2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨第二高级中学高三（上）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨第二高级中学高三(上)期中数学试卷一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1 .已知全集U =-1,0,1,2 ,集合4=0,1,2 ,B=-1,1),则A n (Cu B)=()A.0,2 B.1,2 C.-1,0,1 D.(0,1,2)2 .设(l +i)x =l+y i,其中i 为虚数单位，x,y是实数，则|K +y i|=()A.1 B.V 2 C.V 3 D.22 x +y+2 03.若实数x,y满足约束条件卜-y+l 0 ,则z =2 x-y 的最大值为().y-1 0时，存在实数b,使得|x+y-

2、b|既有最大值，又有最小值B.当a 0时，对于任意的实数b,|x+y-b|有最大值，无最小值C.当a 0时，存在实数b,使得|x+y-b|既有最大值，又有最小值D.当a 0时，对于任意的实数b,|x+y-b|无最大值，有最小值二、填 空 题（本大题共7小题，共36.0分）1 1.古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现：数量为1,3,6,1 0,.的石子，可以排成三角形(如图)，我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，则第5个“三角形数”是,前6个“三角形数”的和是.12.写出一个最小正周期为2的偶函数/(x)=13.某几何体的三视图如图所示(单位：c m),则该几何体的表面积是 c m2,体积是.c

3、m3.侧视图俯视图14.二项展开式(2+x)5=%+arx 4-a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则g =，的+&+as=15.在AABC中，B=60,4c=b，则AaBC的 外 接 圆 面 积,AABC周长的最大值为16.若随机变量XB(2,p),随机变量丫B(3,p),若P(X=2)=,则E(2Y+1)的值为.17.己知圆C：(x-7)2+y2-1 6,过点M(5,0)作直线交圆C于4,B两点.若P(2,5),贝 同+而|的 最 小 值 为.三、解答题(本大题共5 小题，共 74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 8 .(本小题1 4.0 分)已知函数/(x)=3 s

4、 in co s|+V 3 s in21.(1)求f(x)的单调减区间；(2)在A A B C 中，求函数/的取值范围.1 9 .(本小题1 5.0 分)如图，在直三棱柱 A B C-O E F 中，/.BAC=9 0 ,/.ACB=3 0 ,BE=BC=2,M,N 分别是BE,4 c 的中点.(1)证 明:MN平面CDE.(2)求直线4 M 与平面CD E 所成角的正弦值.2 0 .(本小题1 5.0 分)已知数列 册 满足:%=1,肝=备 数 列 九 是等比数列,并满足瓦=2,且瓦一 1,九，生-1 成等差数列.(1)求数列 即,勾 的通项公式；(2)若数列 0 满足。=羡奈，求证：R +

5、C2 +Cn b 0),且满足a b =4,抛物线C2：y2=2px(p 0),a b点A 是椭圆Cl与 抛 物 线 的 交 点，过点4 的直线，交椭圆q 于点8,交x 轴于点M.(I)若点4(2,1),求椭圆G 及抛物线Cz 的方程；(口)若椭圆G 的离心率为多点力的纵坐标记为3 若 存 在 直 线 使 4 为线段B M 的中点，求t 的最大值.22.(本小题15.0分)设函数/(x)=ln(x+1)-a x e*,其中e是自然对数的底数，a R.(1)若a=0,求f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若0 a 故选B.3.【答案】D【解析】解：由实数x,y满足约束条件出可行域如图，

6、化目标函数z=2x-y 为y=2 x-z,2x+y+2 0 x y+1 0.y-1 电 因=/(乃,即函数/(x)为偶函数，排除B,在区间(0,1)上，2X+2-x 0,lg|x|0,则f(x)=蠡=今即区至 =1建立如图所示的平面直角坐标系，设 南=3，OA=a，OC=c则万？=(2,0)，OB=(1,V3).又|百 一=B，则 1 4cl=V3.即点C的轨迹为以4(2,0)为圆心，百 为半径的圆,则 沅=(2+V3cos0,V3sin0)即方U=1 x(2+V3cos0)+V3 x(V3sin0)=3sin6+痘cos9+2=2/3sin(0 +3)+2,又2gsin(0 +)+2 G 2

7、-2代,2+2V3,故选：D.先由已知条件求出=热 然后建立平面直角坐标系，然后求出点C的轨迹，最后结合三角函数值域的求法求解即可.本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.1 0 .【答案】D【解析】解：设=|x+y-b|=|x b+a/+m洌，0,贝 ijg 0时，g(x)在(0,+8)上单调递增，存在实数b,使得|g(x)|可能有最小值，无最大值；当a 0,对g（x）求导，然后分a 0及a 0讨论即可得出结论.本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.1 1 .【答案】1 5 5 6【解析】解：设三角形数构成数列 斯,由臼=1,a 2

