2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高三（上）期中数学试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高三(上)期中数学试卷一、单选题(每题5分，共40分)1.(5 分)已知集合 A=X-2x T _ -A.若a b=b c,则Q=cB.Q=（1,1）,b=（2,%）,若a+b与 4匕一 2a平行，贝!J x=2C.非零向量寿而满足面=值|=而一则 弱 2+1与的夹角为60。D.点 A（1,3）,B（4,-1）,与向量4 8 同方向的单位向量为6，10.（5 分）已知函数f （x）=2sin（a）x+（p）（a）0,|（p|则 f（XI）=f（X2）ll.（5 分）如图，边长为I 的正方形A8C所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点、M,

2、N 分别在正方形对角线AC和 B F上移动，且 CM=BN=a（0 a V a）.则下列结论中正确的有（）C1A.当时，ME与 CN相交B.M N始终与平面BCE平行C.异面直线AC与 B F所成的角为45，MN的长最小，最小为三D.当 许 孝 时1 2.（5分）某同学对函数/Q）=烹*进 行 研 究 后，得出以下结论，其中正确的有（）A.函数y=/（x）的图象关于y轴对称B.对定义域中的任意实数x的值，恒有，（x）|0,存在常数方”如 使 函 数y=/（x）在以，切上单调递减，且-I三、填 空 题（每题5分，共2 0分）1 3.（5分）等比数列 斯 各项为正，。3,。5，-四成等差数列，S”

3、为 如 的前项和，则也一S 3-1 4.（5分）已知；、；为互相垂直的单位向量，a =7-2；,b=1+Aj,且热与前勺夹角为锐角，则 实 数 人 的 取 值 范 围 是.1 5.（5分）已知关于x的一元二次不等式去2-x+l 0的解集为（a,b）,则2 a+b的最小值是.1 6.（5分）已知函数f（x）=|阮l 1|,0 xiex2 1,4 2-1，4 4-2,。6 成等比数列.（1）求数列 斯 的通项公式；（2）设勾+2-,数列 与 的前项和为T”，求证：Tn（1）若a 1 b,求 s in 2 x+c os2x 的值；7 1（2）设/（a）=a b,将函数y=f（x）的图象向右平移二个单

4、位长度得到曲线C 保持61C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的3 倍得到g G）的图象，且关于X 的方程 g （x）-=0 在 0,身上有解，求加的取值范围.12 2.（1 2 分）己知函数f（x）=讶/-2%+。仇.（1）若函数/（X）存在两个极值点XI，X 2（X V X2），求。的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式/（加）2w X2 恒成立，求?的取值范围.2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单 选 题（每题5 分，共 40分）D.21.(5 分)已知集合 A =.v|-2 Vxl ,8=M(x+1)(2 -x)N

5、O ,则 AU B=()A.-1,1)B.(-1,1)C.(-2,2 D.(-2,2)【解答】解：由集合4=x|-2 xl ,B=x|(x+1)(2-x)2 0 =x|-KW2 ,则 A UB=x|-2 VxW2 =(-2,2 ,故选：C.2.(5分)设(l+i)a=l+6i (i是虚数单位)，其中。，是实数，则|。+封=()A.1 B.V2 C.V3【解答】解:由(1+力a=i+bi,得a+ai=l+bi,.,.一 ：，则 a=b=l.l a =b：.a+bil+i=V2.故 选:B.3.(5 分)若 s i n(a -看)=/,p l!l co s (a 4-7r)=()2 72 2X/2

6、 1A.B.一 半 C.-3 3 3【解答】解:因为s i n(a-&=上,所以co s(a +余兀)=co s (a _ f f =_s i n(7r -)=故选：D.4.（5分）九章算术是中国古代第一部数学专著，全书收集了 2 46个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其 中 欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细，该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）【解答】解:设竹九节由上往下的容量（单位：升）分别为山,42,43,“4,45,。6,e 8，。9,它们构成首项为4，公差为d的等差数列，由题

