2024高考数学专项练习导数中八大切线问题题型总结含答案.pdf

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1、2024高考数学专项练习导数中八大切线问题题型总结2024高考数学专项练习导数中八大切线问题题型总结【考点预测】1.在点的切线方程【考点预测】1.在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0)k=f(x0)2.过点的切线方程2.过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f(x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y0=f(x0)(m-x0)然后解出x0的值(x0有几个值，就有几条切线)注

2、意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外【题型目录】注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为 x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】(2022(2022全国全国 高三专题练习高三专题练习(文

3、文)函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是()A.0 f(2)f(3)f(3)-f(2)B.0 f(2)f(3)-f(2)f(3)C.0 f(3)f(3)-f(2)f(2)D.0 f(3)-f(2)f(2)f(3)【例2】【例2】函数y=f x的图象如图所示，f x是函数 f x的导函数，则下列大小关系正确的是()A.2f 4 f 4-f 22f 2B.2f 2 f 4-f 22f 4C.2f 42f 2 f 4-f 2D.f 4-f 22f 42f 2公众号：高中数学最新试题【题型专练】【题型专练】1.(20212021 福建福建 泉州鲤城北大培文学校高三期中泉州鲤城北大培文学

4、校高三期中)()(多选题多选题)已知函数 f x的图象如图所示，fx是 f x的导函数，则下列数值的排序正确的是()A.f3 f2B.f3 f 3-f 2C.f2 f 3-f 2D.f 3-f 202.(20222022 黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔 高二期末高二期末)函数 y=f x的图象如图所示，fx是函数 f x的导函数，则下列数值排序正确的是()A.2f3 f 5-f 32f5B.2f32f5 f 5-f 3C.f 5-f 32f32f5D.2f32f50g x,x0 图像关于原点对称，则 f(x)公众号：高中数学最新试题在x=-1处的切线方程为()A.3x-y+2=0B.3x-y-2

5、=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0【题型专练】【题型专练】1.【20182018 年新课标年新课标 1 1 卷理科】卷理科】设函数 f x=x3+a-1x2+ax若 f x为奇函数，则曲线 y=f x在点0，0处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.【20212021年甲卷理科】年甲卷理科】曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为_3.【20192019年新课标年新课标1 1卷理科】卷理科】曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为_4.【20182018年新课标年新课标2 2卷理科】卷理科】曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处

6、的切线方程为_5.【20182018年新课标年新课标3 3卷理科】卷理科】曲线y=ax+1ex在点 0，1处的切线的斜率为-2，则a=_题型三：过点题型三：过点P的切线的切线(此类题目点此类题目点P不一定为切点，需要设切点为不一定为切点，需要设切点为 x0,y0)【例【例1 1】【20222022 年新高考年新高考 2 2 卷】卷】曲线 y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 _，_【例【例2 2】(20222022 四川四川 广安二中二模广安二中二模(文文)函数 f x=x2ex过点 0,0的切线方程为()A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0【例【例

7、3 3】(20222022 四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文文)若过点12,0的直线与函数 f(x)=xex的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为()A.e+1B.-12C.1D.12【例【例4 4】(20222022 广东广东 佛山市南海区九江中学高二阶段练习佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线 y=12x-b 与曲线 y=-12x+lnx 相切，则 b的值为()A.2B.-2C.-1D.1【题型专练】【题型专练】1.(20222022 陕西安康陕西安康 高三期末高三期末(文文)曲线y=2xlnx+3过点-12,0的切线方程是()A.2x+

8、y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+4y+1=0D.2x-4y+1=02.(20222022 广东茂名广东茂名 二模二模)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，则切点的纵坐标为()A.eB.1C.1eD.1e3.过点(0，-1)作曲线 f(x)=xlnx的切线，则切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y-1=0C.x+2y+2=0D.2x-y-1=0公众号：高中数学最新试题4.已知 f(x)=x2，则过点P(-1，0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为()A.y=0B.4x+y+4=0C.y=0或4x+y+4=0D.y=0或4x-y+4=0题型四：已知切线求参数问题题型四：已知切线求参数问

