2020年高考冲刺数学总复习专项微专题核心考点突破解析：几何中的定点与定值问题（附答案及解析）.pdf

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1、2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题29解析几何中的定点与定值问题居 箴 命 题定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、儿何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.定点问题主要是曲线系（直线系）过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某

2、些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目（如蒙日圆、阿基米德三角形等）.定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点（值）与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.幽园腌目幽颤!1定点问题曲线系（直线系）过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证

3、明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理：证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.例1椭圆E +=l（a b 0）的左焦点为F,右 焦 点 为 离 心 率e =；.过F.的直线交椭圆于A,B两点，且 A 8&的周长为8求椭圆E的方程；（II）设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P

4、,且与直线4 4相交于点。.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点例?若存在，求出点用的坐标；若不存在，说明理由.总结起来，应注意如下几点：首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；其次，找准主元，引入参数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘

5、隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.2定值问题定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少,然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石.例2已知椭圆C：今=l(a b 0)的离心率为:.过左焦点尸且垂直于长轴的弦长为学求椭圆C的标准方程；

6、(H)点P(m,0)为 椭 圆C长轴上的一个动点，过 点P且斜率为:的直线/交 椭 圆C于A,B两点，求证:|P用二+|PBF为定值.例3已知点P(-L；)是椭圆E +=l(a b 0)上一点，气心分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，轴.求椭圆E的方程；(II)设A,8是椭圆上两个动点，西+而=久 而(0 b 0)的左右顶点分别为A，&，左右焦点为分别为耳，鸟，焦距为2,离心率为L.2(I)求椭圆C的标准方程：(H)若p为椭圆上一动点，直线4过点A且与无轴垂直，M为直线&P与4的交点，N为直线A P与直线M g的交点，求证：点N在一个定圆上.7 .已知椭圆0：+，=1(。匕0)的离心率0

7、=等，且椭圆过点(0,1)(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线/与c交于M、N两点，点。在椭圆。上，。是坐标原点，若 OM +ON =OD，判定四边形OM DN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.8.2X已知椭圆C：r+ay1F1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,l).(I)求椭圆C的方程;(II)设。为原点，直线/：y =依+。工1)与椭圆C交于两个不同点尸，Q,直线A P与x轴交于点直线4 Q与x轴交于点N,若QM 7OM=2,求证：直线/经过定点.2 29.椭圆+(a b 0)的左、右焦点分别为耳，8，M在椭圆上，A M耳耳的周长为2君+4,a b面积的最

8、大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线丫 =履(0)与椭圆C交于48,连接A g,B 6并延长交椭圆。于。,E,连接OE,探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.过点M作直线线段M P的垂直平分线交/于点P，记点P运动的轨迹为E.（1）求 E的方程；（2）已知AeE,且点。满足A尸=2/7），经过。的直线交E于 民。两点，且。为 BC 的中点，证明:|A F|+|时|+|CF|为定值.1 1.已知抛物线C；y 2 =2/过 点（1）求抛物线C 的方程;（2）过点P（3,l）的直线与抛物线C 交于M,N两个不同的点（均与点A不重合），设直线A M,AN的斜率分别为占，Q 求证：4出 为

9、 定值.2 21 2.设椭圆C:+方=l（a 0）的左、右焦点分别为耳，居，左项点为A上顶点为B.已知|A B|=半忻/讣O（1）求椭圆的离心率;(2)设 P为椭圆C 上在第一象限内一点，射线P。与椭圆C 的另一个公共点为。，满足QP=?A 3,直线BQ交工轴于点，A 8 E)的面积为2 -JL求椭圆C 的方程.()过点(-1，。)作不与轴垂直的直线/交椭圆。于M,N(异于点A)两点，试判断NM 4N的大小是否为定值，并说明理由.1 3 .在平面直角坐标系x O)，中，曲线C上的点S(x,y)到点加(6,0)的距离与它到直线x =4的距离之V 3比为3,圆。的方程为*2+2=4,曲线C与 X

