2021-2022学年江苏省连云港市新海初级中学九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、绝密启用前202L2022学年江苏省连云港市新海初级中学九年级（上）期中数学试卷考试范围：XXX；考试时间：1 0 0分钟；命题人：XXX注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选 择 题（本大题共8小题，共2 4.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1 .下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.x+；=2 B.2X2-

2、X=1 C.3X3=1 D,ax2-4x=02 .若。的半径为4,圆心。到直线/的距离为5,则直线Z与。的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定3 .1 5名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这1 5名学生成绩的（）A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数4 .下列说法中，正确的是（）A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C.圆的切线垂直于这个圆的半径D.9 0。的圆周角所对的弦是圆的直径5.设a,b是方程/+%一2 0 2 2 =0的两个实数根，则a 2 +2 a +b的值为（）A

3、.2 0 2 0B.2 0 2 1C.2 0 2 2D.2 0 2 36.如图，在。中，48=B C，点。在O。上,NC08=25,则乙4OBA.45B.50C.55D.607.如图，已知所在圆的半径为4,弦力B长为4百，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点4 逆时针旋转120。后 得 到 则 在 该 旋 转 过 程 中，线段CB扫过的面积是（）A 87r 1 6TT 327rA.B.C.n D.8.如图，正方形ABCD的边长为4,点E是8 c 上一点，以4B为直径 A在正方形内作半圆。，将ADCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆。上的点F处，贝 UCE的长为（）|。4-35-4第I I卷（非选择题

4、）二、填 空 题（本大题共10小题，共 40.0分）9.一元二次方程产=-%的根是.10.甲、乙两同学最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别是5 =2.17,51=3.4 5,则数学 成 绩 比 较 稳 定 的 同 学 是.11.关于x的一元二次方程a 7 -5x-1=0有两个实数根，贝 M的 取 值 范 围 是.12.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3 c m,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的侧面面积为 cm?(结果保留兀).13.一个直角三角形的两条边长是方程42-7 x +12=0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为.14.如图，四边形4 8 co内接于。，若NB。=130。，则

5、乙 BCD=.15.如图，点4,B,C在。上，四边形4BC。是平行四边形，若。4=2,则四边形4BC。的面积为.16.如图，。是4BC的外接圆,2D是0。的切线，且4DBC,直线C。交4。于点E.若ZE=4 4 ,则48=17.如图为一个半径为3m的圆形会议室区域，其中放有四个宽为1m的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长为 m.18.如图，在平面直角坐标系中，点N是直线y=-x +5上动点，M是。C上动点，若点C的坐标为(-2,0),且O C 与y轴相切，则MN长度 的 最 小 值 为.三、解答题(本大题共9 小题，共 86.0分。解

6、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.(本小题8.0分)解方程：(1)(2%-I)2=9.(2)x2-4%-12=0.20.(本小题8.0分)如图，在平面直角坐标系中，4(0,4)、B(4,4)、C(6,2).(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为(2)这 个 圆 的 半 径 为；(3)直接判断点。(5,2)与。M的位置关系.点。(5,2)在OM(填内、外、上).21.(本小题8.0分)已知：如图，AB是。的直径，CD是。的弦，旦4 B J.C D,垂足为E.(1)求证：/.CDB=Z/1；(2)若BD=5,AD=1 2,求CD的长.R22.(本小题8.0分)为了响应“全民

7、全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极加强体育锻炼，坚持做跳绳运动，跳绳可以让全身肌肉匀称有力，同时会让呼吸系统、心脏、心血管系统得到充分锻炼，学校为了了解学生的跳绳情况，在九年级随机抽取了 10名男生和10名女生，测试了这些学生一分钟跳绳的个数，测试结果统计如下：请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：(1)所测学生一分钟 跳 绳 个 数 的 众 数 是,中位数是;(2)求这20名学生一分钟跳绳个数的平均数.23.(本小题10.0分)张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上.(1)请你帮助张师傅作出符合条件的半圆

