八年级数学 等腰三角形和等边三角形的轴对称性 江苏科技版中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 初二数学 等腰三角形和等边三角形的轴对称性 江苏科技版 【本讲教育信息】一.教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性 目标 探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质。二.重、难点：1.等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件；2.等边三角形的概念及其性质。三.知识要点：1.等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形。顶角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。（简称“三线合一”）等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）如果一个三角形有两个角

2、相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”）（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.等边三角形（a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。（b）等边三角形特殊的性质：等边三角形是轴对称图形，并且有 3 条对称轴。等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60。（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）【典型例题】例 1.已知等腰三角形的周长为 10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（）（A）2，2，6 （B）3，3，4 学习必备 欢迎下载（C）4，4，2 （D）3，3，4 或 4，4，2 分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两

3、边之差小于第三边。2，2，6 不满足；而 3，3，4 或 4，4，2 都满足题意。答：选 D。例 2.O 为锐角ABC 的C 平分线上一点，O 关于 AC、BC 的对称点分别为 P、Q，则POQ 一定是（）（A）等边三角形 （B）等腰三角形（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形 分析：设 OP、OQ 分别交 AC、BC 于 E、F，由线段的对称轴是它的垂直平分线知：OEAC，且 OE21OP；同理 OFBC，且 OF 21OQ；由角平分线的性质知：OEOF，则 OPOQ。POQ 一定是等腰三角形 答：选 B 例 3.（1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长 4cm，那么斜边长等于_。（2）

4、等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260，则这个等腰三角形的顶角等于_，底角等于_。（3）等边三角形的周长是 30cm，一边上的高是 8cm，则三角形的面积为_ _。解：（1）设斜边长为xcm，则直角边长为x22，根据题意，4222xx。解得)21(4xcm（2）设顶角的一个外角为m，则260180 m。而顶角的一个外角等于一个底角的 2 倍，所以等腰三角形的底角等于40，顶角等于100。（3）等边三角形三边相等，则其边长为cm10330，24081021cmS 例 4.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的 2 倍少30，求这个三角形的三个内角 的度数。（考虑两种情况）解：设等腰三

5、角形的底角为x，则顶角为)302(x，则 180)302(xxx 解得：x5.52 )302(x75 和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质二重难点等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件等边三角形的概念及其性质三知识要点等腰三角形等腰三角形是轴对称中线高重合它们都是等腰三角形的对称轴简称三线合一等腰三角形的两底角相等简称等边对等角如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形三边相轴对称图形并且有条对称轴等边三角形各角相等并且每一个角都等于有一个角是的等腰三角形是等边三角形

6、典型例题例已知等腰三角形的周长为那么当三边为正整数时它的边长为学习必备欢迎下载或分析可采用排除法三角形两边之学习必备 欢迎下载 设等腰三角形的顶角为x，则底角为)302(x，则 180)302()302(xxx 解得：x48 )302(x66 综上可得：三个内角的度数分别为5.52，5.52，75或48，66，66。例 5.如图所示，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 ABAC，BCBD，ADDEEB，求A 的度数。C D A E B 解：设EBDx，DEEB，EDBEBDx，AEDEDB+EBD2x（三角形外角不相邻的两个内角和）ADDE，AEDA2x，CDBABD+A3x（同上

7、）BCBD，CCDB3x，又ABAC，ABCC 3x；在ABC 中A+C+ABC180，即 2x+3x+3x180 解得：x5.22 A2x45 例 6.如图，在 RtABC 中，ABAC，BD 平分B，DEBC，若 BC10cm，求DCE的周长。A D C B E 解：BD 平分B，DAAB，DEBC ABBE（易证 RtBADRtBED）又ABAC BE，DE DA DCE 的周长EC+DE+DC EC+DA+DC EC+AC EC+BEBC10cm。例 7.已知：如图，在ABC 中，ABAC，BDAC，求证：DBC21A 和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴

8、对称性及其相关性质二重难点等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件等边三角形的概念及其性质三知识要点等腰三角形等腰三角形是轴对称中线高重合它们都是等腰三角形的对称轴简称三线合一等腰三角形的两底角相等简称等边对等角如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形三边相轴对称图形并且有条对称轴等边三角形各角相等并且每一个角都等于有一个角是的等腰三角形是等边三角形典型例题例已知等腰三角形的周长为那么当三边为正整数时它的边长为学习必备欢迎下载或分析可采用排除法三角形两边之学习必备 欢迎下载 A F D B E C 分析 1：用折半

9、法。找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。证法 1：作顶角平分线 AE。AEBC（等腰三角形“三线合一”），EAC+C9090180（三角形内角和定理）BDAC（已知），DBC+C9090180 DBC+CEAC+C（等量代换）DBCEAC EAC21A（角平分线定义），DBC21A（等量代换）分析 2：用加倍法。找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。证法 2：作DBFDBC，BF 交 AC 于 F。由作法得FBC2DBC，即DBCFBD。在BFD 与BCD 中，BDCBDFDBFDBCBDBD90（垂直定义）（辅助线作法）（公共边）BFDBCD（ASA）BFDC，