9、题【例【例1 1】(20222022 湖南湖南 模拟预测模拟预测)已知P是曲线C:y=lnx+x2+3-ax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若32，则实数a的取值范围是()A.2 3,0B.2 2,0C.-,2 3D.-,2 2【例【例2 2】(20222022 广东广东 石门高级中学高二阶段练习石门高级中学高二阶段练习)若直线y=kx+1-ln2是曲线y=lnx+2的切线，则k=_【例【例3 3】(20222022 陕西陕西 千阳县中学高三阶段练习千阳县中学高三阶段练习(文文)已知曲线 y=aex+xlnx 在点 1,ae处的切线方程为 y=2x+b，则b=_【例【例4 4】(2

10、0222022 江苏苏州江苏苏州 模拟预测模拟预测)已知奇函数 f x=x2-2xax+ba0在点 a,f a处的切线方程为y=f a，则b=()A.-1或1B.-2 33或2 33C.-2或2D.-4 33或4 33【题型专练】【题型专练】1.(20222022 云南云南 丽江市教育科学研究所高二期末丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线 f(x)=(x+a)ex在点(-1,f(-1)处的切线与直线2x+y-1=0垂直，则实数a的值为_2.(20222022 云南昆明云南昆明 模拟预测模拟预测(文文)若函数 f x=a x+lnx 的图象在 x=4 处的切线方程为 y=x+b，则()A.a=

11、3，b=2+ln4B.a=3，b=-2+ln4C.a=32，b=-1+ln4D.a=32，b=1+ln43.(20222022 河南河南 方城第一高级中学模拟预测方城第一高级中学模拟预测(理理)已知直线l的斜率为2，l与曲线C1：y=x 1+lnx和圆C2：x2+y2-6x+n=0均相切，则n=()A.-4B.-1C.1D.4题型五：切线的条数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围判断切线条数以及由切线条数求范围)【例【例1 1】(20222022 河南洛阳河南洛阳 三模三模(文文)若过点P 1,0作曲线y=x3的切线，则这样的切线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条

12、公众号：高中数学最新试题【例【例2 2】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.alnbB.blnaC.lnbaD.lnab【例【例3 3】【20212021年新高考年新高考1 1卷】卷】若过点 a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则()A.ebaB.eabC.0aebD.0bea【例【例4 4】(20222022 河南洛阳河南洛阳 三模三模(理理)若过点P 1,t可作出曲线y=x3的三条切线，则实数t的取值范围是()A.-,1B.0,+C.0,1D.0,1【例【例5 5】(20222022 河北河北 高三阶段练习高三阶

13、段练习)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线 C:y=xex相切，则m的取值范围为()A.-,3e2B.0,1eC.(-,0)D.1e,3e2【例【例6 6】(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨市第六中学校高二期末哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线y=x-1上一点P可以作曲线 f x=x-lnx的两条切线，则点P横坐标t的取值范围为()A.0t1B.1teC.0teD.1et0，若过点(a,b)可以作曲线y=x3的三条切线，则()A.b0B.0ba3D.b b-a3=03.(20222022 安徽安徽 安庆市第二中学高二期末安庆市第二中学高二期末)若过点 a,ba0可以作曲线y=xex的

14、三条切线，则()A.0abebB.-aeab0C.0ae2b+4D.-a+4be20公众号：高中数学最新试题4.(20222022 山东枣庄山东枣庄 高二期末高二期末)已知函数 f x=x+1ex，过点M(1，t)可作3条与曲线y=f x相切的直线，则实数t的取值范围是()A.-4e2,0B.-4e2,2eC.-6e3,2eD.-6e3,05.(20222022 山东潍坊山东潍坊 三模三模)过点P 1,mmR R有n条直线与函数 f x=xex的图像相切，当n取最大值时，m的取值范围为()A.-5e2meB.-5e2m0C.-1em0D.me题型六：公切线问题题型六：公切线问题【例【例1 1】

15、(20232023届贵州省遵义市新高考协作体）届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学(理)试题)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线，也是y=ex+2的切线，则k=()A.ln2B.-ln2C.2D.-2【例【例2 2】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若函数 f x=lnx与函数 g(x)=x2+x+a(x1)为曲线 f x=ex-1与曲线g x=elnx的公切线，则l的纵截距b=()A.0B.1C.eD.-e【例【例7 7】(20222022 河南河南 南阳中学高三阶段练习南阳中学高三阶段练习(理理)若直线 y=k1x+1-1 与曲线 y=ex相

