2021-2022学年福建省福州市长乐市第一中学高三数学理月考试卷含解析.pdf

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1、2021-2022学年福建省福州市长乐市第一中学高三数学理月考试卷含解析9x,16yB.丁+二区+小D.8 16 1一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1 .已 知 集 合/=风”e，集 合 八 K M ,则 集 合 人 与)的 关 系 是()A.4=B B,当 C.%A D AeB参考答案：A返2 .已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离 心 率 为 2 ,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线x+y -1=0 对称，则椭圆C 的方程为()8x2x16y2A.k8x2 9 y C.参考答案：A【考点】椭圆的简单性质.【

2、分析】由椭圆的离心率，求 得 b=c,则椭圆的标准方程转化成x 4 2 y 2=2 b 2,求得右焦点关于直线x+y-1=0 对称的点，代入椭圆方程，即可求得b和 a的值，求得椭圆方程._ c 返【解答】解：由椭圆的离心率e=W=丁，则=如。，由 bf-C,贝 i b=c,则设椭圆方程为x2+2 y2=2 b2,右 焦 点 。)关 于 一+1 的对称点设为T “)，则解得 i/=i-b,9 2由 点(1,1 -b)在椭圆上，得 1+2 (1 -b)2=2 b2,b2=T?,1=百,8 x2.,1 6 y2椭圆的标准方程为：9 9 ,故选：A.【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点

3、关于直线对称的求法，考查计算能力，属于中档题.3.数列I/满足为=1,记数列D前n项的和为和，若*3 0对 任 意 的 恒 成 立，则正整数f的最小值为()A.1 0 B.9 C.8 D.7参考答案：A4.如果复数(b GR)的实部和虚部相等，则|z|等 于()A.3 a B.2-7 2 c.3 D.2参考答案：A【考点】复数求模.【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3 i,由此能求出|z|.3-b i (3-b i)(2-i)6-b -(3+2 b)i 6 b 3+2 b【解答】解：z=2+i =(2+i)(2-i)=5 =5-5 i,3-b

4、i.复数z=2+i (b 6 R)的实部和虚部相等，6-b _ 3+2 b 5 ,解得 b=9,/.z=3+3 i,.忆|=后&3 v l.故选：A.【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用.5 .已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是A.B.C.D.参考答案：D略6.某教师一天上3 个班级的课，每班一节，如果一天共9 节课，上午5 节、下午4节，并且教师不能连上3 节 课（第 5 和第6 节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种参考答案：

5、A略7.(5 分)若 向 量 a,b满足|a|=l,|b|=2且|2 a+b|=2正，则向量a,b的夹角为()n n n 2 冗A.T B.3 C.2 D.参考答案：B【考点】：数量积表示两个向量的夹角.【专题】：平面向量及应用.【分析】：把已知数据代入向量的模长公式可得co s。的方程，解 co s。可得夹角.解：设向量！，E的 夹 角 为 9,：a|=l,国=2 且|2臬己|=2 ,*2 *2.4 a+4 a*b+b=12,代入数据可得4+4X1 X2Xcos e+4=12,1 2解得 cos 0=2,.,.0=3故选：B【点评】：本题考查向量的数量积与夹角，属基础题.8.对于集合力，如果

6、定义了一种运算“”，使得集合上中的元素间满足下列4 个条件：(i)的b e 4都有a b；(i i)B e e A,使得对都有。a=a&=a；(iii)a e A,使得；（iv）V%瓦 都有（4（b）缶C=4 0,且 a W l)的反函数，且 f(3)=1,则 f(x)=参务答案:log3x.略x2+l x 01 4.己知函数力=I】“则满足不等式/。-匚)的工的范围是一参考答案：(1.或7略|半2,1 5.已知直线y =x+b 与 平 面 区 域 c：.，饪2 的 边 界 交 于 A,B 两 点，若,同 之 2 6,则方的取值范围是.参考答案:-2,2x+b的斜率 为1,由图象可知8=所=2

7、壶，要使阳 隹2、田，则-24b 2,即6的取值范围是-2,2。16.在平面直角坐标系xO y中，设直线y=-x+2与圆x，y2=r 2交于A,B两点，0为坐标原.5 3 _ _ _ _.点，若圆上一点C满足前;同+N O B,则r=_.参考答案:V T o考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.一一.5 3分析：设 0A，0B=8,由OC=4OA+4OB两边同时平方可求c os。，结 合0的范围2 _ e _ _ 9及公式8 s =2c S T 可求C0,，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心o到直线x+y-2=0的距离为d,进而可求r解：由 题 意 可 得,l 0A l=l 0B l

