q,sq=p,求：Sp+q（其中 pq）分析：sp+q=（p+q）a1+21)(2)1)(1dqpaqpdqpqp,因此要求sp+q,关键要根据条件，计算出dqpa211的值，而由等差数列的求和公式可知，只要把 sp=q,sq=p 两式相减即可。解：sp=q,sq=p，qdpppa2)1(1(1)(1)(2)得：qdqqqa2)1(1 (2)（p-q）a1+)(2)1)(qpdqpqp 又 pq,pq0，dqpa211=1，sp+q=（p+q）a1+21)(2)1)(1dqpaqpdqpqp=（p+q）(1)=(p+q)例 8、等比数列的前 n 项和为 sn，前 2n 项和为 s2n

10、，前 3n 项和为 s3n，且 sn=48,s2n=60，求 s3n。分析：根据等比数列的性质：等比数列中每 k 项的和仍成等比数列，公比为 qk,则 sn、s2nsn、s3nsn为等比数列，那么由 sn、s2n的值就可以计算 s3n了。解：数列an为等比数列，sn、s2nsn、s3nsn也成等比数列，即 48、6048、s3n60 成等比数列，（6048）2=48（s3n60），s3n=63 例 9、某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为 300 万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多 10 万元、10 万元、11 万元，那么每一年比上一

11、年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值。分析：这里是实际问题的运用，对于这类应用问题，我们首先要读懂题目，理解题意，在此基础上再把实际问题转化为数学问题来解决。如该题中主要问题是要分清楚原计划三年的产值成等差数列，变化后三年的产值成等比数列。解：由题意可知，原计划三年的产值成等差数列，变化后三年的产值成等比数列，设原计划三年的产值为 xd、x、x+d，则 3x=300,x=100,又变化后三年的产值分别为：x+10d、x+10、x+11+d，它们成等比数列。教学目标等差数列等比数列的概念及通项公式前项和的计算公式是学习好数列的基础首先我们要熟练掌握数列的概念理解通项及求和公式推导的思

12、想方法在掌握公式的基础上熟练掌握由已知中的某三个量如何去计算另二个量的问题等差数列中每项的和仍为等差数列公差为等性质及等比数列中的相关性质来解决具体问题由于等差数列中是的二次函数其中且常数项为零因此当时有最大值当时有最小值求的最值时可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的质来解决些数学问题知识讲解例等差数列中求分析由等差数列性质可知等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项则例在等比数列中求分析因为为等比数列所以由等比数列的性质若则可知代入已知条件可求出知道了（110d）(111+d)=1102，d2+d110=0，d=10 或 d=11（舍去），原计划每年的产值分别为 90、1

13、00、110（万元）。例 10、一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项和之比为32:27，求公差 d。解法一：a1+a2+a12=354 又 a2+a4+a6+a12=a1+a3+a5+a11+6d 2(a1+a3+a11)+6d=354,a1+a3+a11=1773d 又273231776161131113111311242ddaaadaaaaaaaaa,27531776 dd 5d 解法二：由条件可知：354奇偶SS 2732奇偶ss 2732354偶偶ss 192偶s 162奇s 又在等差数列中，因为项数 12 为偶数，所以dss6奇偶 d6162192，

14、d=5 说明：解法二中运用了等差数列奇数项与偶数项的有关性质。若项数为偶数 2n，则有ndss奇偶，若项数为奇数，则有nass奇偶这里的 an为中间项。例 11、已知数列na 为等差数列，公差 d0，na的部分项组成下列数列nkkkaaa,21 恰 为 等 比 数 列，其 中,11k,52k,173k 求nkkk21。解：nka成等比数列，3122kkkaaa即17125aaa，设等差数列nka的首项为 a1，公差 d，则(a1+4d)2=a1(a1+16d)，d0，a1=2d,设等比数列nka的公比为 q，则324241115dddadaaaq nka是等比数列中的第 n 项，教学目标等差数

