2020-2021学年深圳高级中学高二年级下册学期期中数学试卷(附答案详解).pdf

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1、2020-2021学年深圳高级中学高二下学期期中数学试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.已知集合=x|2 S%一。)=2P(X n+a)D.函数尸(%)=P(X%)在R上单调递增1 2.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是()A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲乙不相邻的排法种数为72种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种三、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.若函数/(%)=/+3,则/(-1)=-14.如 果 点 P2是抛物线y2=2x上的点，它

2、们的横坐标依次为修，x2,F是抛物线的焦点，若与+小=5,则岛?|+仍 2尸|=.15.已知从n个不同元素中取出2个元素的排列数等于从(n-4)个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍，则n=.16.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有m种不同的选法；从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有n种不同的选法，则m+n=.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.已知函数/(x)=(x2+ax+a)ex(a k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82825周岁以卜蛆1 9.某年

3、级举办团知识竞赛4、B、C、。四个班报名人数如下:班别ABCD人数45603015年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从10个关于团知识的题目中随机抽取4个作答，全部答对的同学获得一份奖品.(/)求各班参加竞赛的人数：()若B班每位参加竞赛的同学对每个题目答对的概率均为p,求B班恰好有2位同学获得奖品的概率；(/)若这10个题目，小张同学只有2个答不对，记小张答对的题目数为X,求X的分布列及数学期望E(X)20.一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如表所示：学生41A2A34445数学8991939597物理8789899293(1)要在这五名学生中选2

4、名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率.(2)根据上表数据，用变量y与的相关系数和散点图研究物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系，试画出散点图.经过验证物理成绩和数学成绩具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程.参考公式：回归直线的方程：y=bx+a,其 中 否=号 震 券 力，a=y-bx.参考数据:元=93,y=90,优 式 -盼 2=40,%式%一衿2=24,%式一 初%一为=3021.已知点(隹 由与点(0,遮)都在椭圆M：各、=l(a b 0)上若斜率大于0的直线咬椭圆M于4 B两点(4在x轴上方)，交x轴正半轴于点P.(1)求椭圆M的标准方程：(

5、2)若直线/的倾斜角为%且点P为椭圆M的右焦点，求AHOB面积；(3)若点P满 足 而+34=0,求4 40B面积的最大值以及此时直线/的方程.22.设函数 f(x)=x2-2|x|-l(-3 x 3),(1)证明/(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数/Q)的单调区间，并说明在各个单调区间上/(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域.参考答案及解析1.答案：C解析：解：p=X|2 x 8,x e N)=2,3,4,5,6,7,2 e P,故选：C.求出集合P的元素，利用元素和集合之间的关系即可得到结论.本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础.2.答案：A解 析:解：

6、若a”,an+1,a*+2(n C N+)成等比数列，则成+i =a7 1a 2成立,当=c i n+i =即+2=0时，满足a1=即。+2成立，但斯，a“+i，即+2(7 1 N+)成等比数列不成立，故1，an+1,厮+2(兀e N+)成等比数列是“成+1=即册+2”的充分不必要条件，故选：A根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键.3.答案：D解析：解：f(x)=x2-2x=x(x 2),令尸。)0,解得：0 c x X a)=P(ji X 4 -c r)=2 P(“X +x)在R 上单调递减，可

7、得。不正确.故选：BC.利用正态分布列的性质即可判断出正误.本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 2.答案：ABCD解析：解：根据题意，依次分析选项：对于4 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有 题=2 4 种排法，A正确；对于8,分2 种情况讨论：若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有工：=2 4 种排法，若乙站在最左端，则甲有3 种站法，剩下3 人全排列，有 一 3 X用=1 8 种排法，则有2 4 +1 8 =4 2 种不同的排法，故B正确；对于C,先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有 题 掰=7

8、 2 种排法，C正确；对于D,甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有国=1 2 0种排法，甲乙丙全排列有题=6种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有f =2 0种，故O正确.0 6故选：ABCD.根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.1 3.答 案:-2.解析：解：由题意得，.f(x=2x.I-1|=-2，故答案为：-2.1 4.答案：6解析：解：由抛物线的定义可知，抛物线y 2 =2 P x(p 0)上的点P o(x o，y。)到焦点F g,0)的距离因 用=%0+p在 必=2%中，p =1,所以岛口+P2P=%I+X2

9、+P=5+1=6.故答案为：6.利用抛物线的性质推出仍0川=%o+p转化求解距离的和即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.1 5.答 案:7解析：解：从n个不同元素中取出2个元素的排列数等于从5 -4)个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍，绘=7煦_4，即 n(?i 1)=7(n 4)(n 5),化简得 3n2-31 n+7 0 =0,n-7或者n=y,故 r i -7,故答案为：7.从建 个不同元素中取出2个元素的排列数等于从(n-4)个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍，掰=7解.4,解方程求出即可.考查排列数公式的应用，方程求解，基础题.1 6.答

10、案:7 2解析：解：高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有C%=1 2种不同的选法，即m =1 2,从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有玛 盘=60种不同的选法，即几=60,即 m +n=1 2 +60 =7 2,故答案为：7 2.由排列组合、简单计数问题及加法原理，乘法原理可得：m +n=1 2 +60 =7 2,得解.本题考查了排列组合及简单计数问题，属中档题.1 7.答案：解：函数的导数/(X)=(2 x +a)e +(产+ax +a)e*=比2 +(a+2)x +2 0蜡(1)若a=1,则/(%)=(x2+3x +2)

