2021-2022学年重庆市大足区高考仿真模拟数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1 .考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2 B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数二满足(l +i)z=2i,则 目=()5 1A.V 2 B.1 C.D.-2 22.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形A B C的斜边8C,直角边A

2、 B,A C.已知以直角边A C,A B为直径的半圆的面积之比为,，记N A 6 C =a,贝！|s i n 2a =3.已知双曲线C:=与=1(a 0 1 0),点P(X o，%)是直线版一做+4a =0上任意一点，若圆a b(X /)2+(丁一%)2=1与双曲线。的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是().A.(1,2 B.(1,4 C.2,+8)D.4,-KO)jrIT4.已知函数/(%)=如(20 1 9%+9+8 5(2 0 1 9犬-2)的 最 大 值 为 ，若存在实数私，使得对任意实数x总有4 4/(/(%)/()成立，则 时 恸 一”的最小值为()71 271 71 71

3、A.-B.-C.-D.-20 1 9 20 1 9 20 1 9 40 385.已知函数/(X)=6皿-户+c(4c均为常数)的图象关于点(2,1)对称，则/(5)4/(-1)=()A.-2 B.-1 C.2 D.46.已知 为等差数列，若。2=2%+1,%=2%+7,则 为=()A.1B.2C.3D.67.已知全集。=1 1,集合M=x|-3 x I ,N =则阴影部分表示的集合是（）C.y,3)U(1收)D.(-3,-1)8 .某网店20 1 9年全年的月收支数据如图所示，则针对20 1 9年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大C.这1 2个

4、月利润的中位数与众数均为30 D.这一年的总利润超过40 0万元9 .记递增数列 4,的前”项和为S“.若4=1,佝=9,且对他.中的任意两项与%（1 4，3,S93,S9 36C.a6 3,S9 36D.a6 3,S9 +2=（）,氐+y +2百=0.其中满足条件的所有直线4的编号有（）A.B.C.D.1 1.已知三棱锥。-ABC的体积为2,A B C是边长为2的等边三角形，且三棱锥D -A B C的外接球的球心。恰好是8中点，则球。的表面积为（)524A.340万B.3254C.-3D.24万1 2.设等差数列 ,的前”项和为S“，且58=0,%=-3,则$9=()A.9 B.12 C.-

5、1 5 D.-1 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.在棱长为1的正方体A3 CD-4 4 GA中，P、Q是面对角线AG上两个不同的动点以下四个命题：存在P、Q两点，使B P L D Q；存在P、Q两点，使BP、OQ与直线BC都成45的角；若1尸。|=1,则四面体3 O P。的体积一定是定值；若|P QI=1,则四面体8 O P。在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是.1 4.已知多项式(九+2)(+1)=。0 +%+。2%2+4+廿+满足。0=4，i =1 6,贝！/+=,a0+at+a2+am+n=-.1 5.设函数/(x)(xeR)满 足/(一

6、 幻=/。),/()=/(2-),且当0,1 时/(x)=1?,又函数g(x)=1 xco s(4x)|,1 3则函数(x)=8(幻-/(幻 在 -,；上的零点个数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 6.若函数/(x)=s i n 2x-J5co s 2x的图像向左平移/个单位得到函数g(x)的图像.则g(x)在 区 间-?上的最小值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。I n x1 7.(1 2 分)已知函数/(x)=xe*,g(x)=.x(1)求函数f(x)的极值；(2)当 x0 时，求证：/(x)g(x).1 8.(1 2 分)设 函 数/(x)

7、=e、一依1 (a e H).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若关于x的方程l n(o r+a +l)=x+l有唯一的实数解，求a的取值范围.1 9.(1 2分)在平面直角坐标系x Q y中，已知椭圆C的中心为坐标原点。，焦点在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为,.2(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(-4,0),连接PM交椭圆C于另一点E.求证：直线N E过定点B,并求出点8 的坐标;（3）在（2）的条件下，过点8的直线交椭圆C于S,T两点，求历.讨的取值范围.20.（1 2分）如图，在 四 棱 锥A B C。

