四年级奥数数字谜综合有答案小学教育小学_小学教育-小学教育.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 第十九讲 数字谜综合（二）内容概述 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题 典型问题 1.试将 1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次:口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是 714,求其他两个数【分析与解】714=23717 由此可以看出,要使最下面方框中的数与 714 互质,在剩下未填的数字 2,3,5，6 中只能选 5，也就是说，第三个数只能是 5 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填 2,3,6

2、这 3 个数字 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是 3.这样一来,第二个三位数只能是 263 或 623.但是 623 能被 7 整除,所以 623 与 714 不互质 最后来看 263 这个数.通过检验可知:714 的质因数 2,3,7和 17 都不是 263 的因数,所以 714 与 263这两个数互质 显然,263 与 5 也互质 因此,其他两个数为 263 和 5 2.如图 19-1,4 个小三角形的顶点处有 6 个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上 6 个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形 3 个顶点上的数之和相等.问这

3、6 个质数的积是多少?【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是 S.4 个小三角形的和 S 相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了 3 次,所以 4S=2S+20,即 S=10 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是 2,3,5,从而六个质数是 2,2,3,3,5,5,它们的积是：223355=900 3.在图 19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立 【分析与解】记两个乘数为7a b和 cd 其中 a、b、c、d 的值只能取自 2、3、5 或 7 由已知条件,b 与 c 相乘的个位数字仍为质数,这只可能是 b 与 c 中有一个是 5 另一

4、个是 3、5 或 7,如果 b 不是 5,那么 c 必然是 5,但 735=365、775=385 的十位数字都不是质数.因此 b 是 5,c 是 3、5、7 中的一个,同样道理,d 也是 3、5、7 中的一个 学习好资料 欢迎下载 再由已知条件,75a的乘积的各位数字全是质数,所以乘积肯定大于 2000,满足积大于 2000 且 a、c取质数,只有以下六种情况：775 3=2325,5755=2875,7755=3875,3757=2625,575 7=4025,7757=5425 其中只有第一组的结果各位数字是质数,因此 a=7,c=3，同理,d 也是 3 最终算式即为 77533=255

5、75 4.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方.那么这个和数是多少?【分析与解】设原来的两位数为xy,则交换十位数字与个位数字后的两位数为,两个数的和为yx,两个数和为 xyyx=1010 xyxy 11 xy 是 ll 的倍数,因为它是完全平方数,所以也是 11 11=121 的倍数.但是这个和小于 100+100=200 229).而220229 之间个位数字不是 2 且是 3 的倍数的只有 225=375 和 228=376 如果第一乘数是75,又第二个乘数的百位数字是3,那么它们的乘积小于75400=30000,它的首位数字也就

6、不可能是 3,不满足 乘数是 76,另一个乘数就要大于 3000076394,那么只有 395、396、397、398、399 这五种可能,它们与 76 的乘积依次为 30020、30096、30172、30248、30324.由于各个数字都不能是 2,所以只有76396=30096 满足题目的要求 算式中所得的乘积为 30096 方法二：为了方便说明，将某些位置标上字母，如下图所示，因为干位最多进 1，而最终的乘积万位又不能是 2，所以只能是 3：而第5行对应为22口=ABC,其中C不可能为1,又不能为2,那么最小为3 当 C为 3 时,22 口=AB3,那么 A只能为 7,B 只能为 4,

7、5 或 6，(1)当 B为 4 时,743=222,第 5 行个位为 2,不满足题意；(2)当 B为 5 时,ABCDE 对应为 753DE,小于 30000,不满足；(3)当 B为 6 时,ABCDE 对应为 763DE,D 只能为 9,此时第 4 行对应为 AB D即 769=684.因为 3000076394,所以 39E只有 395、396、397、398、399 这五种可能,它数等数论手段解的数字谜问题典型问题试将分别填入下面的方框中每个数字只用一次口口口这是一个三位数口口口这是一个三位数口这是一个一位数使得这三个数中任意两个都互质已知其中一个三位数已填好它是求其他两个数分析第二个数

8、的三个方框中应该怎样填这个数字因为任意两个偶数都有公约数而是偶数所以第二个的三位数不能是偶数因此个位数字只能是这样一来第二个三位数只能是或但是能被整除所以与不互质最后来看这个数通过检验可知的质因在这圆圈中分别填上个质数它们的和是而且每个小三角形个顶点上的数之和相等问这个质数的积是多少分析与解设每个小三角形三个顶点上的数的和都是个小三角形的和相加时中间三角形每个顶点上的数被算了次所以即这样每个小学习好资料 欢迎下载 们与 76 的乘积依次为 30020、30096、30172、30248、30324.由于各个数字都不能是 2,所以只有76396=30096 满足题目的要求 验证 C取其他值时没有