10、轴的正半轴的交点为4,过原点0且异于坐标轴的直线2与曲线C交于B,C 两点，直线4 8 与圆0的另一交点为尸,直线P力与圆0的另一交点为,其中。-,0设直线AB,A C的斜率分别为，自；(1)求曲线C的方程，并证明5(x,y)到点M的距离de 2 6,2+6 ；(2)求左他的值；(3)记直线P。，8c的斜率分别为即、kB C,是否存在常数久，使得既=/1 凝?若存在，求力的值，若不存在，说明理由.X2 y211 4 .已知椭圆C：r+2V=l(a 8 0)的左、右焦点分别为八，F 1,离心率为一，A为椭圆C上一点，且 A F 2CT b2 2VF F 1,且依尸2|=万.(1)求椭圆C的方程；

11、(2)设椭圆C的左、右顶点为A”过 A i,4 分别作x 轴的垂线1,12,椭圆C的一条切线/:产自+皿原0)与/1,12 交于M,N 两点，试探究Mg N g 是否为定值，并说明理由.1 5.已知点用(6,0),P 是圆N:(x+g r +y 2=i 6 上的一个动点，N 为圆心，线 段 的 垂 直 平 分 线与直线P N 的交点为。.(1)求点。的轨迹。的方程;（2）设 c与 y 轴的正半轴交于点。，直线/：y=H+m 与 c交 于 两 点（/不经过。点），且 A。，8 0,证明：直线/经过定点，并写出该定点的坐标.1 6.已知动点P 到定直线/：%=-4 的距离比到定点/（2,0）的距离

12、大2.（1）求动点P 的轨迹。的方程；（2）在 x轴正半轴上，是 否 存 在 某 个 确 定 的 点 过 该 点 的 动 直 线/与 曲 线。交于A ,B 两 点,使得1 1I+|为定值.如果存在,求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由|A M I|B M I1 7.已 知 椭 圆 二+1=1（。匕0）的焦距为2,离 心 率 为 无，右顶点为A .c r b2 2（I）求该椭圆的方程；（II）过点。（、反,-J 5）作直线P。交椭圆于两个不同点P、Q,求证：直线A P,AQ 的斜率之和为定值.1 8 .已知抛物线E-.x1=2 p y（p 0）,直 线y k x +2与 E交 于A,6两点，且

13、 0 4*0 5 =2 -其中0为原点.（1）求抛物线E的方程；（2）点 C坐 标 为（0,-2）,记 直 线C A,阳 的 斜 率 分 别 为%,匕 证明：斤+1 2 左 2为定值.1 9 .己知（百,0）为椭圆C：+.=1 （匕 0）的一个焦点，且点（6,g）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P （，小0）为椭圆C的长轴上一动点，过 P 且斜率为9的直线/交椭圆C于 A,B两点，求证|PA F+IPB F 为定值.2 22 0.已知椭圆：+=1（。匕0）的左、右顶点分别为C、D,且过点（、历,1）,P 是椭圆上异于C、a b力的任意一点，直线P C,尸力的斜率之积为-.2（1）求

14、椭圆的方程；UlU UUU（2）O 为坐标原点，设直线C P 交定直线=?于点M,当?为何值时，O p.O M为定值.2 1.已知抛物线。：彳 2=2.），5 0）经过点/（2,1）,过点。（1,0）的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线P A交x轴于点M,直线P 8交x轴于点N.（1）求直线/的斜率的取值范围;UUUL ULUU UUU1 U U Ll I I（2）设。为原点，QM =A QO,Q N =QO，求证:不+一为定值A 2 2 .己知椭圆三+W =l（a 80）的离心率6 =也，且椭圆过点（0,1）.a b 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线/与。交于M,N两点，