16、切，直线 y=k2x+1-1与曲线y=lnx相切，则k1k2的值为()A.12B.1C.eD.e2【题型专练】【题型专练】1.已知函数 f x=xlnx，g x=ax2-x若经过点A 1,0存在一条直线l与曲线y=f x和y=g x都相切，则a=()公众号：高中数学最新试题A.-1B.1C.2D.32.【20202020年新课标年新课标3 3卷理科】卷理科】若直线l与曲线y=x 和x2+y2=15都相切，则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+123.(20222022 河北省唐县第一中学高三阶段练习河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数 f x=

17、alnx，g x=bex，若直线y=kx k0与函数 f x，g x的图象都相切，则a+1b的最小值为()A.2B.2eC.e2D.e4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若两曲线y=lnx-1与y=ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是()A.0,2eB.12e-3,+C.0,12e-3D.2e,+5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若仅存在一条直线与函数 f(x)=alnx(a0)和 g(x)=x2的图象均相切，则实数a=()A.eB.eC.2eD.2 e6.若曲线y=lnx与曲线：y=x2k有公切线，则实数k的最大值为()A.78+12ln

18、2B.78-12ln2C.12+12ln2D.12+12ln2题型七：切线平行、垂直、重合问题题型七：切线平行、垂直、重合问题【例【例1 1】(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)函数 f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(-,2B.-,2-1e 2-1e,2C.2,+D.0,+【例【例2 2】(20222022 安徽安徽 合肥一中模拟预测合肥一中模拟预测(文文)对于三次函数 f(x)，若曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线与曲线 y=xf(x)在点(1,2)处点的切线重合，则 f(2)=()A.-34B.-14C.-4D.1

19、4【例【例3 3】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若直线 x=a与两曲线 y=ex,y=lnx分别交于 A,B两点，且曲线 y=ex在点A处的切线为m，曲线y=lnx在点B处的切线为n，则下列结论：a 0,+，使得mn；当mn时，AB取得最小值；AB的最小值为2；AB最小值小于52其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【题型专练】【题型专练】1.(20222022 山西太原山西太原 二模二模(理理)已知函数 f x=asinx+bcosx+cx图象上存在两条互相垂直的切线，且a2+b2=1，则a+b+c的最大值为()A.2 3B.2 2C.3D.2公众号：高中数学

20、最新试题2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=x2+2x的图象在点A(x1，f(x1)与点B(x2，f(x2)(x1x20)处的切线互相垂直，则x2-x1的最小值为()A.12B.1C.32D.23.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=x2+x+2a(x0)的图象上存在不同的两点 A,B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是()A.-,-18B.-1,18C.(1,+)D.(-,1)18,+题型八：与切线相关的最值问题题型八：与切线相关的最值问题【例【例1 1】(20222022 全国全

21、国 高三专题练习高三专题练习)若点P是曲线y=32x2-2lnx上任意一点，则点P到直线y=x-3的距离的最小值为()A.7 24B.3 32C.2D.5【例【例2 2】(20222022 山东省淄博第一中学高三开学考试山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线l分别与直线y=2x-1，曲线y=32x2-lnx相交于A,B两点，则 AB的最小值为()A.510B.55C.1D.5【例【例3 3】(20222022 河南河南 许昌高中高三开学考试许昌高中高三开学考试(理理)已知函数y=e2x+1的图象与函数y=ln x+1+12的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点

22、之间距离的最小值为()A.2ln22B.2ln24C.2 4+ln22D.2 4+ln2【例【例4 4】(20222022 山东聊城山东聊城 二模二模)实数 x1，x2，y1，y2满足：x21-lnx1-y1=0，x2-y2-4=0，则 x1-x22+y1-y22的最小值为()A.0B.2 2C.4 2D.8【题型专练】【题型专练】1.(20222022 山西山西 高二期末高二期末)已知点P是曲线y=x2-3lnx上一点，若点P到直线2x+2y+3=0的距离最小，则点P的坐标为_.2.(20222022 江苏江苏 高三专题练习高三专题练习)已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln(x+

