福建省厦门一中2024届高三上学期8月月考数学试卷含答案.pdf

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1、厦门一中厦门一中 2024 届高三年数学科 8 月月考卷2024 届高三年数学科 8 月月考卷满分 150 分 考试时间：120 分钟满分 150 分 考试时间：120 分钟考试时间：2023.08.29 考试时间：2023.08.29 _班_号 姓名_一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题_班_号 姓名_一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合1,1,2,4A ，11Bx x，则RAB A 1,2,4B 1,2C1,2D12“2”

2、是“sin12”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知m，n是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是A若/m，/m n，则/nB若m，/，则mC若m，n，mn，则D若，l，则l4若2660126111xaaxaxax，则4a A1B6C15D205甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价甲在网站 A 查到共有 840人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站 B 查到共有 1260 人参与评价，其中好评率为85%综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为A88%B89%C91%D92%6已知函数

3、 3lnf xxx，则 fx的图象大致为ABCD7某医院安排 3 名男医生和 2 名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，5 名医生全部派出，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有A18 种B30 种C54 种D66 种8已知函数 elnxg xxm的图象恒在 e1mfxx的图象的上方，则实数 m 的取值范围是A,1B,e 1C0,1D0,e11二、二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错

4、的得 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9下列命题中的真命题是A用分层抽样法从 1000 名学生（男、女生分别占 60%、40%）中抽取 100 人，则每位男生被抽中的概率为110B从含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 8 件，则取到次品的件数 X 的期望是25C若(1,4)N，则1(13)(1)2PP D在线性回归模型拟合中，若相关系数 r 越大，则样本的线性相关性越强10已知复数12,z z，下列命题正确的是A若12zz，则21zz B1 212z zzzC21 11z zzD若2211zz，则1z为实

5、数11已知 ,f xg x分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 2022sin25xf xg xxx，则下列说法正确的有A 01gB g x在0,1上单调递减C1101g x关于直线1101x对称D g x的最小值为 112数学中有许多优美的曲线，星形曲线就是其中之一，它最早是由古希腊天文学家发现的，罗默、伯努利、莱布尼兹等数学家都研究过其性质在工业生产中，利用星形曲线的特性，能设计出一种超轻超硬材料，展现了数学模型的广泛性和应用性已知星形曲线2233:1E xy，设(,)P x y为 E 上任意一点，则A曲线 E 与坐标轴有四个交点B1,1yxC曲线 E 有且只有两条对称轴D1 yx三、

6、填空题：本题共 4三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共计 20 分.小题，每小题 5 分，共计 20 分.13抛物线22yx的准线方程是14已知函数 sin3cos0 xf xx，若 fx的图象在区间0,上有且只有 1 个最低点，则实数的取值范围为15 某牧场 2022 年年初牛的存栏数为 1200，计划以后每年存栏数的增长率为 20%，且在每年年底卖出 100 头牛，按照该计划预计年初的存栏量首次超过 8900 头.（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）16已知函数 14,01,0 xxxf xxxx，若关于x的方程2fxk有 6 个不同的实数根，则实数k的取值范围是

7、2四、解答题：本题共四、解答题：本题共6 小题，共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.6 小题，共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在锐角ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，S 为ABC的面积，且222Sabc，(1)求cosA；(2)若412a，4S，求ABC的周长18已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同，且211232228nnaaaan对任意的*nN都成立，数列1nnbb是等差数列.(1)求数列 na与 nb的通项公式；(2)证明：不存在*k N，使得(0,1)kkba.19如图，在四棱锥PABCD中，ABAD，CD

8、AD，PA 平面 ABCD，22PAADCDAB，M 为PC 的中点.(1)求证：/BM平面 PAD；(2)设点 N 在平面 PAD 内，且MN 平面 PBD，求直线 BN 与平面 ABCD 所成角的正弦值.20已知椭圆C的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为23，过点2F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且12FPF的面积为103.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点3,0A的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，1EFx轴，过点S的另一直线与曲线C交于M,N两点，若2SMASENSS，求MN所在的直线方程.321App 是英文 Application 的简称，现多指智能手机

9、的第三方应用程序随着智能手机的普及，人们在沟通、社交、娱乐等活动中越来越依赖于手机 App 软件某公司为了了解其研发的 App 在某市的普及情况，进行了问卷调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各 100 人进行分析，从而得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用总计男性70100女性90100总计(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为该市市民经常使用该款 App与性别有关；(2)将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用该款 App 的人数为X，求随机变量 X 的数学期望和方差（该市参与调查的市民男女比