15、点。在C上，。是坐标原点，若O M+Q V =O O,判断四边形O M O N的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.丫2 262 3 .已知椭圆C:与+q=1（4 匕0）的上顶点为E,左焦点为F,离 心 率 为 注，直线EE与圆cr b2 2相切.2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F且斜率存在的直线/与椭圆C相交于AB两点，线 段 的 垂 直 平 分 线 交X轴于点尸，试四判断网是否为定值？并说明理由.r22 4 .如图，已知椭圆6：、+丁 =1的左、右顶点为A，4,上、下顶点为4，B2,记四边形444与的内切圆为（1）求圆G的标准方程;（2）已知圆。2的一条不与

16、坐标轴平行的切线/交椭圆G于 只M两点.(i)求证：O P Y O M,（i i）试探究一二+一二是否为定值.O P2 O M22 5.如图，已知椭圆0 ：工+2 =1 的右焦点为F,点 8,C分别是椭圆。的上、下顶点，点P是直线l-.y=-24上的一个动点（与 y 轴交点除外），直线P C交椭圆于另一点M.（1）当 直 线 过 椭 圆 的 右 焦 点 F时，求的面积；（2）记 直 线 的 斜 率 分 别 为 求 证：勺%为定值.2 6 .己知点P 是椭圆。上任一点，点 P 到直线卜x =-2的距离为4,到点F（1,0）的距离为为，且4:4=夜，若直线/与椭圆C交于不同两点A、B（A、8都在X

17、 轴上方），且 N O E 4 +N O E B =1 8 0.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当 A为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线/的方程;（3）对于动直线/,是否存在一个定点，无论N 0E4如何变化，直线/总经过此定点？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.2 22 7.已 知 椭 圆*+方=1 （。匕0）的左右焦点分别为,鸟，点了（一 2,6）在椭圆上，且|第+|/=8.（1）求椭圆的方程；（2）点 P,。在椭圆上，0为坐标原点，且直线0P,。的 斜 率 之 积 为 求 证：为定值；（3）直线/过点（一1,0）且与椭圆交于A,8两点，问在x 轴上是否存在定点M,使得M4-M6为

18、常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由.2 8.已知椭圆。：+:/=1 3 1）的离心率为逅.a23（I ）求椭圆C的方程；（II）设直线/过点”（1,0）且与椭圆。相交于A 8两点.过点4作直线x =3的垂线，垂足为。.证明直线8。过无轴上的定点.2 9.已知椭圆C:=1（。沙0）的右焦点为尸（1,0）,3且点P（l，7）在椭圆。上.2（1）求椭圆C的标准方程;（2）当点（x,y）在椭圆C的图像上运动时，点 Q（应.2 A号,一 f 在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程，并（3 3 J指出该曲线是什么图形;（3）过 椭 圆 上 异 于 其 顶 点 的 任 意 一 点。作

19、曲线S的两条切线，切点分别为M，N（M，Nb-3不在坐标轴上），若直线MN在 X 轴，y 轴上的截距分别为?，试问：一二+是否为定值？若是，求出3m-n该定值：若不是，请说明理由.2 23 0.给定椭圆C：0+方=1（。/,。），称圆心在原点O,半 径 为 右 寿 的 圆 是 椭 圆 C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F（V 2,0）,其短轴上的一个端点到F的距离为V 3 .（I）求椭圆。的方程和其“准圆”方程；di）点P是椭圆c的“准圆”上的一个动点，过点P作 直 线 给 使得4,6与椭圆c都只有一个交点，且4 4分别交其“准圆”于点M,N.（1）当P为“准圆”与）轴正半轴的交点时，求44

20、的方程；（2）求证：眼川为定值.3 1 .已知椭圆T的中心在坐标原点，且经过点，|）,它的一个焦点与抛物线：V=4x的焦点重合.（1）求椭圆T的方程；（2）斜率为女的直线过点（1,0）,且与抛物线E交于48两点，设点 P A 8的面积为4g，求k的值；（3）若直线/过点加（0,加）（加。0）,且与椭圆T交于C,。两点，点C关于轴的对称点为。，直线的纵截距为，证明：加为定值.3 2 .设。为坐标原点，椭圆。:+5=136 0）的焦距为4石，离 心 率 为 苧，直线/:y=履+加（加 0）与。交于A,B两点.（1）求椭圆。的方程；（2）设点P（0,D,PA PB =T，求证：直线/过定点，并求出定

