2021-2022学年山东省青岛胶州市高一年级下册学期期末考试数学试题（解析版）.pdf

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1、2021-2022学年山东省青岛胶州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1.已知复数二的共地复数为三，且J(l +2 i)=4 +3 i(其中i是虚数单位)，则z =()A.2-z B.2 +z C.l +2 z D.l-2 z【答案】B【解析】由复数的除法求三，根据共辗复数的概念即可求得z【详解】”2一,1 +2，z =2 +i故选：B【点睛】本题考查了复数，应用复数的除法求复数，并由共辗复数的概念求所得复数的共朝复数,属于简单题2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1 0 0 0名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：体重变化体重减轻体重不变体重增加人数60 02(X)2 0 0如果另

2、有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为()A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.6【答案】D【解析】由表中数据，用频率估计概率求解.【详解】由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为p=儒=0.6故选：D【点睛】本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.3.若圆锥W的底面半径与高均为1,则圆锥W的表面积等于（）A.（/2 +1）7 T B.5/2 -C.2 7r D.y【答案】A【解析】根据圆锥W的底面半径与高均为1，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后由圆锥的表面积公式求解.【详解】因为圆锥W的底面半径与高均为1,所以圆锥的母线长为/=夜，所以圆锥W的表面积等于5 +7/=（夜+1）

3、万，故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和表面积的求法，属于基础题.4.随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A，记“向上的点数之差为奇数”为事件3,则（）A.B.A c BC.A 8互斥但不对立 D.A 6对立【答案】D【解析】把事件A、8的情况一一列出，即可判断.【详解】解：A包括：两枚骰子都出现偶数点，其和是偶数；两枚骰子都出现奇数点，其和是偶数；3包括：一枚骰子出现偶数点，另一枚骰子出现奇数点，其差是奇数；故事件A、3对立.故选：D.【点睛】考查两个事件之间关系的判断，基础题.5.在DA5c中，Z B =3 0 ,A C =6 +1,N C=4 5,则AB=（）A.76

4、+72 B.V 6 C.V 6-V 2 D.V 2【答案】A【解析】根据题意，过点4作4。，8 c交8 C于点。，在R f A A C O中，根据三角函数关系求出A。，再在R t A A B。中，由s i n 6=,即可求出A5的值.A B【详解】解：由题可知，在口 的。中，/B =3 0 ,A C =6 +1，N C=4 5 ,如图，过点A作A O J-8C交BC于点。，An在 用 人48中，s i n C =-,AC则 A O=A C s i n C =4。与1 1 4 5。=(6 +1卜 事,在 R t/X A B O 中,s i n B一 空A B则A B =A Ds i n BA D

5、s i n 3 0 y/6+y/2.12故选：A.【点睛】本题考查利用三角函数关系解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，属于基础题.6.在三棱柱A B C-4 B|G中，上下底面均为等腰直角三角形，且=，平面ABC,若该三棱柱存在内切球，则 e=()A.2 B.2-V2 c.2+V2 D.O【答案】B【解析】易知，A 6 =J5，B C =A C =1,由三角形内切圆的半径公式，可得D A B C内切圆的半径，而内切球的半径火=，棱柱的高=2 R,再由AA，平面A B C,可推出该三棱柱为直三棱柱，故【详解】由题可知，口人区。为等腰直角三角形，-.AB=y/2BC=/2 A B

6、=V2 BC=AC=,：G A B C内切圆的半径r =。上相=2/2,.此三棱柱存在内切球，内切球的半径R =r =2史，且棱柱的高Z i =2R =2-夜，2 的 人 平 面A B C,.该三棱柱为直三棱柱，/.A A j =h=2 /2.故选：B.【点睛】本题考查棱柱中的简单计算，牢记三角形内切圆的半径公式是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为上！，则密码被破译的概率为3 2（）12 5A.-B.-C.-D.16 3 6【答案】B【解析】密码被破译分三种情况：甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲

7、乙都破译出密码，根据相互独立事件的概率和公式可求解出答案.【详解】设“甲独立地破译一份密码”为事件A,“乙独立地破译一份密码”为事件B,则尸（A）6，P（5）=；，P（可=P =1 ；=设“密码被破译”为事件c ,贝 UP（C）=P（A 豆）+P（M）+P（A 8）=g x；+1x T+；x；=g,故选：B.【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.8.设出是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是()A.若加 _Lc,m!In,n!I/3 ,则夕_1_月B.若a L。,m a a,m/3,则 m/a

8、C.若加_L,m u a ,则a_L6D.若 c_ L,m u a ,n u/3,则加 _L【答案】D【解析】选项A中，由于加_La,加/,故 J_a，又”/，故a_L,A正确；选 项B中，由a_L,m_L，得加/。或m u a,又 wc,故只有/a,故B正确.选项C中，由面面垂直的判定定理可得C正确.选项D中，由题意得加,的关系可能平行、相交、垂 直.故D不正确.综上可知选项D不 正 确.选D.二、多选题9.如图，在四棱锥3-AC0E中，AE/CD,CD=2AE,点M,N分别为BE,BA的中点，若。M n av =p，OEnC4=Q,则下述正确的是（）U U L U U U U UL1UA.

9、D M =D E +D BC.M N I/C D【答案】BCDB.直线。E与BC异面D.B,P,Q三点共线【解析】对于A，诙7=g（诙+而）；对于3,由 条 件 可 知 直 线 与3 c是异面直线；对于 C,由 M7V/AE,A E/C D,得 M N C D；对于。，B,P,。是平面ABC和平面3OE的公共点，从而5,P,。三点共线.【详解】解：在四棱锥 6 ACDE 中，A E/C D，C D =2AE,点 M，N 分别为 3E,8 4 的中点，OM0|CN=P,D E C A =Q,对于 A，D M=（D E +D B）,故 A 错误；对于3，D u 平面A CD E,B C I平面A

10、C D E于 C,C走DE,由异面直线判定定理得直线O E 与 3 C 是异面直线，故 5 正确；对于C,点M，N 分别为BE,8 4 的中点，.N/A E,-AE/CD,：.M N/C D,故C 正确；对于。，-：D M C N =P,DEp|CA=2,平面 A BCfl 平面,;.B，P，。是平面ABC和平面B O E的公共点，:.B，P，。三点共线，故。正确.故选：B C D.【点睛】本题考查命题真假的判断，空间向量加法定理、异面直线判定定理、平行公式、平面的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.A.估计被调查者中约有520人吸烟 B.估计约有20人对问题2 的回答为“是”C

11、.估计该地区约有4%的中学生吸烟 D.估计该地区约有2%的中学生吸烟【答案】BC【详解】所以回答问题1且回答是的人数为1000 x：x：=250；2 2所以回答第二个问题，且为是的人数270-250=20；由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比 为 施=4%；估计被调查者中约有1000 x4%=40人吸烟；故表述正确的是BC.故选：BC.【点睛】本题考查了简单随机抽样方法的应用问题，是中档题.11.如图，在平行四边形ABC。中，瓦尸分别为线段A。,8的中点，AFpCE=G,贝 II（）A.AF=AD+-AB2.2-1 C.AG=-A D AB3 3【答案】ABB.EF=(AD+AB)D.BG=3

12、GD【解析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得通=丽+!通、2_ 1 _ 9 iEF=一(AD+A 3)、AG=-ADH AB BG=2GD，即可判断选项的正误2 3 3【详解】AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-AB,即 A 正确2 2EF=ED+DF=-(A b +DC)=-(A D+A B),即 B正确2 2连接A C,知G是AADC的中线交点，如下图示由其性质有GF|G E|_1AG CG2：.AG=-A E +-AC =-Ab+-(AB+BC)=-A D+A B,即 C错误3 3 3 3 3 3一 2.2 一,1 .2.同理而=一而+丽=(阮+而)+丽=(而 而)3 3 3 3