8、 =1 +2 =3,=1 +2 +3 =6,。4 =1 +2 +3 +4 =1 0,可得第5个“三角形数”是a s =1 +2 +3 +4 +5 =1 5,第6个“三角形数“是（1 6 =1 +2 +3 +4 +5 +6 =2 1,所以前6个“三角形数”的和是1 +3 +6 +1 0 +1 5 +2 1 =5 6,故答案为：1 5；5 6.设三角形数构成数列 a.,根据前四项的规律可求出第5、6个“三角形数”，再求出前6项的和即可求解.本题考查归纳推理，考查学生的运算能力，属于中档题.1 2 .【答案】C O S（7 T X）（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，联想余弦函数的性质，分析可得

9、答案.本题考查函数的奇偶性、周期性，注意常见函数的奇偶性、周期性，属于基础题.【解答】解：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，可以联想余弦函数，则 f（x）=COS（TTX），故答案为：C O S（7 T X）（答案不唯一）1 3.【答案】2 0 +4 7 58【解析】解：由三视图作出原图形如图所示,原几何体为底面是边长为2 cm、4 cm的直角三角形，高为2 cm的直三棱柱；其表面积为 S =2 x：x 2 x 4 +4 x 2 +2 x 2 +2 x V 42+22=2 0 +4 7 5 cm2；体积为 V =；x 4 x 2 x 2 =8 cm3.故答案为：2 0 +4a，8.由

10、三视图作出原图形的直观图，结合图形求出它的表面积与体积.本题考查了三视图与体积、表面积的计算问题，是基础题目.1 4.【答案】8 0 2 1 1【解析】解：a2=5 ,23=8 0,令 X =1,得劭+=3 ，令x =0.得劭=25,C l j +Q，2+C I 3 +。5 =3，2，=2 1 1.故答案为：8 0；2 1 1.根据二项式定理及赋值法即可求解.本题考查二项式定理及赋值法的应用，属基础题.1 5.【答案】n r 3 V 3【解析】解：在A A B C中，B=6 0 ,AC=阴,设4 2 B C的外接圆的半径为R,eod AC 43.则 2R=2,2即 R =1,即A/I B C的

11、外接圆面积为7 T;由余弦定理4 c2 =A B2+BC2-2x AB x BC X cosB可得：AB2+BC2-AB x BC=3,即Q4B+BC)2-3A B X BC=3,又AB x BC W (丝 产 产，当且仅当AB=AC时取等号，则(AB+BC)2 12,即+BC/3 由正弦定理，结合余弦定理及重要不等式求解即可.本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理，属基础题.16.【答案】5【解析】解：因为随机变量X B(2,p),所以 P(X=2)=C2P2 ，所以p-|,所以随机变量y 8(3,|),所以 E(Y)=np=2,所以 E(2Y+1)=2E(Y)+1=5,故答案为：5.根据随

12、机变量X B(2,p)和P(X=2)=C2P2=S求出P，从而确定随机变量丫B(3,p)，再用均值公式求解.本题主要考查了随机变量的二项分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题.17.【答案】2闻 一 2【解析】解：根据题意，如图：设48的中点H,连接CH,则有PH 1 4 B,故中点，的轨迹为以CM为直径的圆，设该圆为N,则其圆心N为(6,0),半径r=l,H为4B的中点，则 行+而=2 而，则 用 腐+而|=2|而|，则|PN|=V42+52=V4 1 点P 到圆N 上点的距离最小值为q-r =V41-l,则|可+而|的最小值为2(W T -1)=2 V4 1-2，故答案为：2/1-2.根

13、据题意，设4 B 的中点H,连接CH,分析可得H的轨迹为以C M 为直径的圆，分析该圆的圆心和半径，由向量的中点表示和圆外一点与圆上的点的距离的最值性质，计算可得所求最小值.本题考查直线与圆的方程的应用，涉及轨迹方程的求法，属于综合题.1 8 .【答案】解：(l)/(x)=1 s t n x +年(1 -co s x)=|s in x -浮co s x +4=遍 停 sinx|co s x)+y=V3 s in(x Y)+争由2/C T T+7 4%工 工 2kji+-r9 k 6 ZL O z得2/OT+x 2/C T T+手,f c E Z 即函数的单调递减区间为 2 时+与,2+部 k&

