中学生物学中的数学问题.pdf

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1、目录引言浅谈中学生物学中的数学问题 一3第一章初中数学知识在生物学中的应用-6第一节初中生物学中的初中数学问题-6第二节高中生物学中的初中数学问题-8第 二 章 概率统计知识在中学生物学中的应用-2 0第一节现代生物学与概率统计关系综述-20第二节分步乘法计数原理和分类加法计数原理在生物学中的应用-22第三节排列、组合在生物学中的应用-26第四节 古典概型在中学生物学中的应用-32第五节互斥事件和相互独立事件同时发生的概率的应用-47第六节条件概率在中学生物学中的应用-52第七节统计图在中学生物学中的应用-52第八节二项分布在中学生物学中的应用-56第九节频率在中学生物学中的应用-5 8第十节

2、独立性检验在中学生物学中的应用-64第十一节中学概率统计知识在生物学中的综合应用-64第三章数学思想方法在中学生物学中的应用-71第 一 节 数形结合思想在中学生物学中的应用-7 2第二节分类讨论思想在中学生物学中的应用-81第三节函数思想在中学生物学中的应用-83第四节增长率与增长速率问题的数学模型-90第五节反证法在生物学中的应用-96第六节集合论在中学生物学中的应用-99第七节算法初步在生物学中的应用（选学）-106第八节归纳推理在生物学中的应用（选学）-116第九节类比推理在中学生物学中的应用（选学）-121第十节数列、不等式在生物学中的应用-125第十一节数学归纳法在中学生物学中的应

3、用（选学）-128第 十 二 节 中学生物学中的数学问题综合练习-129第 十 三 节 中学生物学中的数学问题测试题-144第十四节与遗传分子计算有关的各类命题-152第四章中学生物学中的物理、化学和哲学问题第 一 节 树 立 大 学 科、大教育的观念-158第二节中学生物学中的化学问题-161第 三 节 数 学、化学在生物学中的综合应用举例-165第四节高中生物教材中物理问题-172第五节中学生物学中的哲学问题-177引言浅谈中学生物学中的数学问题模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所做的一种简化的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的；有的借助于具体的实物或其他形象化的手段，有的则通

4、过抽象的形式来表达”.美国国家科学教育标准中的表述是：“模型是与真实物体、单一事件或一类事物对应的而且具有解释力的试探性体系或结构.关于模型的形式或种类，不同论著中的说法有所相同.物理模型是指以实物或图画形式直观地表达认识对象特征的模型，如人工制作或绘制的DNA分子双螺旋结构模型、真核细胞三维结构模型等；概念模型是指以文字表述来抽象概括出事物本质特征的模型，如对真核细胞结构共同特征的文字描述、光合作用过程中物质和能量的变化的解释、达尔文的自然选择学说的解释模型等；数学模型是指用来描述一个系统或它的性质的数学形式，如 J 型 种 群 增 长 的 数 学 模 型 应 该 指出，物理模型既包括静态的

5、结构模型，如真核细胞的三维结构模型、细胞膜的流动镶嵌模型等；又包括动态的过程模型，如教材中学生动手构建的减数分裂中染色体变化的模型、血糖调节的模型等.由于高中生物学科以描述性的语言为主，有的学生往往以为学好生物学是与数学没有关系的.生命科学是自然科学中的一个重要的分支,其理论的深入研究必定会涉及到很多数学的问题.在高中生物课程中，它要求学生具备理科的思维方式.因此学习中应注重理科思维的培养，树立理科意识，渗透数学建模思想.在生物学学习中，构建数学模型正是联系数学与生命科学的桥梁.如何将生物学理论知识转化为数学模型，这是对学生创造性地解决问题的能力的检验，也是理科教育的重要任务.由于尚未树立理科

6、意识，缺乏理科思维.比如不会用数学上的排列与组合来分析减数分裂过程配子的基因组成；也不会用数学上的概率的相加、相乘原理来解决一些遗传病机率的计算等等.这些需要学习过程中给予提炼总结，并进行数学建模.高中生物教材中涉及计算的问题不少，概括一下主要有以下几个方面：主要章节一一新陈代谢、遗传和变异生态系统、细胞分裂、DNA遗传概率及其他，涉及内容一一光合作用、有丝分裂、DNA复制遗传规律、细胞质遗传、能量传递、呼吸作用、中心法则、种群数量、光合作用和呼吸作用相互关系、减数分裂和受精作用、蛋白质合成、伴性遗传、染色体组数、食物链数目、基因结构、基因频率.高中生物学习中在考查计算时，一般并不单独考查某一

