2021-2022学年广东省深圳市光明高级中学高二（下）期中数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年广东省深圳市光明高级中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数r,则线性相关程度最高的是（）甲 乙丙 丁r 0.8 7 -0.9 10.5 8 0.8 3A.甲 B.乙 C.丙D.T2.（5分）某市人民医院急诊科有3 名男医生，3 名女医生，内科有5名男医生，4 名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1 名男医生和1 名女医生组成4 人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（）A.1

2、8 0 种 B.5 6 种 C.29 种3.（5分）函数），=7-2/收的单调减区间是（）D.15 种A.（-1,1 ）B.（0.1 ）C.（-1,0）D.（0,2）4.（5 分）一批产品共有20 件，其中2 件次品，18 件合格品，从这批产品中任意抽取2 件,则至少有1件是次品的概率是（）A-190 95 C-190D酱5.(5 分)已知随机变量 X-8 (4,p),若p(X l)=强，则 E(X)+D(X)=()81A4-I 0 谒D-96.（5分）从甲地到乙地共有A、B、C三条路线可走，走路线A堵车的概率为0.1,走路线8堵车的概率为0.3,走路线C堵车的概率为0.2,若李先生从这三条路

3、线中等可能的任选一条开车自驾游，则不堵车的概率为（）7.（5分）若 x=l 是函数f （x）=（/+-1）e*的极值点，则/的极大值为（）A.0.2 B.0.39 8 C.0.9 9 4D.0.8A.145A.-1 B.-e3 C.5 e3D.58.（5分）（1 -x）2（2-x）8 的展开式中，/的系数为（)B.144C.8 1D.1二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。（多选）9.（5分）下列求导运算正确的是（）A,（s i n g-）B,（l o g2x）/=3 2 x l

4、 n 2C.（2/2卢1）=-4 e 2+l D.（-L v=_-F 2 x（多选）10.（5分）已知（1 -工）1 =4（）+11+。2/+434+a i o%l,则下列结论正确的是（）A.。0=1 B.41+Q2+Q3+。10 =0C.。9=10 D.。2+。4+。6+8+。10=5 11（多选）11.（5分）设离散型随机变量X 的分布列如表，其中2次+3=1.1.X0123Pm0.4n0.2若离散型随机变量丫 满 足 y=3 x-2,则下列结果正确的是（）A.E（X）=1.6 B.D（X）=0.8 C.E（H=2.8 D.D（7）=7.5 6（多选）12.（5分）已知函数f（x）的导函数

5、为/（x）,若当x 0,5）时，f（X）-t a n x /（x）f（?）b 4 6C,（冬）D.吾 ）b 0 4 o三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2（）分。13.（5分）奶茶店老板对本店在2 02 1 年 1 2 月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温x/C进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如表），并由最小二乘法求得回归方程为y=4 5-2 x-表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为气温x/1 062-2售出热饮的杯数y2 43 44 81 4.（5分）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必

6、净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件8表示选出的三种药方中至少有一方，则 尸（A|8）=.1 5.（5分）如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植一种花卉，且相邻部分不能种植同一种花卉，现 有 5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有 种.（用数字作答）1 6.（5分）若函数/（x）=/n x-分3+/的图象上的点都不在x轴的上方，则“=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 7.（1 0分）已知（工、2n的展开式中第9项

7、为常数项.（1）求该二项展开式中含小项的系数;（2）求该二项展开式中二项式系数最大的项.1 8.（1 2 分）已 知 函 数（x）ax-xlnx,且/（x）在 x=e 处的切线方程是x+y+Z?=0.（1）求实数a,6的值；（2）求函数f （x）的极值.1 9.（1 2 分）假设在一次数学测试中，某班学生的成绩X”（1 00,1 00）,已知试卷满分是1 5 0分，这个班的学生共有5 0人.（1）估计这个班在这次数学考试中成绩不小于9 0分的人数（精确到整数）；（2）记 X 9 0,1 1 0）为事件 A,XG 8 0,1 00）为事件 B,求尸附：若随机变量 X W（n，。2）,则 P （口

8、-。WX u+。）=0.6 8 2 7,P 2。W X u+2o ）=0.9 5 4 5,P（u-3。W X u+3。）=0.9 9 7 3.2 0.（1 2 分）杭州亚运会将于2 0 2 2 年 9月 1 0 日至2 5 日举行，相关部门计划将6名志愿者分配到亚运会三个不同的运动场馆做服务工作，每个岗位至少1 人.（1）一共有多少种不同的分配方案？（2）若 6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共有多少种不同的分配方案？21.(12分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽 取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提