8、中，底面A B C。是矩形，四条侧棱长均相等.（1）求证：A 8|平面P C D;（2）求证：平面平面A B C O.21.（1 2 分）设函数/（x）=x+2|-|2x-2.（1）解不等式x）2 2x-l；（2）记“X）的最大值为用,若实数“、b、c满足4+。=,求证：7 7+P-+y/b2+c2+ylc2+a2 372 22.（1 0分）在直角坐标系xO v中，曲线G的参数方程为 一日（r为参数，a为实数）.以坐标原点。为y=2+，s i n a极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为。=8 s i n。，曲线G与曲线C 2交于AB,两点，线段A3的中点为”.（1）求

9、线段AB长的最小值；（2）求点M的轨迹方程.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】根据复数的运算法则，可得z,然后利用复数模的概念，可得结果.【详 解】由题可知:2z 2/(1-/)2/-2rT+7-(l+j)(l-z)-1-z2由 =一1,所 以z =1 +i所 以 忖=V l2+12=/2故选：A【点 睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.2.D【解 析】Ar 1由半圆面积之比，可 求出 两 个 直 角 边A B,AC的长度之比，从 而 可 知t a n a =,结合同角三角函数的基本关AB

10、2系，即可 求 出s i n a,co s a ,由二倍角公式即可求出s i n 2a.【详 解】解：由题意知a e(0,9 ,以AB为 直 径 的半圆面积R =；万(空)，以AC为 直 径 的 半 圆 面 积S21=一兀2AC?ES,A C2 1 n n,则 -,即 t a n aSi AB 4A C _ 1AB-2由O,bO)的一条渐近线方程为y =x,即b x -a y =O,a-b-aV P(x0,y0)是直线b x-a y +4 a =0上任意一点，1 4 a 4 a则直线b x-a y +4 a =0与直线b x -a y =0的距离d =丁=三，.圆(x X o p+Q y o)

11、2=I与双曲线。的右支没有公共点，则d N l,4 c 1,即6 =一 l故e的取值范围为(1,4 ,故选：B.【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线。的右支没有公共点得出d N l是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.B【解析】根据三角函数的两角和差公式得到/(x)=2 s i n(2 01 9 x +?),进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【详解】函数=/2 (s i n 2 01 9%+c o s 2 01 9 x)=2 s i n(2 01 9 尤+()则函数的最大值为

12、2,A/-|m-n|=2|/n-n|存在实数加，使得对任意实数x总有/(，)4,成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即兀 Im n-/.2 m 7?.2 01 9 m m2 12 01 9故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.5.C【解析】根据对称性即可求出答案.【详解】解：,点（5,f（5）与 点（-1,/（-1）满 足（5-1）+2=2,故它们关于点（2,1）对称，所以/（5）+f =2,故选：C.【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题.6.B【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求

13、出首项和公差，由此能求出.【详解】：同为等差数列,a2=2 a 3 +l,a4=2 a,+7,a,+d =2（a 1+2 d）+l，a,+3 d =2（al+2 d）+7，解得a 1=-io,d=3,a5=a,+4d=-10+11=1.故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.D【解析】先求出集合N 的补集q N,再求出集合M 与aN的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由。=R,N=x|x|,I,可得eN=x x 1,又 M=x|-3 x l 所以Mcg,N=x -3 x T.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合

14、，集合的交集和补集的运算，属于基础题.8.D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为90-30=6 0,故选项A 正确；1至 12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7 月份的利润最高，故选项B 正确;易求得总利润为380万元，众数为3 0,中位数为3 0,故选项C 正确，选 项 D 错误.故选：D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.9.D【解析】由题意可得=血，从而得到%=3,再 由%=3 就可以得出其它各项的值，进而判断出Sg的范围.a5【详解】a,解：.4+%,或其积区巴，

15、或其商上仍是该数列中的项，%.2+%或者a2a9或者”是该数列中的项，a2又 丫 数 列 是递增数列，a2 03 a,a2%外，只有也是该数列中的项，a2同理可以得到血，,“，我 也是该数列中的项，且有4&.四 3,根据 =1,=3,“9=9,I 1 3 5 3 7同理易得出=3 6=3 5%=3,，4=3 3%=3 火=3彳，9S9=%+生+%=-T 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设。点到平面A B C的距离为力，因为。是CO中点，所以。到平面A B C的距离为g,2三棱锥。ABC的体积V =gs.c =；x 2 x 2 x sin6 0/=

