2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年广东省深圳高级中学高一(上)期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)1.已知集合U =R9 A=xx2-2x 0,条件q：a2+a 0；那么p就是勺的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数、=a +4+2(口 0,且Q 1)的图象恒过点P,若角a的终边经过点P,贝 i j s 讥a =()A.I B.-|C.I D.Y5.设 =tc m 9 2。，b=()2,c =l og7r9 2,则a,b,c的大小关系是()A.c a b B.c b a C.a b c D.b a c6.若实数,y满足2x+y=l

2、,则的最大值为()A B.i C.|D.i7.函数f(x)=瞿 黑的部分图象大致为()x J)8 .生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P =(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若20 21年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的7 5%,则可推断该文物属于()参考数据：l og 20.75 -0.4参考时间轴：475-221-202 0 220 618 907 960 1279 公元 2021 年-4-1-1 I-1-1 H-1-战围 汉 唐 未A.宋 B.唐 C.汉 D.

3、战国二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9 .下列四个命题，其中为假命题的是()A.若函数/(x)在(0,+8)上是增函数，在(-8,0)上也是增函数，则/(x)是增函数B.y=x+1和y=J(1+x)2表示同一函数C.函数V =log-x2-2 x+3)的单调递增区间是口,3)D.若函数f(x)=x2+4ax+2a 的值域是 0,+8),则实数a =0 或;10 .函数s=/(t)的图像如图所示(图像与t正半轴无限接近，但永不相交)，则下列说法正 确 的 是()A.函数s=f(t)的 定 义 域 为-0,+8)B.函数s=/(t)的值域为(0,5C.当se 2,4 时，有三个不同的t值

4、与之对应D.当J,t2 (0,1)(丰 t2)时，“卢产】011.设函数/(%)=4s%(2%+1)-则在下列区间中函数/(%)存在零点的是()A.-4,-2 B.-2,0 C.0,2 D.2,412.已知函数/(x)=si n(3x-，则下列说法正确的是()第 2 页，共 19页A.函数/。一卷）为偶函数B.-兀）=_ 苧C.若I/。-/（%2）|=2,则氏一次1的最小值为gD.函数的图象向右平移2个单位长度得到函数y =-c os3%的图象三、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1 3.t an 3 0 0 =.loqix,（x 0）八、，则/V（2）=_ _ _ _ _ _.2

5、%,（%0）1 5 .已知si n（a+袤）=:则si n（2 a-g）=.1 6 .设当=。时，函数/（X）=3 c os%sinx,x G R 取得最大值，则c os。=四、解 答 题（本大题共6 小题，共 70.0分）1 7.计 算：（1）（2 芋一（-9.6）0 一（3 芋 +0.厂】；（2）Z g 2 国5 0 +lg5-lg20-0 1 0 0 -lg5-lg2.1 8.、f.幺 g A r sin（孚一a）co sg-（z）tan（a+九）已知a 为第二象限角，且a）=遥+a；嬴=）（1）化简/（a）；(2)若a=-/7 i,求/(Q)的值.（3）若/（0）=答，求c os（7

6、T +a）的值.19.已知函数/（%）=（V3cosx-sinx）sinxy x E R.（I）求函数/（x）的最小正周期与单调增区间；（n）求函数f（x）在 o,3 上的最大值与最小值.20.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会共有58个国家利3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展.更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展 专（也）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调

7、预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另10 x2+ax,0 x 40X另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额-成本.）第 4 页，共 19页21.已知函数/(x)=A sin(s;+3)+B(4 0,a)0,|伊|今的部分图象如图所示.(1)求/()的解析式及对称中心坐标：(2)先把/(%)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若当x

8、 G 一,5 时，关于x的方程g(x)+2 a-l =0有实数根，求实数a 的取值范围.22.已知函数f(x)=切容.(1)求不等式/Xf(x)+f (02)0的解集；(2)函数g(x)=2-ax(a 0,a r 1),若 存 在 x2 e 0,1),使得/(与)=g(%2)成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数九(%)=，讨论函数y=九(九(%)-2的零点个数m+1,x a 1 或 2 1(直接写出答案，不要求写出解题过程).第 6 页，共 19页答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合U =R,A=xx2 2 x 0 =x|0 x 1),A r B=xl x 0 a 2或a 0,即可求出

