2020-2021学年杭州之江高级中学高一年级下册学期期中数学试卷(附答案详解).pdf

《2020-2021学年杭州之江高级中学高一年级下册学期期中数学试卷(附答案详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年杭州之江高级中学高一年级下册学期期中数学试卷(附答案详解).pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020-2021学年杭州之江高级中学高一下学期期中数学试卷一、单选题(本大题共10小题，共 40.0分)1.已知集合A=xx 2 0,B =xlgx 0 ,则4 n 8=()A.x|0%2 B.%|0%1 C.x|l%2 D.02.设复数z满 足 老=i,则|l+z|=()A.1 B.V2 C.V3 D.23.平行四边形ABC。中，AB =AD=2,A B-A D =-2 D M +C M =0 则向量五+方的 坐 标 是()A.(3,-1)B.(-3,1)C.(-3,-1)D.(3,1)7.4BC中，/C=60。，BC 1,4C-4B =g 则当AC最短时，BC等于()A.1+四 B.2+

2、V3 C.三 +立 D.4+2V32 2 48.若函数f(%)=a%2+(a-2b)x+Q-1是定义在(-3,2a-1)上的偶函数，则/(贮子)等于()A.1 B.3 C.D.(9.四边形4BCD中,后=洗 且|五)-而=|五匕庙|,则4 8 8为()A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形10.若4是三角形的最小内角，则A的取值范围是()A.(05)B.(05)C.(盟)D.(0币二、单空题(本大题共6 小题，共 30.0分)11.已知lsin(3-x)=且x (-,：),则cos2x值为.12.已知4(2,1,5),8(-1,2,-1),C(3,m,1),若AC 1 B C,则m的值

3、为.13.设向量五=(3,3),b=(1,-1)若+1(五一/1片)，则实数;1=.y14.如图，设。(0,兀)，且当4 Oy=a时，定义平面坐标系/%0y为a 一仿射坐标系，在Q仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标/P这样定义；利，与分别为与轴、y轴方向相同的单位向量，若 而=%-xx q+y a，则记 为 丽=(%,y)，那么在以下的结论中，正确的有.(填上所有正确结论的序号)设日b=(s,t)若胃=至，则zn=s,n=t；设弓=(m,n),则|五|=Vm2+n2;设立=(m,n),b=若五B，则m t-几s=0；设立=(m,几)，b=(s,t)，若五 1 至，则7ns+nt=0.15.设a、

4、夕都是锐角，cosa=2，cos(a+d)=普，请问cos是否可以求解，若能求解，求出答案，若不能求解筒述理由_ _ .16.在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a：b；c=V3：1：1,则角4 的大小为三、多空题(本大题共1小题，共 6.()分)17.在A4BC中，AB =A C,。为4 c的中点，ACsinA=2sinz.AB D,则BD=,ABC面积的最大值为.四、解答题(本大题共5 小题，共 74.0分)18.己知N =(V5cos%,sinx),b=(sinx,75cos%)，函数/(x)=Z 五+五(1)求函数/Q)的最小正周期；(2)已知展)=3,且a 6(0,

5、兀)，求a 的值.19.某公园拟利用废地建设两块三角形花圃4BD与BCD.如图所示，其中2。=100米，AB=300米，DC=CB,HzDCB=90.(1)若乙 4。8=6 0 ,求484。的大小(精到0.1。)；(2)当/BAD为何值时，两块花圃的总面积最大？并求出此最大值(精确B到1平方米).20.在AABC中，内角4 B,C的对边分别为a,b,c,且 四 华 妙=评.sinC b-a(1)求角4(2)若(1 =乃，ZiABC的面积为小,求aA B C的周长.21.对于平面向量五与方，(1)若方与石的夹角为60。，|初=2,向量石为单位向量，求|五+2方(2)若日|=V10,b-=(1,2

6、)，且a-b-,求北22.已知函数f(x)=|x+1|+|x-l|(x 6 R).(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象(不需列表)；(2)若函数/(x)在区间 a-1,2 上函数值随着自变量的增大而增大，试确定实数a 的取值范围；(3)若集合 x e/?|/(x)i)=/?,求实数?n的取值范围.参考答案及解析I.答案：B解析：解：A=x|x 2 ,B =x|0 x 1 ；A C B =x|0 x 向量五+方的坐标是(3,1).故选：D.直接利用向量的坐标运算求解即可.本题考查向量的坐标运算，是基础题.7.答案：A解析：解：设4 B,C所对