15、列等比数列的概念及通项公式前项和的计算公式是学习好数列的基础首先我们要熟练掌握数列的概念理解通项及求和公式推导的思想方法在掌握公式的基础上熟练掌握由已知中的某三个量如何去计算另二个量的问题等差数列中每项的和仍为等差数列公差为等性质及等比数列中的相关性质来解决具体问题由于等差数列中是的二次函数其中且常数项为零因此当时有最大值当时有最小值求的最值时可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的质来解决些数学问题知识讲解例等差数列中求分析由等差数列性质可知等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项则例在等比数列中求分析因为为等比数列所以由等比数列的性质若则可知代入已知条件可求出知道了113n

16、kaan，又nka是等差数列an的第 kn项 1121)1(akdkaannkn 111321nnaak，01a 1321nnk 13)331(2121nnkkknnn.例 12、数列n为等差数列，为公差，数列nsin是等比数列，q 为公比，求和 q.分析：此题已知条件为n成等差数列，nsin成等比数列，若根据等差、等比数列的性质，去讨论注意连续三项的关系较复杂，注意到此题仅要求公差及公比 q，我们可以通过讨论前三项的关系即可，这样就可以化一般为特殊，达到简化运算的目的。解：数列nsin为等比数列，1sin、2sin、3sin也成等比数列，3122sinsinsin )cos()cos(21)

17、2cos1(2131312 又数列n成等差数列，则213，2312，2cos2cos2cos122，12cos，k22，k，kZ，kkq)1(sin)sin(sinsin1112 例 13、已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数,b 为不等于 1 的常量,且 g(n)=1 n=0 fg(n 1)n1 若 an=g(n)g(n1),nN，求证：an为等比数列.设 Sn=a1+a2+an，求 Sn.解：当 n=1 时，a1=g(1)g(0)=fg(0)g(0)=f(1)1=b+11=b,当 n2时，an=g(n)g(n1)=f g(n)f g(n 2)=bg(n1)+1bg(n2)1=b g

18、(n 1)g(n2)=ban-1,所以对于一切 自然数 n，均有baann 1的数列an为公比是 b 的等比数列。（2）sn=b+b2+bn=bbbn1)1(说明：解题的关键是要在理解复合函数抛念的基础上，充分运用已知条件中，首先教学目标等差数列等比数列的概念及通项公式前项和的计算公式是学习好数列的基础首先我们要熟练掌握数列的概念理解通项及求和公式推导的思想方法在掌握公式的基础上熟练掌握由已知中的某三个量如何去计算另二个量的问题等差数列中每项的和仍为等差数列公差为等性质及等比数列中的相关性质来解决具体问题由于等差数列中是的二次函数其中且常数项为零因此当时有最大值当时有最小值求的最值时可以讨论数

19、列中项的符号或利用二次函数求最值的质来解决些数学问题知识讲解例等差数列中求分析由等差数列性质可知等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项则例在等比数列中求分析因为为等比数列所以由等比数列的性质若则可知代入已知条件可求出知道了把 g(n)的表达式求出，然后再计算 an。【每周一练】一、选择题：1、在等差数列an中，a2+a5=19,s5=40,则 a10是（）A、80 B、38 C、29 D、49 2、数列an中，a1=60,a n+1=a n+3,nN 则该数列前 30 项的绝对值的和是（）A、495 B、765 C、3105 D、以上均不正确 3、若互不相等的三个实数 a、b、c

20、 成等差数列，且 a、c、b 成等比数列，则 a:b:c等于（）A、1:2:3 B、3:1:2 C、4:1:2 D、4:1:(-2)4、公差不为 0 的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）A、1 B、2 C、3 D、4 5、凸 n 边形的各内角度数成等差数列，最小角为 120，公差为 5，则边数 n 等于（）A、9 B、16 C、9 或 16 D、12 6、在等差数列中，Sn表示 n 项和，已知 S5=28，S10=36，则 S15等于（）A、44 B、80 C、-48 D、24 7、在等差数列an中，若前 4 项和 s4=1,前 8 项和 s8=4，则 a17+a18+a19+

21、a20等于（）A、7 B、8 C、9 D、10 8、数列an、bn的通项公式分别是 an=an+b(a0，a、bR)，bn=qn-1(q1)，则数列an、bn中，使 an=bn的 n 值的个数是（）A、2 B、1 C、0 D、可能为 0，可能为 1，可能为 2 9、设某工厂生产总值月平均增长率为 P，则年平均增长率为（）A、P B、12P C、（1+P）12 D、（1+P）121 10、已知等差数列an的公差为 1，且 a1+a2+a99=99，则 a3+a6+a9+a99的值是（）A、99 B、66 C、33 D、0 11、一个等差数列的前 10 项和为 100，前 100 项之和为 10，