9、a的取值范围.本题考查全称命题的定义，一元二次不等式的性质，属于基础题.3.【答案】C【解析】解：由a 2+a o；解得：。0或。-1,故p是q的充分不必要条件，故选：C.先求出关于q的a的范围，从而求出p,q的关系.本题考察了充分必要条件，考察集合之间的关系，本题属于基础题.4.【答案】A【解析】解：由x +4 =0得刀=一4,此时y =a +2 =l +2 =3,即定点P(-4,3),则|0 P|=5,则s i T i a=|,故 选:A.根据指数函数的性质求出定点坐标，利用三角函数的定义进行计算即可.本题主要考查三角函数定义的应用，根据指数函数过定点的性质求出定点坐标是解决本题的关键，是

10、基础题.5.【答案】B【解析】解：因为9 2。是第二象限角，所以a=tan9 2 0,因为指数函数y =(3 x在R上为减函数，且0 2 3,所以0 (铲 (。=1，所以0 b I,因为y =l og7 rx为(0,+8)上的增函数，兀 1,所以c b a.故选：B.根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计a,b,c的大小，由此确定它们的大小关系.本题主要考查了正切函数，指数函数以及对数函数性质的应用，考查了函数思想，属于基础题.6.【答案】C【解析】【分析】根据x y =%(1 -2 x)=-2(x -)2+1 -oo,当f+8时，f(x)r 0,从而可得答案.本题主要考查函数图象的识别和判

11、断，利用函数的奇偶性和对称性以及极限思想解决问题是关键，属于中档题.8 .【答案】D【解析】解：.每经过5 7 3 0 年衰减为原来的一半，P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P =0)，由题意可得，(|)嬴=0.7 5，即 康=-log20.75 0.4,解得t 2 2 9 2,由2 0 2 1 -2 2 9 2 =-2 7 1,可判断该文物属于汉朝.故选：D.根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解.本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题.9 .【答案】ABC【解析】解：函数丁 =一：在(0,+8)上是增函数，在(一 8,0)上也是增函数，但/(x)在定

12、义域内不是增函数，故 A为假命题；函数y =J(l+x)2 =|x+l|，与函数y =x+1 的解析式不同，不是同一函数，故 B为假命题；函数y =log9为减函数，而t =-X2-2x+3 在(一1,1)上是减函数，.函数y =log-x2-2 x +3)的 单 调 递 增 区 间 是 故 C为假命题；函数/(%)=/+4ax+2Q=(%+2 a)2 4 a2+2Q的值域是0,+8),可得 4 小+2Q=0,解得a=0 或点故力为真命题.故选：ABC.由增函数的定义判断4 由相同函数的概念判断B；求出复合函数的增区间判断C；由函数的值域为0,+8),求出a的值判断D.本题考查复合函数的单调性

13、，考查函数的性质，是中档题.1 0 .【答案】ABD【解析】解：由s =f(t)的图象可得定义域为3,l U0,+8),故 A正确：由s =/(t)的图象可得图象在x轴上方，且最大值为5,则值域为(0,5 ,故 8正确；当s =2 和s =4 时，分别有三个或两个不同的t 值与之对应，故 C错误；当t e(0,1)时，s =/(t)为递增函数,故 D 正确.故选：ABD.由s =f(t)的图象可得定义域和值域，可判断4、8；考虑s =2 和s =4 的情况，可判断C；由s =/)在(0,1)的单调性，可判断，本题考查函数的图象和运用，以及函数的定义域、值域和单调性，考查数形结合思想,属于基础题

14、.1 1 .【答案】BC D【解析】解：在同一坐标系中画出g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x的图象如下图示：第1 0页，共1 9页由图可知9(%)=4 5讥(2%+1)与/1()=的图象在区间-2,0 ,0,2 ,2,4 上有交点，函数f(x)在-2,0 ,0,2 ,2,4 存在零点，故选：BC D.将函数/(x)的零点转化为函数g(x)=4 s i n(2 x+1)与九(x)=x的交点，在同一坐标系中画出g(%)=4 s讥(2 x+l)与/1。)=%的 图 象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结