16、2,解得人=2 6，作OO，平 面A B C,垂 足。,为 M C的外心，所 以C。=2叵，且。=6,3 2所 以 在R，AC O O中，O C =y/c o2+o o2=,此为球的半径，.1 3 5 2乃/.S-4万R-=4万=-.3 3故选：A.D【点 睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题.1 2.A【解 析】由$8=0,%=-3可 得4，d以及“9,而S9=S8+%，代入即可得到答案.【详 解】q+2 d=-3,(设 公 差 为d,则0 8 x 7 ,八解得 c8 a+-d=0,d=2,I 2为=q+8 d=9,所以 S9=$8 +%=9.故选：A.【点 睛】本题考查等

17、差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。1 3.(D 【解 析】对于中，当 尸 点 与A点重合，。与 点G重 合 时，可判断正确；当 点P点 与4点重合，B P与 直 线 所 成 的 角最小为6 0，可判定不正确；根据平面OB。将四面体BOPQ可分成两个底面均为平面OB。，高之和为P Q的棱锥,可判定正确；四面体8DPQ在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定正确.【详解】对于中，当P点与A点重合，。与点G重合时，B P上D Q,所以正确；对于中，当点尸点与4点重合，肝与直线科。所成的角最小，此时两异面直线

18、的夹角为60。，所以不正确；对于中，设平面4 4 G 2两条对角线交点为。，可得P Q，平面03。，平 面 将 四 面 体 可 分 成 两 个 底 面 均 为 平 面O B D,高之和为P Q的棱锥，所以四面体BOPQ的体积一定是定值，所以正确；对于中，四面体8OPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，四 面 体 在 四 个 侧 面 上 的 投 影，均 为 上 底 为 立，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，2故 四 面 体 在 该 正 方 体 六 个 面 上 的 正 投 影 的 面 积 的 和 为 定 值，所以正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查

19、了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.1 4.5 72【解析】：,多项式(x+2)(x+1)=4+。%+。22+满足。o =4,4=16；令j=0,得2 xl=%=4,则 加=2(x +2)m(x +1)”=(x2+4 x +4)(x +1)”该多项式的一次项系数为4 C：T +4c J-=1 6:.G T =3：=3:.m+n =5令x =l,得(l+2)2 x(l+l)3 =/+4 +/+/+”=7 2故答案为5,7 21 5.1【解析】判断函数f M为偶

20、函数，周期为2,判断g(x)为偶函数，计算/(0)=0,/(1)=1,g(0)=g(g)=g(；)=g)=0 ,画出函数图像，根据图像到答案.【详解】/(x)=/(x)知，函数/*)为偶函数，/(x)=/(2-x),函数关于x =l对称。/(x)=/(2-x)=/(x-2),故函数/(x)为周期为2的周期函数，且.0)=0,/=1。g(x)hx cos(万x)|为偶函数，g(0)=g(；)=g(g)=g(T)=0,g(l)=l,当x e 0,-时，g(x)=x cos(；r x),g(x)=cos(x)-xs i n,函数先增后减。当 时，g(x)=-x cosQr x),g(x)=x sin

21、(x)-cos(x),函数先增后减。1 3|3在同一坐标系下作出两函数在 ,-上的图像，发现在 ,-内图像共有1个公共点，2 2 2 21 3则函数在-,白上的零点个数为1.2 2故答案为：6.本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.1 6.Y【解析】T T T T注意平移是针对自变量X,所以g(x)=/(x +7)=2 s i n(2 x-百)，再利用整体换元法求值域(最值)即可.8 1 2【详解】由已知，/(x)=s i n 2 x -V 3 c o s 2 x =2 s i n(2 x -),g(x)=/(%+)=3 8八.冗、兀、.兀、万3乃

22、71 r 71 2乃i2 s i n 2(x +-)-=2 s m(2 x-),又,故2 一二 一丁,丁,o j 1 2 1_8壬 1 2 3 32 s i n(2 x-y 1)e -V 3,2 ,所以 g(x)的最小值为一故答案为：-瓜【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)/(%)的极小值为/(-I)=无极大值.(2)见解析.e【解析】(1)对/(x)=x e，求导，确定函数单调性，得到函数极值.I n Y(2)构造函数F(x)=/一m x(x 0)