13、 3_ _ 2 _ 1 _ i _ _ _ i _ _DG=-D F +-DA=-(AB+D A),即 =上(而 一 通)3 3 3 3B G =2 G D.即。错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2,以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系1 2.如图，线段A 3为圆。的直径，点E,尸在圆。上，E F /A B ,矩形A8CO所在平面和圆。所在平面垂直，且AB=2,E/=4)=1,则下述正确的是()A.O F/平面 B C EB.B bJ平面A)/C.点A到平面COEE的距离 为 卫7D.三棱锥C-B

14、E F外 接 球 的 体 积 为&【答案】ABC【解析】由 所=OB=1,E F /0 B ,易证8/平面BCE,A正确；B,由所矩形ABCO所在平面和圆。所在平面垂直，易证平面4?砂，所以A D L B F,由线段AB为圆。的直径，所以3F_L 4，易证故B正确.C,由匕“A F=匕-。-可求点A到平面CDEE的距离为四，C正确.7D,确定线段0 8的中点M是三棱锥C一班户外接球心，进一步可求其体积，可判断D错误.【详解】解：E F =O B =l,E F I I O B ,四边形0正8为平行四边形，所以0 F/BE,平面BCE,B E u 平面B C E,所以。F平面B C E,故A正确.

15、线段A 3为圆。的直径，所 以 防J_E4，矩形ABC。所在平面和圆。所在平面垂直，平面ABC)n平面=A O u平面ABCD,所以 AD_L平面B E u平面43EP，所以 45_1_8尸AD u平面A F u平面ADE，A D A F A,所 以 斯，平面ADF，故B正确.OF=OE=EF=1,OFE 是正三角形，所以 EF=BE=AF=1，DA/BC，所以 3CL平面 A3EF,BC上 BF,BF=6,CF=sJCB2+BF2=V3+T=2DF=ylD+AF2=Vl+T=72 AB=CD=2,EJCZ)尸是等腰三角形，口8尸的边。咒上的高尸 百C _ 1 V14后SAC D F=/X-X

16、，2=,DA/BC,AD u平面 AZ)E，B C a平面 ADE，BC”平面ADF，点C到平面ADF的距离为BF=6S 4D AF=X lxl=5，C-DAF=Vl-CDF，设点A到平面CDFE的距离为,*S&AD F X 尸8=X C F D X鼠也x/z，3 2 3 2所 以 力=且，故C正确.7取DB的中点M，则MOAD,MO=,所以MO_L平面COFE，2所以 ME=MP=MB=MC=+1=与所以M是三棱锥C-B E/外接球的球心，其 半 径 更，2d d A /eV c/c三棱锥C BEE外接球的体积为V=3)73=3万x 故D错误,3 3 2)6故选：ABC.【点睛】综合考查线面

17、平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.三、填空题13.已知向量3与万的夹角为120。，且 同=1,忖=3,则 愀同=.【答案】7【解析】由题意得，a-S=|a|/?|cos,=(5a-b)2=25+9+x 10=49则 忸 一 同=714.在三棱锥A-B C。中，若平面ABC_L平面BCD,BO=C且3 0 J_CD.则直线CD与平面ABC所成角的大小为.TT【答案】:；4【解析】过。作O O _LBC,交BC于。，推导出。是BC中点，且平面ABC,从而直线。与平面ABC所成角为ZD C 6,由此能求出直线C O与平面ABC所成角的大小.【详解】过。作。O L 5 C

18、,交3 C于O,.在三棱锥A-3 8中，平面A B C平面BCD,BD=CD且BD LCD,口BCD为等腰直角三角形，。是中点，且OO_L平面ABC，直线。与平面ABC所成角为ZDCB,.在等腰直角三角形口5。中NOC8=f ,471：.直线C D与平面A B C所成角的大小为一.4JT故答案为：一.4【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15.设角 A,B,C是 AABC的三个内角，已知向量z =(sin A+sinC,sinB-sin A),n=(sin A-sin C,sin B),且而J_力.则角C的大小为.【答案】

19、y【解析】先利用而i =0得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cosC，即得角C.【详解】因为 z=(sin A+sinC,sinB-sin A),n=(sin A-sin C,sin,且记所以机力=(sin A+sin C)(sin A sin C)+(sin 3 sin A)sin 3=0即 sin2 A+sin2 B-sin2 C=sin Asin B根据正弦定理得a2-h2-c2=ah2 7 2 2 i故根据余弦定理知cosC =a V =L 又因为C (0,)lab 2得c =3故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.四

