2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学试卷一、填 空 题（本大题共有1 2题，满分5 4分，第1-6题每题4分，第7-1 2题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.（4分）已知圆锥的底面半径为1,高 为 相，则该圆锥的侧面展开图的圆心角e的大小为.2.（4分）从装有红、黑两种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，写出这个随机试验的样本空间.3.（4分）若圆柱的底面半径是1,母线长为2,则 这 个 圆 柱 的 体 积 是.4.（4分）两个球的体积之比为8：2 7,那 么 这 两 个 球 的 表 面 积 的 比 为.5.（4分）甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率

2、为0.5,甲不输的概率为0.8,则甲、乙两人下成 和 棋 的 概 率 为.6.（4分）若正方体ABCD-ABCD的棱长为1,则异面直线A B与。向之间的距离为.7.（5分）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则 抽 得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.8.（5分）已知三棱锥S-A B C的所有顶点都在球。的球面上，S C是球。的直径.若平面S CA J _平 面SCB,SA=AC,S B=B C,三 棱 锥S-A B C的体积为9,则 球O的表面积为.9.（5分）已知N A CB=90 ,尸为平面A B C外一点，P C=2,点P到N A

3、C B两边A C,BC的距离均为“，那么P到平面A B C的距离为.1 0.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCO-AIBICIDI中，E、F、G分别为A B、B C、的中点.点P在底面A B C Q内，若直线。i P与平面E F G无公共点，则线段。1 P的最小值为.1 1.（5分）已知圆锥的顶点为S,母线S 4,S B互相垂直，S A与圆锥底面所成角为3 0 .若S A B的面积为8,则该圆锥的体积为1 2.（5分）如图，四 边 形 为 四 面 体 4 8 C O 的一个截面，若四边形E F G”为平行四边形，A B=4,C D=6,则四边形E F G H 的周长的取值范围是二、选 择

4、题（本大题共4 题，满分2 0 分，每小题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1 3.（5 分）在长方体 A B C D -ABCD 中，A B=B C=,则异面直线 AD 与。助 所成角的余弦值为（）A.A B.在 C.S D,返5 6 5 21 4.（5分）如图，在下列四个正方体中，A,8 为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）1 5.（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如 3 0=7+2

5、 3.在不超过3 0 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于3 0 的概率是（）A.-L B.。C.-L D.-L12 14 15 181 6.（5分）已知四棱锥S-4 B C。的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）.设 S E 与 8 c所成的角为印，S E 与平面A B C。所成的角为。2，二面角S-A 8-C 的平面角为必，则（）A.0 1 0 2 0 3 B.0 3 0 2 0 1 C.0 1 0 3 0 2 D.0 2 0 3 0 1三、解 答 题（本大题共有5题，满 分 7 6 分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤.1 7.（1 4分）抛掷3枚硬

6、币，用”、T分别表示正面与反面.求:（1）这个随机试验的样本空间；（2）至少出现两个反面的概率；（3）至少出现一个正面的概率.1 8.（1 4分）如图，在长方体A B C。-中，T为。i上一点，已知 4=2,AB=4,B C=2,M=6.（1）求直线T C与平面A B C。所成角的大小（用反三角函数值表示）;（2）求点C i到平面47c的距离.1 9.（1 4 分）如图 1,在三棱柱 A B C-4B i。中，己知 A B J_ A C,AB=AC=,AA=2,且平 面A B C,过A i，C i，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线8。与4 4 1所

7、成角的大小（结果用反三角函数表示）;（2）求四棱锥8-A C G A i的体积和表面积.20.（1 6分）如图，在四棱锥P-A B C。中，相_ L平面A B C ,底面A B C。为菱形，E为CD的中点.（I ）求证：平面PAC；（I I ）若/A B C=6 0 ,求证：平面力B _ L平面PAE-,（III）棱P 8上是否存在点F，使得C F平面以E?说明理由.D21.（1 8分）（1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知、求证、证明