22、则前 110 项之和为（）A、-90 B、90 C、-110 D、110 12、设等差数列 5、724、743，第 n 项到第 n+6 项的和为 T，那么|T|取最小值时，n 等于（）A、6 B、5 C、4 D、3 二、填空题：13、已知等差数列an中，a3=10，a3、a7、a10是一个等比数列中相邻的三项，则公比 q 为_ 14、已知等差数列an的公差 d0,且 a1、a3、a9成等比数列，则1042931aaaaaa=_ 教学目标等差数列等比数列的概念及通项公式前项和的计算公式是学习好数列的基础首先我们要熟练掌握数列的概念理解通项及求和公式推导的思想方法在掌握公式的基础上熟练掌握由已知中

23、的某三个量如何去计算另二个量的问题等差数列中每项的和仍为等差数列公差为等性质及等比数列中的相关性质来解决具体问题由于等差数列中是的二次函数其中且常数项为零因此当时有最大值当时有最小值求的最值时可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的质来解决些数学问题知识讲解例等差数列中求分析由等差数列性质可知等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项则例在等比数列中求分析因为为等比数列所以由等比数列的性质若则可知代入已知条件可求出知道了15、数列an的前 n 项和 Sn=3n+a，要使an是等比数列，则 a 的取值为_ 16、等比数列an中，公比 q=2，log2a1+log2a2+log2a1

24、0=25,则 a1+a2+a10=_ 17、等差数列an中，已知 a5+a10+a15+a20=2，则 S24=_ 18、已知等差数列an中，a1=-2,且 S3=S7，则使 Sn 取最小值的自然数 n 等于_ 19、数列 2、5、8、11和数列 3、7、11、15前 100 项中相同项的个数是_ 20、设两个方程 x2-ax+1=0，x2-bx+1=0 的四个根组成以 2 为公比的等比数列，则ab=_ 三、解答题：21、若数列an的前 n 项和 Sn=pnan(nN)且 a1a2,求常数 p 的值，并证明数列an为等差数列。22、四个数，前三个数成等比数列，它们的和是 19，后三个数成等差数

25、列，它们的和为12，求这四个数.23、在等比数列an中设前 n 项和、前 2n 项和、前 3n 和分别为 A、B、C 试比较 A2+B2与 A(B+C)的大小，并证明。24、已知 a1、a2an是各项为正数的等比数列，公比 q1，求证：nnnaanaaaaaalglg1lglg1lglg1lglg1113221 25、若 a、b、c 分别是一个等差数列的第 p、q、r 项，同时又是一个等比数列中的第 p、q、r 项，求 ab-cbc-a ca-b的值.26、设数列an与bn的通项分别为 an=2n、bn=3n+2，由它们的公共项由小到大排成数列Cn，求数列Cn 的前 n 项之和.【每周一练答案

26、】一、选择题：1、C 2、B 3、A 4、C 5、A 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、C 12、B 二、填空题：13、43或 1 14、1613 15、-1 16、41023 17、12 18、5 19、25 20、427 三、解答题：21、21p证明略 22、25 -10 4 8 或 9 6 4 2 23、A2+B2=A(B+C)证明略 24、证明略 25、1 26、Sn=38(4n-1)教学目标等差数列等比数列的概念及通项公式前项和的计算公式是学习好数列的基础首先我们要熟练掌握数列的概念理解通项及求和公式推导的思想方法在掌握公式的基础上熟练掌握由已知中的某三个量如何去计算另二个量的问题等差数列中每项的和仍为等差数列公差为等性质及等比数列中的相关性质来解决具体问题由于等差数列中是的二次函数其中且常数项为零因此当时有最大值当时有最小值求的最值时可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的质来解决些数学问题知识讲解例等差数列中求分析由等差数列性质可知等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项则例在等比数列中求分析因为为等比数列所以由等比数列的性质若则可知代入已知条件可求出知道了