21、点的坐标.3 3.椭圆E：K+反a2 b2=l（a力0）的上顶点为A,点6在椭圆E上，耳，鸟 分别为E的左右焦点，/耳 明=1 2 0.（1）求椭圆E的方程；（2）点M在圆d+y 2=上，且M在第一象限，过M作/+产=从 的 切 线 交 椭 圆 于C，。两点，且F2,力不共线，问：A C&。的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.3 4.已知椭圆2 2X靛 十F=1（。b 0）的左、右焦点分别为F2耳，短轴两个端点为A 8,且四边形 伍3是边长为2的正方形.（I ）求椭圆的方程;（II）若 C,。分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MO_ LC O,连接C M,交椭圆于点P.证明:

22、OM 0P为定值%3 5.2 v2已知椭圆C：?方=1（4 。0）的左、右焦点分别为耳,用，点“（0,2）是椭圆的一个顶点，石,T怎是等腰直角三角形.（1）求椭圆。的方程；（2）设点尸是椭圆。上一动点，求线段尸V 的中点0的轨迹方程；（3）过点M 分 别 作 直 线 山 2交椭圆于H，5两点，设两直线的斜率分别为左1，k2,且 匕+&=8,探究：直线AB是否过定点，并说明理由.2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题29解析几何中的定点与定值问题皑剧命题定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、儿何性质、

23、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.定点问题主要是曲线系（直线系）过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目（如蒙日圆、阿基米德三角形等）.定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定

24、值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点（值）与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.1定点问题曲线系（直线系）过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过

25、定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.例1椭圆E：5 +捺=l（a b 0）的左焦点为B，右焦点为0,离心率e=；.过尸 的直线交椭圆于A,B两点，且A8&的周长为8求椭圆E的方程；（II）设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,且与直线4 4相交于点。.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.思路探求1:本题主要考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，训练学生的运算求解

26、能力、推理论证能力，以及化归与转化、数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想.由动直线及椭圆的对称性知，若定点M存在，则必在x轴上，条件“以P。为直径的圆恒过点AT即可翻译为“丽 Q M=0”恒成立.因此，本题的重点在于得出P,Q两点的坐标，其中点P的坐标需要联立直线与椭圆的方程求得.解 法 1:(1)椭圆E的方程是?+?=L_ 1(H)由，4 3 -(4 k2+3)x2+8 k?n x+4/n21 2=0,l y=k x+m设 P O o J o)，判 别 式 d=(8km-4(4H+3)(4 7，-1 2)=0，化 简 得 4H-m，+3 =0 ,同时有X。=-5 7 =一%=%+m=3

27、 易得Q(4.4k+m).若定点M存在，则必在x 轴上，因此，可设M(f,0),由 两 两=0得(4 t-4)5 +M-4t+3 =0.由，?。解得曰所以存在定点Ml，0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.方法点睛1：本题主要考查椭圆与直线的联立、韦达定理、平面向量等知识.求解的主要步骤：(1)联立直线方程与椭圆方程，通过判别式=(),寻求鼠 1 的数量关系；(2)求得P,0两点的坐标，并利用A,7 的数量关系化简；(3)翻译条件“以P Q为直径的圆恒过点A T 等价“两 Q M=0”恒成立，得到恒等式(4 t -4)七+t=-4/+3=0,即求得定点M 的坐标.思路探求2：可 以 先 根 据