23、b)相切，则a22-b的取值范围是()A.(0,+)B.(0,1)C.0,12D.1，+)3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)曲线y=e2x上的点到直线2x-y-4=0的最短距离是()A.5B.3C.2D.1公众号：高中数学最新试题4.(20222022 河北衡水河北衡水 高三阶段练习高三阶段练习)已知函数 f(x)=lnxx-2x2在x=1处的切线为l，第一象限内的点P(a,b)在切线l上，则1a+1+1b+1的最小值为()A.2+3 24B.3+4 24C.4+2 35D.3+245.(20222022 河南河南 灵宝市第一高级中学模拟预测灵宝市第一高级中学模拟预测

24、(文文)已知直线y=kx+b是曲线y=x+1的切线，则k2+b2-2b的最小值为()A.-12B.0C.54D.3公众号：高中数学最新试题导数中八大切线问题题型总结导数中八大切线问题题型总结【考点预测】【考点预测】1.1.在点的切线方程在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0)k=f(x0)2.2.过点的切线方程过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f(x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，

25、n)，所以n-y0=f(x0)(m-x0)然后解出x0的值(x0有几个值，就有几条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外【题型目录】【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为 x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系题型一：导数

26、与切线斜率的关系【例【例1 1】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是()A.0 f(2)f(3)f(3)-f(2)B.0 f(2)f(3)-f(2)f(3)C.0 f(3)f(3)-f(2)f(2)D.0 f(3)-f(2)f(2)0，f3表示切线l3斜率k30，又由平均变化率的定义，可得f(3)-f(2)3-2=f(3)-f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0k3k2k1，即0 f3 f 3-f 2 f2.故选：C.【例【例2 2】函数y=f x的图象如图所示，f x是函数 f x的导函数，则下列大小关

27、系正确的是()A.2f 4 f 4-f 22f 2B.2f 2 f 4-f 22f 4C.2f 42f 2 f 4-f 2D.f 4-f 22f 42f 2【答案】B【解析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知 f(x)在(0,+)上单调递增，k1kABk2，故 f(2)f(4)-f(2)4-2 f(4)，即2f 2 f 4-f 22f 4故选：B【题型专练】【题型专练】1.(20212021 福建福建 泉州鲤城北大培文学校高三期中泉州鲤城北大培文学校高三期中)()(多选题多选题)已知函数 f x的图象如图所示，fx是 f x的导函数，则下列数值的排序正确的是()A.f3 f2B.f3 f

28、3-f 2C.f2 f 3-f 2D.f 3-f 2 f3，记A 2，f 2，B 3，f 3，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出 f 3-f 2 f3.【详解】由函数的图象可知函数 f x是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x=2处的切线斜率k1大于在x=3处的切线斜率k2，所以 f2f3；记A 2，f 2，B 3，f 3，作直线AB，则直线AB的斜率k=f 3-f 23-2=f 3-f 2，由函数图象，可知k1kk20，即 f2 f 3-f 2 f30.故选：AB2.(20222022 黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔 高

29、二期末高二期末)函数 y=f x的图象如图所示，fx是函数 f x的导函数，则下列数值排序正确的是()A.2f3 f 5-f 32f5B.2f32f5 f 5-f 3C.f 5-f 32f32f5D.2f32f5 f 5-f 3【答案】A【分析】由y=f x图象的变化趋势，结合导函数的定义有 f(3)f(5)-f(3)5-3 f(5)，即可得答案.【详解】由图知：f(3)f(5)-f(3)5-3 f(5)，即2f(3)f(5)-f(3)-1，即切线的斜率k-1，进而得到tan-1，即可求解.【详解】由题意，函数 f(x)=12e2x-x，可得 f(x)=e2x-1，因为e2x0，所以e2x-1

30、-1，即切线的斜率k-1，设切线的倾斜角为，则tan-1又因为0，所以02或340g x,x0g(x),x0;令x0.所以 f(-x)=2x2+x.又函数 f(x)图像关于原点对称，即 f(-x)=-f(x).所以当x0时，f(x)=-2x2-x.所以当x0和x0时设切点为 x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为 x0,lnx0，由y=1x，所以y|x=x0=1x0，所以切线方程为y-lnx0=1x0 x-x0，又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方