23、,证 明/(幻 0恒成立，得 到 三 I nx =xe 2 -I-n-x ，得/证一.尤 x【详解】(1)由题意知，f x)=xex+ex=(x +l)ex,令/(冗)0，得心一1，令/(%)0时，要证/(x)g(%),即证X令 F(x)=x2-I n x(x 0),则 F (x)=2 x-(x 0),x令尸(x)0,得x 巫，令尸(x)0,得o 0时，尸(无)2/程j =g _ l n等0,I n X所以f i n x,即F0时，e、e=l,x,r I n x 2 I n x所以当 x 0 时，e n xe -,x x所以当x 0时，不等式/(x)g(x)成立.【点睛】本题考查了函数的单调性

24、，极值，不等式的证明，构造函数/(%)=/-I n x(x 0)是解题的关键.1 8.(1)当“M 0时，递增区间时(-8,+8),无递减区间，当。0时，/(x)递增区间时(I n a,+8),递减区间时(-o o,l n a)；(2)“40或a =l.【解析】(1)求出f(x),对。分类讨论，先考虑尸(x)N O(或f(x)40)恒成立。的范围，并以此作为。的分类标准，若不恒成立，求 解/(x),/(x)0,即可得出结论;(2)l n(“x +a +l)=x +l 有解，即 e 1-a(x +l)-l =0 ,令/=x +l,/(f)=0,转化求函数/(x)=0 只有一个实数解,根 据(1)

25、中的结论，即可求解.【详解】(1)f()恒成立，当 a ()时，f(x)0,x I n a,f(x)0,x()时，f(x)递增区间时(I n a,+8),递减区间时(一8 n a)；(2)I n (a r +a +1)=+1 o ex+l=(%+1)+1 0 ,=eA+l a(x+1)1 =0令 x+l=z,原方程只有一个解，只需/(r)=0只有一个解，即求/(x)=e -以 1 只有一个零点时，。的取值范围，由(1)得当。4 0 时，在(7,+8)单调递增，且/(0)=0,函数只有一个零点，原方程只有一个解1,当a 0时，由(1)得/0)在 x =I n a 出取得极小值，也是最小值，当a

26、=l 时，此时函数只有一个零点，原方程只有一个解-1,当 a ()且 a H1递增区间时(I n a,+。)，递减区间时(-8,I n a)：/(l n a)/(0)=0,当x f f o,/(x)f+o o,x t+o o,/(x)f+o o J(x)有两个零点，即原方程有两个解，不合题意，所以。的 取 值 范 围 是 或 a =1.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.r 2 V 2 ，、1 9.(1)、+、=1；(2)证明详见解析，B(-1,O)；(3)【解析】(1)根据题意列出关于a,4 c的等式求解即可.-4-，4(2)

27、先根据对称性，直线NE过的定点8一定在x轴上，再设直线P M的方程为y=-x +4),联立直线与椭圆的方程，进而求得NE的方程，并代入=攵(+4),%=攵3+4)化简分析即可.(3)先分析过点8的直线S T斜率不存在时O S -O f的值，再分析存在时,设直线S T的方程为y=m(x+1)，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理再代入O S O T =x,x4+%以 求解出关于攵的解析式，再求解范围即可.【详解】2 2解：(1)设椭圆。的标准方程 +3=1(4 方0),焦距为2。,由题意得,。=2,a-c _ c _ 1由a?a 2,可得。=1,-ac则-C2=3,r2 .2所以椭圆C的标准方程为

28、上+乙=1 ：4 3(2)证明：根据对称性，直线N E过的定点8一定在x轴上,由题意可知直线P M的斜率存在,设直线P M的方程为y=k(x+4),联立y=-x+4)x2 y2 ，消去)得到(4女2+3)为2+3 2 k 2%+64 k 2T2=0,1 4 3设点用(王，乂),：。2，%)，则 N(X|,-y).所以 +X j=32k26 4 P-1 27 ,X,Xy-，4 r+3 -4 r+3所 以 世 的 方 程 为=y黄9+y.（/公令 y=0,得1=/=）式 ），%+X将%=%（菁+4）,%=%（/+4）代入上式并整理,2/%+4&+x2）玉+尤2+8（128公一24）-128公整理得

