2021-2022学年江苏省无锡市立人高级中学高三数学理月考试题含解析.pdf

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1、2021-2022学年江苏省无锡市立人高级中学高三数学理月考试题含解析一、选 择 题：本 大 题 共1()小 题，每 小 题5分，共50分。在每小题给出的四个选项 中，只有是一个符合题目要求的1.已知m,n是两条不同直线，产是两个不同平面，给出四个命题：若&0户=活力匚国;3_ 1掰，则。J L 月 若也_ L a,根1.尸，则戊尸若耀 L a”J _旦活,则a_ L产 若活 a,%/尸肉巴 则a/j8其中正确的命题是A.B.C.D.参考答案：2.已知数列加力满足。一%=2,4=5,则I.I+&I+|/|=()A.9 B 1 5.C.1 8 D.30参考答案：C由 题 意 得 数 列 为 等

2、差 数 列,4 =5+2(n 1)=2n-7,因此|at|+|a2|+|a6|=5+3+14-1+3+5=18.选 c.3.函数f (x)是奇函数f(x)(xG R)的导函数，f(1)=0,当x 0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-8,-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)C.(，-1)u(1,+8)D.(-1,0)U(0,1)参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系.【专题】数形结合；构造法；转化法；导数的概念及应用.【分析】根据题意构造函数g(X)=xf(x),由求导公式和法则求出g (X),结合条件判断出g (x)的符号，即可得到函

3、数g (x)的单调区间，根 据f(X)奇函数判断出g (x)是偶函数，将不等式进行转化，由图象求出不等式成立时X的取值范围.【解答】解：设 g (x)=xf(x),则 g (x)=xf (x)+f(x),当 x 0,.则当 x 0,二函数g (x)=xf(x)在(-8,o)上为增函数，函数 f(x)是奇函数，A g (-x)=(-x)f(-x)=(-x)-f(x)=xf(x)=g(x),函数g (x)为定义域上的偶函数，由f(1)=0得，g (1)=0,函数g (x)的图象大致如右图：g(X).不等式 f(x)0?X 0 (x 0/.g (x)0,由函数的图象得，-l x l,二使得f(x)0

4、,6 0)的一条渐近线与直线X+2 y+1 =0垂直,(A)A/3则双曲线C的离心率为亚(B)T(0垂 D)参考答案：【知识点】双曲线的简单性质 H6C:-A =l(a 0,6 0)C 解析：.双曲线 a2讨 的焦点在X轴上，.其渐近线方程为+-y=ax,.渐近线与直线x+2y+l=0垂直，渐近线的斜率为2,-b2=4a2,c2 a2=4a2,c2=5a2=5,=y/5 r-：.a=2,即 a a 双曲线的离心率e=V5故答案为C【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直,_b b c线 x+2y+l=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为-4,故W=2,再利用ca

5、M A e=4即可得双曲线的离心率5.下列说法中，正确的是A.命 题“若 的 2 b病，则 a 0”的否定是：“V x eK,x2-x 1”是“x 2”的充分不必要条件参考答案：B略6.已知集合 A=0,x,B=x2,-x2,|x|-1),若 A?B,则实数 x 的值为()A.1 或-1 B.1 C.-1 D.2参考答案：A【考点】集合的包含关系判断及应用.【专题】计算题；转化思想；综合法；集合.【分析】本题是一元一次方程和集合包含关系结合的题目，利 用A?B,建立方程即可.【解答】解：集合 A=0,x ,B=x2,-x2,|x|-1 ,A?B,1 x|-1=0 x=l 或-1；故选：A.【点

6、评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征.7.已知双曲线a?-b2=l(a 0,b 0)的两条渐近线与抛物线y?=2 px (p 0)的准线分别交于0、A、B三点，0为坐标原点.若双曲线的离心率为2,Z iAO B的面积为加，则p=()3A.1 B.2 C.2 D.3参考答案：C考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.2 2工-J分析：求出双曲线a 的渐近线方程与抛物线y 2=2 px (p 0)的准线方程，进而求出A,B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2,AAO B的面积为近，