10、例为 1：1）附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(3)阅读下列材料，回答问题：以(2)中所求的概率为基准，如果从该市所有参与调查的市民中随机抽取 100 人赠送礼品，每次抽取的结果相互独立，记经常使用该款 App 的人数为，计算6892P材料：二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布，并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布(,)B n p，当5np 且15npp时，二项分布就可以用

11、正态分布近似替代，即P XxP Yx，其中随机变量,1YN np npp参考数据：2,N，0.6826P，220.9544P，330.9974P22已知函数 21e2xf xaxx.(1)若1a，求不等式ln1fx 的解集；(2)当1a 时，求证：函数 fx在),0(上存在极值点m，且 32mf m.4厦门一中厦门一中 2024 届高三年数学科 8 月月考卷 参考答案2024 届高三年数学科 8 月月考卷 参考答案_班_号 姓名_一、单项选择题_班_号 姓名_一、单项选择题14：DCAC58：BACA二、多项选择题二、多项选择题912：ABCBCACDABD三、填空题填空题13.18y 14.

12、11236615.203616.10,21.D 由|1|1x 得0 x 或2x，则|0Bx x或2x，则RB|02xx，又1,1,2,4A ，所以RAB 1.2.C 设()sinf xxx，则()1cos0fxx，所以()f x在 R 上单调递增，所以不等式 sin1222ff.即“2”是“sin12”的充要条件.3.A 设平面、的法向量分别为a、b、c，直线m，n的方向向量为m，n，对于 A：若/m，/m n，则/n或n ，故 A 错误；对于 B：若m，则/m a，又/，则b/a，所以/m b，则m，故 B 正确；对于 C：若m，n，则/m a，/n b，又mn，则mn，所以ab，则，故 C

13、 正确；对于 D：因，则ac，bc，因此向量a、b共面于平面，令直线l的方向向量为p，显然ap，bp，而平面l，即a、b不共线，于是得/cp ，所以l，故 D 正确.4.C 令1xt，则62601261taata ta t，又61t 展开式通项为：66Crrt，246C15a.5.B 由已知可得这家健身房的总好评率为840 951260 858984012606.A 当0 x时，3lnfxxx，则 130fxx，f x在,0上单调递增，BD 错误；当0 x 时，3lnfxxx，则 1313xfxxx，当10,3x时，0fx；当1,3x时，0fx；f x在10,3上单调递减，在1,3上单调递增，

14、C 错误，A 正确.7.C 解：由题意可知，向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型，分别为 122，212，221，因为甲医院要求至少有一名女医生，第一种方案共有1224C C12种，第二种方案分两种情况，分别是：甲有两名女医生、甲有一名女医生，共有2121123323C CC C C21种，同理，第三种方案有 21 种，所以共有 54 种，8.A 由题意可得(e1)elnmxxxm，故elnemxxmxx，即lnelnemxxmxx令()exxx，则()exxx单调递增，原不等式可化为(ln)()mxx，所以lnmxx，即lnmxx，令()lnh xxx，则11()1xh xxx，当0

15、1x时，()0h x，当1x时，()0h x，所以函数()h x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，故min()(1)1h xh，所以1m.19.(A)BCA 选项，由于题干没有写清是否“按比例分层”稍有瑕疵，因此本选项是否选择均判对；B 选项，由超几何分布知，52()81005E X ，B 正确；C 选项，因为1，所以1(13)(1)(13)(3)2PPPP，C 正确；D 选项，在线性回归模型中，若相关系数 r 的绝对值越大，则样本的线性相关性越强，D 错误.10.BC对于 A，当1234i,43izz时，129 165,1695zz，故 A 错误；对于 B，设12i,i,Rzbab zc

16、acdd，则222222222212z zacbdadbca ca db cb d222212abcdz z，故 B 正确；对于 C，设11i,izab zab，,Ra b，2211z zab，2221zab，故 C 正确；对于 D，设11i,izab zab，,Ra b，222222112i,2izabab zabab，当0a 或0b 时，2211zz，故 D 错误.11.ACD由题，将x代入()()2022sin25xf xg xxx得()()2022sin25xfxgxxx，因为(),()f x g x分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以可得()()2022sin25xf xg x

17、xx，将该式与题干中原式联立可得 202220222xxg x.对于 A：0020222022012g，故 A 正确；对于 B：由 01g，1120222022112g，所以 g x不可能在0,1上单调递减，故 B 错误；对于 C：g x为偶函数，关于y轴对称，(1101)g x表示 g x向右平移 1101 个单位，故(1101)g x关于1101x对称，故 C 正确；对于 D：根据基本不等式 112022122022xxg x，当且仅当0 x 时取等，故 D 正确.12.ABD2233:1E xy，令0 x，可得1y ，令0y，可得1x ，曲线 E 与坐标轴有四个交点，故 A 正确；由22