8、=l 0C l=r设 赢，0B=6 ,e e o,n 则 赢-0B=I 0A I I O B I c os 9=r2c os 9,5.3,.-0C=40A+40B两边同时平方可得，0C2=l 60 A2O B_3Acos 0=5.cos9=2co s2-y -1 0,(乙 ，乙 乙H4 o 且cos 20 V5/.C0=Te _2_/-设 圆心0到 直 线x+y-2=0的距离为d,则d=rcos力2即 当.-.r=V10故答案为：VT6.点评：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键.17.一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3,则它的外接球的表

9、面积为,参考答案：25”【考点】球的体积和表面积.【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积.【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3,直六棱柱的外接球的直径为5,外接球的半径为万,外接球的表面积为4 XT=25n.故答案为：25 n.三、解答题：本大题共5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平面PAC，平面ABC,ACLBC,APAC为等边三角形，PE/C B ,M,N分别是线段工E,心 上 的 动点，且满足：A M _ A N

10、 _(1)求证：MM平面H 8C；(2)求;I的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45。.参考答案：A M A N _1方法一：(I)证明：由HE 兑尸，得 MN PE,又依题意PE8 C,所以MNBC.因为M Jiz平面A8。，B C u平面所以乂 平面.6分(H)解：由(I)知 MNB C,故 C、B、M、N共面，平面A B C与平面MNC所成的锐二面角即NCBA.因为平面PACJ_平面ABC,平面 P A S 平面 ABC=AC,S.CB1.AC,所以 CBJ_平 面 P A C.故 CB_LCN,即知.1为二面角NC8A 的平面角.10分所以NNC4=4 5 .在NC

11、4中运用正弦定理得，,7 5-1A C sm 75。5/6 4-4.ks5u所 以，A=-=/3-AP-,14 分方法二：(1)证明：如 图 以 点 C 为原点建立空间直角坐标系C-x y z,不 妨 设CA=1,CB=t(,0),而 一 4 磅，则5 MJ),即/叽屋 工 虻.小皂)空二空=八2 2 2 T 2 由怂，得阳十,争)桢-畀。亭)而,0).%=(0,0,I)是平面RBC的一个法向量，且飞 而-0,故7J.而.又因为 MN a 平 面 A BC,即知 MN/平 面ABC.,4=3-1,（f t i#AX C W -（I-（2）解：JW=（0,W.0）,2 2,=（七，开.句），则，

12、“/=（）,9-C M=0,可取*，0又卮=（O,0,1）是平面的一个法向量.1 0 0 51=由 1%1 同 1,以及6。45可得&2,即 2.4 UY-0.解 得 4=Ji-l（斗1 9.（本小题满分1 4分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P（2,，J）,（I ）求椭圆的标准方程；（II）与圆（x-l）+/=l 相切的直线八尸=H+/交椭圆于 N 两点，若椭圆上一点C 满足设 平 面C M N的法向量4 一 2、西），彳=-1-4 舍 去），故=2且它的离心率 =5.O M +O N W C,求实数4 的取值范围.参考答案:r-+r-=I （i J i 0）解：（I）设椭圆的

13、标准方程为M b2.1分由已知得:a=8解 得4 =64分土+乙=1所以椭圆的标准方程为：8 65分（I I）因为直线/:广 修+与圆（x-以+/=1相切所以，格=】2八=（）6分/=1把y=妊+，代入T 6 并整理得：（3+442*+8*女+（-24）=0-一7分8 t a设M Q i,乃）.阳 电.山），则 有x i +x?二+软2+h=%+r+M+t=上区+2r=3+市8 分.如 6f,因为，=(而+必+y2),所以，(3+4d)4 。+小 川.9 分8A2?6?,_ +_ =J又因为点c 在椭圆上，所以，(3+4必)T (3+4必尸T .10分3+4*加+(%+112分因为。所 以 9