7、意可知他:熬：3 +?=3,铲+黑；3S +%+。9 =4+2 1 a =4（_ 1 3解 得 的 一 歹，ld=6 6所 以 42+。3+48 =3。1+1 0 4/=骂+（升）.故选：A.5.(5 分)已 知 向 量 =(1,2),b=V 2,若 途+2 1)(2 a-3 h),则/=()A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：向 量 之=(1,2),b=V2,若(a 4-2 6)(2a-3 b),n JW2 a2 4-a -h 6 b2=0,A a-6=6X2-2 X5=2.故选：A.6.(5分)设函数f G)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当2 时,f(x)

8、=kx+b.若f (0)丁(3)=8,则/(芸)=()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解答】解：根据题意，/(x+1)为奇函数，则有/(I)=0,且/(x+1)=-/(-x+1),又由/(x+2)为偶函数，则有f Cx+2)=f(-x+2),故由九(x+1)+1 =(A+1)+1 =-/(-%),即/(x+2)=-/(-x),f(x+4)=-J-(x+2)=/(x),/(x)是周期为 4 的周期函数；又由/(x+1)为奇函数，则/(2)=-/(0)=2k+h,则/(0)=-2k-h,f(x+2)为偶函数，则f (3)=f(l)=k+b,若/(0)+f(3)=8,贝I (-2k-b)+(k+

9、b)=-k=8,贝U k=-8,又由/(I)=k+b=0,则 6=8,所以当 xC L 2 时,f(x)=-8 x+8,11 3 3f()=f(-)=-8 x+8=-4.J 2 2 2故选：A.7.(5分)设/|、/2是两条不重合的直线，a、0是两个不重合的平面，给出下列四个命题：若/i u a,/2=p,八0,，2 a,则 a 0/i _ L a,f a-L a，则/i /2若/i a,/i /2.则/2 a若a _ L 0,/i ca,则其中正确的命题个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解 答 解：若 a,/2 U0,/i 0,l2/a,当a,B相交，且/i与/2与交线平行时，也满足

10、条件，故错误；/i l a,h a,由线面垂直的性质定理可得八/2，故正确；若/i_La,则，2 a或/2 u a,故错误；若h u a,当/i与 两 平 面 交 线 垂 直 时 否 则/i与0不垂直，故错误故选：B.8.(5分)已知函数f(x)的导函数为/(x),对任意的实数x都有/(x)=/(x)-2ex+2x/(0)=2,则不等式/(以-1|)e 2+e、+4 的解集是()A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(e,3)【解答】解：由题意得/(x)=+/+/，则/(x)=-e x+2x+aex=ex+xi+ac-2ex+2x-/=f(x)-2e x+2x-x2,由/(0)-l

11、+a2,解得：a,故 f(x)e x+x1+ex,f(|A-1|)e2+e-2+4=/(2),.当 x2 0 时，/2 1,0 0 在(0,+8)上恒成立，即/(x)在(0,+8)上单调递增，又/(-x)=/(x),故/(X)为R上的偶函数，其图象关于y轴对称，/(X)在(-8,0)上单调递减，故仅-1 2,故-l x ABAB3 4(-/-故选项。正确.故选：BD.10.(5 分)已知函数/(x)=2sin(a)x+(p)(a)0,|(p|kE Z,当 k=0时，/(x)在区间 一取口上单调递增，3 6因为【-黑，月 不 是 -半 刍的子区间，所以选项c错误；J L 乙 J L 4 O 6对

12、于选项 D,若 x+x2=等 则八制)=/(X 2)=2s i n 2(2)+看 =2s i n (-2%2+普)=2s i n (-2x 2-5 +n)=2s i n (2x 2+5)=f(%2)即选项。正确.o o故选：AD.1 1.(5 分)如 图，边长为1 的正方形A B C。所在平面与正方形A 8 E F 所在平面互相垂直，动点M,N分别在正方形对角线AC和 B F上移动，且 C M=B N=a (0 /2 v 2 V 2 V 2对于A,若 ME与 CN相交，则 M、E、C、N四点共面，故 M、E、C、N四点都在平面ACE内，故点N为 4E与 B F的交点，此时“=:，故 4错误；-