8、过程并画图）.2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6 题每题4 分，第 7-12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.（4分）已知圆锥的底面半径为1,高 为 如,则该圆锥的侧面展开图的圆心角。的大小为T C _.【分析】首先求出圆锥的母线长，进一步利用弧长公式求出结果.【解答】解：圆锥的底面半径为1,高为F，则圆锥的母线长为/=2=2,圆锥的侧面展开面的弧长为2 X8=2 57,解得。=T T.故答案为：n.【点评】本题考查的知识要点：圆锥的侧面展开面和弧长的关系，主要考查

9、学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.2.（4分）从装有红、黑两种颜色的小球各1 个的袋子中任取1 个小球，写出这个随机试验的样本空间 C=f 红，黑）.【分析】根据题意列举出基本事件即可得到样本空间.【解答】解：随机试验的样本空间Q=红，黑,故答案为：。=（红，黑.【点评】本题考查了随机事件的基本事件，属于易做题.3.（4分）若圆柱的底面半径是1,母线长为2,则 这 个 圆 柱 的 体 积 是.【分析】根据圆柱的体积公式求解即可.【解答】解：因为圆柱的底面半径是1,母线长为2,所以圆柱的体积为V=7 t Xl2X2=2 T T.故答案为：2 n.【点评】本题考查了空间几何体的理解与

10、应用，圆柱的体积公式的应用，属于基础题.4.（4分）两个球的体积之比为8：2 7,那么这两个球的表面积的比为4：9.【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面积的比.【解答】解：设两个球的半径分别为，R,由两个球的体积之比为8：2 7,得 到 凡 7?3=8：2 7,所以r：R=2：3,那么这两个球的表面积的比为/：/?2=4：9：故答案为：4：9.【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键.5.（4分）甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为0.5,甲不输的概率为0.8,则甲、乙两人下成和棋的概率为 0.3 .【分析】利用互斥事件概率加法公式直接

11、求解.【解答】解：甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为0.5,甲不输的概率为0.8,则甲、乙两人下成和棋的概率为P=0.8 -0.5=0.3.故答案为：0.3.【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.（4分）若正方体A B C O-4 8 1 C 1 5 的棱长为1,则异面直线AB与 之 间 的 距 离 为1 .【分析】寻找异面直线AB与。8 1 的公垂线段是B 出 即可.【解答】解：因为A 8 C O-4 BICIDI是正方体，所以8|8 J _ 平面A i B i CQ i,又因为 B Q i u 平面 AIBICIOI，所以 BIB L

12、 BIOI，所以BiB是A B与 B i D i 的公垂直线段，所以异面直线4B与。R i 之间的距离为8/=1.【点评】本题考查了正方体的基本特征，考查了异面直线距离问题，属于基础题.7.（5分）从分别写有1,2,3,4,5的 5张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_2_.【分析】先求出基本事件总数”=5 X 5=2 5,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件(加，)有 10个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【解答】解：从分别写有1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随

13、机抽取1 张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数=5X 5=25,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件(胆，)有 10个，分别为：(2,1),(3,1),(3,2),(4,I),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为p=2 9=2.25 5故答案为：2.5【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题.8.(5 分)已知三棱锥S-A B C 的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径.若平面SCAL平 面 SCB,SA=AC,S

14、 B=B C,三棱锥S-ABC的体积为9,则 球。的表面积为361r.【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积.【解答】解：三棱锥S-A 8 C 的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径，若平面SCAL平面SCB,SA=AC,S B=B C,三棱锥S-ABC的体积为9,可知三角形S B C与三角形S A C都是等腰直角三角形，设球的半径为r,可得 X rX r=9,解得 r=3.O球 0 的表面积为：47TJ =3671.故答案为：36n.【点评】本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.9.（5 分）已知NAC