28、关 系=+3 =0 中 的 晨 机的特殊值猜测结果，再加以证明，遵循从特殊到一般、先猜想再证明的求解思路.解 法 2:同解法1 可得P(-学 习,。(4,4 火+?).若定点M存在，则由对称性可知必在x 轴 匕 取 k =0.m =、氏得P(0，V J),Q(4，V J),以P Q为直径的圆的方程为(x-2)=+(y-V 3):=4,交 x 轴于点底(1,0)4 式3,0).取k =-：,n i =2,得P(L9，Q(4.0),以 PQ为直径的圆的方程为(x-：丫+(y =温，交 x 轴于点M3(l,0),M,(4,0)；所以符合条件的点可能是点用(1,0),以下证明它就是满足条件的点.易 知

29、 赤=(一日一 丽 =(3,4 k +m),从 而 赤.丽=一3+号+3 =0,即 诉 1 而，因此，以P Q为直径的圆恒过点M.方法点睛2:在对儿何图形特征分析的基础上，先猜想，缩小定点的范围，然后证明，颇有四两拨千斤之效.但前提还是先要联立方程，得到鼠?的关系4 3 7 7/2+3=0,然后赋值.事实上，例 1的背景是椭圆的一个重要性质:动直线/与椭圆t +=l(a b 0)相切于点尸，与椭圆右准线相交于点。，右焦点为尸，则尸产_LQR本题即是以此性质为背景命制的一道定点问题.背景不变，换个命题角度，我们可以得到如下题目，但问题本质仍未改变.结合题目求解过程，通过分析可以看出，尽管定点、定

30、值问题背景多元，形式多样，但求解方法都有共同之处，即建立在对几何图形特征分析的基础上，最终回到解析几何的核心方法(坐标法)上，依托直线与圆锥曲线的方程联立，翻译题目条件，构造等式或不等式.总结起来，应注意如下几点：首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；其次，找准主元，引入参数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、

31、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.2 定值问题定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石.例 2 已知 椭 圆+=b 0)的离心率为2过左焦

32、点尸且垂直于长轴的弦长为注.a-0 5 5求椭圆C 的标准方程；(H)点P(m,0)为 椭 圆 C 长轴上的一个动点，过 点P且斜率为之的直线/交 椭 圆 C 于 A,B 两点，求证:川？+|PB 为定值.思路探求1:(1)直接求出椭圆的基本量“，b,c,得到椭圆的标准方程；(2)动直线/的斜率为定值，横截距应是运动变化的主元，因此只需将|PA+|P8|二表示成关了根的函数即可，化筒即得定值.应先将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理得A,8两点坐标的关系，为表示|P 川二+|P B|二做准备.解 法 1:椭圆的标准方程是二+立=L2 5 1 6=+片=(H )设，直线/的 方 程 为：y=

33、；(x-m),联 立 “一 ，y=-(x-m)=2 x2 2 m x+m:-2 5 =0.所以打+x；：=mP A2+P BZ=(xj -m)2+yf+(x2-m)=+归=蓑 区 +x2)2 一 黑&+x2)-+蓑 而，将(*)式带入得|P A|2 +P B2=4 1(定值).方法点睛1：本题主要考查圆锥曲线与直线的联立、韦达定理等知识.求解的主要步骤：(1)确定主元m；(2)联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理得A,8两点坐标关系；(3)利用整体思想，由两点间距离公式求得|P 川二+|P 8|二的表达式，化简即得定值.思路探求2:本题还可用直线的参数方程求解，用直线参数r 的几何意义表示出|P

34、 川二+|P B FJ ,5 .x=m +-=t解法2:设直线的参数方程为 /4 i(t为参数)，设 A,B分 别 对 应 将 直 线 的 参 数 方 程 代 椭 圆 方程得盛产+居 +号-1 =0,则|P A|二+|P B|：=咛+若=(t1+t2):-2 t1t;=4 1.方法点睛2:利用直线的参数方程及参数的几何意义求解线段长度等问题非常有效，应根据题目条件合理选择解题方法.例 3已知点P(1 )是椭圆E：5+=l(a b 0)上一点，J 用分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，P F i J _ x轴.求椭圆E的方程；(1 1)设 4，8是椭圆上两个动点，P A+P B =AP O(