7、个方面的知识，很可能是多项计算融合在一起综合性考查.生物实验教科书提供了丰富的数学模型资源.探究培养液中酵母菌种群种群数量的变化的实验（稳态与环境），要求学生具有建立数学模型的思想和方法.在 分子与细胞中有：细胞有氧呼吸的方程式，细胞无氧呼吸的方程式，光合作用的方程式，酶降低化学反应活化能的图解，酶活性受温度影响示意图，酶活性受PH影响示意图，叶绿素和类胡萝卜素的吸收光谱变化曲线，不同细胞的细胞周期持续时间等.在 遗传与进化中有：黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆的杂交实验，果蝇杂交实验图解，种群中基因频率和基因变化等.在 稳态与环境中有：HIV浓度和T 细胞数量的关系，某岛环颈雉种群数量的增长，大草

8、履虫种群的增长曲线，东亚飞蝗种群数量的波动，雪兔和猫狗在90年间的种群数量波动，赛达波格湖能力流动图解，我国人口增长等.在高中生物学学习的过程中，运用数学思想和方法解答一些生物学问题，不仅可以适应新一轮课改的步伐，而且能实现“能用文字、图表以及数学方式等多种表达形式准确地描述生物学方面的内容”的能力目标.同时也可将一些复杂的生物学问题简单化，抽象的问题直观化，可以帮助学生对生物学知识的理解和掌握更灵活、更全面，提高学习效率.自然界中，存在着多种多样的生命现象，一般表现为四类：必然性、随机性、模糊性和突变性.相应地，描述这些事物和现象的数学模型也分为四类.高中生物学数学模型主要有两类，即确定性数

9、学模型和随机性数学模型.恩格斯当年说在生物学中 数学应用等于零，但 到 了 二 十 世 纪，情况有了极大的改变,Volterra-Votka模型运用了偏微分方程，研究DNA长链的缠绕运用了代数拓扑学中的纽结理论，对DNA中的碱基对的排序以及基因图谱的读出运用了统计学、组合数学等方面的成果.生物数学已是一个硕果累累的领域，生命科学的研究广泛地应用着数学地丰硕成果.随机性数学模型是用概率论、过程论和数理统计的方法描述和研究随机现象.生命现象常常以大量、重复的形式出现，又受到多种外界环境和内在因素的干扰.因而，具有偶然性、随机性.但从大量这类事件或同一事件多次重复出现的总体来看，又是有规律的，本书的

10、第二章研究随机性模型.高中生物学许多学生感觉到比较困难，尤其是遗传与变异、生态学等内容，感觉困难的原因主要是不能把所学的数学、物理、化学等知识应用到生物学中，因此笔者把中学生物学中的数理化问题整理(尤其是数学问题)，通过学习这些内容能够降低生物学学习的难度，也有助于数学水平的提高，这些问题实际上就是数学的应用题.本书以数学知识为主线，主要是生物学的不同内容有时利用同一个知识点.通过本课程的学习使学生认识到各个学科是密切联系不可分割的，为将来跨学科研究打好铺垫，路甬祥曾经讲过：“当前世界上的经济与科技发展态势是信息化、网络化、知识化、全球化.学科交叉融合加快,新兴学科不断涌现.科技发展的跨学科性

11、日益明显，一些举世瞩目的重大科学问题，几乎都是跨学科问题；许多学科之间的边界将变得更加模糊，未来重大创新将更多地出现在学科交叉领域，学科之间、科学与技术之间的相互融合、相互作用更加迅速，逐步形成统一的科学技术体系.”数学一直在现代生命科学中扮演着一定的角色，如数量遗传学、生物数学等，但真正体会到数学的重要性还是在2 0 世纪 9 0 年代以后，基因组学是这种趋势的主要催化剂.随着测序技术、芯片技术、质谱技术、核磁共振技术、生物成像技术等实验和观测手段的高速持续发展，产生了海量的不同类型、不同来源、不同层次的生物学数据，迫切需要建立新的数学与系统科学的理论与方法来处理和集成这些数据，发现内在模式

12、为生物多样性与重大慢性多发疾病防治与健康管理和传染性疾病防治中的一些关键技术提供理论模型与分析方法，这些对生物学家、数学家、计算机专家等提出了巨大挑战，由此产生了计算生物学和生物信息学等新兴学科.此外，对细胞和神经等复杂系统和网络的研究导致数学生物学(M a th e ma tic a l B iolog y)的诞生.生命现象数量化的方法，就是以数量关系描述生命现象.数量化是利用数学工具研究生物学的前提.生物表现性状的数值是表示数量化的一个方面.生物内在的或外表的、个体的或群体的、器官的或细胞的，直到分子水平的各种表现性状，依据性状本身的生物学意义，用适当的数值予以描述.数学模型能定量地描述生

13、命物质运动的过程，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能够获得客观事物的有关结论，达到对生命现象进行研究的目的.例如，描述生物种群增长规律的费尔许尔斯特珀尔方程，描述捕食与被捕食两个种群相克关系的洛特卡沃尔泰拉方程，等等.反应扩散方程的数学模型在生物学中广为应用，它与生理学、生态学、群体遗传学、医学中的流行病学和药理学等研究有较密切的关系.数学生物学具有丰富的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、对策论、微积分、微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等.然而就整个学科的

