四年级奥数追及问题教师版资格考试教师资格考试_小学教育-课外知识.pdf

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1、追及问题精讲 知识导航 追及路程甲走的路程乙走的路程 （甲的速度追及时间）（乙的速度追及时间）（甲的速度乙的速度）追及时间 速度差追及时间.例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差90-60=30（千米），所以追及时间24030=8（小时）.【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够

2、远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.解析：若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了405=300（米）；哥哥每 分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？405(60-40)=10（分），哥哥10分钟可以追上弟弟.【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：10(15-10)=2（小时），还需要2个小时.【巩固3】解放军某部先

3、遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。(612)(78-6)=1(小时)例2：小明步行上学，每分钟行70米离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图：当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270(米)，即爸爸要追及的路程为 840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发

4、后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短21070280(米)，也就是爸爸与小明的速度差为21070280(米/分),爸爸追及的时间：4210840(分钟)当爸爸追上小明时，小明已经出发16412(分钟)，此时离家的距离是：11201670(米)【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?解析：哥哥出发的时候弟弟走了：200540（米），哥哥追弟弟的追及时间为：8)4065(200（分钟），所以家离学校的距离为：520658（米）.【巩固2】小明以每分

5、钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.解析：小强出发的时候小明走了6001250（米），被小强追上时小明又走了：850)6001000(（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：12581000（米/分钟）.例3:小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？解析：小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差路程差是两人相背运动的总路程：3903)70

6、60(米)追及时间为：39)6070(390(分钟)小强走的总路程为：2940)339(70(米)【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？解析：要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：40602400(分钟)，小明所用的时间是：301040(分钟)，小明每分钟走的米数是：80302400(米)例4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后

7、，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华求多少分钟后追上李华？解析：已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了12225(分钟)李华在这段时间比王芳多走：8401270(米)，速度差为：4070110(米/秒)，王芳追上李华的时间是：2140840(分钟)【巩固1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务一共有多少份报纸？解析：本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），

8、速度差：126072（份/分钟）此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是51260（分钟）共整理报纸：7202725（份）【巩固2】甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程 解析：根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程,追及路程为：68234(

9、千米);追及时间为：17)3438(68(小时).A、B两地的路程为：6461738(千米).例5:甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地A、B两地间的路程是多少？解析：由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：213(小时)，乙车2小时行的路程是：80240(千米)，甲车每小时比乙车多行的路

10、程是：104050(千米)，甲车所需的时间是：81080(小时)，A、B两地间的路程是：400850(千米)【巩固1】甲、乙两车分别从 A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后已知甲车比乙车提前出发 1小时，甲车的速度是 96千米/小时，乙车每小时行 80千米甲车出发5小时后追上乙车，求 A、B两地间的距离 解析：由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解追及时间为：415(小时),追及路程为：644)8096(千米),A、B两地间的距离为：1606496(千米)【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小

11、时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？解析：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：1484)2865(千米).例6：小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？解析：小明比小芳提前3分钟出发，则多走210370（米）两家之间的所剩路程是12002101410(米)，两人的速度和是1508070（米），所剩路程需：8)8070(1200（分）走完小明家距离 学校770)38

12、(70（米）【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米当小宇走了3千米后，小宙才出发当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？解析：追及时间：1)1215(3(小时)，此时距部队驻地还有：11516(千米)例7：甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达求A、B两地间的距离 解析：这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程 方法一：如图：甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用

13、了：628(小时)，此时路程差为：120620(千米)，此时路程差就是甲车 2小时的路程，所以甲车速度为：602120(千米/小时)，A、B两地间的距离：480860(千米)方法二：如图：假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：160820(千米)，这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：802160(千米/小时)，乙车到达时用了：628(小时)，A、B两地间的距离：480680(千米)例8：龟、兔进行1000 米的赛跑小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意

14、地躺在旁边睡着了当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？解析：乌龟胜利了因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要41040(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5100500(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了 乌龟跑到终点还要41040(分钟)，而小兔跑到终点还要510021000(分钟)，慢1分钟当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001100(米)【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次

15、谁将获得胜利呢？解析：由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为50510(米/分)，乌龟先跑 10分钟，即兔子开 始跑时，乌龟已经跑了5001050(米)，还剩5005001000(米)，需要1050500(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：101001000(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点 例9：军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？解析：“我”舰追到A岛时，“敌”舰已

16、逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400，即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间：20)10001470()600101000(（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.【巩固】(第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车在这辆车鸣笛时两车相距多少米？解析：这是一道“