7、的边a,b,c,则根据余弦定理可得a?+b2-c2=2abcosC,将=6-；代入上式，可得a 2 +b-；=a b,24化简可得匕=言=9-1)+8 +七N 8 +2 (a 1),34(Q 1)=8 +V 5,当且仅当。-1 =高，即a =1+3时取等号,4(a-l)2当b最短时，a =l+3，2即当4 c 最短时，B C=1+-.2故选：A.设A,B,C 所对的边a,b,c,则根据余弦定理可得a 2 +b2-c2 =2 a bcos C,将c=b-弋得到关于a，b的方程，然后由6=要去利用基本不等式求出b的最小值，从而得到a 的值.4(a-l)本题考查了余弦定理的应用和利用基本不等式求最值

8、，考查了转化思想和计算能力，属中档题.8 .答案：B解析：解：由函数f(x)是定义在(-3,2 a-1)上的偶函数，则一 3 +(2 a -1)=0,解得a =2；又a 2 b=0,二 b=1；:./(x)=2x2+1,./(*)=)=2 x 1 +1 =3.故选：B.由偶函数的定义求出a、b的值，再计算/(彳)的 值.本题考查了偶函数的定义与应用问题，是基础题.9 .答案：C解析：本题考查平面向量的概念及几何运算，属于基础题目.解：由冠=比，可判断四边形A B C。为平行四边形.庄1团 _ 屈 口 石+画,可得|前 H 怒|可进一步判断四边形4 B C D 的对角线相等,所以四边形A B C

9、 D 为矩形.故选C.1 0 .答 案:D解析：解：4 是三角形的最小内角，故 B,A C,所以3 4 W4+B +C =T T,故 A 0,故。7 1 解得m=-2 或m=3.故答案为：-2 或3.由已知得近 B C=(l,m +1,-4)-(4,m-2,2)=4 +(m +l)(m -2)-8 =0.由此能求出本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用.1 3 .答案：士 3解析：本题考查平面向量的坐标运算及垂直的条件，同时考查平面向量的数量积，属于基础题。根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论.解：,向量五=(3,3),b-|a|=

10、V32+32=3 近，b=7 12+(-1)2=V2,因为 0+；l B)1 (a-A b y所以位+一;l 5)=0)2 一 =同 2 一；12 1 Vl 2 =0,即 1 8 2 於=0,则;I?=9,解得a =3,故答案为 3.1 4 .答案：解析：解：对于，显然正确.对于，a p|a|=y/(me+n e )2=y/m2+n2+2mncosa H V m2+n2 故错.对于，a/b a =A b s Am,t An,mt ns=0,故正确；对于，a-b=(m e 7 +n e j)(s e 7 +t或=ms+nt+(mt+ns)cosa H ms+n t 错误；故答案为：把新定义回归到

11、向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论.本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键，属基础题.1 5.答案：不满足余弦函数的单调性解析：解：a 为锐角，a +夕 C （0,7 r）,a a+p,v y=c o s x 在（0,兀）上递减，.c o s（a +夕）0,由余弦定理可得：0”4=四 巴 贮=用=一 匕2bc 2k2 2V A 6 （0,71）,A 2 7 r A=.3故答案为：由已知可设a =V5 k，b=c=k,k 0,由余弦定理可求c o s A =-5结合范围4 （0,兀），由特殊角的三角函数值即可得解4 的值.本题主要考查了余弦

12、定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.1 7.答案：123解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题.设B C=a,AC=b,AB =c,由题意可求加讥4 =2sinZ.AB D9在4 4 8。中，由 正 弦 定 理 可 求 解=1,再由余弦定理可得C O SA=：-9,即可求s i m 4=1 e+吃-2,根据三角形的面积公式可得4 匕 2 7 2b2 16SA 4 B C=J-9（b 2 第 2 +等,进而根据二次函数的性质即可求解其最大值解：设8C=Q,AC=b,AB =c,则4 D =CD =匕，b

13、=c,因为A Cs in A =2sin乙A BD,故加in/=2sinUB D,b在 A B D中，由正弦定理心=a。=-I-sinA sinZ-ABD sxnABD所以皿=?缶又 b s i m4 =2sinZ-AB D,bsinA2sinz.ABD=1,在 4 8。中，由余弦定理可得C0S i4 =(|)2+C2 12+C2-12-c因为 b=C,故 CO“=?-I=5 1b2 4 b2因为4（0,兀），故s im 4 0,则 s 讥A =一,+亲则 S-BC=|bcsinAJ-白,+货-1=京-如+4 0炉一 16 =故3 Q=J-*/-静 +等,故 当 =掌 即/,=争 时，做）=数