14、内容而论，数学生物学需要解决和研究的本质问题是生物学问题，数学是解决生物学问题的工具和手段.数学与生物学之间深入的相互作用将改变生物科学.数学的介入把生物学的研究从定性的、描述性的水平提高到定量的、精确的、探索规律的水平.计算神经科学、群体动力学、生态学、疾病的传播及系统发育等大量的生物学领域的进展都是由数学推动的.数学在生物学中的应用也促使数学向前发展.系统论、控制论和模糊数学的产生及统计数学中多元统计的兴起都与生物学的应用有关.从数学生物学中提出的许多数学问题，萌发出的许多数学发展的生长点，正吸引着许多数学家从事研究.例如，一系列诸如反应扩散方程、模式识别、随机微分方程、偏微分方程的数值方

15、法及联系离散和连续模型的杂交方法等方面的数学研究是由生物学应用的推动而发展起来的.自2008年秋季开始，每年在美国数学生物学研究所举办的两次研讨会提供在数学和生物学交叉研究方面取得的许多研究成果，如血栓形成中的多尺度问题、生化反应网络、血流的计算建模、医学数据的拓扑学和成像、肺对感染的响应、轴突中神经丝输运中的反应一扩散一双曲型方程组、组织移植手术等.这表明，数学的应用从非生命转向有生命是一次深刻的转变，在生命科学的推动下，数学将获得巨大发展.当今的数学生物学仍处于探索和发展阶段，数学生物学的许多方法和理论还很不完善，许多更复杂的生物学问题至今未能找到相应的数学方法进行研究.数学生物学还要从生

16、物学的需要和特点，探求新方法、新手段和新的理论体系，还有待发展和完善.纵观数学生物学现在的发展趋势，相信未来的十年将非常清楚地表明：生物学未来的前沿是数学，同时数学未来的前沿是生物学.本书初步归纳出了中学生物学中的几个数学问题，以数学问题为主线展开.为了便于学生阅读，书中涉及的数学知识均为中学数学范围之内，由于涉及高中数学和生物学的全部内容，因此本书适用于高三学生阅读.特别需要说明的是，中学数学在中学生物学中的应用及其广泛，本书揭示的仅仅是沧海一粟，挂一漏万，在所难免，希望同学们在使用过程提出宝贵的意见，如果同学们发现书中存在的问题或建议，尤其是发现在中学数理化生之间的综合应用，请联系邮箱-,

17、在此表示最衷心的谢意.第一章初中数学知识在生物学中的应用第一节初中生物学中的初中数学问题克鲁捷茨基说：“有能力的学生非常典型的特征就是对一道题力求找出最合理的解法，探究一条达到目标的最清晰、最简单、最短，因而也最优美的途径例 1.小 孩 手 上 有 1 0 0 个病菌带进了口腔中，若病菌每半小时分裂一次，问 5小时后，共有多少个病菌？解析：细菌的繁殖以指数的规律增长（不考虑中间细菌的死亡），应当为1 0 0 乂2 1=1 0 2 4 0 0.例 2.运动员平静时心率为5 0 次/分，是运动过缓吗？解析：人在一生中，心脏始终在不停地跳动而未衰竭，这与心脏特点有关，成年人平静时心率约为 7 5 次

18、/分，心动周期是6 0 秒+7 5=0.8 秒，一个心动周期内心房约收缩工作了 0.1 秒，心室约收缩工作 0.3 秒，其余时间都处在舒张休息状态，所以心脏在人生中都在跳动，不疲劳.这个运动员心率为5 0次/分，心动周期=6 0 秒+5 0=1.2 秒，他长期运动，心肌功能强，每搏输出量大，比普通人心脏休息时间更多，运动时，能承受更大的运动量，不疲劳衰竭，他不是心动过缓.例 3 （用数学方法真实表达人体器官的功能）三次测量某人的肺活量分别为2 5 0 0 n i l、2 5 5 0 m l、2 6 0 0 m L 请算出此人的肺活量？解析：检测人体器官的功能，在多次测量中，应该取最好的一次，此

19、人肺活量为2 6 0 0 m l.例 4 （用相似比和位似形的性质分析显微镜成像规律）问题1 显微镜中像的放大倍数如何计算？解析：显微镜中像的放大倍数等于目镜放大倍数与物镜放大倍数的乘积.注：显微镜中像的放大倍数是数学中相似性中的相似比，因此面积的比应该是相似比的平方.问题2：写出字母b在显微镜中的像是什么？如果在显微镜的视野中看到一个虫子逆时针爬行，那么虫子的实际爬行方向是怎样的？解析：像为q,因像与实物上下相反，左右也相反，根据位似形的性质得知，将像旋转1 8 0。后,与实物同方向.根据位似图形的性质得知，虫子的实际爬行方向也是逆时针的.例 5某 0型血的大量失血急需输血，现有义务献血者2