9、交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是2,且每题正确完成与否互不影响.3(I)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(II)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.22.(12 分)已知函数f(x)=lnx+*x2-(a+l)x(a R),g(x)=f(x)-x(a+1)x,(1)讨论f(x)的单调性；2(x-x)(2)任取两个正数 XI,X2,当 时，求证：g(x)-g(x)22021-2022学年广东省深圳市光明高级中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一

10、、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数r,则线性相关程度最高的是（）甲乙丙Tr0.8 7-0.9 10.5 80.8 3A.甲B.乙C.丙D.T【分析】根据线性相关系数的定义，加-1,相关性更强，判断即可.【解答】解：根据线性相关系数的定义，相关性更强，由表格可得具有更强的线性相关性的是乙.故选：B.【点评】本题考查变量间的线性相关关系的定义，基础题.2.（5分）某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医

11、院急诊科和内科各选派1 名男医生和1 名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（）A.1 8 0 种 B.5 6 种 C.2 9 种 D.1 5 种【分析】第一步，从急诊科选派1 名男医生和1 名女医生，第二步，从内科选派1 名男医生和1 名女医生，分别求出方案数，再根据分步乘法计数原理求解即可.【解答】解：从急诊科选派1 名男医生和1 名女医生有3 X 3=9 种方案，从内科选派1 名男医生和1 名女医生有5 X 4=2 0 种方案，根据分步乘法计数原理，该医院总共有9 X20=1 8 0 种不同的选派方案.故选：A.【点评】本题考查排列组合，考查学生的推理能力

12、，属于中档题.3.（5分）函数=/-2加x 的单调减区间是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,2)【分析】先求出函数的导数，令导函数小于0,结合函数的定义域，从而求出函数的递减区间.【解答】解：=2X-2=2X-2,X X令 y 0,解得：0 x l或x 0,函数单调递增，当-2 x l时，(%)0,函数单调递减，故当x=-2时，函数取得极大值/(-2)=5,故选：D.【点评】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础试题.8.(5分)(1 -X)2(2-x)8的展开式中，f的系数为()A.145B.144C.81D.1【分析】根 据(1 -x)2(2-x)8=a

13、-2 x+/)(2-x)8,再结合二项式定理即可求解结论.【解答】解：(1 -x)2(2-尤)8=(1-2X+X2)(2-x)8,(1-x)2(2-%)8 的展开式中，一 的系数为：IX 08-2X 2X (-1)7C7+1X22X8868C45故选：A.【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，是基础题.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。（多选）9.（5分）下列求导运算正确的是（）A，(sin g-)B.(log2x)y Q3 2/xln2C.(2 e 2 x+,)=_ 4

14、 e%i D.f l y=_LS 2 x【分析】根据导数的公式即可得到结论.【解答】解：(sin匹)=0,错误,3V(log2x)1 -,正确，xln2(2/2/1)=2 e 2 x+lX(-2)=-4/2 1,.C正确，(1 )1.77故选：BCD.:D正确,【点评】本题主要考查导数的基本运算，属基础题.（多选）10.（5 分）已知（I-x）10=ao+aix+a2x1+a3xi+-+iox10,则下列结论正确的是（）A.70=1B.x）+,+aiar10,令 x=0 可得：1=（），令尤=1 可得：0=。0+。1+。2+3+3+410,令 x=-l 可得：2 i=ao-ai+4 2 -+m

15、 o,p l .n 1 0+整理得：a2+a4+a6+m+aio=-r/o=5 1 1,2-整理得：。1+。2+。3+aio=O -ao-1,“9=1 X (-1)9=-1,故选：AD.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题.(多 选)1 1.(5 分)设离散型随机变量X的分布列如表，其中2,+3=1.1.X0123Pm0.4n0.2若离散型随机变量丫 满 足 y=3 X-2,则下列结果正确的是()A.E(X)=1.6 B.D(X)=0.8 C.E(K)=2.8 D.D(K)=7.5 6【

