2021-2022学年湖北省鄂北六校高二（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年湖北省鄂北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄州一中、南漳一中、河口一中）高 二（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共 40.0分）1.曲线y=当/2在 =一1处的切线的倾斜角为（）AI B.C.D 谭2.3名同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法种数是（）A.10 B.60 C.125 D.2433.函数y=Cosx在点（一 0）处的切线方程是（）A.y=x B.y=X+C.y=-X+D.y-x4.北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不

2、同的去法种数有（）A.16 B.32 C.48 D.645.在（l-x）5 +（l-）6 +（i-）7的展开式中，含炉的项的系数为（）A.25 B.65 C.-25 D.-65()11A.(-B.0,)C.(,0 D.-*)8.函数f(%)=(x-l)-e*(2%-l)有两个零点，则的取值范围为()A.(8,1)u(4e5,+8)B-(1,42)33C(0,1)u(4e?,+8)D.(4ez,)二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9.(+证)14的二项展开式中，下列说法正确的是()A.二项式系数最大项是第8项 B.展开式中的常数项是第8项C.展开式中不含X的一次基的项 D.展开式中有

3、理项有3项10.曲线/(x)=e。，在点(U)处的切线与直线2x-y +l=0垂直，则下列正确的是()A.=-B.=-22C.f(x)在R上单调递增 D./(x)在R上单调递减11.已知函数/(x)的定义域是(0,+o),其导函数是f(x),且满足伍(x)+/(x)0,则下列说法正确的是()A.0 B./()0 D./(e)012.函数/(%)=则下列说法正确的是()A.f Q)在X =1处有最小值B.1是f(x)的一个极值点C.当0 :时，方程f(x)=有两异根三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.已知函数/(x)=fG)sx CoSX,则/6)的值为14.如图，现在用4种不同

4、的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_ _ 种.15.(1+x+x2)(l-x)6的展开式中/的系数为.e%,%V lInx ，方程/OOF-(%)=0有3个不同的根，则实数Q的 取 值 范 围 是.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.已知(1+2%)6=0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+6x6.(1)求劭的值；(2)求+3 s-第2页，共14页18.已知函数f(%)=x+(1)求函数/(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)(x)在点(1,1)处的切线与y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，求

5、的值.19.从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛.(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人,那么有多少种派送方式？20.如图，则半径为25m的 牺(。为圆心)铝皮上截取一块矩形材料0 4 B C,其中点B在圆弧上，点4,C在两半径上，现将此矩形铝皮048C卷成一个以4B为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长4B=x n ,圆柱的体积为V3.(1)求出体积IZ关于的函数关系式，并指出定义域;(2)当X为

6、何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？2 1.已知函数/(x)=Q+l)e”.(1)求函数/(%)的极值；(2)若/(%)a/,对任意的%O恒成立，求的取值范围.已知Q是实数，函数/(%)=alnx-X.(1)讨论f(%)的单调性;(2)若f(%)有 两 个 相 异 的 零 点%2且%2 ，求证：xl*x2 第4页，共14页答案和解析1.【答案】B【解析】解：由曲线y=j 2-2,可得y=5x,所以曲线y=_ 2在X=1处的切线的斜率为一百，所以切线的倾斜角为拳故选：B.求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线的倾斜角.本题考查函数导数的应用，切线的斜率的求法，是基础

7、题.2.【答案】C【解析】解：根据题意，每名同学从5个风景点中选择一处游览，即每名同学都有5种选择方法，又由一共有3名同学，则一共有5 5 5 =125种选择方法；故选：C.每名同学从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，计算即可得答案.本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复.3.【答案】B【解析】解：由y=cos%,得y=-sinx,yT=,则函数y=CoSX在点(一(0)处的切线方程是y 0=1 x(x+，即 y=x+p故选：B.求出原函数的导函数，得到函数在X=一 三 处的导数，再由直线方程的点斜式得答案.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，

8、关键是熟记基本初等函数的导函数,是基础题.4.【答案】B【解析】解：将甲和乙两位同学捆绑在一起，故这6名同学不同的去法种数有25=32,故 选:B.将甲和乙两位同学捆绑在一起，利用分步计数原理求解即可.本题考查了捆绑法及分步计数原理的应用，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：(1 x+(l-x)6+(I-X)7的展开式中，含/的项的系数为：一废_ 髭 _ G =-10-2 0-3 5 =-65,故选：D.由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中式 的系数.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.6.【答案】B【解析】解：根据题意，对于函数f(x)