20、 2 人，经验血，与 A 型血发生凝集反应的有9人，与 B 型血发生凝集的有1 2 人，与 A、B 型发生凝集的有7人，问理想的献血者有几人？解析：据血清学原理，与 A 型发生凝集的血型为AB型和B 型，即 AB+A=9；与 B 型血发生凝集的为A 型和AB型，即 A+AB=1 2；与 A、B 型均发生凝集的为AB 型和0型，即 AB+0=7,而各血型均有，即 AB+B+A+0=2 2,列方程组为：厂 AB+B=9AB+A=1 2。AB+0=7AB+A+B+0=2 2J解得理想的献血者有3人.例 6 一个人的血压与其年龄及性别有关.对于女性来说，正常的收缩压(m m h g)与 年 龄 x岁大

21、致满足关系：P=0.01X2+0.05X+107;对于男性性来说，正常的收缩压(m m h g)与 年 龄 x岁大致满足关系：p=0.0 0 6 x-0.0 2 x+1 2 0.(1)利用公式计算你的收缩压；(2)如果一位女性的收缩压为1 2 0 m m h g,那么她的年龄大概是多少？(3)如果一位男性的收缩压为I S O m m h g,那么他的年龄大概是多少？例 7将某绿色植物放在特定的实验装置中，研究温度对光合作用和呼吸作用的影响(其他实验条件都是理想的)，实验以C O?的吸收量与释放量为指标.实验结果如下表所示:温度()51 01 520253035光照下吸收C O M m g/h)

22、1.0 01.752.503.253.753.503.0 0黑暗中释放C O z(m g/h)0.500.751.0 01.502.253.0 03.50下面对该表数据分析正确的是 A.昼夜不停地光照，在 35时该植物不能生长B.昼夜不停地光照，在 20 时该植物生长得最快C.每天光照1 2小时，20 时该植物积累有机物最多D.每天光照1 2小时，30 时积累的有机物是1 0 时的2 倍答案：C 积累有机物多主要是吸收C O?与释放的C O 2的差最多.生命现象极为复杂，从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂，需要进行大量计算工作，建立模型是成了必需.数学模型能定量地描述生物现象，一个复杂的生

23、物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，通过获得的理论知识对生命或非生命现象进行研究.附录：1动物中的数学天才“丹顶鹤”丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.人字形的角度是110度.更精确的计算还表明“人”字形夹角的一半一一即每边与鹤群前进方向的夹角为54度4 4分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？2动物中的数学天才“蜜蜂”密封蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角棱锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度3 2分，这样

24、既坚固又省料.蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小.3动物中的数学天才“蜘蛛”蜘蛛网的“八卦”形网.是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案.4动物中的数学天才“珊瑚虫”珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现3亿5千年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”.天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天.5植物中的数学天才“牵牛花”到了夏季，人们随处看到绕缠在大树上生长的牵牛花.而树为圆桶状，是为了最大限度减少从各个方向吹来的风的影响.

25、牵牛花采螺旋缠绕形式，用它的藤蔓紧紧依附在大树上生长.虽然乍看起来显得不太符合”两点之间线段距离最短”的几何学原理，但如果打开螺旋式缠绕的牵牛花藤蔓，就会发现它是线段，也就是说，牵牛花藤蔓是在用最短的距离缠绕在大树上生长的.6植物中的数学天才“车前草”车前草是常见的一种小草，它那轮生的叶片间的夹角正好是137.5度，按照这一角度排列的叶片，能很好地镶嵌而又互不重叠，这是植物采光面积最大的排列方式，每片叶子都可以最大限度地获得阳光，从而有效地提高植物光合作用的效率.建筑师们参照车前草叶片排列的数学模型，设计出了新颖的螺旋式高楼，最佳的采光效果使得高楼的每个房间都很明亮.第二节高中生物学中的初中数

26、学问题高中生物学科中涉及到的数学建模是复杂多变的，数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性.在生物学科学习过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到生物学并非是一门理解型的自然科学，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合生物学理论知识，能很好的解决一些生物学实际问题的妙处，进而对生物学产生更大的兴趣.孟德尔发现了遗传定律.他发表一篇文章，通过植物杂交实验提出了“遗传因子”的概念，对遗传提供了科学的解释，并发现了生物遗传的分离定律和自由组合定律.从概率论的角度去看,这是一个非常简单的实验，但却产生了一个非常了不起的理论.这个理论揭示了在人类活动中，简单机会模型的巨大力量，并且在人类对