9、满足题意的解 所以算式中所得的乘积为 30096 12.请补全图 19-6 这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少?【分析与解】易知除号下第二行的首位为 9.除号下第一行开头两位为 1、0,商的十位为 0 第二行 9 口对应为 CD A，(1)9口不可能为90,不然第一行前三位10口与第二行90 的差不可能为一位数,不满足第三行特征；(2)9口对应为 91 时,第三行的首位对应为 10 口-91,最小为 9，所以只能为 9,那么有 91=CDA,928=CDB,不可能；(3)9口对应为 92 时,第三行的首位对应为 10 口-92,最小为 8,所以可能为 8、9，如果为 9,那么对应有

10、 92=CDA,928=CDB,不可能；如果为 8,那么对应有 92=CDA,828=CDB,不难得知 A=l,B=9,CD=92 时满足,那么被除数为92109=10028 验证没有其他的情况满足,所以这个除法算式的商数为 109 13.若用相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字,则在等式学习好勤动脑5=勤动脑学习好8中,“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少?【分析与解】设“学习好”为 x,“勤动脑”为 Y,则“学习好勤动脑”为 1000X+Y,“勤动脑学习好”为 1000y+x，有(1000 x+Y)5=(1000y+x)8,化 简 有 4992x=7995y,4992=12831

11、3,7995=3415 13,即128x=205y,有205,128xy410,256xy615,384xy820512xy 所以,“学习好勤动脑”所表示的六位数可能为 205128,410256,615384,820512,但是不能有重复数字,所以只有 410256,615384 满足,其中最小的是 410256 数等数论手段解的数字谜问题典型问题试将分别填入下面的方框中每个数字只用一次口口口这是一个三位数口口口这是一个三位数口这是一个一位数使得这三个数中任意两个都互质已知其中一个三位数已填好它是求其他两个数分析第二个数的三个方框中应该怎样填这个数字因为任意两个偶数都有公约数而是偶数所以第二

12、个的三位数不能是偶数因此个位数字只能是这样一来第二个三位数只能是或但是能被整除所以与不互质最后来看这个数通过检验可知的质因在这圆圈中分别填上个质数它们的和是而且每个小三角形个顶点上的数之和相等问这个质数的积是多少分析与解设每个小三角形三个顶点上的数的和都是个小三角形的和相加时中间三角形每个顶点上的数被算了次所以即这样每个小学习好资料 欢迎下载 14.互为反序的两个自然数的积是 92565,求这两个互为反序的自然数.(例如 102 和 201,35 和 53,11 和11,称为互为反序的数,但 120 和 2l 不是互为反序的数)【分析与解】首先可以确定这两个自然数均为三位数,不然得到的乘积不可

13、能为五位数 设ABCCBA=92565,那么 C、A中必定有一个为 5,一个为奇数.不妨设 C为 5 5AB5BA=92565,那么 A只能为 1,1 5 5 1BB=92565.又注意到 92565=335111l17 验证只有1 5B为 165 时满足,所以这两个自然数为 165、561 15.开放的中国盼奥运口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的横式中不同的汉字代表不同的数字,口代表某个一位数.那么,“盼”字所代表的数字是多少?【分析与解】我们从“口”中所应填入的一位自然数开始分析,设 A=“开放的中国盼奥运”,B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”.于是 B=A口.显然口内不会是 1 由于口是 B的约数,

14、因此口不会是“盼”所代表的数字,要不然 A就等于 111111111,这说明口内不会是 5,而 111111111 不是 7 的倍数,说明口内也不会是 7 如果口内填 3,则“盼”只能是 1 或 2,当“盼”是 1 时,B3=37037037,不符合要求；当“盼”时 2时，B3=74074074,也不符合要求；说明口内不能填入 3 口内也不会是偶数数字 2、4、6 和 8.因为口内是偶数数字时,“盼”也是偶数数字,口内显然不会是2，如果口内是 4,根据被 4 整除的特征,“盼”只能是 8,这时 A就成了一个九位数,说明口内不能是 4；类似的，可以说明口内不能是 6 和 8 综上所需,口的数字只

15、能是 9,这时利用91111.1个=123456799,可以得到9个盼盼盼盼.盼=123456799 盼.于是“盼”代表的数字必须同时满足下面两个条件：经验证知=盼=7，即 864197539=777777777 数等数论手段解的数字谜问题典型问题试将分别填入下面的方框中每个数字只用一次口口口这是一个三位数口口口这是一个三位数口这是一个一位数使得这三个数中任意两个都互质已知其中一个三位数已填好它是求其他两个数分析第二个数的三个方框中应该怎样填这个数字因为任意两个偶数都有公约数而是偶数所以第二个的三位数不能是偶数因此个位数字只能是这样一来第二个三位数只能是或但是能被整除所以与不互质最后来看这个数通过检验可知的质因在这圆圈中分别填上个质数它们的和是而且每个小三角形个顶点上的数之和相等问这个质数的积是多少分析与解设每个小三角形三个顶点上的数的和都是个小三角形的和相加时中间三角形每个顶点上的数被算了次所以即这样每个小