14、Z.(2)在 A B C 中，4 =全则0 B 等，则/(B)=V3 s in(B Y)+里,3 6 2 l 即x=V3y+2z=0,令y=2,则z=-V3，得元=(0,2,-V3).设直线4M与平面CDE所成角为6,.而？=1 =cos =丽 丽=田故AM与平面CDE所成角的正弦值为尊.【解析】(1)取C。的中点。，连接N。，EO.推导出四边形MEON是平行四边形，从而MNEO.由此能证明MN 平面CDE.(2)以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.利用向量法能求出AM与平面CDE所成角的正弦值.本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

15、关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2 0.【答案】解：(1)号1=ZT7,(n+l)an+1=nan,V4-T1/C I J L则数列 nan为常数列,又由=1,nan=l,1 n a n=n-；瓦一1,b4,坛 一 1成等差数列，.2/=瓦+坛-2,又瓦=2,，2b4 =b，得公比q=*=2,bn=2n；证明：(2)由(1)可得：Cn=设Cl+C2 d-1-Cn=Sn,*Sn=1 x g+2 x +4-n 今,则 n=lx+2x1+(九 一+)+/p两式相减得：=1 +p+-+n-n-薪 7 =一 n 煮 整理得：S n =2-噤 2,即 R +C2+C”b 09 解得a =2V

16、2,b=V 2,可得椭圆的方程为1+4=1;8 2(H)椭圆的离心率为e=1 1 _ 此=邑,则2=)a N a2 2 Q ，又a b =4,a b 0,解得a =2或，b =或，椭圆的方程为f+=1，由题意可 得 怎,t),又4 为线段BM的中点，设M(m,O),则B(-m,2t),又4 B 在椭圆上，可 得 品+=1 ，心理+=i，J/p 乙 b p 4 X 4 -可得2叫1 3n2P2=3,即7 n2P 2 一 2pmt2+24 P 2=o,关于m的方程有解，故A=4 p 2t4-9 6 2 4 2 0,解得 2 4度，故1=+4+匕，可得1 2 V L3 2p2 2-3 2 2 2t的

17、最大值为?，当p =，m=26 时取得.2 广 24【解析】(I)分别将(2,1)代入椭圆方程和抛物线的方程，结合M=4,解方程可得p,a,b,进而得到椭圆方程和抛物线的方程；(H)运用椭圆的离心率公式和ab=4,a,b,c的关系解得a,b,可得椭圆方程，设出4(而,t),运用中点坐标公式和4 B在椭圆上，代入椭圆方程，运用二次方程有解的条件，解不等式可得所求t 的最大值.本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.22.【答案】解：(1)当a=0时，/(x)=ln(x+l),则f(%)=击,/./(0)=0,f(0)=1,八%)在点(0,7(0)处的切线方程为y=%

18、；(2)证明：函数 f (%)=In(%4-1)-axex,则1(%)=-L-a(x+l)ex=上 半 普 邑，令=1-a(x+I)?”,%1,x 1,gr(x)=-a(x+l)2+2(x+l)e,v x 1,0 a 1,:.g(x)x+1在0,+8)上恒成立，v 0 a 工 1，Q a J g(_ 1)=_ Q.(,)2.ga-1 0,根据零点存在性定理，存在%0(。3 一1)，使得9。)=，,当-1 x 0,即/(%)0,当x%。，g(x)0,即/(%)/(0)=0,令t(x)=Inx-%+1,则t，(x)=；-1=当0 x 0,当1时，t(x)0 t(x)在(0,1)上单调递增，在(1,

19、+8),X=1时，t(x)取得极大值，也是最大值，即t(x)t(l)=0,Inx x-1 在(0,+8)上恒成立，0 I n；S ；1,结合6)式，/(；-1)=I n：-吟 -1).e，(：-1)-*-1)=0，f (x)在(见,+8)上有一个零点，又/(x)=0时，显然有f(0)=0,综上所述，当0 a l,f(x)在(一1,+8)上恰有两个零点.【解析】(1)代入a的值，求出/(为，则k=f (0),根据点斜式即可得出切线方程；(2)/(x)=ln(x +1)-axex,求 出 -1,0 a 1,求出g (x),判断出g (x)0,利用导数证明e*2 x +1在定义域上恒成立，I n x W x -1在(0,+8)上恒成立，即可得。(；-1)0,/(一1)0,根据零点存在性定理，即可证明结论.本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和极值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题.