18、33:1E xy可知，22331,1xy，1,1xy，故 B 正确；因为2233:1E xy，将方程中的x换为x，y不变，则方程不变；将方程中的y换为y，x不变，则方程不变；可得曲线关于x，y轴对称；将方程中的x换为x，方程中的y换为y，则方程不变，可得曲线关于原点对称；将方程中的x换为y，y换为x，则方程不变，可得曲线关于yx对称；将方程中的x换为y，y换为x，则方程不变，可得曲线关于yx对称；故 C 错误；由上可知曲线关于曲线关于x，y轴对称，关于原点对称，当01,x y时，2233,xyxy，所以22331xyxy，即|1xy，故 D 正确.13.18y 因为抛物线方程为22yx，即21

19、2xy，所以122p，即14p，所以抛物线的准线为18y 214.112366由题意得 sin3cos2sin3fxxxx，因为0,x，所以,333x，因为 fx有且只有 1 个最低点，所以37232，解得112366.15.2036设牧场从 2022 年起每年年初的计划存栏数依次为1c，2c，3c，nc，其中*nN，由题意得11200c，并且11.2100nncc，设11.2nncxcx，则11.20.2nnccx，则 0.2x100，则 x500，15001.2500nncc，即数列500nc 是首项为1500700c，公比为 1.2 的等比数列，则1500700 1.2nnc，则1500

20、700 1.2nnc，令1500700 1.28900nnc，则11.212n，即lg12(1)lg12 1n，即2lg2lg3(1)13.64222lg2lg3 1n，所以14.6422n，因此15n.2022+14=2036 年年初存栏数首次突破 8900.16.10,2函数 f x的图象如图所示，由图可知方程 f tk的实根个数可能为 0，1，2，3，4，当2k 时，方程 f tk无实根，当2k 时，方程 f tk有唯一实根，当20k 时，方程 f tk有 2 个实根，当0k 或1k 时，方程 f tk有 3 个实根，当01k时，方程 f tk有 4 个实根，2tx最多有 2 个实根，此

21、时2,t，方程2fxk有 6 个不同的实数根等价于 f tk的实根至少有 3 个，当0k 时，f tk的三个根均大于-2，符合题意；当102k时，f tk的四个根均大于2，2fxk有 8 个不同的实数根，不合题意；当12k 时，此时2fxk有 7 个不同的实数根，不合题意；当12k 时，f tk只有三个均大于2的不同实根，符合题意，故k的取值范围是 10,2四、解答题四、解答题17.（1）在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA，而ABC的面积1sin2SbcA，由222()Sabc，得sin22cosbcAbcbcA，化简得sin22cosAA，2 分两边平方得22sin4(1co

22、s)AA，即有221cos4(1cos)AA，又ABC是锐角三角形，则0cos1A，解得3cos5A，所以3cos5A.4 分（2）由（1）得4sin5A，又12sin425SbcAbc，则10bc 6 分由余弦定理得：222413()225bcbc，即21641()54bcbc，7 分亦即241()324bc，解得132bc，9 分所以ABC的周长为13412.10 分318.（1）因为21*1232228()nnaaaan nN，则当2n时，22*12312228(1)()nnaaaannN，得128nna，则42nna，2 分在中令1n，可得4 1182a，所以4*2()nnanN.3

23、分由题设，18b，24b，32b，则214bb，322bb，数列1nnbb的公差为2(4)2 ，4 分14(1)226nnbbnn ，5 分所以 2*1213218(4)(2)(28)714()nnnbbbbbbbbnnnn N.6 分（2）247142kkkbakk，当4k时，2477()224kf kk单调递增，且(4)1f，8 分所以4k时，24()71421kf kkk，10 分又(1)(2)(3)0fff，所以不存在*k N，使得(0,1)kkba.12 分19.（1）取 PD 的中点 E，连接 EM，AE，则/EMCD且12EMCD，而ABAD，CDAD，则/ABCD，又12ABC

24、D，1 分所以/ABEM，ABEM，从而四边形 ABME 是平行四边形，故/BMAE.2 分因为AE 平面 PAD，BM 平面 PAD，所以/BM平面 PAD.4 分（2）当 N 为 AE 的中点时，MN 面 PBD，理由如下：（法一）PA 面 ABCD，AB面 ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，,PA AD 平面 PAD，所以AB面 PAD，而PD 面 PAD，则ABPD5 分又PAAD，E 是 PD 的中点，即AEPD，而ABAEA，,AB AE 面 ABME，所以PD 面 ABME，6 分在面 ABME 中作MNBE交 AE 于点 N，所以MNPD 7 分又PDBEE，,PD