27、生命的认识上引发了一场革命.这是概率论在生物学上第一个卓有成效的应用.一个源于赌博的学科居然产生了这样的伟大成果，真是出人意料.孟德尔因此被称为遗传学之父.他的伟大在于他的大胆，他的深刻的洞察力和他敏锐的概率论头脑.孟德尔的原理在所有的生命形式中都起作用，从植物到动物，从苍蝇到大象.一粒豌豆种子总是长出豌豆，不会长出鲸鱼.数学在生物学中的应用使生物学从经验科学上升为理论科学，由定性科学转变为定量科学.数学与生物学的结合与相互促进必将产生许多新的奇妙结果.一、有丝分裂和减数分裂中的相关计算减 I 后期同源染色体分离,减I I 后期姐妹染色单体分离,一个精原细胞产生2 种 4 个精子,一个卵原细胞

28、产生1 个卵细胞（-）有丝分裂：假定正常体细胞核中染色体数为2 N,DN A含量为2 a,则染色体、DN A、染色单体的数目变化如下表.项 I I间期前期中期后期末期染色体数2 N-2 N2 N2 N4 N2 NDN A含量2 a-4 a4 a4 a4 a2 a染色单体数0-4 N4 N4 N00假定正常体细胞核中染色体数为2 N,DN A含量为2 a,则染色体、DN A、染色单体的数目变化如上表.（二）减数分裂减数分裂是配子形成过程中的必要阶段，这一分裂方式在遗传学上具有重要意义.首先减数分裂时核内染色体严格按照一定规律变化，最后分裂成四个子细胞，各具有半数的染色体（n）,这样经过受精结合，

29、再恢复成全数染色体（2 n）.这就保证了子代和亲代间染色体数目的恒定，为后代的性状发育和性状遗传提供了物质基础；同时保证了物种的相对稳定性.而且由于同源染色体在中期I 排列在赤道面上，然后分向两极，而各对同源染色体中的两个成员在后期I 各移向哪一极是随机的，这样不同对的染色体可以自由组合在一起进入同一配子.n对染色体，就可能有2 种自由组合方式.例如玉米（n=1 0）的各对同源染色体分离时的可能组合数为2 =1 0 2 4.同时，在前期I 的粗线期，同源染色体的非姊妹染色单体之间可以发生片段的互换，为生物的变异提供了物质基础，有利于生物的适应与进化，并为人工选择提供了丰富的材料.时期种类精（卵

30、）原细胞初级精（卵）母细胞次级精（卵）母细胞精子细胞（卵细胞）前、中期后期染色体数2 N2 NN2 NND N A 数2 C-4 C4 C2 C2 CC染色单体数0-4 N4 N4 N00例 1 某 动 物（2 N=1 0）的若干精子中有4 4 0 个核D N A 分子.从理论上看，这些精子至少来源于多少个初级精母细胞A.1 1 B.2 2 C.5 5 D.8 8解 析：该动物1 个精子中含5个 D N A 分子，1 个初级精母细胞产生4个精子，4 4 0+（5 X 4）=2 2.答案：B二、遗传中的数学计算（-）碱基互补配对原则双链D N A 分子：A=T、G=CA+G=T+C=50%,(A

31、+G )/(T+C )=1AI=T2 TI=A2 GI=C2 CI=G2(A i+T J /(G,+C,)=(A2+T2)/(G2+C2)(AI+GI)/(Ti+CO=(T2+C2)/(A2+G2)A1+T1 A2+T2 A+T_ _Ai+Ti+Ci+Gi A2+T2+C2+G2|A+T+C+G上面是利用了等比性质R N A 分子：D N A-R N A,AD=UR、TD=AR、G=GR、GD=CR,AR+UR+GR+CR=1/2 (A i)+Th+G o+G)例 2某 D N A 分子中含有2 0%的 G+C,则由它转录成的R N A 中 A+U 应为A、1 0%B、2 0%C、4 0%D、

32、8 0%例 3 一条双链D N A 分子，G+C 占全部碱基的4 4%,其中一条链的碱基中，2 6%是 A,2 0%是 C,那么其互补链中的A和 C分别占该链全部总碱基的百分比是（）A.2 8%和 2 2%,B.3 0%和 2 4%,C.2 6%和 2 0%,D.2 4%和 3 0%解析：解此题的关键是要运用（G+G i）%=（C 2+G 2）%=（G总+C总）这个公式.己知（G总+C总）=4 4%,那么互补链中（C z+G?）%=4 4%,又已知人占该链碱基数的2 6 乐 G占该链碱基数的2 0%可 推 出（G+A2）%=5 4%,由此推出凡占该链碱基数的3 0 筛 C 2 占该链碱基数的2