17、追及问题”根据追及问题的公式，追及时间路程差时间差由题意知，追及时间为5秒钟，也就是)6060(5小时，两车相距距离为路程差，速度差为1890108(千米/时)，也就是18000 米/时，所以路程差为：253600518000(米)，所以，在 这辆车鸣笛时两车相距25米 例10：小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝小红、小蓝二人的速度各是多少？解析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为4520(米)；若小红让小蓝先跑 4秒，

18、则小红 6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于2464(米)，就是 小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度 综合列式计算如下：小蓝的速度为：646520(米/秒)，小红的速度为：1046(米/秒)【巩固】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑 5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑 4秒钟就能追上乙问：甲、乙二人的速度各是多少？解析：若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为2510(米/

19、秒)；若甲让乙先跑 2秒，则甲跑 4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间 为4秒，因此路程差就等于842(米)，即乙在2秒内跑了 8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度综合列式计算如下：乙的速度为：424510（米）甲的速度为：64510(米/秒)例11：甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离.解析：先画图如下：若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程，用时间应为：20626分.

20、同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC 加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为1600)626(50（米）.所以，甲的速度为80201600（米/分），由此可求出A、B间的距离：80)626()626(50（米/分），7806)5080(（米）例12：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是 2400 米甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 300 米处遇到乙，此时他们离开学校已经 30 分钟问：甲、乙每分钟各走多少米？解析：根据题意，画线段图如下：方法一：30分钟内，二人的路程和：480022400(米)，因此速度和为：160304800

21、(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：27003002400(米)，所以甲速度为：90302700(米/分)，则乙速度为：7090160(米/分)方法二：30分钟内，甲的路程为27003002400(米)，乙走的路程为：21003002400(米)，因此甲的速度为：90302700(米/分)，乙的速度为：7030)3002400(米/分)课后练习 1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行 14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？解析：平平走了6千米后，兵兵才出发，这 6千米就是平平和兵兵相距的路程由于兵兵

22、每小时比平平多走31417(千米)，要求兵兵几 小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用236(小时)因为甲地和乙地相距 40千米，兵兵每小时行 17千米，2小时走了34217(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有63440(千米)2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5 小时后，一辆快车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？解析：慢车先行的路程是：200540(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是：504090(千米)，追及的时间是：450200(小时)，快车行至中点所行的路程是：360490(千米

23、)，甲乙两地间的路程是：7202360(千米)3、四年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？解析：同学们15分钟走10801572（米），即路程差然后根据 速度差路程差追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度即1927291080（米）4、小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米小李出发后2小时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？解析：小李2小时走：26213（千

24、米），又 知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人的路程差是20626（千米）每小时小王追上小李21315（千米），则 20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：10220（小时）5、自行车队出发 12 分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点 9 千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点 18 千米，求自行车队和摩托车的速度 解析：在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18 9)千米，而自行车所走的路程为(18 9)千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的 3 倍(18 9)(18 9)；摩托

25、车与自行车的速度差是自行车速度的 2 倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了 12 分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在 12 分钟内所走的路程，所以追及时间等于12 2 6(分钟)；联系摩托车在距出发点 9 千米的地方追上自行车队可知：摩托车在 6 分钟内走了 9 千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了列式为：（18 9）（18 9）3 倍，12（3 1）6(分钟)，摩托车的速度为：9 6 (千米/分钟)，自行车的速度为：3 (千米/分钟)6、在周长 400 米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟 60 米和 50 米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问 2

26、 小时内，甲追上乙多少次？解析：此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，4002=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周 400 米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出 2 小时内甲追上乙的次数。解：2 小时=120 分甲第一次追上乙所用的时间：4002（60-50）=20（分）甲第二次开始每追乙一次所用的时间：400（60-50）=40（分）甲从第二次开始追上乙多少次：（120-20）40=

27、2 次20 秒 甲共追上乙多少次：2+1=3（次）答：甲共追上乙 3 次。7、在 480 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分钟 20 秒相遇，如果背向而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？解析：同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即 400 米才能与乙相遇，400 米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的 3 分 20 秒，可知甲、乙的速度差。背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即 400 米，400 米正好上两人的路程总和除以 40 秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？解：3 分 20 秒=200 秒 甲、乙的速度和：40040=10（米）甲、乙的速度差：400200=2（米）甲的速度为每秒多少米？（10+2）2=6（米）乙的速度为每秒多少米？（10-2）2=4（米）答：甲的速度为每秒 6 米，乙的速度为每秒 4 米。