8、形工件的示意图(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如果=30。，NC=45。，BC=a,试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径(答案保留根号).24.(本小题10.0分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了增加利润，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元.(1)降价后，每件盈利 元，每天可销售 件；(用含x的代数式填空)(2)每件童装降价多少元时，每天盈利1200元.25.(本小题10.0分)如图，已知ZB是。的直径，C是。0上的点，点D在48的延长线上，/.B

9、CD=BAC.(1)求证：CD是。的切线；(2)若4。=30。，BD=2,求图中阴影部分的面积.26.(本小题12.0分)如图，在 ABC中，ZC=90,AB=10cm,BC=6cm,点M从C点开始以lc?n/s的速度沿CB向B点运动，点N从4点开始以2sn/s的速度沿4c向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动.(1)2秒时，AMCN的面积是：(2)求经过几秒，MCN的面积是3cm2；(3)试说明 MCN外接圆的半径能否是75cm.27.(本小题12.0分)某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：【问题发现】如图1,AD,BC为。的两条弦Q4DBD)

10、,点C为卷的中点，过C作CE1BD,垂足为E.求证：BE=DE+AD.【问题探究】小明同学的思路是：如图2,在BE上截取BF=4 D,连接C4 CB,CD,CF.请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程.【结论运用】如图3,ABC是。的内接等边三角形，点。是靛上一点，ACD=45,连接BD,C D,过点4作4 E 1 C D,垂足为E.若48=4近，则 BCD的周长为.【变式探究】如图4,若将【问题发现】中“点C为凝的中点”改 为“点C为 优 弧 初 的 中 点”，其他条件不变，上述结论“BE=DE+4/T还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE、AD,DE之间的新等量关系，并加以证

11、明.答案和解析1.【答案】B【解析】解：4是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；8.是一元二次方程，故本选项符合题意；C.是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；。.当a=0时，方程a-4 x =0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B.根据一元二次方程的定义逐个判断即可.本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一元未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.2.【答案】C【解析】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4,则直线和圆相离.故选C若d r,则直线与圆相离.本题考查了直

12、线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系.3.【答案】D【解析】解：由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少.故选：D.15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量.4.【答案】D【解析】解：4能够完全重合的弧叫等弧，所以4选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；C、圆的切线垂直于过切点的半径，所以C选项错误；。、90。的圆周角所对的弦是圆的直径，所以

13、。选项正确.故选：D.根据切线的性质，圆周角定理，垂径定理对结论分析判断即可.本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理的内容是解题的关键.5.【答案】B【解析】解：1 -a.b是方程/+%一 2022=0的两个实数根，a2+a 2022 0,a+b=-1,a2+a=2022,a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2022 1=2021.故 选:B.根a、b是方程/+x-2021=0的两个实数根，求出a?+a-2022=0,a+b=-1,得出a?+a=2 0 2 2,把a?+2a+b变形后(a2+a)+(a+b)进行计算即可.本题考查了一元二次方程的根与系数的关系.将根与系数

14、的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.6.【答案】B【解析】解：在。中，检=诧，点。在0。上，CDB=25,Z.AOB=2Z.CDB=50.故选：B.直接根据圆周角定理即可得出结论.本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.7.【答案】BA C,作。O 1A B 于D,AD=BD=AB=2V3,Ov OA=4,.f e n AD 2V3 V3,-.smAOD=-=-，Z.AOD=60,:.乙AOB=120,点C是伞上靠近点B的四等分点，AAOC=90,AC=ylOA2+OC2=V42+42=4V2.线

15、段CB打过的面积=S扇形ABB，一 S扇形ACG=强 篝 型-强需空=16兀-豹=畀，故 选:B.根据线段CB扫过的面积=扇形BAB的面积-扇形C4C的面积求得即可.本题考查了扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段CB扫过的面积=扇形BAB的面积-扇形C4C的面积是解题的关键.8.【答案】B【解析】解：连接。0,OF,四边形ABCD是正方形，将4 DCE沿DE翻折得到 DFE,DC=DA,DC=DF,DA=DF,在4。4 0和4。尸。中，DA=DFOA=OF,OD=OD DAO OFO(SSS),Z.A=/.DFO,乙4=90,4 DFO=90,又：4 DFE=NC=90,乙 DFO=4 D