13、*a a t对于5,M N=(0,再，=-1),平面8 C E 的法向量为B A=(1,0,0),所 以 疝 日1 =0+0+0=0,又 MW：平面B D E,所以MN与平面8 D E 平行，故 5正确；对于 C,A C=(-1,0,1),BF=(1,1,0),所后 二以I、I c o s 4 C,BnFr、=AC-BF=-1网+0网+0 =一1亍ACBF J2T2/所以oiE而 =等7 1所以异面直线4c与 B 尸 所 成 的 角 为 故 C错误；对于。，疝V|=(撷 2+(负1)2=J(a-易 2+、故所以当。=孝时，MN的长度最小，最小值为座，故。正确.故选：BD.1 2.(5 分)某同

14、学对函数/(乃=岩 三 进行研究后，得出以下结论，其中正确的有()A.函数y=/(x)的图象关于y 轴对称B.对定义域中的任意实数x的值，恒有r(x)|V1 成立C.函数y=/(x)的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D.对任意常数?0,存在常数/7 ”如 使函数y=/(x)在 a,6 上单调递减，且 b-【解答】解：对于A项：函数/(x)的定义域为“仅之0 ,所 以/(-尤)=言等=黄 岩 =/(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称.故A正确，对于8选项：由A项知y 为偶函数，当x 0 时，ev-ex0,所以若|f(x)|=/察 0,令 h(x)-ex-|s i n

15、 x|(x 0)h(x)=ex+ex+cosx,因为浮忆一 2,所以(x)0,x-0 时，h(x)-0,所以/?(x)在(0,+8)上的单调递增，所以力(x)0,即|1 恒成立，故 B正确；对于C项：函数/(x)的图象与x轴的交点坐标为(KT,0),(&6 Z且&r O),交 点(-TT,0)与(m 0)间的距离为2TT,而其余任意相邻两焦点之间的距离为TT,故C错误；对于。项：f(x)=(卢-6-，)血 尸(铲 尸 一 白令(外 0(ex-e-x)zB|J (c os x -s i n x)-e x(c os x+s i n x)W O,即 e2v(c os x -s i n x)Wc os

16、 x+s i n x,n 3 7 r ,当 xE(+2k n,+2Zn r),kE Z 时，c os x -s i n x 0,4 4n每段区间长度为51,所以对于任意常数m 0,.7 T 3 7 r存在常数 b a m,a,bE(一 +2ZTI,+2匕T),k6 Lr,4 4使f(x)在 a,句 上 单 调 递 减 且 故 拉 正 确，故选：ABD.三、填 空 题(每 题 5 分，共 20 分)1 3.(5 分)等比数列 如 各项为正，5，”4 成等差数列，S?为 斯 的前项和，则 粤=9B-【解答】解：等比数列 斯 各项为正，4 3,。5，-4 4成等差数列，.0（ad）=arq2+（-a

17、）解得q=；，为 a 的前几项和，1。1（1一.）.也 _ T _ 2 -1 .$3。1（1-寻）89故答案为：1 4.（5分）已知i、/为互相垂直的单位向量，a=I-2;,b=i+A j,且：与b 的夹角为锐角，则实数人的取值范围是（-8,-2）U（-2,1.【解答】解：之 与了的夹角为锐角，.a*b X）,*/a =i 27 ,b=i+A j,=72+（A-2）7-7-2A；2,；、7为互相垂直的单位向量，：.cfb=1 -2入 0,*A V 工,T T丁 Q H b,入 W -2i故答案为：（-8,-2）U（2,2）1 5.（5分）已知关于x的一元二次不等式f c r2-x+1 V O的

18、解集为（a,b）,则 2a+b 的最小值是 3 +2夜 .【解答】解：.关于x的一元二次不等式扇-x+l 0,K K1 1/.a+h=ah,且。0,h 0,即+-=1,a b.2a+b=(2a+b).q +y =3+A+2 =3+2VL2a b当且仅当H =一，即 b=或 a时，等号成立，b a故 2a+h的最小值为3+2V2.故答案为：3+2鱼.16.(5 分)已知函数f(x)=lnx-1|,0 xie%2e2,函数/(x)的图象在点 M(x i,/()和点N(X2,(X2)的两条切线互相垂直，且分别与y 轴交于P,Q 两点，则 黑的取值范围是(4,+8).【解答】解：当仇 1 0,即 0工