20、、双空题16.某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那 么 第 二 次 才 能 打 开 门 的 概 率 为;如果试过的钥匙又混进去，第 二 次 才 能 打 开 门 的 概 率 为.【答案】1 I2【解析】不能打开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门，即为第一次取了开不了门的钥匙,余下两把则一定可以开门，即可求出概率：试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门，即为两次取钥匙互为独立事件，即可求出概率【详解】有3把钥匙，其中2把能打开门，随机地取一把钥匙试着开门1、把不能打开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门，即第一次打不开的概率为:，第二次一定能打开，所以它的

21、概率是g2、试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门，即第一次打不开的概率为:，第二次能2 1 2 2打开的概率一，所以它的概率是一x-=一3 3 3 91 2故答案为：;3 9【点睛】本题考查了有放回与不放回试验的概率，不放回：前后事件是相关事件，即后发生事件的概率随前一事件的发生而改变；而有放回：前后事件相互独立，概率始终保持不变五、解答题1 7.已知i是虚数单位，复数Z1=i,Z,=l+i,Z 3=Z 4=一.1 1 +1（1）求IZJJZ2IJZ3IJZJ（2）随机从复数Z2，Z3，Z 中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等于1的概率.【答案】闾=1；田=&；区|=五；区|=

22、等；【解析】（1）化简Z3，Z 4,再根据复数的模的公式计算即可得答案；（2）根据古典概型的方法列举基本事件及两个复数的模之积等于1包含的事件，再根据公式计算即可.【详解】解：（1）由题意知：|zj=l|Z2|=VT+T=V2Z3=-+l=l-z,|Z3|=VT+T=V2i _ Z(l-z)i i2 1 +i fT-T V2T77=(i+i)(=|Z 4|=V4+4=T(2)设随机从复数Z2，Z3，Z中有放回的任取两个复数的样本点为(a,b),则该随机试验的样本空间为。=(Z2,Z2),(Z2,Z3),(Z2,Z4),(Z3,Z2),(Z3,Z3),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Z4,Z3

23、),(Z4,Z4)所以“(Q)=9设事件A=所取两个复数的模之积等于1”，则事件 A=(Z2，Z J(Z 3，Z J(Z 4，Z2),(Z4，Z3),所以(A)=4所以尸(A)(A)(Q)49【点睛】本题考查复数的运算与古典概型问题，考查运算能力，是基础题.1 8.如图，在几何体A 8 C D E/中，四边形A B C。为平行四边形，G为F C的中点，平面A BF E n平面。户=/，M为线段CO上的一点，B M工FC,4 B F C是等边三角形.(1)证明：A F平面8 D G；(2)证明：AB/EF；(3)证明：平面8 GMi平面B FC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)

24、证明见解析.【解析】(1)连接A C交8。于。点，连接0G，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；(2)根据线面平行的性质定理，即可判定线线平行；(3)根据线面垂直的判定定理，证明平面8G再由面面垂直的判定定理，即可证明面面垂直.【详解】（1）在平行四边形ABC。中，连接AC交B力于。点,则。为AC的中点，连接0G,因为点G为C F中点，所以0G为AEC的中位线，所以OG AF；所以AFo平面BDG,O G u平面BDG,所以AF平面B）G；（2）因为ABH CD,4 5二平面。七五，。）匚平面。尸，所以AB平面COEE,因为A B i平面ABEE,平面ABFEn平面8防=砂所以43 F；

25、（3）因为 班C为正三角形，点G为。尸中点，所以5G_LbC；又因为 BM 工 FC,BGBM=B,所以尸 平面5GM；又因为R T u平面8FC；所以，平面BGM 1平面3FC.【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明线线平行，证明面面垂直，熟记判定定理以及性质定理即可，属于常考题型.19.在sinBsinC=,；tan 8+tan C=毡这两个条件中任选一个，补充到下4 3面问题中，并进行作答.在AABC中，内角A,8,C的对边分别为a,c,tanBtanC=-,a=2 6,.3(1)求角A,6,C 的大小;(2)求 A 4 8 c 的周长和面积.【答案】选择见解析；(1)A=；B=C=J