31、程为y-1=1ex-e，即y=1ex；当x0，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点P x0,lnx0 x00，由y=lnx，得y=1x，所以 yx=x0=1x0，曲线在点P处的切线l方程为y-lnx0=1x0 x-x0，又l过(0，0)，-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，切点P e,1，纵坐标为1故选：B3.过点(0，-1)作曲线 f(x)=xlnx的切线，则切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y-1=0C.x+2y+2=0D.2x-y-1=0【答案】B【解析】设切点为(x0,y0)，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方

32、程即得解.【详解】f(x)=ln x+1，设切点为(x0,y0)，y0=x0lnx0,y0+1x0=ln x0+1，x0ln x0+1=x0ln x0+x0，x0=1，y0=0，所以k=f(x0)=1，切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知 f(x)=x2，则过点P(-1，0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为()A.y=0B.4x+y+4=0C.y=0或4x+y+4=0D.y=0或4x-y+4=0【答案】C【解析】设切点为 x0,y0则切线方程为y-x20=2x0 x-x

33、0，将点P-1,0代入解x0，即可求切线方程.【详解】设切点为 x0,y0，则y0=x20，切线斜率为k=fx0=2x0所以切线方程为y-x20=2x0 x-x0，因为过点P-1,0 则-x20=2x0-1-x0解得x0=0或x0=-2，所以切线方程为y=0或4x+y+4=0故选：C题型四：已知切线求参数问题题型四：已知切线求参数问题【例【例1 1】(20222022 湖南湖南 模拟预测模拟预测)已知P是曲线C:y=lnx+x2+3-ax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若30恒成立，即1x+2x+3-a3 对任意x0恒成立，即a2x+1x，又2x+1x2 2，当且仅当2x=1x，即

34、x=22时，等号成立，故a2 2，所以a的取值范围是-,2 2故选：D【例【例2 2】(20222022 广东广东 石门高级中学高二阶段练习石门高级中学高二阶段练习)若直线y=kx+1-ln2是曲线y=lnx+2的切线，则k=_【答案】2【分析】设切点P1x1,y1，根据导数的几何意义列式求解即可.【详解】对函数y=lnx+2求导得y=1x，设直线y=kx+1-ln2与曲线y=lnx+2相切于点P1x1,y1，则y1=lnx1+2，由点P1x1,y1在切线上得y-lnx1+2=1x1x-x1，即y=1x1x+lnx1+1，所以1x1=k1+lnx1=1-ln2，解得x1=12，k=2故答案为：

35、2【例【例3 3】(20222022 陕西陕西 千阳县中学高三阶段练习千阳县中学高三阶段练习(文文)已知曲线 y=aex+xlnx 在点 1,ae处的切线方程为 y=2x+b，则b=_【答案】-1【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出a=e-1，再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为y=aex+xlnx的导数为y=aex+lnx+1，又函数y=aex+xlnx在点 1,ae处的切线方程为y=2x+b，可得ae+0+1=2，解得a=e-1，又切点为 1,1，可得1=2+b，即b=-1.故答案为：-1.【例【例4 4】(20222022 江苏苏州江苏苏州

36、模拟预测模拟预测)已知奇函数 f x=x2-2xax+ba0在点 a,f a处的切线方程为y=f a，则b=()A.-1或1B.-2 33或2 33C.-2或2D.-4 33或4 33【答案】D【解析】由函数为奇函数可得b=2a，根据切线的斜率为0建立方程求出a即可得解.【详解】由 f x=x2-2xax+ba0可得 f(x)=ax3+(b-2a)x2-2bx，因为 f-x=-f x，所以b-2a=0，解得b=2a.所以y=f a=a4-4a2，故切线斜率k=f(a)=0，又 f(x)=a(3x2-4)，所以 f(a)=a(3a2-4)=0，解得a=2 33或a=-2 33，所以b=-4 33