9、=2sinx-%,其定义域为R,(-x)2sin(-x)(T)-(2sinx-X)=-f(x),则函数/(x)为奇函数，排除CD,当X 2 时，f(x)2 时函数值的符号，排除4即可得答案.本题考查函数的图象分析，注意使用排除法，属于基础题.7.【答案】C【解析】解：T/(x)=2 +2-2伍X在(0,+8)上单调递增，,(x)=x+2-y 0,即 2 (x+I)2-1 在(0,+8)上恒成立,故选：C.依题意，VXe(O,+8),/(X)=X +2-手 0恒成立=2 (%+1)2-1在(0,+8)上恒成立，利用二次函数的单调性可得g(x)e(0,+o o),继而可得实数的取值范围.本题考查了

10、利用导数研究函数的单调性，考查了转化与化归思想和分离参数法的应用，第6页，共14页属于中档题.8.【答案】C【解析】解：令f(x)=0.得e*(2x-1)=(x-1),令=ex(2x 1),则g(x)=ex(2x+1),当X 一,时，g(x)一 泄，g(x)0,所以g(x)在(-8,W)上单调递减，在(/+8)上单调递增,作出g()与y=a(-1)的图像，如图所示：(a=ex(2x0+1)解 得 0,y0 1,a-1 或X o=士，y0=2ez,a=4eZ，因为/()有两个不同的零点，所以g(x)与y=a(x-1)的函数图像有两个交点，所以0 a 4ez故选：C.令/(x)=0,ex(2x-1

11、)=a(x 1),令g(x)=e*(2x-1)，则g(x)=e*(2x+1),问题转化为g()与y=a(-1)有两个交点，结合图像，即可得出答案.本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合、转化思想的应用，属于中档题.9.【答案】ACD【解析】解：由二项式定理知其展开式的通项为4+1=C4(x2)1 4-r(xhr,r e N,0 r 14,对于4当r=7时，二项式系数最大，即第8项，所以A正确；对于B,令 当+g=0,则r=4 2 1 4,不符合题意，所以展开式无常数项，即8错误；对于C,令 等+；=1，则r=36 14,所以展开式中不含X的一次基的项，即C正确；对于D,浮+?=7-，

12、当r=0,6,12时，展开式为有理项，故。正确.故选：ACD.写出该二项式展开式的通项公式，再根据选项逐一赋值，计算即可.本题考查二项式定理，熟练掌握二项式的展开式的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，所以基础题.10.【答案】AD【解析】解：(x)=ea x,W,(x)=aea x,:,(0)=a,由题意可得，。=一发则(x)=-e 0),则g(x)=Inx-,(x)+/(x)0,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,又g(l)=/(I)Znl=0,二当0 x l时，g(x)l时，g(x)0,而:6(0,1),e (0,),因此g)0,故Ao错误，BC正确；故选：BC.令g(x

13、)=/(X)EXQ 0),求导，结合已知可得g(x)在区间(0,+8)上单调递增，又g(l)=/(l)/nl=0,利用0%1 时，g(x)1时，g(x)0,结合选项可求得答案.本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了构造函数法及运算求解能力，属中档题.第8页，共14页12.【答案】BC【解析】解：/O)=守=,，当x l 时，f(x)O,f(x)单调递减,当x 0,f(x)单调递增，所以f(x)在X=1处有最大值，1是f(x)的极值点，故 A 错误，B 正确；/()mz=/(D =p又X 0时，f(x)0时，/(x)0,所以当0 时，f(x)=没有根，故。错误.故选：BC.求导得/O)=衰，

14、分析/(%)的单调性，进而可得f(%)的极值，最值，进而可判断A,B是否正确；f(x)max=/(1)=又X 0 时，/(X)0时，/(X)0,进而可得C,D是否正确.本题考查函数的单调性，最值，极值，函数与方程之间的关系，属于中档题.13.【答案】1【解析】解：f(x)=,()(sinx),-(cosx),=f c o s x +SinX.令X=W 得出/吗)=r 去解得/G)=收/()=a StwC-cosy/)=3 -l故答案为：1.先将/Q)求导得出/(X)=f,)cosx+S讥X.令X=g得出/)=遮 确定出f(x)的解析式后，问题易解.本题考查函数求导，函数值得计算，对/Q)求导后

15、令X=W 得出)=遮 确定出/(X)的解析式是关键.考查分析解决问题能力、计算能力.14.【答案】48【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给着色，有4种结果，再给着色，有3种结果，再给着色有2种结果，最后给着色，有2种结果，根据分步计数原理知共有4 3 2 2 =48种结果，故答案为：48.需要先给着色，有 Z 种结果，再给着色，有3种结果，再给着色有2种结果，最后给着色，有2种结果，相乘得到结果本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏.15.【答案】10【解析】解：(l+x+2)(I-X)6的展开式中小 的系数