33、 4%.故答案为B.在一段D N A 中，有这样的关系：A=T,G=C；A+G-T+C 或者A+C=T+G 或 者（A+G）/（T+C）=1.仅仅懂得这些对解题虽有很大帮助，但仍然不是很方便.我们可以借用数学中的平行线段定理帮助我们解决.例 4 某生物D N A分子基因a的 一 条 链 中 口 工=0.8.基因b的一条链中工上2=1.2 5,那么它G+A G+C们的互补链中，相应的碱基比例分别是（）A.0.8 和 1.2 5 B.1.2 5 和 0.8C.1.2 5 和 1.2 5 D.0.8 和 0.8 解题指导第一步：先画出两道平行的线分别代表基因a的两条链.第二步：在一条链上标上A、T、

34、C、G四种碱基，标碱基时要注意保证C和 T 在一起，G和 A 在一起.并假设 C+T=8,G+A=1 0.r8 -L rX 34第三步：按照碱基互补配对原则，很轻松地可以标出另一条链（互补链）上 A、T、C、G,并求出其数值.G8 IL rfSAXJC】r 1 0LAT第四步：求出互补链币而礁面列为C上工=1.2 5.G+A利用上述方法还可以解决D N A转录成的m R N A中的碱基比例.例 5双链D N A分子中，鸟口票岭（G）占3 8%,其中一条链中的胸腺喀嘘（T）占单链5%,那么，在另一条链中的胸腺喀咤（T）占该单链的比例为多少？解析：A=T,G=C是双链D N A分子中的基本关系式，

35、因而，A+C=G+T=5 0%,由于鸟喋吟G占3 8%,所以胸腺嗑嘘T占 1 2%.根据某一碱基所占比例等于该碱基在每一个单链中所占比例之和一半的基本关系，即可求出在另一条链中的胸腺喀咤（T）占该单链的比例为2 X 1 2%-5%=1 9%.例 6 一 个 D N A分子中有3 0%的腺喋吟，由此可知该分子一条链上鸟喋吟含量的最大值可占此链碱基总数的（）A、2 0%B、3 0%C、4 0%D、7 0%此题容易犯的错误是：A=T=3 0%,则 G+C=4（W,那么一条链上的G则为2 0%.分析:已知信息：A/2 n=3 0%.隐含信息:（A+T）/2 n-=6 0%,则（G+C）/2 n=4 0

36、%.未知信息:G i/n=?（注：每条链上的碱基数设为n个，两条链用1、2 链表示）把（G+C）/2 n=4 0%变形为：（G+C）/2/n=4 0%,那么，（G+C）/2 表示的碱基数量就是一条链上的G+C数，即上式也可表示为（G i+G）/n=4 0%.如果把它看作是一个二元一次方程，当只有一个方程式时，2个未知数的取值是不定的，即 G取值范围是0-4（之间，G为 4 0断0 之间，学生不难选出正确答案C,利用数学思想后，不仅很快选出了正确答案，理解起来也比较容易.例 7已知某D N A分子中，G与 C之和占全部碱基总数的3 5.8%,其中一条链的T与 C分别占该链碱基总数的3 2.9%和

37、 1 7.1%.则在它的互补链中，T和 C分别占该链碱基总数的A.3 2.9%,1 7.1%B.3 1.3%,1 8.7%C.1 8.7%,3 1.3%D.1 7.1%,3 2.9%答案：B在高中生物学中，用哈迪-温伯格定律解答基因频率和基因型频率，计算在一定范围内形成多肽时各种氨基酸的个数等，应用方程思想都可降低理解的难度.基因不是支配生命的规律，而规律却在通过基因发挥作用；生命过程毕竟不能违反数学和物理学定律，生物学所做的一切都要受到数学和物理学定律的限制.（-）中心法则中的有关计算DN A f RN A-蛋白质DN A 碱基数量n转录RN A 碱基数量*/2多肽A 1+A 2+A 3+A

38、 1+AM,氨基酸数量n/6例 7 一种动物体内的某种酶是由2条多肽链构成，含 有 1 5 0 个肽键，则控制这个酶合成的基因中脱氧核甘酸的分子数至少是（）A.4 5 0 个 B.4 5 6 个 C.9 0 6 个 D.9 1 2 个K 解析 此酶共有氨基酸为1 5 0+2=1 5 2,一个密码子（三个碱基）决定一个氨基酸，基因是双链,转录时只是其中的一条链，即转录成一个密码子（三个碱基），基因中需六个碱基，也即六个脱氧核甘酸.1 5 2 X6=9 1 2 ,因此答案为D.三、有关蛋白质中氨基酸的种类和数量的计算例 8现有一条多肽，其化学式为C s 此。Oi N。，已知将它彻底水解后只得到下列