19、 0；1当 Inx-1 0,即 xe 时，f (x)=lnx-1,导数为/(x)=可得/(x)在在点N(小 f(X2)处的切线的方程为y-(lnx2-1)=7-(x-%2),可得 Q(0,Inxi-2),且 Inxi-20,由两条切线互相垂直可得4q二一1,即曲r所以 IQP|=4一 bixt-bixz“以丽!一 -2-Znx24-bi(%i%2)42-lnx2 2-lnx2由于 eVjQ Ve?,可得 IV 阮QV2,B P 02-lnxi4,故答案为：(%+8).四、解 答 题(共70分)17.(10 分)已知数列 ”满足 ai=l,an+i=2an+l,bn=an+l(n e N*).(

20、1)求证：(仇)是等比数列；(2)求 斯 的通项公式.【解答】解：(1)证明：根据题意，即+1=2。+1,变形可得即+1+1=2(即+1),即为+i=2 仇,又由从=m+l =2#0.则 6#0,则有乌=2,bn故 为 是等比数列；(2)由(1)知 与 是首项加=2,公比为2的等比数列，则为=2 X 2 l=2 ,又由bn=an+l,则有an+l=2n,变形可得an=2n-1；故 an=2n-1.1 8.(1 2 分)在 A B C 中，角 A、B、C 的对边分别为“、b、c,且(2 a -c)cos B=Z?cos C.(1)求 角&(2)若 a=3,b =3 近，点。在边4c 上，S.A

21、D=2 D C,求 8。的长.【解答】解：(1)(2 -c)cosB=bcosCn (2 s i nA -s i nC)cos B=s i nB cos C=2 s i nA cos B=s i n(B+C)=s i nA,V s i nA O,cosB=:Be(0,I T),-B(2)设 8 O=x,NB D C=6,则在 A B C 中，(3 V 7)2=32+C2-2X3XC X CO S6 0 =c2-3 c-54 =0 =c=9,在4 8。中，92 =(2 7 7)2 +x2-2 x 2 7 x x x cosfji-0)，在 B O C 中，3 2 =(夕 +xz-2x V7x x

22、 x cos。，由 cos O+cos (n-0)=0,+X 2,可得99=4 2+3),解得工=g,1 9.(1 2 分)在四棱锥 P -A BCD 中，平面 平面 ABCD,AB/CD,ZAD C=90 ,CD=2AB=2,P A=A D V 2,P B=M 为 P C 的中点.(1)求证：。_ 1 平面8 皿；(2)求三棱锥。-BMP的体积.p【解答】(1)证明：在四边形 A8CQ 中，AB/CD,/AC=90,AD=V2,AB=1,所以 BD=ylAD2+A B2=V3,则 cosDC=cos BA=专，在8C。中，由余弦定理可得，BC2=BIJr+CD2-2BD，C D s N B

23、D C=3+4-2 x V 3 x2*3，所以BC=g,在B48 中，A 8=l,PA=V2,PB=V3,所以4炉+以2=尸 82,所以 A8_LB4,又平面办8_L平面ABCQ,平面B4BCI平面ABC=A8,B4u平面B4B,所 以 布 _L平面ABCD,又ADu平面ABCD,所以PAAD,在以。中，可得P。=M 2 +p)2=2,所以(?,ZPC8是等腰三角形，且 O=OC,PB=BC,因为M 为 PC的中点，所以 PCJ_MD,PC 1MB,又 BM,OMu平面 8OM,B M H D M=M,所以PC_L平面M D B；(2)解：由 孙，平面A B C D,可得点P到平面B C D的