25、BE 面 PBD，所以MN 面 PBD易知：BMEMEN，而2BM，1EMAB，BMEMEMEN，即222EMENBM，而2AE，N 为 AE 的中点时，MN 面 PBD.8 分作NGAD于 G，则NG面ABCD，GBN是 BN 与平面 ABCD 所成角，因为1142NGPA，2215122BG，156442BN，10 分则162sin662NBG.即直线 BN 与平面 AD 所成角的正弦值为66.12 分（法二）因为 AP，AB，AD 两两垂直，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

26、C(2，2，0)，M(1，1，1).设(0,)Ny z，则(1,2,0)BD ，(0,2,2)DP ，(1,1,1)MNyz .6 分因为MN 平面 PBD，故1121021212102BD MNDPyMNyyzz ，可得1 10,2 2N.8 分1 11,2 2BN，又平面ABCD的法向量为(0,0,1)n，9 分4设 BN 与平面 ABCD 所成角为，则162sin6|312BN nBNn.11 分即直线 BN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为66.12 分20.（1）设椭圆标准方程为22221xyab，由离心率为23可得23cea又2PFx轴，不妨设,PP c y，代入椭圆22221x

27、yab解得2Pbya1 分1221211023F PFPb cSFFya，即2103e b，解得25b；2 分又22222419cbeaa，可得29a；所以椭圆的标准方程为22195xy.4 分（2）如图所示：3,0A是椭圆的右顶点，点S在y轴正半轴上，由1EFx轴可得52,3E5 分设0,SSy，由1SyaEFac，即135153SayEFac，所以0,1S，故32SAaESc,6 分所以1sin32212sin2SMASENSMSAMSASMSSSNSNSEESN，即可得34SMSN；所以43SMSN 7 分设1122,M x yN xy，则1122,1,1SMx ySNxy，所以1243

28、xx；8 分当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为0 x，此时514351SMSN，不符合题意；9 分当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx，联立221951xyykx可得229518360kxkx，由韦达定理可知12212218953695kxxkx xk，10 分结合1243xx 可解得2222254952795kxkxk所以22254279595kkk，解得5533k ；11 分故直线MN的方程为55133yx或55133yx 12 分521.（1）偶尔或不用的男性人数为1007030，偶尔或不用的女性人数为1009010，则补全的22列联表如下：经常使用偶尔或不用总计男性7

29、030100女性9010100总计16040200 2 分由列联表可得22200(70 1030 90)2512.57.879100 100 160 402K，3 分所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为经常使用该款App与性别有关.4 分（2）由22列联表可知,抽取到经常使用该款 App 的市民的频率为1600.82005 分将频率视为概率,所以从该市市民中任意抽取 1 人,恰好抽取到经常使用该款App的市民的概率为 0.8,由题意知(10,0.8)XB,6 分所以()10 0.88,()10 0.8 0.21.6E XD X，8 分（3）由题意,因为()100 0.8805E

30、,()100 0.8 0.2165D9 分所以近似为(80,16)N 10 分所以(6892)(803 4803 4)0.9974PP .12 分22.(1)解：由题意，当1a 时，21e2xf xxx，则 1 exfxx，1 分令 1 exg xx，则 1 exgx，令 0gx可得0 x，列表如下：x,000,gx0 g x增极大值减所以，00fxg xg，且 fx不恒为零，所以，函数 fx在R上单调递减，且 01f，2 分由 ln10fxf 可得ln0 x，解得01x.因此，当1a 时，不等式ln1fx 的解集为0,1.4 分(2)证明：当1a 时，21e2xf xaxx，则 1 exfx

31、ax，令 1 exh xfxax，其中0 x，则 e0 xhxa，可得ln0 xa，当0lnxa时，0h x，此时函数 h x单调递增，当lnxa时，0h x，此时函数 h x单调递减，所以，maxlnln1h xhaaaa 6 分令 ln1p aaaa，其中1a，则 ln0p aa，所以，函数 p a在1,上单调递增，当1a 时，10p ap，所以，maxlnln10fxfaaaa 且 00f，7 分由（1）知e1xxx，则当1x 时，222eee4xxxx，24xfxaxx，当41xa时，0fx，由exx，得lnxx，41lnaaa，8 分6所以 fx存在极大值点ln,ma，0fm，故e1mam，2e122e2 emmmf mmmmm.9 分所以，要证 32mf m，只要证2 e3mmmm，即证2 e300mmm.10 分令 2 e30 xxxx，则 1 exxx，由 0 x，得1x，11 分当01x时，0 x，函数 x单调递减，当1x 时，0 x，函数 x单调递增，所以，13e0 x，综上，32mf m成立.12 分7