15、合思想的考查，对能力要求较高，属较难题.函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点，即函数/Q)的图象与函数g(x)的图形有两个交点，属中档题.1 2.【答案】AC【解析】解：对于函数/(x)=s i n(3 x-由于满足/。-看)=s i n(3久一彳)=-cos3x,故函数/0一为为偶函数，故A正确；由于/(TT)=s i n(3 jr 力=s i n(7 r 1)=s i n =今，故 B错误：若1/(/)一/。2)1 =2,则I.一亚1的最小值半个周期某 故C正确；把函数/(x)的图象向右平移；个单位长度得到函数y =s i n(3 x-兀)=-s i n 3久的图象，故。错误，故选：

16、AC.由题意，利用函数y =4 s i n 3 x+0)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.本题主要考查函数y =4 s 讥(3 x+(p)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.1 3 .答案 1 /3【解析】解：t an 3 0 0 =t an(3 6 0 -6 0 )=-tan6 00=-V 3.故答案为：直接利用诱导公式化简求值即可.本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，属于基础题.14.【答案】1(logix,(x 0)【解析】解：根据题意，函数f(x)=5 ,l2(x 0)则/(2)=log宇=-1,则=/(-I)=点故答案为：根据题意，由函数的解析式计

17、算可得答案.本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题、15 .【答案】一专 解析解：s i n(a +守=|，s i n(2a -g)=s i n 2(a +勺 -=cos2(a+专=2sin2(a+)-1=2 x (|)2-1=-故答案为：一由已知，结合s i n(2a-g)=s i n 2(a +V)-J 利用诱导公式及倍角公式变形求解.本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题.第1 2页，共1 9页16.【答案】甯【解析】解：设当x =。时，函数f(x)=3cosx sinx=VTOc os(x +6),当x =一仇 即c os(。)=c os 0=

18、岛=邛联时函数取得最大值.故答案为：见亚.10直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.17.【答案】解：(1)原式=(步一 1 一(注+忌T=|1 一*1 0 =%(2)原式=lg21g5。+lg51g20-21g51g2=Q g 21g 5 0-Ig5lg2)+(均5 匈20-lg51g2)=Lg 2a g 5 0 lg5)+/g 5 a g 20 lg2)=lg2+IgS=1.【解析】(1)利用有理数指数基的运算性质求解.(2)利用对数的运算性质求解.本题主

19、要考查了有理数指数基的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题.sin(;y-a)cos(-a)tan(-a+7r)18.【答案】解：(1)/()sin(-+a)tan(2?r-a)(c os a)(s i na)(tana)(c os a)(tana)sina；3232(2)/()=/(-y ff)=-s i n(-y TT).32.2n V3=Si n-7 T =s i n=一；3 3 2(3)v f(a)=-sina=当.2V6:.sina=又a 为第三象限角,:.cosa=-V1 s i n2a =J 1 (等)2=11:.c os(7r +a)=cosa=【解析】(1)由诱导公式可化

20、简即可得解.(2)利用/(a)=-s i na,利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求值得解.(3)由题意可得s i na =-等，由同角三角函数基本关系式可得c os a,进而利用诱导公式即可得解.本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.19.【答案】解：函数/(%)=(V3c os x sinx)sinx=y13sinxcosx s i n2xV3.r 1-C OS2X=sin2x-22=s i n(2x +%6/?；6 2(i )/(x)的最小正周期为r =兀，令巳+2krr 2%4-4-2kn,

21、k G Z,2 6 2解得一 +k兀 X 7+/C 7 l,3 6所以函数/(x)的单调增区间为kn ,kn+,k 6 Z；-(6分)(I I)因为 O W x W?,所以?+6 6 3所以;s i n(2x +7)1,2 6所以0W/(x)咛.当且仅当尤=0时f(x)取最小值/(x)mi n=/(0)=0,当且仅当2%+=p即X =料f(X)取得最大值/(X)ma x =/=1一 (12分)【解析】利用三角恒等变换化简函数/(x)=s i n(2x +)-i(I )利用三角函数的图象与性质，即可求出f(x)的最小正周期与单调增区间；(U)根据0 W XW m求出g w +再根据正弦函数的图象