39、四种氨基酸：甘氨酸（C2H5 股）,丙 氨 酸（C HN Oz）,苯丙氨酸（C9HUNO2）,和谷氨酸（C5H9N 04）,则该多肽水解后有多少个谷氨酸和苯丙氨酸？解析：根据题意可知这一多肽水解后得到的四种氨基酸中都只有一个N原子，可推知这是有十个氨基酸构成的多肽.根据水解反应的情况可得下列简式：多肽+9 水=1 0 氨基酸，根据反应前后的原子个数不变得原理，设甘氨酸为X 个，丙氨酸为Y 个，苯丙氨酸Z 个，谷氨酸4个，列下列方程组：2 X+3 Y+9 Z+5 K=5 5J 5 X+7 Y+1 1 Z+9 K=7 0+1 8X+Y+Z+K=1 0I2 X+2 Y+2 Z+4 K=1 9+9,解

40、得：X=l,Y=2,Z=3 ,K=4四、生态系统中能量流动计算例 1 某生态系统中初级消费者和次级消费者的总能量分别是M和助，当下列哪种情况发生时，最有可能使生态平衡遭到破坏（）A.叱 IQW2 B.叱 5%C,叱 1 0 W2 D.叱 5 W2解析 生态系统的能量流动效率为1 0%2 0 队即一般情况下上一营养级传递给下一营养级的能量不超过自身同化量的2 0%,如 跖 鹰植 物 鼠 一 蛇 鹰图 2考虑到是最多消耗，计算时要按最低的能量流动效率即1 0%计算，这样这三条链消耗的植物分别为8 0 0 g、8 0 0 g、40 0 0 g,共消耗植物 56 0 0 克.例 5在如下图3 所示的食

41、物网中，已知各营养级之间的能量转化效率为1 0%,若一种生物摄食两种上一营养级的生物时，两种被摄食的生物量相等，则丁每增加1 0 千克生物量，需消耗生产者多少千克？-戊 f庚f丁L甲1己图 3解析：据题意，与丁食物来源相关的食物链有三条：戊一庚一丁，戊一甲一丁，戊一己一甲一丁.丁以甲和庚为食，则按能量传递效率1 0%计算：各需甲、庚 1 0 k g+1 0%+2=50 k g.甲要增长50 k g需摄食己和戊共50 k g+1 0%=50 0 k g,则己、戊各250 k g,己要增长250 k g则需摄食戊250 k g+1 0%=250 0 k g,庚要增长 50 k g 则需戊 50 k

42、 g4-1 0%=50 0 k g.共需戊：50 0+250 0+250=3250 k g.4.根据变化的能量流动效率计算例 6 已知在如下图4 所示的食物网中，C 生物同化的总能量为a,其中A 生物直接供给C 生物的比例为x,则按最低的能量传递效率计算，需要A 生物的总能量（y）与 x的函数关系式为.A-V-C图 4解析 本题中，C 获得能量的途径有二条：从 A 直接获得和从A 经 B传递间接获得，已知C从 A直接获得的比例为x,则直接获得的能量为a x,需要消耗A的能量为1 0 a x,间接获得的比例为（l-x）,则间接获得的能量为（1 x）a,需要消耗A的能量为1 0 0 （1-x）a,

43、那么消耗A的总能量为1 0 a x +1 0 0 （1 x）a=1 0 0 a 9 0 a x,亦即 y 与 x 的函数关系式为：y=1 0 0 a 9 0 a x.5.根据特定的能量流动要求计算例 7 有一食物网如下图5 所示，设 E 种群干物质量为5.8 X 1 09k J,B 种群干物质量为1.3 X 1 08k J，则 A种 群 干 物 质 量 的 值 至 少 是.图 5解析本题首先要搞清楚：由于能量寓于物质之中，所以计算干物质量的值也就是计算能量的量值；其次，由于E种群的干物质的最终去向有B和 A,所以要使A种群所得干物质的量最少，只有在E种群以最低的传递效率传给B （这 时 E种群

44、剩余干物质最少），E剩余部分再以最低的传递效率传给A时才可能发生.B种群干物质量为1.3 X 1 0 k J,从理论上讲，至多消耗E种群干物质为1.3 X 1 0sk J/1 0%=1.3 X 1 09k J.由于A与 E相隔一个营养级，因而A种群干物质量的值至少为（5.8-1.3）X 1 09k J X1 0%X 1 0%=4.5X 1 07k J.五蛋白质合成过程中的相关计算氨酸形成多肽过程中的相关计算1 .蛋白质分子量、氨基酸数、肽链数、肽键数和脱去水分子数的关系(1)肽键数=脱去水分子数=氨基酸数-肽链数；(2)蛋白质分子量=氨基酸数目X氨基酸平均相对分子质量-脱去水分子数X 1 8.