16、FE,.点0、尸、E三点共线，设CE=x,则OE=OF+EF=2+x,BE=4-x,OB=2,乙 OBE=90,A 22+(4-X)2=(2+X)2,解得，%=p即CE的长为全故选：B.连接。，O F,然后S S S,可以判定 04。三。尸 0,从而可以得到NDF。的度数，再根据折叠的性质可知4OFE=90。，从而可以得到点。、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得CE的长，本题得以解决.本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.9.【答案】%=0,x2=-1【解析】解：,X2=X,%2+%=0,则%(%+1)=0,.x-0

17、或 x+1=0,解得%1=0,%2=-1故答案为：=0,2=1利用因式分解法求解即可.本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键.10.【答案】甲【解析】解：因为s 懦=2.1 7 0,且a H 0,解得：C L 左且a W 0,故答案为：a 2-名且a H O.由关于X的一元二次方程a/-5 x -1 =0有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式0,aRO,继而可求得a的范围.此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即 可 得0.同时考查了一元二次方程的定义.12 .【答案】3兀【解析】【分析】本题考查了圆锥的

18、侧面积计算，考查了扇形面积公式，属于基础题.利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积.【解答】解：该 圆 锥 的 侧 面 面 积=粤%=3兀(c m 2).360故答案为3 7 r.13 .【答案】4或5【解析】解：X2-7 x 4-12 =0,(x 3)(x 4)=0,解得：/=3,x2=4,当直角边分别为3,4时，斜边为：V32 4-42=5，此时直角三角形外接圆的直径为5,当直角边为3,斜边为4时，此时直角三角形外接圆直径为4.故答案为4或5.首先解方程，求出方程的两个根，再分别讨论斜边的情况，直角三角形外接圆直径等于斜边的长.本题主要考查了因式分解法求解

19、一元二次方程，三角形的外接圆，解题关键是掌握直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点，并能够分情况讨论求解.14.【答案】115【解析】解：乙BOD=130%/.BAD=；BOD=65,四边形4BCD内接于O O,4 BCD=180-4 BAD=180-65=115,故答案为：115.国家圆周角定理求出4B A D,根据圆内接四边形的性质计算即可.本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.15.【答案】2V3【解析】解：连接OB.四边形04BC是平行四边形，0C=AB,OA=BC.v OA=OB=OC,OA=OB=AB=0C=BC，AOB,都是等边二角形,S

20、平行四边形ABCO=2 x R又*=2a.故答案为：2场.连接0B.证明aAOB,ZiOBC都是等边三角形，可得结论.本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明力OB,AOBC都是等边三角形.16.【答案】67【解析】解：连接4。,4D是。0 的切线，:.AO JL AE,Z.EAO=90,v Z-E=44,/.乙40c=NE+Z.EAO=134,二 NB=*a o c =67。，故答案为：67.连接4。，根据切线的性质得到A。L A E,求得4EA0=90。，根据三角形外角的性质得到乙4OC=乙E+Z.EAO=1 3 4 ,由圆周角定理得到4B=67.本题考查了

21、切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键.17.【答案】1+V17【解析】解：设圆心是。，连接。A,0 B,作0C于BC垂直.设长方形的长是2xm,在直角AO/W中，乙4。0=45。，AD=xm,则 00=AD=xm,在直角A OBC中，0C=y/OB2-B C2=V 9-x2.0C-0D=CD=1,._ X2 X=1，解得：x=l咨（负值舍去），则 2x=1+JI7.故答案是：1+VT7.设圆心是0,连接。4 0 B,作0C于BC垂直.设长方形的摊位长是2xm,在直角 0AD和直角 0BC中，利用勾股定理和三角函数表示出0C和 1。0 的长，根据0 C-。=1即可