7、列出方程，由此方程求出p的值.2 2工-j解答：解：.双曲线a b,b.双曲线的渐近线方程是y=+axP又抛物线y、2 px (p 0)的准线方程是x=-2Pb c=故 A,B两点的纵坐标分别是y=2 a,双曲线的离心率为2,所以a,2 _M=J A=e 2-l=3 b_ r-pb+V3PA,B两点的纵坐标分别是y=甚 2,又，AAOB的面积为晶，x 轴是角AOB的角平分线，如倔巧诋得p=2.故选C.点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解 出 A,B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错.8.三世

8、纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割 圆 术 利 用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的值为（）（参考数据：x 0.1305,15-0J2588）A.6 B.12 C.24 D.48参考答案：C【分 析】根据程序框图运行程序，直到满足s A3。时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入=6a s 3百5=Jsinou=-则2,不满足sN30,循环；n=12,s-6sn30T=3,不满足N3-10,循环；n=24,5=12sin

9、l5 3.1056,满足sN30,输出结果：n=24本题正确选项：C【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础题.9.已知点A （1,0）,若曲线G上存在四个点B,C,D,E.使A A B C与4 A D E都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”.给定下列四条曲线：4 x+3 yJ 0；4 x2+4 yJ l；春2六2；x2-3 y2=3其中，“双正曲线”的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B_ 2 2（ab 0）1 0.斜 率 为2的直线1与椭圆a bz 交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭

10、圆的离心率为（）V2 1 M A.2 B.2 C.3 D.3参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2 a行，求得关于ca的方程求得e.【解答】解：两个交点横坐标是-c,c返 返所以两个交点分别为(-C,-V c)(c,T C)代入椭圆a 2 2 b 2=1两边乘2 a 廿则 c2(2 b2+a2)=2 a 廿V b2=a2-c2c2(3 a2-2 c2)=2 a*4 -2 a 2 c 2 a*4 -5 a2c2+2 c*4=0(2 a2-c2)(a2-2 c2)=02J 12 a =2,或 2V 0 e l

11、_ c 返所以e 二 a 二2故选A【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中a,b 和 c的关系.二、填空题:本大题共7 小题,每小题4 分，共 28分H.如图，从 点 财&，发出的光线沿平行于抛物线,=以对称轴的方向射向此抛物线上的点p,反射后经焦点尸又射向抛物线上的点Q,再反射后沿平行于抛物线的对称轴的方向射向直线L *-2,-7 =上的点N,再反射后又射回点“，则参考答案:6.9 312.整数+3 的 末 两 位 数 是.参考答案：08解：令*=10。则得=#-3矛+9一.由于0 -x 4=l-+-a+1 8 4,即a+1占的最小值为1本题正确结果：1【点睛】本题考查利用基

12、本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从 而 可 得 到 之 间 的 关 系，从而配凑出符合基本不等式的形式.17.在 AABC 中，NC=90。，M 是 BC 的中点.若 sin/B A M=,则 sin NBA C=参考答案:在3略三、解答题：本大题共5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤式 式 V 2o o -1 8.已知椭圆C：az+bz=l(ab0)的离心率为2,四个顶点所围成菱形的面积为8 7 2.(I)求椭圆的方程；(I I )已知直线L：y=k x+m与椭圆C交于两个不同点A (xH x2)和 B (x2,y2),

13、0为坐标1原点，且 k(M?k o B=-2,求 y i,y 2 的取值范围.参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(D利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；(I I)联立直线方程和椭圆方程，消 去 y,运用韦达定理和判别式大于0,以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y i y?的范围.c V 2 2解答：解：(I)由已知可得e=W=T,2?2 a?2 b=8 V 2,又 a2=b2+c2,解得 c=2,b=2,a2=8.椭圆的方程为8+4=1.(ID直线L：y=k x+m与椭圆C交于两个不同点A (x i,x2)和 B (x2,y?),y=k