37、或4 33.故选：D【题型专练】【题型专练】1.(20222022 云南云南 丽江市教育科学研究所高二期末丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线 f(x)=(x+a)ex在点(-1,f(-1)处的切线与直线2x+y-1=0垂直，则实数a的值为_【答案】e2【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可【详解】因为 f(x)=(x+a+1)ex，所以切线的斜率为k=f-1=ae-1，而切线与直线2x+y-1=0垂直，所以ae-1(-2)=-1，解得a=e2，故答案为：e22.(20222022 云南昆明云南昆明 模拟预测模拟预测(文文)若函数 f x=a x+lnx 的图象在 x=

38、4 处的切线方程为 y=x+b，则()A.a=3，b=2+ln4B.a=3，b=-2+ln4C.a=32，b=-1+ln4D.a=32，b=1+ln4【答案】A【解析】利用导数的几何意义可求出结果.【详解】f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=a2 x+1x，由题意可得f(4)=1f(4)=4+b，即a2 4+14=1a4+ln4=4+b，解得a=3b=2+ln4，故选：A3.(20222022 河南河南 方城第一高级中学模拟预测方城第一高级中学模拟预测(理理)已知直线l的斜率为2，l与曲线C1：y=x 1+lnx和圆C2：x2+y2-6x+n=0均相切，则n=()A.-4B.-1C.1D.

39、4【答案】D【解析】设曲线C1的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得n值.【详解】设直线l：2x-y+m=0与曲线C1相切，切点为 x0,x01+lnx0，因为y=x 1+lnx的导数为y=2+lnx，由2+lnx0=2，解得x0=1，所以切点为 1,1，代入2x-y+m=0得m=-1，所以切线方程为2x-y-1=0.将x2+y2-6x+n=0化为标准方程为 x-32+y2=9-n n9，因为l与圆C2相切，所以522+1=9-n，解得n=4.故选：D题型五：切线的条数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围判断切线

40、条数以及由切线条数求范围)【例【例1 1】(20222022 河南洛阳河南洛阳 三模三模(文文)若过点P 1,0作曲线y=x3的切线，则这样的切线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】设切点为 x0,x03，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P在切线上，即可代入切线方程，解得x0，即可得解；【详解】解：设切点为 x0,x03，由y=x3，所以y=3x2，所以y|x=x0=3x02，所以切线方程为y-x03=3x02x-x0，即y=3x02x-2x03，因为切线过点P 1,0，所以0=3x02-2x03，解得x0=0或x0=32，所以过点P 1,0作曲线y=x3的切

41、线可以作2条，故选：C【例【例2 2】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.alnbB.blnaC.lnbaD.lna0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；当a0时，0 xa时，f(x)a时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)min=f(a)=lna+1，结合图像知b+1lna+1，即blna.故选：D.【例【例3 3】【20212021年新高考年新高考1 1卷】卷】若过点 a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则()A.ebaB.eabC.0aebD.0bea【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意

42、义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点 a,b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线y=ex上任取一点P t,et，对函数y=ex求导得y=ex，所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=etx-t，即y=etx+1-tet，由题意可知，点 a,b在直线y=etx+1-tet上，可得b=aet+1-tet=a+1-tet，令 f t=a+1-tet，则 ft=a-tet.当t0，此时函数 f t单调递增，当ta时，ft0，此时函数 f t单调递减，所以，f tmax=f a=ea，由题意可知

43、，直线y=b与曲线y=f t的图象有两个交点，则b f tmax=ea，当t0，当ta+1时，f t0，作出函数 f t的图象如下图所示：由图可知，当0bea时，直线y=b与曲线y=f t的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点 a,b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0b0则1x2函数 f(x)在(-,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,+)上单调递减，故得 f(1)m f(2)，即m1e,3e2，故选：D【例【例6 6】(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨市第六中学校高二期末哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线

44、y=x-1上一点P可以作曲线 f x=x-lnx的两条切线，则点P横坐标t的取值范围为()A.0t1B.1teC.0teD.1et0，f(x)=1-1x，fx0=1-1x0=x0-1x0，则过点P的切线方程为y-x0+lnx0=x0-1x0 x-x0，整理得y=x0-1x0 x-lnx0+1，由点P在切线上，则t-1=x0-1x0t-lnx0+1，即t=2x0-x0lnx0，因为过直线y=x-1上一点P可以作曲线 f(x)=x-lnx两条切线，所以关于x0的方程t=2x0-x0lnx0有两个不等的实数根，即函数y=t与函数g(x)=2x-xlnx的图象有两个交点，g(x)=2-lnx-1=1-