24、距离是PA=V2,点M到平面B C D的距离是P到平面B C D的距离的士2故点M到平面B C D的距离为产，所以-BMP=VD-BCD=M-BCD=3 2 ，夜=3,20.（12 分）已知数列 斯 前项和为 S”，若 2S“=（n+1）a,且 a2-a4-2,期成等比数列.（1）求数列 斯 的通项公式；（2）设“=+2，数列 氏 的前 项和为刀”求证：Tnan=na,n n-1 n n-1 1又。2-1，44-2,Q6 成等比数列，得（。2-1）。6=（。4 一 2）2,1 二（2%-1）,6al=（4%2）2,，ai=2 或=中又.i=2,Qn=2几（九 N*）；（2）证明：由（1）可得为

25、=-+2 f=.f+2 田=工 一 士+）n,n 斯.1+1 2n-2（n+l）n n+l=加+历+/?=（1 一+/+（1 一+（|）2 +,+（-即%=（1 _;+;_ 3+3 一 击）+弓+（扔 +-+（3 ，所 以 3 1 一6+他岁.一备，A（扔/21.（12 分）已知Q=（1，cosx）,b=（sinx,V3）.(1)若Q 1 bf 求 sin2x+cos2x 的值；-tjr(2)设/(a)=a-b,将函数y=/(x)的图象向右平移一个单位长度得到曲线C,保持6C 上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的 倍得到g(x)的图象，且关于x 的方程 g G)-巾=0 在 0,刍上有解

26、，求机的取值范围.【解答】解：(1)Va=(1/cos%),b=(sinx,V3),a l b,/.a-Z?=0,BP sin%+y/3cosx=0,tanx=V3.仁，o 2sinxcosx-cos2x 2tanx+l 2/3+1.smzx+cos x=-;-=-5-=-1-sin cos2x tan x+1 4T ,T T（2）V/（x）=a-b=sinx+V3cosx=2sin（x+可），将函数y=f（x）的图象向右平移g 个单位长度得到曲线C：y=2 s 讥（x+总的图象，把 C 上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1 倍得到g（x）=2 s 讥（2 x+看）的图象,且关于x 的方

27、程g（x）-/=0在 0,刍上有解，即m =2 s 讥（2 x+看）在 0,刍上有解.由于久 e 0,刍，lx+.e 落，,*.2sin（2x+看）e -1 ）2 ,故机的取值范围为-1,2 J.12 2.（1 2 分）已知函数/（x）=a，-2%+。仇 工.（1）若函数/（X）存在两个极值点X I，X 2（X 1 X 2）,求。的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式/（加）?X 2 恒成立，求2 的取值范围.【解答】解：（1）函数/（%）=寺%2 -2%+Q）工 的定义域为（0,+8）,又/（X）=X -2 +E =/_j x g,因为函数/（X）存在两个极值点加，X 2（X|X 2）

28、，则/（X）=0 在（0,+8）上的两个根为 X I，X I（X 1 X 2），即=-7+2 x 在（0,+8）上有两个不等实根j q,X 2（X 1 X 2）,所以与/z （x）=-7+2 x 在（0,+8）上有两个不同的交点，函数（%）=-/+2%的对称轴为x=l,且图象开口向下，又 h（0）=0,h（1）=1,所以实数的取值范围为（0,1）;（2）由（1）可知，=-7+2 x 在（0,+8）上有两个不等实根加，X 2（X 1 X 2），即方程/-2 x+a=0 有两个不等实根加，X 2（0 x i%2）所以 XI+X2=2,xX 2=a（0 n l）,则制 （0,1）,X 2 W（1,2）,因为不等式f （x i）2,小2 恒成立，所以加 =立嚅已但恒成立，%2 2（2-/）2即m。1-2）一 荔 第 一）勺=!（一/+2 +卷+2 与）匕）恒成立，.4,、令9（%）=x+2 H-5+2XITIXf（0,1）,4则gz(x)=1-2 +2 m x 1，(%1 2)由1一40 2)2 0,/L V 0,4所以g，=一曰+2lnx V 0恒成立,故g G）在（0,1）上单调递减,-1 4所以m 2,g（l）=-2，故实数，的取值范围为（一8,-|.