14、 x+m联立X +2 y =8,得 d+2 k2)x?+4 k mx+2 m2 -8=0,=1 6 k2m2-4 (l+2 k2)(2 m2-8)0,化为 8 k 4遍,-4 k m 2 m2 89 9.x i+x 2=1+2 k ,x)X 2=1+2 k .工 .满足 k o A?k(=-2,y 2 xlx2=-2.i 2产-8 i p 2 -4 9 O*.y i y 2=-2X IX2=-2?l+2 k =-l+2 k ,y i y 2=(k x i+m)(k x z+m)=k 1 lX z+k m(x i+x2)+mZ m-8 -4 k m K-8 k 2=k2?1+2 k+k m?l+

15、2 k 2+m2=l+2 k 2.n)2 -4 K-8 k 2-1+2 k2=l+2 k2.,4 k2+2=m2,i n2 4 2+4 k2 -4 4 9 9 7-9即有 y i y z-1+2 k =-1+2 k =l+2 k -2,则 y!y2e(-2,2 .点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.F M V2o p-7-1 9.已知椭圆a”+b =i (a b 0)的离心率为2,且 过 点2,2 ).(1)求椭圆方程；(2)设不过原点0

16、的直线1：y=kx+m (kKO),与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、0 Q的斜率依次为L、k2,满 足4 k=L+kz,试问：当k变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)利用己知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程.(2)联立直线与椭圆方程，设P (X1,y i),Q(x2,y2).利用韦达定理，通过直线OP、0 Q的斜率依次为k”k2,且4 k=L+kz,求解即可.(收2 J冬2+,2a bc V3【解答】解:(1)依题意可得I a=y+

17、L，解得 a=2,b=l+v =1所以椭圆c的方程是4 y(4分)(2)当k变化时，n f为定值，证明如下：尸 kx+m+2 x+i x+1 x +1设g(x)=2x3+2x+b,其图象的对称轴为x =-g G(-1,+c o),-g(x g=g(_1 =-；+A，当时，g(x hm =-1+A。，总)=2#+2工-a 0在(-1,+8)上恒成立，.当工6(-1,+8)时，/V)0,b -:当 2时，函数/(x)在定义域(-1，+8)上单调递增.b 一 1/、(2)由(1)得，当 2时、函数了5)无极值点.(if1 21 x +-1b=-fx)=-0 x =2时，x+1 有两个相同的解 2,x

18、GfI 2)时，/0,尸 0,2时，函数/)在(-L+8)上无极值点.1 -1-7 1-26-1 +V 1-2ib V 上“、门 工1 =-工2=-当 2时，/5)=有两个不同解，2,2-1-V 1-26，八 工1 =.法(0时，2上丘生 02即工1(-1，+8),2 -L+00)；8 0时,尸 ,/(X)随X的变化情况如下表:X(一1，再)0极小值(0+8)+-1-V 1-26%.=-由此表可知：力 0时，/（X）有惟一极小值点 20 6-当 2时,V 、一 1“2 ,二七，；匕 e (-1 4-00),此 时,尸 ，X随X的变化情况如下表：（一1,再）再（再，X2）再（西,-8）尸/W由

19、此 表 可 知：+o -口 极大值 口0 8 一 、，1 =2时，/有 一 个 极 大 值0+极小值 口-1-J 1-2占2 和 一 个 极 小 值 点-1+1-2b-1 +V 1-26X =-2；综上所述：小 0时，/（X）有惟一最小值点 20 b12时，/）无极值点.-l-V l-222 和一个极小值点-1 +V 1-26X3 )当 b=-时函 数 /W=2-l n(x +l)令函数A(x)=x3-/(x)=x3-A2+l n(x+T),V(X)=3X2-2X+则1 3X2+(X-1)2x+1 x+1.当x e 0,+8）时，尸（力 0,所以函数为在 ，+8）上单调递增，又&（0）=0.;x e（0,+8）时，恒有人 应0）=0,即/TM x+l）恒成立故当 x e （0,+8）时，有l n（x+l）x =-（0,+c o）lnfl+lk l-对任意正整数万取 ,则有略11 ；n服.所以结论成立x =1 4-2Z22.已知某曲线C的 参 数 方 程 为 卜=，(t 为参数，adR)点 M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程。参考答案：解：(I )代入点M 得 a=l (I I)(x l)2=4 y 为所求.