26、(2)周长为4+2百；面积JL3 63【解析】(1)若选择，首先得出cos8cosC=，然后算出cos(B+C)和cos(B C)4即可，若选择，求出tan 8=tan。=走 即可；3(2)由正弦定理算出匕=c=2即可.【详解】(1)若选择：1 1 3因为 tan 8 tan C=一，sin5sinC=,所以 cos 8cosc=一3 4 4所以 cos(3+C)=cos3cosC-sin3sinC=,rr因为3+。(0,左)，所以8+。=一，A=3 3又因为cos(3-C)=cos8cosC+sin BsinC=l,B-C e71所以B C=O，B=C=二若选择：设tan B,tan C为方

27、程，f空 甘 十,二。的两根3 3解得 tan 5=tan C=，且 氏。(0,乃)371所以6=C=/6所以 A=%一(3+。)=二(2)由正弦定理知：sin A因为A=也，B=C=三3 6b _ csin B sin Ca=2A/3所以/?=c=2所以/1 8。的周长为4 +2省所以A A B C的面积=g历s i n A =6【点睛】本题考查的是三角恒等变换、正弦定理和三角形的面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况和计算能力.2 0.如图，在半圆柱W中，A 3为上底面直径，OC为下底面直径，4 D为母线，A B =A D=2,点尸在A8上，点G在上，B F =D G =1,P为。的中点

28、.(1)求三棱锥AOGP的体积；(2)求直线AP与直线8F所成角的余弦值；(3)求二面角AGC。的正切值.【答案】(1)立；(2)立；(3)2.6 1 0【解析】(1)求出底面面积与高，然 后 求 解 匕 一.(2)过户点作圆柱的母线FH交Q C于“，说明N AP G为直线AP与8户所成的角,通过求解三角形推出结果.(3)说明Z 4 G D为二面角A -GC-。的平面角，通过求解三角形推出二面角A GC。的正切值.【详解】解：(1)由题意知，Z k O PG为正三角形，D P =D G =P G =1 反所以S 0 =x l x l x s i n 6 0 =s 2 4因为AO为圆柱的母线，所

29、以AO_L平面。CG所以 A-DGP=X S&D G P X AD=3 o(2)过F点作圆柱的母线F H交。于因为F H与B C均为圆柱的母线，所以F H B C 且 F H =B C,所以四边形3C”/为平行四边形，所以FB/C且EB=HC=1,所以P C 为正三角形又因为DPG为正三角形，所以N C P=NGPE=6()。，C H/G P斫以B F/C H H G P,所以Z A P G为直线A P与B F所成的角在 DAPG 中，AG=EGP=1,AP=5所以由余弦定理知：cosZAPG=+G p 2 A G-=2 A P x G P 2 百 10所以直线A P与直线B F所成角的余弦值

30、为10(3)因为AD_L平面。CG,C G u平面Q C G,所以CG_LAD又因为 CG_LZ)G,A DpD G -D ,所以CG_L平面A/)G所以CG_LAG,CG，D G,因此Z4GD为二面角AGC。的平面角AT)在 RtOAZX?中，A D=2 D G -1,tan AA.GD=2D G所以二面角AGC。的正切值为2【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.2 1.有一种鱼的身体吸收汞，当 这 种 鱼 身 体 中 的 汞 含 量 超 过 其 体 重 的(即 百万分之一)时，人食用它，就会对人体产生危害

31、.现从一批该鱼中随机选出30 条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位：P P m),数据统计如下：0.0 7 0.24 0.39 0.5 4 0.6 1 0.6 6 0.7 3 0.8 2 0.8 2 0.8 20.8 7 0.91 0.95 0.98 0.98 1.0 2 1.0 2 1.0 8 1.1 4 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.4 0 1.4 4 1.5 8 1.6 2 1.6 8(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的8 0%分位数；(2)有 A，3 两个水池，两水池之间有1 0 个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，