16、分析】根据分布列的性质列式求得，与的值，再由期望与方差公式判断4与B；由两个随机变量之间的关系根据期望与方差的性质判断C与/).【解答】解：由题意得，(2m+3n=1.1,解得m=01,lmtn=O.4 ln=O.3：.E(X)=0X 0.1 +1 X 0.4+2 X 0.3+3 X 0.2 =1.6,故 A 正确；D(X)=(0-1.6)2 x 0.1+(1 -1.6)2X 0.4+(2 -1.6)2X 0.3+(3 -1.6)2 x 0.2=0.8 4,故 8错误；E(Y)=3 E (X)-2=2.8,故 C正确；D(K)=9 D(X)=7.5 6,故。正确.故选：ACD.【点评】本题考查

17、离散型随机变量的期望与方程的求法，是中档题.(多选)1 2.(5 分)已知函数f(x)的导函数为/(x),若当x 0,子)时，f(X)-t aar /(x)亚f(F)B.2f(O)f (年)C,(等)D.(年)b o 4 3【分析】令 g(X)=/(x)C O M,再利用导数判断函数的单调性即可求解.【解答】解:,x o,m),sinjvO,cosx0,:f(x)-taar/(x)0,:(x)cosx-f(x)siar0,设 g(x)=f(x)cos%,则 g(x)=f(x)cosx-f(x)siiu g(2 1),.-.cos 2 L f(2 1)cos 2 L/-(_2 L),.白(三)扬

18、(工),6 4 6 6 4 4 6 4；.A正确，g(o)g(2 L),.,.cos oy(o)cos 2 L/-(2 L),：.i f(o)/(2 L),;.B正确，3 3 3 3g(-)(),.cos4(-)cos/(),A/3f()/(-)，C6 3 6 6 3 3 6 3正确，,g(,冗、)、g(/冗)、,.cos兀/,(/.-冗-)、C OS兀/(冗)、，.,.V二2/,(,冗)、/C (/兀)、,4 3 4 4 3 3 4 3。错误，故选：ABC.【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.（5分）奶茶店老板对本店在2

19、021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温x/C进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如表），并由最小二乘法求得回归方程为y=4 5-2 x-气温x/1062-2售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为 42.【分析】设不清楚的数据为，求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程得答案.【解答】解：设不清楚的数据为如-1 0+6+2-2.-24+34/+4 8 1 0 6+mx=4=4 y=-4-则样本点的中心的坐标为(4,*也)，代入y=4 5-2x，得 侬 出=4 5-2 X 4,解得机=42.4故答案为：42.【点评】本题考查线性回归方程的

20、求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题.14.（5分）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则.-1 9一【分析】利用古典概型求出事件B的概率及事件A B的概率，再利用条件概率公式计算作答.3p 1 p 2,rn 2 p 1【解答】解：依题意，P（AB）=-V冶7，20 3 1 0听以P（A|B）=P峡）J*。P（B）1 9故答案为：呈.1

21、 9【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.15.（5分）如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植一种花卉，且相邻部分不能种植同一种花卉，现 有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有 2 6 0种.（用数字作答）【分析】根据题意，依次分析4个部分的选法数目，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，对于区域1,有5种不同的花卉供选择，有5种选法，对于区域2,与区域1相邻，有4种选法，对于区域3和4,若3与1的选择相同，4有4种选法，若3与1的选择不同，3有3种选法，4有3种选法，此时有3 X 3=9种选法，则区域3和4有4+9=13种选法，故有5X4X

22、13=260种选法；故答案为：260.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.1 6.(5分)若函数/(x)-田?+以2的图象上的点都不在 轴的上方，则=1.【分析】依题意，可得。(x -1)2/总对Vx E (0,+8)恒成立，令g (x)=a(x -1)-Inx(x 0),问 题 转 化 为(0,+8),g (x)2 0恒成立；对 分 与 0两类讨论，可求得的值.【解答】解：函数/(x)=/小-加+/的图象上的点都不在x轴的上方，即(0,+8),/(x)W O 恒成立，即 a (x3-x2)NJAHX,化为。(x -1)27/犹对VJVE(0,+8)恒成立，令

23、g (x)=a(x -1)-Inx(x 0),问题转化为Vx E (0,+),g(x)20 恒成立.因为 g (x)=a-4=a x-l,当 W O时，gr(x)0 时，若 0 x 2，则 g (x)工，则 g (x)0,a a所以g(%)在(o,A)上单调递减，在(工，+8)上单调递增，a a所以 g(尤)min=g(A)=1-a+bta2O,令 h(a)=1 -a+lna,则 hr(a)=-1+。=1一 软,a a当 O V V 1 时，h1(a)0,h(a)单调递增；当 a l 时，h(a)0,h(a)单调递减，所以当=1时，h()取得极大值，也是最大值/z (1)=0 2 0成立，所以

