《向量方法证明余弦定理》优秀教学设计中学教育中学_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 向量方法证明余弦定理 一、教学目标解析 1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。二、教学问题诊断分析 1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；已知三角形的任意两

2、个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。学习必备 欢迎下载 2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既

3、可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。三、教学支持条件分析 为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。四、教学过程设计 1、教学基本流程：从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的证明。应用余弦

4、定理解斜三角形。2、教学情景：论解三角形通过对三角形边角关系的探究能证明余弦定理了解从三角方法解析方法向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理在发现和证明余弦定理中通过联想类比转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法从而培养学生的发散思题诊断分析通过前一节正弦定理的学习学生已能解决这样两类解三角形的问题已知三角形的任意两个角与边求其他两边和另一角已知三角形的任意两个角与其中一边的对角计算另一边的对角进而计算出其他的边和角而在已知三角形的另一定量关系所以教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上学习必备欢迎下载在以往的教学中存在学生认知比较单一对余弦定理的证明方法思考也比较单一而本节的教学难点就在于余弦

5、定理的证明如何启发引导学生经过联想类学习必备 欢迎下载 创设情境，提出问题 问题 1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设计合理的方案，来测量学校河两岸两点的距离【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝试解决。求异探新，证明定理 问题 2：在ABC中，C=90，则用勾股定理就可以得到 c2=a2+b2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些

6、量之间存在的某种定量关系。教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分C 为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点余弦定理。【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。论解三角形通过对三角形边角关系的探究能证明余弦定理了解从三角方法解析方法向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理在发现和证明余弦定理中通过联想类比转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法从而

7、培养学生的发散思题诊断分析通过前一节正弦定理的学习学生已能解决这样两类解三角形的问题已知三角形的任意两个角与边求其他两边和另一角已知三角形的任意两个角与其中一边的对角计算另一边的对角进而计算出其他的边和角而在已知三角形的另一定量关系所以教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上学习必备欢迎下载在以往的教学中存在学生认知比较单一对余弦定理的证明方法思考也比较单一而本节的教学难点就在于余弦定理的证明如何启发引导学生经过联想类学习必备 欢迎下载 教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水

8、平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。教师：以上的证明避免了讨论C 是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。运用定理，解决问题 让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。例 1：在ABC中，已知 a=2，b=3，C=60，求边 c。在ABC中，已知 a=7，b=3，c=5，求 A、B、C。【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既已知三角形两边及夹角，

9、求第三边；已知三角形三边，求三内角。小结 本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。论解三角形通过对三角形边角关系的探究能证明余弦定理了解从三角方法解析方法向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理在发现和证明余弦定理中通过联想类比转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法从而培养学生的发散思题诊断分析通过前一节正弦定理的学习学生已能解决这样两类解三角形的问题已知三角形的任意两个角与边求其他两边和另一角已知三角形的任意两个角与其中一边的对角计算另一边的对角进而计算出其他的边和角而在已知三角

10、形的另一定量关系所以教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上学习必备欢迎下载在以往的教学中存在学生认知比较单一对余弦定理的证明方法思考也比较单一而本节的教学难点就在于余弦定理的证明如何启发引导学生经过联想类学习必备 欢迎下载 所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。作业 第 1 题：用正弦定理证明余弦定理。【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角

11、转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。第 2 题：在ABC中，已知，求角 A和 C 和边 c。【设计意图】：本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。论解三角形通过对三角形边角关系的探究能证明余弦定理了解从三角方法解析方法向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理在发现和证明余弦定理中通过联想类比转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法从而培养学生的发散思题诊断分析通过前一节正弦定理的学习学生已能解决这样两类解三角形的问题已知三角形的任意两个角与边求其他两边和另一角已知三角形的任意两个角与其中一边的对角计算另一边的对角进而计算出其他的边和角而在已知三角形的另一定量关系所以教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上学习必备欢迎下载在以往的教学中存在学生认知比较单一对余弦定理的证明方法思考也比较单一而本节的教学难点就在于余弦定理的证明如何启发引导学生经过联想类