32、且可以同时通过2 条鱼.(i)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有g的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；(i i)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B水池且不再游回A 水池，求这两条鱼由不同小孔进入8水池的概率.【答案】(1)中位数为1；众数为0.8 2；极差为1.6 1；估计这批鱼该项数据的8 0 百分4 9位数约为 1.3 4；(2)(i )-；(i i).9 1 0【解析】(1)由中位数一排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数一出现

33、频率最高的数、极差一最大数与最小数的差；。百分比位数一数据集中有个数：当叩Y 4-Y为 整 数 时 2，当叩不为整数时为M+”即可求出对应值；(2)(i )记 A：“两鱼最终均在A 水池”；B：“两鱼最终均在3水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；(i i )记 G：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知 P(C“)=L,而 1 0 个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的1 0 0概率即可求，它 与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率【详解】解：(1)由题意知，数据的中位数为二.-=12数据的众数为0.82数据的极差为1.68-0.07=1

34、.611 31+137估计这批鱼该项数据的80百分位数约为二-=1.3422 1 2(2)(i)记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则P(4)=x=2 1 7记“两鱼最终均在B水池”为事件8,则P(8)=x=3 3 9:事件月与事件B互斥，2 2 4两条鱼最终在同一水池的概率为P(A U B)=P(A)+P(B)=+=9 9 9(ii)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件G，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件。2，依次类推；而两鱼的游动独立P(C,)=P(C2)=x-=-1-2 10 10 100记“两条鱼由不同小孔进入8水池”为事件c,则c与GUCzU-UCo对立，又由事件G，事件。2，Co互

35、斥-1 1F(C)=P(C1U C2U-UCIO)=IOX=-9即 P(C)=1-JP(C,UCU.UCIO)=-【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生22.某学校高一 100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：频率(1)估计这1 0()名学生分数的中位数与平均数；(精确到().1)(2)某老师抽取了 1()名学生的分数：%,七，.，M0,已知这1 0个分数的平均数x =9 0 标准差

36、s=6,若剔除其中的1 0 0和8()两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.(参考公式：Lxi2)(3)该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为2 0米，东西长均为6 0米，南北宽均为2 0米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为4 0米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为7 2米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为3 5,5 5,1 0 5米，每个售价相应依次为1 5 0 0,2 0 0 0,4 0 0 0元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为1 0 0元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.(参考数据：2 1 02=4 4 1 0 0

37、,1 9 22=3 6 8 6 4,1 1 O2=1 2 1 0 0)【答案】(1)中位数为7 1.4；平均数为7 1；(2)平均数为9 0；标准差为26：(3)3 7 0 0元.【解析】(1)利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；(2)由题意，求出剩余8个分数的平均值，由1 0个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差；(3)求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.【详解】(1)因为0.0 5 +0.1 5 +0.2 5 =0.4 5 0.5所以中位数为

38、X满足7 0 x X T；。8。=9 010因为1 0个 分 数 的 标 准 差 工 石-1 0 x(9 0)2Tr二所以片+.+流=1 0 x(6)2+1 0 x(9 0)2 =8 1 3 6 0所以剩余8个分数的标准差为%=收 +溢)-8 0,-I O。?一8 x(9 0。V8=而=2不(3)将3座教学楼完全包裹的球的最小直径为：V 1 9 22+8 O2+2 O2=J 4 3 6 6 4 7 4 4 1 0 0 =2 1 0因此若用一个覆盖半径为1 0 5米的屏蔽仪则总费用为4 1 0 0元；将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为7 2 02+2 02+6 02=,4 4 0 0 J 4 9 0 0 =7 0因此若用3个覆盖半径为3 5米的屏蔽仪则总费用为4 8 0 0元；将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径为：V 2 O2+8 O2+6 02=7 1 0 4 0 0 J 4 9 0 0 =7 0因此若用1个覆盖半径为5 5米和1个覆盖半径为3 5米的屏蔽仪则总费用为3 7 0 0元；所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为3 7 0 0元.【点睛】本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.