29、”）3兼、（2:+3的7所以，直线NE与x轴相交于定点B（-1,O）.（3）当过点8的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=l S（T，g），丁（-1，一此时OS.OT=_己,4当过点B的直线ST斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+l），且S（w，为），了（4,为）在椭圆C上，y=，（x+1）联 立 方 程 组/y2,+=14 3消去，,整理得（4m2+3）x2+Sm2x+4m2-12=0,则 A=（8，2）2-4（4，2+3）（4/2-1 2）=1 4 4（/?+I）0 .所以H寸 一 潦e七”4疗-124m2+3、9m2所以 y 3 y 4=疗（工3+）（/+1）=（工314+

30、七+1 4 +Q=-；-，4m+35 +12 5 33所以05 07=天/+%=_/2,2=_：_/4m+3 4 4（4m+3）由疗 20,得oC-oT e-4,-1 j,综上可得，砺.讨 的 取 值 范 围 是-4,-1.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题，需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理以及所求的解析式，结合参数的范围进行求解.属于难题.2 0.(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(1)在矩形A B C D中，A B/C D,又平面P C D,C D u 平面 P C O,所以4?/平面P C D.(2)连结8 D

31、,交AC于点。，连结P。，在矩形A 8 C D中，点。为A C,B O的中点，又 P A=P B =P C =P D,故P O L A C,P O 1 B D,又 A C flB O =O，AC,B D u 平面 A B C D,所以P O L平面A B C。，又P O c z平面P A C,所以平面P A C，平面A B C D.2 1.(1)(-o o,-3 -1(2)证明见解析【解析】(1)采用零点分段法：-2、-2 x l,由此求解出不等式的解集；(2)先根据绝对值不等式的几何意义求解出M的值，然后利用基本不等式及其变形完成证明.【详解】(1)当l时，不等式为x+2 2 x+2 2 2

32、 x 1,解得3.原不等式的解集为(一8,-3 U-1,|(2)/(x)=1%+2 1 1 2 x 2Hx+2|x 1|元1 区|(x+2)(x1)|x 1 1=3 x-1 区3f(x+2)(x-l)0当且仅当 1 即x=l时取等号，二/(力 由=3，a+0 +c =3a2+b2 lab.A 2(a2+/?2)(+b)2,：.y/a2+b2 (a+b)(当且仅当 a=。时取“=”)2同理可得 n 去(b+c)，Jc2+a2 (c +t z)y/a2+b2+Jb2+c2+V c2+a2 V 2(a+Z?+c)：飞a2+/+2 +c 2 +J d +Q 2 23a (当且仅当a=0=c =l时取“

33、=”)【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式，难度一般.(1)常见的绝对值不等式解法：零点分段法、图象法、几何意义法；(2)利用基本不等式完成证明时，注意说明取等号的条件.2 2.(1)4及(x-l)2+(y-3)2=2.【解析】(1)将曲线C 2的方程化成直角坐标方程为r +y 2=8 y,当时，线 段 取 得 最 小 值，利用几何法求弦长即可.(2)当点M与点P不重合时，设M(x,y),由 利 用 向 量 的 数 量 积 等 于0可求解，最后验证当点”与点P重合时也满足.【详解】解(1)曲线G的方程化成直角坐标方程为1+y2 =8y即 d+(y 4)2=1 6,圆心G(0,4),半径r=4,曲线G为过定点尸(2,2)的直线，易知P(2,2)在圆C内,当 P C?J_ A B 时,线段 A B 长最小为 2/2一 陷 二 2，1 6 (2 0+(2 4)二 4 72(2)当点”与点p不重合时，设 M(%)，),.C2M PM,q M.P M=x(x-2)+(-4)(-2)=0,化简得:(x_ l)2+(y_ 3=2,当点”与点P重合时，也满足上式，故点M的轨迹方程为(x-l)2+(y-3)2=2.【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.