15、B=90,尸为平面ABC外一点，P C=2,点 P 到乙4cB 两边4C,HC的 距 离 均 为 那 么P到平面A B C的距离为_【分析】过点P 作 PQ_LAC,交 AC于。，作 PE_LBC,交 B C 于 E,过 P 作 PO_L平面A B C,交平面 ABC 于 0,连结。，0 C,则尸=PE=“，从而 C D=C E=0 D=0 E=业穴我产1,由此能求出P到平面A B C的距离.【解答】解：NACB=90,P 为平面ABC外一点，PC=2,点P到N A C B两边AC,B C的距离均为过点P 作 P_LAC,交 AC于。，作 PE_L8C,交 B C 于 E,过 P 作尸。J_平

16、面A B C,交平面ABC于 0,连结 0,0 C,贝 IPD=PE=正，由题意得 C D CE=0 D=0 E-2 1尸 0=,/口 2-0D 2=J 3 T到平面A B C的距离为加.故答案为：V2.【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.10.（5 分）如图，在棱长为2 的正方体ABC。-AIBICIDI中，E、尸、G 分别为A8、BC、Ci。的中点.点尸在底面A8CD内，若直线。1P与平面EFG无公共点，则线段。尸的最 小 值 为 _ 遍 _.【分析】根据题意，连结DiA,AC,D C,分析可得EF平面

17、ACQi，EG平面AC。，从而平面EFG平面4 C 5，推导出点尸在直线4 c 上，在AC。中，分析可得当 铲LA C 时，线段。1P的长度最小，并能求出最小值.【解答】解：根据题意，如图，连结GA,AC,DC,:E,F,G 分别为AB,BC,的中点，：.AC/EF,EFC平面 ACOi，ACu平面 ACDi,广 平面ACOi,：EG/AD,EGC平面 ACDi,ADiu平面 AC。1，；.EG 平面 AC。”E F D E G=E,二平面 EFG平面 AC。，；。铲平面EFG,点尸在直线 AC 上，在ACQi 中，AOI=AC=CI=A/R=2 近，S AAD I C=.lx 2A/2X 2

18、A/2X s i n 60 =2 ,当力I P L 4C时，线 段。1 P的长度最小，最小值为万X 2后故答案为：Di G【点评】本题考查空间点到直线距离的计算，涉及平面与平面平行的性质，属于中档题.1 1.（5分）已知圆锥的顶点为S,母 线S A,S 3互相垂直，S 4与圆锥底面所成角为30 .若S A8的面积为8,则 该 圆 锥 的 体 积 为8n .【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高.然后求解体积即可.【解答】解：圆锥的顶点为S,母 线S A,S B互相垂直，S A8的面积为8,可得：1SA2=8,解 得S A=4,S A与圆锥底面所成角为30 .可得圆锥的

19、底面半径为：2,圆锥的高为：2,则该圆锥的体积为：丫=工x n x （2 V 3）2 x 28TT-故答案为：8n.【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力.1 2.（5分）如图，四边形EFG”为四面体ABC。的一个截面，若四边形E R 7 H为平行四边形，AB=4,C D=6,则四边形EFG”的周长的取值范围是（8,1 2）.【分析】设 所=x （0 x 4）,由四边形E r G H为平行四边形，得 四=三，推 导 出FGCB 4=6-3”,从而四边形E F G H的周长l=2（x+6-3丫）=1 2-x,由此能求出四边形E F G H周长的取值范

20、围.【解答】解：设 E/=x（0 x 4）,四边形E F G H为平行四边形，四=三CB T则 FG=BF=BC-CF=,三，6 BC BC 4从而 FG=6-2四边形 EFG”的周长/=2（x+6-3 y）=2-x,2 x又 0 x 4,则有 8/i为 z 轴，建立空间直角坐标系，.在长方体ABC。-AiBiCiQi 中，AB=BC=1,441=正，A（1,0,0）,i（0,0,b），D（0,0,0）,B（1,1,弧）,ADj=（-1,0,“）,DB；=（1,1，虫），设异面直线A D与DB所成角为6,|AD7 函|9 五|ADi!iDBt|2V5 5.异面直线A/力与DB所成角的余弦值为退