22、列方程求得.本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键.1 8.【答案】苧 2【解析】解：过点C作CN 1 4 B 于点N,交圆C于点M,此时MN最短,A ,直线4 8 的解析式为y=-+5,4(5,0),8(0,5),.OA=OB=5,/,BAO=45,CN LAB,40N 是等腰直角三角形，点C的坐标为(-2,0),且。与、轴相切，OC=2 4。=4。+。=5+2=7,7V2 CN=y 71C=:.MN=CN-C M =号-2.故 答案为：Z -2.过点C作CN 1 AB于点N,交圆C于点M,此时MN最短，根据勾股定理和题意求得O

23、P=2,贝 ijAB的最小长度为4.本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到MN的最小值是解题的关键.19 .【答案】解：(1)2%-1=3,所以Xi=2,x2=-1;(2)(x -6)(x +2)=0,x 6 =。或x +2 =0,所以刀1=6,x2 2.【解析】(1)利用直接开平方法解方程；(2)利用因式分解法解方程.本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了直接开平方法解一元二次方程.2 0 .【答案】(2,0)2V 5内【解析】解：(1)如图，圆心M的坐标为(2,0)；4(

24、0,4),M(2,0),M A =V22+42=2 倔即O M的半径为2 遍；(3)v )(5,-2),M(2,0),D M =J(5 -2 尸+2 2 =g,v V13 2 V5.点。在OM内.故答案为(2,0)；2 遍；内.(1),利用网格特点，作4 B 和B C 的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；(2)利用两点间的距离公式计算出M4即可；(3)先计算出DM,然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点。与。M的位置关系.本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了垂径定理和点与圆的位置关系.21.【答案】(1)

25、证明：AB为。的直径，AB 1 CD,ABC=BD,f /.Z.A=ZCDF；A I Yn.R(2)解：.YB为0。的直径，ADB=90.AB=y/AD2+BD2=V122+52=13.X A B X D E =x A D x B D,即 13 x DE=1 2 x 5,解得DE=黑 4B为。的直径，AB 1 CD,9=2DE=2x*等.【解析】(1)先根据垂径定理得出BC=B D,再根据圆周角定理即可得出乙4=:DB：(2)先根据勾股定理求出48的长，再由三角形的面积公式求出DE的长，根据CD=2DE即可得出结论.本题考查的是垂径定理，熟知勾股定理及圆周角定理是解答此题的关键.2 2.【答案

26、】160 160【解析】解：(1)由统计图可知：跳绳个数100个的有1人，跳绳个数120个的有1人，跳绳个数140个的有6人，跳绳个数160个的有飞人，跳绳个数180个的有2人，跳绳个数200个的有2人，所以众数为160(个)，中位数是誓把=160(个)，故答案为：160,160；(2)这20名学生一分钟跳绳个数的平均数是*x(1 x 100+1 x 120+6 x 140+8 x 160+2 x180+2 x 200)=155(个)，答:这20名学生一分钟跳绳个数的平均数是155个；(1)根据众数和中位数的定义求出即可；(2)根据加权平均数公式求出答案即可.本题考查了众数、中位数、平均数等知

27、识点，能熟记众数和中位数的定义和加权平均数的公式是解此题的关键.23.【答案】解：(1)如图所示;(2)过点。作。E 1 4 8 于点E,贝 iJOE=OW=r,B 01 C NB=30,ZC=45,lnOB=2r,OC=V2r.v BC=a,.2r+V2r=a，解得r=【解析】(1)作NBAC的平分线4 D,交BC边于点0,过点。作。W _L A C,以点。为圆心，OW为半径画半圆即可；(2)过点。作0E 1 4B于点E,则0E=OW=r,再由NB=30。，NC=45。用r表示出OB及OC的长，再根据BC=a 即可得出结论.此题主要考查的是作图-应用与设计作图，实质是作一个与钝角三角形两边相