14、尸+小+1 113分所 以 0箫 2,所 以 4 的取值范围为(一%)U(0,.14分略20.在平面直角坐标系中，定义点P(x“y。、Q(X 2,y2)之间的直角距离为L (P,Q)=|x i -x z|+M-y?|,点 A (x,1),B (1,2),C(5,2)(1)若L (A,B)L (A,C),求x的取值范围；(2)当x W R时，不等式L (A,B)W t+L (A,C)恒成立，求t的最小值.参考答案：【考点】进行简单的合情推理.【分析】(1)根据定义写出L (A,B),L (A,C)的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；(2)当x W R时，不等式L (A,B)W t+L (

15、A,C)恒成立即当x W R时，不等式辰-1|W|x -5|+t 恒成立，运用分离变量，即有t2 x-1|-卜-5竹亘成立，可用去绝对值的方法或绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4,令t不小于4即可.【解答】解：(1)由定义得|x-1 +l|x-5|+l,即x-1|x-5 ,两边平方得8 x 24,解 得x 3,(2)当x C R时，不 等 式x-1|W x-5|+t恒成立，也就是t2|x -11 -|x -5 1恒.成立,-4 x 2x-6 l E,所以 f(x)=4,要使原不等式恒成立只要t4即可，故%=4.法二：运用绝对值不等式性质.因为|x T|-|x-5|W|(x -1)-(x

16、-5)|-4,所以 124,t m in=4.故t的最小值为：4.21.(本小题满分12分)一个口袋中装有大小形状完全相同的+3个乒乓球，其 中1个乒乓球上标有数字1,2个乒乓球上标有数字2,其余 个 乒乓球上均标有数字3(Z Z e N ),若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的8概率是(1)求*的 值；(2)从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设4表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积,求4 的分布列和数学期望4.参考答案：呼；=8(1)由题设 直 1 5,即加1-5 门-3 =0,解得用=3.4 分(2)4 取值为 2,3,4,6,9.0 股=2)=等嗜/笏=等4囱出

17、依必等4H f =9)=a=g.-10 分；的分布列为:23F215154691152515.2-1,“1 2 A 1 16r 2x +3x-+4 x +6 x +9 x-=卜 15 5 15 5 5 3.12分22.如图，四边形ABCD与 BDEF均为菱形，/DAB=/DBF=60,且 FA=FC.(1)求证：AC_L平面 BDEF；(2)求二面角A-FC-B 的余弦值.(3)求 AF与平面BFC所成角的正弦值.参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定.【专题】计算题；证明题.【分析】(1)要证A CJ_平面BDE F,只要证A C垂直于平面BDE F内的两条相交直线

18、即可，设 A C与 BD相交于点0,连 结 F 0,由已知FA=FC可得A C_LF0,再由A BCD为菱形得到A C 1 B D,则由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由 0 A,O B,0 F两两垂直，建立空间直角坐标系0-x y z,求出二面角A -FC-B 的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；(3)求出向量后的坐标，直接用向量屈与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得A F 与平面BFC所成角的正弦值.【解答】(1)证明：设 A C 与 BD相交于点0,连结F0.因为四边形A BCD为菱形，所以A CLBD,且 0为 A C 中 点.又 FA=FC,所以 A C_LFO.因

19、为 FO CBD=O,所以A CJ_平 面 BDE F.(2)解：因为四边形BDE F为菱形，且N DBF=6 0 ,所以4 D B F 为等边三角形.因为。为 B D 中点，所 以 FO LBD,故 FO _L平面A BCD.由O A,O B,O F两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系0 -x y z.设A B=2.因为四边形A BCD为菱形，Z DA B=6 0 ,则 BD=2,所以 0 B=L O A=O F=V 3.所以0 (0,0,0),A(V 3 0,0),B(0,1,0),C(-V 3，0,0),F(0,0,炳)所 以 赤 二（V 3-0,V3）,C B=（V 3 1，0）,设

20、平面BFC的 法 向 量 为（X，V，z）,n,CF=0 JV 3 x+V 3 z-0!U i JW l n-CB=O,所以 1 x+尸0 ,取 x=i,得 左（1,-F，-1）.由图可知平面A FC的 法 向 量 为 能（0，1，）._|c os|-lnv|i 5由一面角A -FC-B是锐角，得 Ini l v l=5 .V 1 5所以二面角A -FC-B的余弦值为飞-;(3)解：A F=(-V 3.0.V3),平 面BFC的 法 向 量 左(1，-M，-1),c os 正，A*.淬.所以 l A F I l nl=V 6 V 5 5 .si nO =|c os l=P贝5 .【点评】本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题.