21、.5故选：C.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.14.（5 分）如图，在下列四个正方体中，A,B 为正方体的两个顶点，M,N,Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线4 8 与平面MNQ不平行的是（）【分析】利用线面平行判定定理可知8、C、。均不满足题意，从而可得答案.【解答】解：对 于 选 项&由 于 AB闻Q,结合线面平行判定定理可知8 不满足题意；对于选项C,由 于 结 合 线 面 平 行 判 定 定 理 可 知 C 不满足题意；对于选项D,由于AB/N Q,结合线面平行判定

22、定理可知D不满足题意；所以选项A 满足题意，故选：A.【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.1 5.（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如 3 0=7+2 3.在不超过3 0 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于3 0 的概率是（）A.A.B.-L C.A D.-L12 14 15 18【分析】利用列举法先求出不超过3 0 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可.【解答】解：在不超过3 0 的素数中有，2,3,5,7,

23、1 1,1 3,1 7,1 9,2 3,2 9共 1 0 个,从中选2个不同的数有%=45种，和等于 3 0 的 有（7,2 3）,（1 1,1 9）,（1 3,1 7）,共 3 种，则对应的概率=父 _=上，45 15故选：C.【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过3 0 的素数是解决本题的关键.1 6.（5分）已知四棱锥S-A B C。的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段A8上的点（不含端点）.设 S E 与 8C所成的角为日,S E 与平面A B C O 所成的角为。2，二面角S-A 8-C的平面角为。3,则（）A.&W O 2 W O 3 B.0 3 0 2 91 C.

24、0 1 0 3 0 2 D.0 2 0 3 0 1【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小.【解答】解：.由题意可知S在底面A B C。的射影为正方形A B C 3 的中心.过 E作EF/BC,交C D于F,过底面A B C D的中心O作O N L E F交E F于N,连接S M取 A B 中点 M,连接 S M,OM,O E,则 E N=O M,则&=N S E M 82=N SEO,Qi=ZSMO.显然，6 1，0 2，。3 均为锐角.V t a n 0 i =t a n”地，SNNSO,N E O N 0 M又 s i n 0 3=-,s

25、i n 0 2=-.,SE,SM,S M S E.,.0302.故选：D.【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题.三、解答题(本大题共有5 题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤.17.(14分)抛 掷 3 枚硬币，用”、T 分别表示正面与反面.求：(1)这个随机试验的样本空间；(2)至少出现两个反面的概率；(3)至少出现一个正面的概率.【分析】(1)利用列举法能求出这个随机试验的样本空间.(2)利用列举法求出至少出现两个反面的包含的基本事件有4 个，由此能激出至少出现两个反面的概率.(3)利用列举法求出至少出现一个正面包含的基本事件有7 个，由此能求

26、出至少出现一个正面的概率.【解答】解：(1)抛掷3 枚硬币，用 4、T 分别表示正面与反面，这个随机试验的样本空间为：。=(H,H,H),(H,H,7),(H,T,H),(T,H,H),(”，T,T),(7,H,7),(T,T,H),(T,T,T).(2)这个随机试验的样本空间为：。=(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T),含有8 个基本事件，至少出现两个反面的包含的基本事件有(”，T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T),共 4 个，.至少出现两个反面的概率p=上.8 2(3)至少出现一个

27、正面包含的基本事件有：(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),共 7 个，至少出现一个正面的概率P=.8【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力,是基础题.18.(14分)如图,在长方体ABCD-AiBiCiDi中，T为DDi上 一 点,已知。4=2,AB=4,BC=2,AA=6.(1)求直线7C 与平面4BC。所成角的大小(用反三角函数值表示);(2)求点C i到平面4 T C 的距离.【分析】(1)法一：根据线面垂直，求出线面角为/T C D,结合直角三角形的性质，求出夹角的大小即可