28、切，直径在三角开最长边且面积最大的半圆，解这类题要善于从实际情景中抽象出相应数学模型.24.【答案】(40-x)(20+2x)【解析】解：(1)若每件童装降价x元，则每件盈利(120-%-80)=(40-曾元,每天可销售(20+2x)件，故答案为：(40-%)；(20+2x)；(2)依题意得:(40-x)(20+2x)=1200,整理得：X2-30%+200=0,解得：勺=10,x2=20,又 为了增加利润，减少库存，x 20.答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元.(1)利用每件盈利=销售价格-进价，即可用含x的代数式表示出每件盈利，利用每天的销售量=20+2 X降低的价格，即可用含x

29、 的代数式表示出每天的销售量；(2)利用每天销售这种童装的利润=每件的利润x 每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x 的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格.本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.2 5.【答案】解：（1）连接。C,v 0A=0C,Z-BAC=Z.OCA,乙 BCD=Z.BAC,乙BCD=Z.OCA,A8是直径，Z,ACB=90,Z.OCA+C B =乙BCD+4 OCB=90 Z.OCD=90 OC是半径

30、，CD是。的切线(2)设。的半径为八:.AB=2r,v 乙D=30,Z-OCD=90,OD=2 r,乙COB=60 .丁 +2=2r,/.r=2,Z.AOC=120:.BC=2,由勾股定理可知：AC=2V3易求Soc=1 x 2V3 x 1=V3120T T x 4 47rS 扇 咖 AC=-360-=T 阴影部分面积为g兀一百【解析】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质,等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.(1)连接0 C,易证NBCD=N 0 C 4,由于AB是直径，所以乙4cB=90。，所以40C4+N0CB=乙BCD+乙OCB=9

31、0 ,进而证明CD是O。的切线(2)设。的半径为r,AB=2 r,由于ND=30,“CD=9 0,所以可求出r=2,AAOC=120,BC=2,由勾股定理可知：AC=2 V3,分别计算A O A C的面积以及扇形。力。的面积即可求出阴影部分面积2 6.【答案】4 c m2【解析】解：(1)；=9 0。，AB=1 0 cm,BC=6cm,AC=V1 02-62=8-根据题意得，AN=4,C M =2,CN=4,SCMN=2 *4 x 2 =4(c m2)；故答案为4 c m 2；(2)设经过x秒，根据题意得，i(8-2 x)-%=3,解 得=1，x2=3；即经过1秒或3秒，M C N的面积是3

32、c m 2；(3)M N C为直角三角形，Z C =9 0 ,M C N外接圆的直径，假设 M C N外接圆的半径为7 5 cm，则M N =2 7 5 cm，设M点运动的时间为t秒，则N C =8-2 t,C M =t,根据题意得,(8-2 t)2+t2=(2A/3)2,整理得5 t 2 -3 2 t +5 2 =0,=(-3 2)2 -4 x 5 x 5 2 =-1 6 /2:【变式探究】结 论BE=DE+AD”不成立，BE+AD=DE,理由如下：在线段DE上截取DF=/W,连接CB、CF、CD、CA,点C为优弧 的中点，AC=B C，AC=CB,Z.ADC=Z.BDC.在。和 F D C

33、 中，DA=DFAADC=乙FDC,DC=DC二 A D C 三 F D C(S A S),CA=CF,CA=CB,：.CF=C B,又CE L BD,BE=EF,DE=DF+EF=BE+AD.【问题探究】在B E 上截取B F =AO,连接C 4,CB,CD,C F,证明A O A C 三 F B C,根据全等三角形的性质得到C D =C F,根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论；【结论运用】连接A D，在C E 上截取C F =A C,连接A F,证明 D A B三4 FAC,得到D B +DC=2 EC,根据等腰直角三角形的性质求出E C,根据三角形的周长公式计算，得到答案；【变式探究】在线段D E 上截取D F =4D,连接C B、CF,C D、C A,证明/W C 三 F D C,根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可.本题考查的是圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、正确作出辅助线是解题的关键.