11、ex,则/(0)=2,f(0)=l,即y =/(%)在点(0,f(0)处的切线方程为y -l=2x,即y =2 x +1；(2)由f Q)=x2+(a+2)x +2aex=0得/+(a+2)x +2 a=0,解得x =2或 =a,当a=2时，f(x)=(x +2)2ex0,此时函数单调递增，故无极值，当a 2时，X(-0 0,-2)-2(-2,-a)a(-a,+oo)f(x)+00+/(X)递增极大递减极小递增则当 =-2时，函数取得极大值/(-2),由/(-2)=3 得a=4-3e 2.故存在a=4 3 e2.解析：(1)求函数的导数，利用导数的几何意义即可求y =/(x)在点(0)(0)处

12、的切线方程；(2)求函数的导数，根据函数的极值和导数的关系求出函数的极大值，进行判断.本题主要考查导数的几何意义，以及函数极值的求解，求函数的导数，利用导数进行研究是解决本题的关键.1 8.答案：解：(1)根据分层抽样原理，得；样本中有2 5周岁以上组工人60名，2 5周岁以下组工人4 0名，所以，“2 5周岁以上组”应抽取60 x 0.0 35 x 1 0 =2 1人，“2 5周岁以下组”应抽取4 0 x 0.0 2 5 x 1 0 =1 0人；(2)由频率分布直方图知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60 x 0.25=15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40

13、x 0.375=15(人),据此可得2 x 2 列联表如下：所以得 K2 n(ad-bc)z _ 100 x(15x25-15x45)2 _ 25 J 寸：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-60 x40 x30 x70-14生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100因为1.79 (3 (4 5,4 2)，(”3,4 5)，(4,4)，(4 2,4)，共 1 0种情况.选中的同学中至少有一人的物理成绩高于9 0分的(A4A5),(A2,A4),(A3,A5),(6公),1,4)，(4 3,4)，(44)，共7种情况.要在这五名学生中选2名

14、参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于9 0分的概率看.(2)根据表中数据可得：散点图(如下)(3)设回归直线的方程：y =+丹叶 4 0 4，由。=夕 一 b x=9 0 一 x 9 3 =20.25,4故得y 与X 的线性回归方程为y =0.75 X +20.25.解析：（1）利用组合法，枚举出来，即可求解选中的同学中至少有一人的物理成绩高于9 0 分的概率.（2）根据表中数据即可画出散点图；求 出 元y,代入公式求值，从而得到回归直线方程.本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题.21.答案：解：（1）将（我,%（0,8）代入提+,=1,，椭圆方程为次+艺=1.4 3

15、(2)由题知，直线 的方程为y =%-1,y=x 1次 爪 _ 1 =7y 2+6 y -9 =0,4 3 6 9,%+丫 2=-3 丫 1，丫 2=.1 SMOB=”V(71 +y 2)2-4 yx-y2=1-3-6-,-3-6 =-6-4-2-4 9 7 7(3)设直线I 为 =m y +n(m 0,n 0),x=m y +nx2 y2 1T+T=1得：(3 m2+4)y2+6mny+3 n2-1 2=0,设4(xq i),B(x2ly2),丫 1+丫 2=言 笑 ，、丫 2=餐 决 由()，得3 加2 一 九2+4 0,v 而 +3 R 4 =0,-3 y1 ，由得力=丫 2 二 一39

16、mm2n+4 代 入 整 理 得 标=瑞 岩，5-。8=?兀（月一丫2）=焉=寻4遍，m当且仅当3 m =工，即m=3,n =理满足A 0,m 3 2 (S-08)mg=声，此时直线h x=y +-解析：(1)利用已知条件求出椭圆的长半轴长与短半轴长，得到椭圆方程.(2)联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解三角形的面积即可.XxT2 =+,y mT2y=+1 1n,设8(%2，%)，利用韦达定理以及向量的共线，结合三角形的面积转化求解即可.本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.22.答案：解：(1)证明：,x e -3,3,.f (%)的定义域关于原点对称

17、./-(-x)=(-x)2-2|-x|-l=x2 2x 1=f(x),即/(r)=/(x)，二/。)是偶函数.(2)当0 x 3时，/(x)=x2 2x-1=(x I)2 2,当一3 x 即 f(x _ (无一I)?2,(0 W x W 3)-t(x+l)2-2,(-3 x 0)根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.(3)函数/Q)的单调区间为-3,-1)，-1,0),0,1)，1,3./(%)在区间和 0,1)上为减函数，在-1,0),1,3上为增函数.(4)当0WxW3时，函数/Q)=(久一1)2-2的最小值为一2,最大值为/(3)=2；当-3 W x 0时，函数/(%)=。+1)2-2的最小值为一2,最大值为/(-3)=2.故函数/(x)的值域为-2,2.解析：考查学生会利用数形结合的数学思想解决实际问题，会证明函数的奇偶性，会根据图象得出函数的单调区间，会求函数的值域.(1)由-3%3得到函数的定义域关于原点对称，求 出-x)化简得到与f(x)相等得证；(2)讨论x的取值分别得到f(x)的解析式，画出函数图象即可；(3)在函数图象上得到函数的单调区间，分别指出增减函数区间即可；(4)分区间-3,0)和 0,3 上分别利用二次函数求最值的方法得到函数的最值即可得到函数的值域.