45、肽链数目氨 基 酸数目肽键数目脱去水分子数多 肽 的相 对 分子质量氨基数目竣基数目1 条mm 1m 1m a 1 8(m 1)至 少 1 个至 少 1 个n条mm-nm-nm a 1 8(m-n)至少n个至少n个注：氨基酸平均相对分子质量为a.特别提醒：(1)有时还要考虑其他化学变化过程，如肽链上出现二 硫 键(一S-S-)时，要再减去2 (即两个氢原子)，若无特殊说明，不考虑二硫键.(2)若为环状多肽，则可将公式中的肽链数视为零，再进行相关计算.2 .蛋白质中游离氨基数或较基数的计算(1)至少含有的游离氨基数或较基数=肽链数(2)游离氨基数或竣基数=肽链数+R基中含有的氨基数或竣基数3 .

46、蛋白质中含有N、0原子数的计算(1)N原子数=肽键数+肽链数+R基上的N原子数=各氨基酸中N原子总数.(2)0原子数=肽键数+2 X 肽链数+R基上的0原子数=各氨基酸中0原子总数-脱去水分子数.例 1 已知氨基酸的分子通式为C H Q N-R,且亮氨酸的R 基为一CH,缴氨酸的R 基为一C 3 H,在两者经脱水缩合形成的二肽分子中，C、H、0原子数之比为A.7 ：1 6 ：4 B.1 1 ：2 4：4C.1 1 ：2 2 ：3 D.1 0 ：2 2 ：3【参考答案】C【试题解析】根搪氨基战通式及两个效基酸的R 基可知，两个氯基酸原子总数分别是C 为 2 x 2+4+3=1 1、H为 4x 2

47、+0+7=2 4、O 为 2 x 2=4,两个氨基酸经过肥水缩合失去1 分子H j O,形成的二肽中C、H、O的原子数之叱=1 1：(2 4-2)：(4-1)=1 1：2 2：3.练习题:1 .某一蛋白质由4 条肽链组成，共含有1 0 9 个肽键，则此蛋白质分子中含有的氨基酸数为A.1 1 3 个 B.1 0 9 个C.1 1 2 个 D.1 1 4 个2 .某 2 2 肽被水解成1 个四肽，2个三肽，2个六肽.则这些短肽的氨基总数的最小值及肽键总数依次是A.6 1 8 B.5 1 8C.5 1 7 D.6 1 73.如图为某种蛋白质中相关基团或氨基酸的数目，请据图分析下列结论不正确的是（若氨

48、基酸的平均分子量为1 2 8）0数目皿氨基酸数目竣基的总数勿R基上技基数目以 口 氨 基 的 总 数某种蛋白质中相关基团或氨基酸A.该蛋白质共有2条肽链B.R 基上共有1 7 个游离的氨基C.共 有 1 2 4 个肽键D.该蛋白质相对分子量为1 3 8 9 64.一条由3 9 个氨基酸形成的环状多肽，其中有4个谷氨酸（R 基为一C H 2 C H?C 0 0 H）,则该多肽A.有 3 8 个肽键B.可能没有游离氨基C.至少有5个游离竣基D.至多有3 6 种氨基酸5.已知某蛋白质分子由2条肽链组成，共有3 0 2 个氨基酸，具体如图1 所示.请据图回答下列问题:a 链图 1（1）该蛋白质分子至少

49、含有游离的氨基 个;如图2）,则该蛋白质分子至少含有一（2）在合成1 分子该蛋白质的过程中，共失去CH2-COOHIH2NCHCOOH天冬氨酸图 2若已知该蛋白质含有5个天冬氨酸（分子结构个游离的竣基.一个水分子，相 对 分 子 质 量 共 减 少.参考答案:1 .【答案】A【解析】脱去的水分子数=形成的眼键个数=氨基暧个数-肽犍条数，组成该蛋白烦的氨基酸数=灰鞋敷+联键数3+1 0 9 曰1 3 个，A正确。小结：脱水缩合是指一个氨基酸分子的竣基和另一个氨基酸分子的氨基相连接，同时脱出一分子水.脱水缩合过程中的相关计算：（1）脱去的水分子数=形成的肽键个数=氨基酸个数-肽链条数；（2）蛋白质

50、分子至少含有的氨基数或叛基数，应该看肽链的条数，有几条肽链，则至少含有几个氨基或几个竣基.2 .【答案】C【解析】该多肽含有氨基酸总数为2 2 个，水解后生成了 1 个 4肽，2个 3 肽，2个 6肽，也就是形成了 5个多肽链，所以这些短肽的氨基总数的最小值=肽链数=5,肽键总数=氨基酸数-肽链数=2 2-5=1 7,故选 C.小结：根据蛋白质的脱水缩合过程，肽键数=脱去的水分子数=氨基酸数-肽链数；至少含有的氨基数=竣基数=肽链数.3 .【答案】B【解析】敖基总数=肽链数+R基上酸基数，故肽链数=1 7-1 5=2 （条），A正确；同理，总氨基数二肽链数+R基上氨基数，故 R 基上氨基数=1