35、0 A (3?nz 4-4)y2+6?nny+3)?2-1 2 =0.JC=m y +n设力(x，,%),B(xz,yz),则%+y2=-77；,必+4=m(+必)+2n=由PA+PB=APO 可知(Xi+L%三)+(x:+Ly：g)=；.(L,所以-2=Ma，+y L*2 T)=-焉,消 去 儿 得 一 矢+端；=繇=0显然不恒为零，所以-2,即直线的斜率为定值方法点睛1：本 题 重 在 理 解 并 翻 译 条 件 西+方=而，P(-L；)为定点，A,B 是椭圆E 上两个动点，运动的 过 程 中 满 足 西+而=1 而，即坐标间满足一定关系.因此，应先联立方程得到这些点坐标间的联系，然后消去

36、参数，通过恒成立关系得到直线斜率为定值.思路探求2:直线和椭圆方程联立由韦达定理得到4 3 间坐标的关系是一种直观想法，点差法实际和联立方程法等价，旦可以避开烦琐的运算.本题目标是得出直线A 8 的斜率，而点差法又常和直线的斜率有紧密联系，因此，可以尝试该方法.解 法 2:(/)同解法1；(IIB(xz,y:),由PA+P8=APO,得(4+l,yt+(x=+l.y;-7)所以4 +=A 2,%+y：=：(2 A),又3x；+4yf=12,3*+4y;=12,两式相减得 3(x；+x3)(x1-x;)+4(%+y2)(yx-y2)=0.因此，可得AB的斜率k=止*=卫 +初=2.方法点睛2:这

37、里应关注两个重要的方面，一 是点差法与联立方程法的等价性，二是要明确点差法能处理的常见问题类型.要善于捕捉题目信息，合理选取解题策略.1.在椭圆C:=1(2力。0)上 任 取 一 点?(P 不为长轴端点)，连结 耳、PF2,并延长与J/椭圆C 分别交于点A、B 两点，已知A A P g 的周长为8,耳尸工面积的最大值为J.(1)求椭圆C 的方程；(2)设坐标原点为。，当 P 不是椭圆的顶点时，直线。P 和直线A 8 的斜率之积是否为定值？若是定值,请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.X2 y 9【答案】(I)+A-=1；(2)是定值，值为一二.4 3 2 0【解析】(1)因 为 的 周 长

38、 为 8,所以有A 4+P 4+Pg+A6=8=4a=8na=2设尸(公,%),因为防尸居面积的最大值为6.所以 尸 后 闻 的最大值为G，由椭圆的范围，当 间=b时，面积最大，因此有Z?c =J，而J c，+/?=a，因为2 b ab0,所以a =2,8 =，所以椭圆标2 2准方程为：匕+匕=1;4 3(2)当 p不是椭圆的顶点时,因此彳0,%彳0,(-1,0),居(1,0).直线尸耳的方程为：y=为(x +l),与椭圆的方程联立，得:yx 0 +lU 3 +3 x2+4 y2=1 2化、(X o +1),x2+2(x +l)-(xo +l)-1 2 =0,.v z =(1 5 4+2 4%

39、)_ 5 x；+8 x 05%+8 -3%1 5 +6 x05 +2%同理直线产鸟的方程为：y =%(尤-1),与椭圆的方程联立，得:y%一 1(=3 +3X2+4/=12X2-M-x+,(x0-l)2(x0-l)24%1 2 =0-8 x.5 xn-83 y o2 x()51 2%3%XB-XA 2 0 片-8 0 5(片 _ 4 *A B。k0p=3 y；(%-45 x9而 为 定值.2.已知椭圆 C：3 f+4 y 2=i 2.（1）求楠圆C的离心率；（2）设A,8分别为椭圆C的左右顶点，点尸在椭圆C上，直线AP,B P分别与直线x =4相交于点M,N.当点P运动时，以MN为直径的圆是否