45、lnx，gx00 xe,gx0 xe，则函数g(x)在 0，e上单调递增，在 e,+上单调递减，且g(e)=e，x0时，g(x)0；x+时，g(x)-，则函数y=t与函数g x=-xlnx+2x的图象如下图所示：由图可知，0t0，解得：-2x-1，所以 f x在-2,-1上递增；令 fx0，解得：x-1，所以 f x在-,-2和-1,+上递增.要使方程m=-x02-x0-1ex0有三个不等根即可.只需 f-2m f-1,即-3e2x0，若过点(a,b)可以作曲线y=x3的三条切线，则()A.b0B.0ba3D.b b-a3=0【答案】B【解析】设切点为 x0,x03，切线方程为y=k x-a+

46、b，求出函数的导函数，即可得到k=3x02k x0-a+b=x03，整理得2x03-3ax02+b=0，令g x=2x3-3ax2+b，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意g x有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为 x0,x03，切线方程为y=k x-a+b，由y=x3，所以y=3x2，所以y|x=x0=3x02，则k=3x02k x0-a+b=x03，所以2x03-3ax02+b=0，令g x=2x3-3ax2+b，则gx=6x2-6ax=6x x-a，因为a0，所以当xa时gx0，当0 xa时gx0且g x极小值=g a=b-a30，即0b0可以作曲

47、线y=xex的三条切线，则()A.0abebB.-aeab0C.0ae2b+4D.-a+4be20，所以当x0，f x单调递增，当-2xa时，fxa时fx0，f x单调递增，当x-时 f x0，当x+时，f x+，且 f-2=4+ae2，f a=-aea0，函数 f x的大致图像如图所示，因为 f x的图像与直线y=-b有三个交点，所以0-b4+ae2，即-a+4be20.故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变

48、分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：利用最值或极值研究；利用数形结合思想研究；构造辅助函数研究.4.(20222022 山东枣庄山东枣庄 高二期末高二期末)已知函数 f x=x+1ex，过点M(1，t)可作3条与曲线y=f x相切的直线，则实数t的取值范围是()A.-4e2,0B.-4e2,2eC.-6e3,2eD.-6e3,0【答案】D【分析】设切点为(a,(a+1)ea)，利用导数的几何意义求出切线的斜率k=f(a)，利用点斜式写出切线方程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于a的

49、方程有三个不同的解，利用参变分离可得t=(3-a2)ea，令g(x)=(3-x2)ex，利用导数求出g(x)的单调性和极值，则根据y=g(x)与y=t有三个不同的交点，即可求出实数t的取值范围【详解】设切点为(a,(a+1)ea)，由 f x=x+1ex，得 fx=ex+x+1ex=x+2ex，所以切线的斜率为k=fa=a+2ea，所以切线方程为y-(a+1)ea=(a+2)ea(x-a)，因为点M(1，t)在切线上，所以t-(a+1)ea=(a+2)ea(1-a)，化简整理得t=(3-a2)ea，令g(x)=(3-x2)ex，则g(x)=(3-2x-x2)ex=-(x-1)(x+3)ex，所

50、以当x1时，g(x)0，当-3x0，所以g(x)在(-,-3)和(1,+)上递减，在(-3,1)上递增，所以g(x)的极小值为g(-3)=(3-9)e-3=-6e3，极大值为g(1)=2e，当x-3时，g(x)0，所以g(x)的图象如图所示，因为过点M(1，t)可作3条与曲线y=f x相切的直线，所以y=g(x)的图象与直线y=t有三个不同的交点，所以由图象可得-6e3t0，故选：D5.(20222022 山东潍坊山东潍坊 三模三模)过点P 1,mmR R有n条直线与函数 f x=xex的图像相切，当n取最大值时，m的取值范围为()A.-5e2meB.-5e2m0C.-1em0D.me【答案】