四年级奥数第一讲 一笔画问题小学教育幼儿教育_小学教育-幼儿教育.pdf

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1、 第十二讲 一笔画问题 例 2 下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？分析与解答 一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数.通过观察可以发现，上图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出.画时可以任一结点作为起点。例 3 下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从 A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达 C？分析与解答 本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达 C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达 C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道

2、路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和 C.这就是说，此图可以以 A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从 A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达 C；而从 B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达 C。例 4（1）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？（2）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形？【解析】：上面两个图形都只有两个奇点（红色交点），都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两种 操作是有区别的。第一、用笔画，笔要经过图中的每一条线段，用剪刀剪只能剪图形内部线

3、段，四周的边框是不 能剪的；第二，用笔画一条经过某个点的直线后，图形还是完整的，用剪刀沿直线经过某个点剪一刀后，这个图形会被剪成两段。因此在剪的过程中要注意技巧，可以分别准备好这样的两张纸片，在纸片 上画出对应的线段，让孩子在剪纸的操作中慢慢体验这一点。这两个图形都可以按题目要求一次连续剪下。上面左边图形在剪的时候注意：可以从图形左边奇点开始先向右剪，遇到第一个交点后拐弯向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二个奇点结束。例 5 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析与

4、解答 这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，就可以发现：我们并不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走遍所有的门，与七桥问题较为类似.因此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从 A出发，一笔画完此图，最后再回到 A。上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以 A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.

5、下面仅给出一种参观路线：于这个图中奇点的个数通过观察可以发现上图中所有的结点都是偶点因此这个图可以一笔画出画时可以任一结点作为起点例下图是某地区所有街道的平面图甲乙二人同时分别从出发以相同的速度走遍所有的街道最后到达如果允许两道最后到达而且两人的速度相同因此谁走的路程少谁便可以先到达容易知道在题目的要求下每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和仔细观察上图可以发现图中有两个奇点和这就是说此图可以以两点分别作为起点和终点而一笔有街道路程的总和而乙所走的路程则必定大于这个总和这样甲先到达例能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形解析上面两个图形

6、都只有两个奇点红色交点都是一笔AEBCEFCDFA。注意：本题中，必须以 A分别作为起点和终点.这就要求图中必须没有奇点，否则，若有两个奇点，虽能一笔画出，但与从入口入、出口出（即游人的出发和终止点都在展厅外）有矛盾，其他有多个奇点的情况则根本不可能一笔画出。另外，通过前面的学习，大家已经知道：一个图如果能够一笔画出，则画的方法不止一种，但各种方法大同小异.因此，本书中，一笔画的问题，一般我们只给出一种画法。练习题 1.下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成。2.判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。3一只蚂蚁由 A点出发，到达 B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗？4

7、游人在林间小路上（见图）散步，问能否一次不重复地走遍所有的路线后回到出发点？5下图是某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室有一门相同，请你设计一个出口，使参观者能够从入口处进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房。答案：3：蚂蚁可以这样走：于这个图中奇点的个数通过观察可以发现上图中所有的结点都是偶点因此这个图可以一笔画出画时可以任一结点作为起点例下图是某地区所有街道的平面图甲乙二人同时分别从出发以相同的速度走遍所有的街道最后到达如果允许两道最后到达而且两人的速度相同因此谁走的路程少谁便可以先到达容易知道在题目的要求下每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和仔细观察上图可以发现

8、图中有两个奇点和这就是说此图可以以两点分别作为起点和终点而一笔有街道路程的总和而乙所走的路程则必定大于这个总和这样甲先到达例能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形解析上面两个图形都只有两个奇点红色交点都是一笔 4：图中有 6个单数点，因此游人不能一次不重复的走遍所有路线后返回出发点 5：把原图转化为右图，如果添一条与 A相连的边，此图就能成为以 A点为起点一笔画出，所以，应连接 A、F，把出口处开在花房 F处.于这个图中奇点的个数通过观察可以发现上图中所有的结点都是偶点因此这个图可以一笔画出画时可以任一结点作为起点例下图是某地区所有街道的平面图甲乙二人同时分别从出发以相同的速度走遍所有的街道最后到达如果允许两道最后到达而且两人的速度相同因此谁走的路程少谁便可以先到达容易知道在题目的要求下每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和仔细观察上图可以发现图中有两个奇点和这就是说此图可以以两点分别作为起点和终点而一笔有街道路程的总和而乙所走的路程则必定大于这个总和这样甲先到达例能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形解析上面两个图形都只有两个奇点红色交点都是一笔