24、a 1,故答案为：1.【点评】本题考查了利用导数求讨论函数的单调性与极值，考查了转化与化归思想及构造法的应用，考查运算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(1)求该二项展开式中含笳项的系数;(2)求该二项展开式中二项式系数最大的项.【分析】求出展开式的通项公式，然后令r=8,且 x的指数为0,由此即可求出的值,(1)令 x的指数为5,由此即可求解：(2)根据的值以及二项式系数的性质即可求解.【解 答】解：展 开 式 的 通 项 公 式 为T r+=c：(*)nr=产.(-D Y 暇因为展开式的第9项为常数项，则 r=8,且 2-至=

25、0,解得=10,2 令 2 0-号=5,解得r=6,所以/的系数为C：Q(/)4(_ )6=竽；15 15(2)展开式的二项式系数最大的项为7 6 =婢 0 0 1)5(-1)5*工-=-竽 1 工.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.18.(12 分)已知函数/(冗)=ax-xlnx,且/.(x)在 x=e 处的切线方程是x+y+/?=0.(1)求 实 数 小 6的值；(2)求函数/(%)的极值.【分析】(1)求导得，(x)=a -(1+Z z t r),由/(x)在 x=e 处切线方程是x+y+Z?=0,知切点为(e,-e-万)，斜率为7,则 f(e)

26、=ae-e=-e-b,即可得出答案.f (e)=a_(l+ln e)=-1(2)求导得/(x),令，(x)=0,得 x=l,列表格分析随着/的变化，/(x),f(x)的变化情况，即可得出答案.【解答】解：(1)由f (x)=ax-xlnx,得/(x)=a -(1+加 x),由f(x)在xe处切线方程是x+y+b=()9知切点为(e,-e-b),斜率为-1,所以(f(e)=ae-e=-e-b,解 得 卜=1.(e)=a-(l+lne)=-1 Ib=-e(2)f(x)=x -xlnx,f(x)=-Inx,令/(x)=0,得 x=l,随着x的变化，f(x),/(x)的变化情况如下表：X(0,1)1(

27、1,+8)f(X)+0-/(X)t极大值1所以当x=l时，f(x)取得极大值1,f(x)无极小值.【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.19.(1 2分)假设在一次数学测试中，某班学生的成绩X7V(100,1 0 0),已知试卷满分是150分，这个班的学生共有50人.(1)估计这个班在这次数学考试中成绩不小于90分的人数(精确到整数)；(2)记 Xe|90,110)为事件 A,XG80,100)为事件 B,求 尸(B|A).附：若随机变量 X-1V(山。2),则。WXVp+o)=0.6827,P(H-2OWXR+2。)=0.9545,P(口-3。WXVR+3。)=0.

28、9973.【分析】(1)根据正态分布知识求解；(2)根据条件概率公式求解.【解答】解：(1)：XN(100,100),.(1=100,0=10,:P(100-10X 100+10)=0.6827,:，P(X90)=/X(1-0.6 8 2 7)=15 8 6 5,：.P(X90)=1-0.15865=0.84135,V50X0.8413542,估计这个班在这次数学考试中成绩不小于90分的人数为42.(2)由题意，P(A)=尸(100-10X p(口2 2),15从做对题的数学期望上甲乙两人水平相当；从至少完成两题的概率上看，甲通过的可能性比较大，因此可以判断甲的实验操作能力强.【点评】熟练掌握

29、超几何分别、二项分布、数学期望是解题的关键.2 2.(1 2 分)已知函数f (x)=l n x+*x2-(a+l)x(a R),g(x)=f (x)-x(a+1)x,(1)讨论/(x)的单调性；2(x-x)(2)任取两个正数 xi,X 2.当 xix2时，求证：g(x)-g(x)0).XX当“W O 时，ax-l 0,得 0 x l；令/(x)l.所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.当 0 工 1 时，令/(x)0,得 0 x l；令/(X)0,得上1，即0 4 0,得0 x；令/(X)0,得a a a所以/(X)在(0,1),(1,X X)上单调递增，在(1,工)上单调递减.a a综上所述，当W0时，/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当0 a g(X2)F7-，八而证】”1皿2 下彳X 12(-1)即证 1 封/?(1)=0,所以/I (力 在(0,1)上单调递增，所以 h G)h(1)=0.所以 g(X Ag(2 X +X 2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题.