16、为：C t-C l+Cl=10,故答案为：10由题意利用二项展开式的通项公式，求得”的系数.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.16.【答案】+8)【解析】解：作出f(x)的函数图像:因为V(X)2-f(x)=0,所以/(%)f(x)-=0，所以/(%)=0或/(%)=Q一共有3个不同的根,由图像可得/(%)=0有2个根，所以/(%)=Q有一个根，因为当X 1 时，/(X)=等，1 .,-x-ln x-lnx(3)=七 =詈当x e 时，/(%)0,/(%)单调递增，所以/(%)M=f(e)=%所以 .e第1 0页，共1 4页所以的取值范围为,+8),故答案为：g,

17、+8).作出/(x)的函数图像，根据题意可得/(x)=O 或f(x)=一共有3个不同的根，结合图像可得/(X)=0有2个根，则/(X)=有一个根，分析/(%)的单调性，进而可得/(x)mx=/(e)=I，即可得出答案.本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合,转化思想的应用，属于中档题.17.【答案】解：(1+2x)6=a。+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5xs+ax6.(1)令X=O 可得：I=Q(P即 =1.(2)令 X=1 可得：36=Q o+%+2 +3 +。4+。5+Q 6，(D令X=-1 可得：a =QO-Ql+g -+。4 一 05+。6，(T)()可得：3-1

18、=2(Q1+Q5)，即Ql+a3+a5=【解析】(1)直接令 =0即可求得结论，(2)直接令x=l,以及=-1 即可求得结论.本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题.18.【答案】解：(1)由/(x)=x+x,得f(x)=l +?(1)=2,则函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1；(2)联立PZ 2 x2 ,得%2+Ra+1)%+2=0.当Q =O时，方程化为x+2=0,即X=-2,符合题意；当 0 时，有/=(2+1)2-8 =0,解得=/：.a=0或=【解

19、析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=l 处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案；(2)联立直线方程与切线方程，化为关于X的一元二次方程，对分类，结合判别式法求解.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了判别式法的应用，考查运算求解能力，是基础题.19.【答案】解：(1)从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，量 戏=60,故有60种选法；(2)若小王和小红均未入选，则有=35种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选,则有瑞一第=126-35=91种选法；(3)若2个考点派送人数均为2人，则有底戏=6种派送方式，若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则

20、有盘底 国=8种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.【解析】(1)用组合知识直接求解；(2)先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；(3)分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.本题主要考查两大计数原理及组合的应用.考查了定义法，间接法，逻辑推理能力和数学运算能力.本题属基础题.20.【答案】解：(1)在Rt OAB中，AB=x,OB=2 3,所以OA 12-X2J设圆柱底面半径为r,则V12 2=2T,所以 4兀22 =12 =2,所以V=r2x=：X=,定义域为x0 x 2V3.、,=U4%,由U=0及0%-2时f

21、(x)0,当 久 -2时(X)O 恒成立，即(+1)e*a/,对任意的%O 恒成立，所以 m乎，对任意的X O 恒成立，令g()=X e(0,+8),则(X)=所以当x I 时，gO)0,当0 久 时g(x)0 恒成立，参变分离可得c l*/，对任意的X 0 恒成立，令g(x)=任詈”，x(0,+),利用导数说明函数的单调性,即可求出g(x)m in,即可得解.本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，考查了转化思想,属中档题.22.【答案】解：(1)由题意得 Qo=-1 =詈(0),当 0 时，a-%0,(x)0 时,在(0,)上，f,(x)0,/(%)单调递增,在(0,+

22、8)上,()0 时，f(x)在(0,)上单调递增，在(,+8)上单调递减.(2)证明：因为f(x)有两个相异零点与，x2,由(1)可知，0,不 妨 设%2 0，因为/(%)=0,/(x2)=0，所以Xl alnx1=0,x2 alnx2=0,所以工 -X2-a(lnx1 Inx2)?要证XlX2，,即证仇+Inx2 2,等价于证明辽+X 2,而L=处匚3，C L C L C l%-%2所以等价于证明呼警 7,也就是Infl 筌 守，(*)X?!十 2令募=t,则t 1,于是欲证(*)成立，等价于证明 t B苧 成立，设函数g(t)=Int-(t 1),求导得g(t)=：-岛7=宏 壬。，所以函数g(t)是在(1,+8)上的增函数，所以g(t)g(l)=0,即Int 子乎成立，所以XlX2 e?成立.【解析】(1)由题意得/O)=合。0)，分两种情况：当 0 时，当 0 时，讨论/(%)的单调性.(2)因为/(x)有两个相异零点XI,%2,则X l-alnx1=0,x2 alnx2=0,要证XI小 2等 价 于 证 明 哼 等 ,也就是Inm 誓 打，令,=t,贝 IJt 1,等价于证明 t 12 X1+X2 2 xl+x2 x2瞽 成 立，即可得出答案.本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中注意分类讨论思想，转化思想的应用，属于中档题.第1 4页，共1 4页