22、与性质即可求出函数4 o o 3的最值.第1 4页，共1 9页本题考查了三角函数的恒等变换的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目.20.【答案】解：(1)由题意知，当x=10时，(%)=10 x 102+10a=4000,所以a=300,当0 x 40口 寸，W=900%-260=-，X X一 f-10%2+600%-260,0 x 40X(2)当 0 x 40时，W=-(x +9190 -2V10000+9190=8990,当且仅当 =丫 詈，即x=100时，0 有最大值，最大值为8990,因为8740 8990,所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最

23、大利润为8990万元.【解析】(1)由题意知,当=10时,R(x)=10 x 102+10a=4 0 0 0,所以a=300,再分0 x 4 0,x 2 40两种情况讨论，即可求解.(2)根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解.本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题.21.【答案】解：(1)由题意可得：可得 二：1 所以/(x)=2sin(wc+(P)1，因为;所以7=兀=生，可得3 =2,Z lz 1Z z 3所以，/(%)=2sin(2x+p)1.由2 X 石+9=+

24、2/CTT(/C G Z),可得W =4 2/CTT(/C G Z),因为所以k=0,9=；,所以/(x)=2sin(2x+$-1.令2 x+g=kn(k G Z),可得X =(ke z),所以，对称中心为(合 Y，I)(k e Z).3 2 6 2 6(2)由于先把/(x)的图象向左平移擀个单位，再向上平移1 个单位，得到函数g(x)的图象，故9(%)=2sin2(x+,)+1 +1 =2sin(2x+y).当X e 一 式 时，2 x4-y e p7T,sin(2 x+y)e 0,1 ,5(x)e 0,2 ,若关于x的方程g(x)+2 a 1 =0 有实数根,则1 -2 a =g(x)有实

25、根，所以，0W1 2as 2,可得：一 三 aR-所以，实数a 的取值范围为-3 点.【解析】(1)由题意，根据函数的最值求出4 和B,由周期求出3,由特殊点的坐标求出9,可得函数的解析式，从而得出结论.(2)由题意，利用函数y =A s讥%+3)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得a 的取值范围.本题主要考查由函数y =Asinx+3)的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出4由周期求出3,由特殊点的坐标求出a还考查了函数y =Asin(a)x+缶的图象变换规律,正弦函数的图象和性质，属于中档题.2 2.【答案】解：函数f(x)=吆三,可得一 1 x 1,/(-X)=1 g芸=-/(X

26、),即f(X)为奇函数，且0 x 0,即为/(/()一-匈2)=/(-匈2)，则-1 f(x)-lg2,即_ 1 喑 吗,即为工3工，10 1+x 2第1 6页，共1 9页解得,X 0,a H 1),若存在 i，%2 e 0,1),使得/Q i)=g(%2)成立，当0 W x l时，g(x)在 0,1)单调递减,可得g(x)的值域为(2-a,l ,由题意可得/(x)和g(x)的值域存在交集，即有2-a 2；若0 a则/i(t)=2,作出图象，由图可知，当k 0时，只有一个对应有3 个零点,当k=0 时，只有一个一l t i三个t分别对应一个零点，共3个，2k在0 k 4匹 二 时，/C +1

27、l或k=0时，y=瓦九(%)2只有1个零点，当k 0或 与1 k W 1时，y=hh(x)J-2有3个零点，当0 k W 号 时，y=hh(x)-2有5个零点.【解析】本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题.(1)求得/(x)的定义域和值域、单调性与奇偶性，由 题 意可得看三|,解不等式即可得到所求范围；(2)求得当0 W x 1,0 a l时，g(x)的值域，由题意可得/。)和g(x)的值域存在交集，即可得到所求范围；(3)由y=hh(x)J-2,得九仇(切=2,令1=h(x),则h(t)=2,作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数.