10、FBCCCBFD2180180（三角形内角和定理）又CABC，A180BC1802C FBCA（等量代换）DBC21FBC（已证），DBC21A 【模拟试题】（答题时间：30 分钟）1.下列说法正确的是（）（A）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合（B）顶角相等的两个等腰三角形全等 和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质二重难点等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件等边三角形的概念及其性质三知识要点等腰三角形等腰三角形是轴对称中线高重合它们都是等腰三角形的对称轴简称三线合一等腰三角形的两底角相等简称等边对等角如果一个三角形有两个角相等那

11、么这两个角所对的边也相等简称等角对等边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形三边相轴对称图形并且有条对称轴等边三角形各角相等并且每一个角都等于有一个角是的等腰三角形是等边三角形典型例题例已知等腰三角形的周长为那么当三边为正整数时它的边长为学习必备欢迎下载或分析可采用排除法三角形两边之学习必备 欢迎下载（C）等腰三角形一边不可以是另一边的二倍（D）等腰三角形的两个底角相等 2.ABC中，90 C，有一点既在BC的对称轴上，又在AC对称轴上，则该点一定是（）（A）C点 （B）BC中点 （C）AC中点 （D）AB中点 3.已知ABC中，ACAB，且 B，则的取值范围是（）（A）45 （B）9

12、00 （C）90 （D）18090 4.下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）（A）等腰直角三角形 （B）有一角为60的等腰三角形（C）正方形 （D）圆 5.在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BE、CD 分别是底角的平分线，DEBC，图中等腰三角形的个数有（）A D E B C A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 6.（1）等腰三角形中有一个角为52，则它的一条腰上的高与底边的夹角为_。（2）等腰三角形的一个内角为110，则其它两个内角为_。（3）一个等腰三角形有两边分别为 4 cm 和 8cm，则周长是_cm。（4）若等腰三角形的顶角为120，则腰上的高与底边的夹角为_。7.如图

13、，ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上，用轴对称的性质证明：BECE。A E B D C 8.等腰ABC 的腰长 AB10cm，AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于 D，BCD 的周长为 26cm，则底边 BC 的长是多少？A D B C 和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质二重难点等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件等边三角形的概念及其性质三知识要点等腰三角形等腰三角形是轴对称中线高重合它们都是等腰三角形的对称轴简称三线合一等腰三角形的两底角相等简称等边对等角如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边

14、也相等简称等角对等边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形三边相轴对称图形并且有条对称轴等边三角形各角相等并且每一个角都等于有一个角是的等腰三角形是等边三角形典型例题例已知等腰三角形的周长为那么当三边为正整数时它的边长为学习必备欢迎下载或分析可采用排除法三角形两边之学习必备 欢迎下载 9.如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站，使得货运站到三条公路交叉点的路程一样长，请问如何确定货运站的位置？简单叙述你的方法。10.用 13 种方法，将一个等边三角形分割成 4 个等腰三角形。和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质

15、二重难点等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件等边三角形的概念及其性质三知识要点等腰三角形等腰三角形是轴对称中线高重合它们都是等腰三角形的对称轴简称三线合一等腰三角形的两底角相等简称等边对等角如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形三边相轴对称图形并且有条对称轴等边三角形各角相等并且每一个角都等于有一个角是的等腰三角形是等边三角形典型例题例已知等腰三角形的周长为那么当三边为正整数时它的边长为学习必备欢迎下载或分析可采用排除法三角形两边之学习必备 欢迎下载【试题答案】1.D 2.D 3.B 4.D 5.D 6.（1

16、）38或26；（2）35,35；（3）20；（4）60 7.证明：ABC 中，ABAC，BDCD（已知），ADBC（等腰三角形“三线合一”），AD 垂直平分线段 BC，点 C 和点 B 关于直线 AD 对称，又点 E 在对称轴 AD 上，BECE（轴对称的性质）8.解：AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于 D ADBD BD+CD AD+CD AC 又ACAB10cm BCBCD 的周长（BD+CD）BCD 的周长AC261016cm。9.作法：分别作三条公路的垂直平分线交于一点 O，则点 O 的位置即为所求货运站的位置。10.作法如下：和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质二重难点等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件等边三角形的概念及其性质三知识要点等腰三角形等腰三角形是轴对称中线高重合它们都是等腰三角形的对称轴简称三线合一等腰三角形的两底角相等简称等边对等角如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形三边相轴对称图形并且有条对称轴等边三角形各角相等并且每一个角都等于有一个角是的等腰三角形是等边三角形典型例题例已知等腰三角形的周长为那么当三边为正整数时它的边长为学习必备欢迎下载或分析可采用排除法三角形两边之