40、经过X轴上的定点？试证明你的结论.【答案】（1）；（2）以MN为直径的圆经过X轴上的定点（1,0）和（7,0）,证明见解析【解析】2 2（1）由3/+4 9=1 2得5+匕=1,那么片=4,b2=3所以 c?=a2 b2=1解得a =2,c =l所以离心率e =，a 2（2）由题可知 A（2,0）,6（2,0）,设尸（%,%）,则C:3考+4。=12直线AP的方程：y=；（x+2）令x =4,得 加=二、，从而M点坐标为（4,以1直线B P的方程：y=-（x-2）%-2令x =4,得 如=且）,从而N点坐标为（4,上 火%-2 1 x0-2j设以MN为直径的圆经过轴上的定点。（与,0）,则M

41、Q N Q由NQ =0得（玉一4+-揖 =。（x0+2）（x0-2）由式得12y：=3 6-9*=9（4 只），代入得（外4）2 =9解得 =1或%=7所以“V为直径的圆经过为轴上的定点（1,0）和（7,0）.丫2 23.已知椭圆。：与+方=1（4方0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2名.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设A,5是四条直线x=a,y=6所围成的两个顶点,p是椭圆C上的任意一点，若OP=mOA+nOB 求证：动 点 在 定 圆 上 运 动.丫2【答案】（1）二+9=1；（2）见解析.4-【解析】2a=2x2b（1）由已知得 2c=23,解得。=2,力=1,cr=b2+c2r2，椭

42、圆C的标准方程 为 三+y 2 =1.4（2）证 明:因 为4 8是四条直线x=2,y=l所 围 趣（两个顶点,A（2,1）,3（2,1）,设P（u，%）,则 手+y j=i.xp=2（m-n由 OP=mOA+几OB，得|，yp=m-n4（加一）一 /、2-+（m4-n）=1，4 1 7故点。（加,）在定圆f +y2=；运动.4.已知抛物线E：y=2 p x经过点？（4,4）,过点Q（0,2）作直线/交E于A,8两点，PA、分别4交直线x=-于M,N两点.（1）求E的方程和焦点坐标；设。（一1,0）,求证：为定值.【答案】（1）抛物线E：y2=4 x,焦点厂（1,0）（2）证明见解析【解析】（

43、1）：抛物线J=2 p x经过点p（4,4）,/.42=8p，p=2,抛物线E：2=4X，焦 点 以1,0）.证明：（2）过点Q（0,2）且与抛物线交于两点，的斜率存在且不为0.设/：x=m（y-2）,x=m（y-2 9 八 八 -4my+8/n=0,y=4x由/0得根2-2 z0，即根v 0或加2,设A（X|,y），B&M，则 y+必=4 m,y%=8m，IPA：一4=河（尤-4）（工产4）,x 4令工二一一得丁=312%-16y+163)：.M4 12%16y+163?3(%-4)7同理得N4 12X2-16y2+163（%-4）,.DM.DN=*l2 *-1 6+6 121 6%,694

44、;n2+16x（-12m2+16 z+16）i A=-7-5-7-1 =7T为定值.9（-12疗 +16/714-16）9(机0或加2时，-12+16加+16工0)5.已知抛物线C:y2=2px(p0)上一点P(卬T)到焦点F的距离|PF|=2N.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线/与抛物C交于A,B两 点(A,B异于点P),且我 八 +左8P=-2,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】9=8%；过定点(-2,0)【解析】16=2 px0|PF|=x0+5=2x。解得事=2,抛物线的方程为V=8x.(2)设直线/的方程为=冲+，4(%,X)，8

45、(工2，%)1 1 1 1 3（x,-4）3（X2-4）_ 169x1x2+12（xI+）+16yly2-16（yl+y2）-12（x1y2+x2y1）+169为%2 4（玉 +）+16其中玉z =；W x；关=*MW=4m2 -4 4 10X y+%2=m（yj+y2 4）=47?（7n 1）,玉%+&X=；犬必+；=；X%（M +%）=8，将以上3式代入上式得1636/n2+487?z（7n-l）4-128m-64m-96m2+16j(1)由题可得:p=4,联立白,消 x得：y2-8/n y-8n =0.A =32（2+）0,x=my+n，X +必=%=一8 k _ X+4 _ X+4KA