14、用=|故答案为：1,|.18.答案：解：(1)已 知:a=(y3cosxf sinx),b=(sinx,y/Scosx)则：/(x)=a a+a b=3cos2x+s in2%+2y/3sinxcosx=V 3 s in 2 x +cos2x+2=2sin(2x+?+2所以：函数的最小正周期为：(2分)(4分)(2)由于/(%)=2sin(2x+?+2所以f )=3解得：2 s勿(a+2 =3所以：s in(a+5=；(6分)O 乙因为：a e(O,T T),所以：a+看 q,十）则：a+g 76 6解得：a=g解析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，

15、进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期.（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围.进一步求出角的大小.本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小.属于基础题型.19.答案：解：（1）在力BD中，由已知4。=100,AB=3 0 0,乙4DB=60。，利用余弦定理可得：AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos600,.90000=10000+-2 0 0 x 1,即BD?_ 1Q0BD-80000=0,解得：BD 337.23(负值舍掉).由正弦定理可得

16、:337.23 300sinA sin600337.23X 当：sinA=-x 0.973-300 BD AB,ABAD 103.2；(2)BZ)2=10000+90000-2 x 100 x 300cosA=100000-60000cos4,贝 氏2=100000-60000coSi4=50000 30000cos421 1A S=-x 100 x 300sinA+-(50000 30000cosA)=ISOOsinA-cos A)+25000=1500V2sin(/l 一+25000.二当=3即4=?时，两块花圃的总面积最大，最大值为46213平方米.解析：（1）在48D中，由已知利用余弦

17、定理可得8 D,再由正弦定理求解Z_B4D；（2）利用余弦定理把BD用含有4 的三角函数表示，求解直角三角形可得B C,由两三角形面积和写出四边形面积，由辅助角公式化积，则答案可求.本题考查三角形中的几何计算，考查三角形的解法，训练了三角函数最值的求法，是中档题.2 0.答案：解：(1)因为也等=产，则由正弦定理可得丝2 =产，、sinC b-a c b-a化简得c?+b2 a2=b e,所以c o s A -1 1+-=生 _ 1,2bc 2bc 2因为A e(0,7 1),所以4 =；(2)因为 A B C 的面积为b，所以gb es in A =4%=V 5，解得b e=4,因为4 =*

18、a=V 6 所以+c?-2 b c c o s g=6,整理可得(b +c)2=3bc+6 =1 8,解得b +c=3&，故&A B C 的周长为历+3 V 2.解析:(1)根据正弦定理整理条件可得c 2 +b2-a2=b e,再结合余弦定理即可求得c o s A,进而得到4(2)根据三角形面积公式，结合(1)结论可解得比=4,再由余弦定理求得b +c 的值，进而求得 A B C的周长.本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式的表示，属于中档题.2 1.答案：解：(1)而+2&=向 2 +4 向 山 8$6 0。+4 亩 2=J4 +4x2xlx|+4 =2 V 3:(2)设；=

19、(x,y),所以=(V 2,2 V 2),或1=(-V 2,-2 V 2).解析：本题主要考查向量数量积的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键.(1)若五，3 都是单位向量，根据向量数量积和模长的关系即可求|4+2 旬；(2)设 =(x,y)若|五|=同，H/K)结合数量积的定义以及平行的判定建立方程即可求:22.答案：解：(1)根据绝对值的定义，化简函数为 2.x,x 1/(%)=|x +l|+|x -1|=2,-1 x 1当x l 时，函数图象是直线y=2%的一部分由此可得函数的图象如下图(2)由(1)得，函数的增区间为口,+8)/(x)在区间 a-1,2 上单调递增，1 a-1 2

20、,解之得2 a 3因此，实数a的取值范围为 2,3)；(3)由(1)图象得，要使集合x 6 Rf(x)2 =R，只要 /(x)(mM=2,解得rn 所以实数ni的取值范围m 解析：(1)由绝对值的定义，在不同的范围内去绝对值，得当-1 时，函数表达式为y=-2%；当-1%l 时，函数表达式为y=2x,由此不难将函数化成分段函数的表示形式，并可作出它的图象.(2)根据(1)的表达式，可得区间 a-1,2 是口,+8)的子集，由此建立不等式并解之，即可得到a的取值范围.本题给出含有绝对值的函数，要求我们将其化成分段函数的表达式形式，并讨论它的单调区间，着重考查了绝对值的意义和函数的单调性以及函数图象的画法等知识，体现了数形结合的解题方法.