46、P c _ 2玉-2 2L_2888y -4，同理做P当一4乂怎P+&P=-2,2 T6 =0，=一2.直线/的方程为：x=my-2,过定点（-2,0）.6.已知椭圆C：0+a b2=1（。人0）的左右顶点分别为4，4,左右焦点为分别为耳，鸟，焦距为2,离心率为一.2（I）求椭圆C的标准方程;（I I）若p为椭圆上一动点，直线4过点4且与次轴垂直，例 为直线4 P与的交点，N为直线4。与直 线 的 交 点，求证：点N在一个定圆上.2 2【答案】（1）+=1；（I I）证明见解析.4 3【解析】（1）2 c =2,e=,.a =2,b =y/3.C的方程为三+工=14 3（2）设点 N（x,y）

47、,P（%,y J （-2玉 2）2?1,即4 3分；xf-4=-34：x =-2,直线4尸的方程:y =（x-2）Xj 2I X -2乂X玉+2y，直线4尸的方程为丁=%+2(x +2)k-4y 3(x,-2)直线M F2的方程为y =3(，)d2由 得：J -(x +2)(x-l)3(4-4 八)，y2=-(x+2)(x-l),即 x2+y2+x-2 =0:.点、N在定圆上.7.已知椭圆C：5+，=l(a0)的离心率6 =等，且椭圆过点(3,1)(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线/与C交于M、N两点，点。在椭圆C上，。是坐标原点，若OM+ON =OD，判定四边形O MDN的面积是否为定值

48、？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1).+Z =i；(2)是定值，其定值为 逐.【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c(c 0),由题意可得=也a 22 1-7 +7 =1 解得。2 =4,b?=2 ,a b,a2=b,+c22 2因此，椭圆C的标准方程为三+匕=1：4 2(2)当直线/的斜率不存在时，直线MN的方程为x =-l或x =l.x=1,V6 1=x=若直线/的方程为X =l,联立y2,可得-F=114-2此时，|MN|=，四边形O MO N的面积为g x#x 2 =,同理，当直线/的方程为x=-l时，可求得四边形O MO N的面积也为J 4；当直线/的斜率存在时，

49、设直线/方程是丫=履+，2 2代人 到 工+2-=1 ,得(1+2/)/+4 4如+262-4 =0,/.%+x2勰一广春，-(一出。,X+必=攵（X+%）+2m=IMN=，1 +公-|%1-X2|=Jl+/,J（X 1 +%）2 4X/2=j+k1 2 x1 +2/一 2k2+1-2k2+1故四边形OMDN的面积是定值，其定值为屈.Y2,v28.已知椭圆。：与+4=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0/).a2 b22万，4公+2-m2l+2k2点O到直线MN的距离=帆A/1+F,口 4km i OM+OC -OD，彳 J XD=不+W=一 Ti 7乙K I 12m1 +2左 2%=X+%

50、=(-4km (2m Y点D在椭圆C上，所以有 不 必J 工/J _ ，整理得1 +2公=2加2,+2-由题意知，四边形O MDN为平行四边形,.平行四边形。MDN的面积为3=2邑2x：|MN|xd=mx等票三Xi/1 +z/c+4/2（8如+4-2加2）,2（21+1）8 1+4 （2 1+川 府（2/+1）后(I)求椭圆c的方程;(I I)设。为原点，直线/：y=Ax+rQHl)与椭圆C交于两个不同点尸，Q,直线AP与X轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若QM QN|=2,求证：直线/经过定点.【答案】(I)+/=1；2(II)见解析.【解析】12(I)因为椭圆的右焦点为(1,0),所以