28、；法二：求出平面48C D 的法向量，根据向量的坐标，求出线面角的大小即可；(2)求出平面AiTC的一个法向量，结合向量的运算，求出点到面的距离即可.【解答】解：(1)法一：如图示：在长方体ABC。-AiBiCiDi中，J_平面 A8CZ),即 7D_L平面 ABCD,故直线TC与平面A8CD所成的角即为NTCZ),在 RtZXTCD 中，由。7=2,C D=A B=4,可得 tan/TC O=PL,C D显然，NTCDe(0,工)，故NTCD=arctan，2 2故直线TC与平面ABCD所成的角的大小是arctanA；2法二：以。为原点，DA,DC,分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，

29、如图示：DT=2,AB=4,BC=2,A4i=6,A A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),T(0,0,2),T C=(0,4,-2),平面 ABC。的一个法向量三=(0,0,1),设直线TC与平面A8C。所成角的大小为0,贝！I sinQL.*n =-=?=即 sin0=2Z,I TC I -I n I V42+(-2)2-1 5 5由。曰0,-2,故 e=arcsinY,2 5 _故直线TC与平面ABCD所成角的大小为arcsinYG,(2)由 Ci(0,4,6),4 (2,0,6),T(0,0,2),C(0,4,0),故 互 7=(-2,0,-4),C

30、T=(0,-4,2),第 f=(0,-4,-4),设平面4 T C 的一个法向量为7=(x，y，z),由 口 得 户 不=。即 产-4=。,故 产 5m lCT lm-CT=0 1 4y+2=0 1 z=2y取 白(-4,1,2),故点0到平面海的距离为中（T二 黑 安）X 2 L零，即点C1到平面ATC的 距 离 为 士 里.7【点评】本题考查了线面角问题，考查点到面的距离，考查向量的坐标运算以及数形结合思想，是一道中档题.1 9.（1 4 分）如图 1,在三棱柱 A B C-A 1 8 C 1 中，已知 A 8 _L A C,A B=A C=1,A 4|=2,且A 4 i _L平 面A B

31、 C,过4,C i，8三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线8。与 所 成 角 的 大 小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥3-A C C i A i的体积和表面积.【分析】（1）由棱柱的结构特征可得A 4 i C C i，即为异面直线BG与A 4 1所成角，证 明C C i，平面A B C,再由己知求解三角形得答案；（2）直接由棱锥体积公式求四棱锥B-A C C i A 的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式求四棱锥B-ACCA的表面积.【解答】解:,A 4 i C G，./B C i C即为异面直线BG与A 4 1所成角，_L 平面 A B C

32、,C C i -L 平面 4 B C,：.ZCiCB=90.C B=V A B2+A C2=V l+i=V 2,C C 1=2，,t a n/C i C B ，得/C i C 3=a r ct a n 2!,即异面直线BC与AA所成角的大小为a r ct a n Y Q；2 坦 对 向 二 界 皿？等S=SABAZ+SABAA1+SABA1C1+SCAA1C1=yXlX l+y X l X 2+y X!X V -k y X V X 2+l X 2.四棱锥8-A C C 1 4的体积为三，表面积为3【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查多面体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能

33、力，是中档题.20.(1 6 分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，B4_L平面A8C),底面A8c。为菱形，E 为 CD的中点.(I)求证：平面PAC；(II)若NABC=60,求证：平面 平面 PAE；(III)棱 PB 上是否存在点凡使得CF平面B 4E?说明理由.【分析】(I)推导出办，B D L A C,由此能证明8。，平面布C.(II)推导出AB_LAE,PA L A E,从而AE_L平面用B,由此能证明平面以8_L平面B4E.(III)棱 PB上是存在中点F,取 AB中点G,连结GF,C G,推导出CGAE,FG/PA,从而平面CFG平面P A E,进 而 CF平面PAE.【解答】证

34、明：(I).四棱锥P-A B C O 中，P A m A B C D,底面ABC。为菱形，：.BDPA,BDVAC,4nA e=A,.8O_L平面 B4C.(II)；在四棱锥P-ABC。中，方_L平面ABC。，底面ABC。为菱形,E 为 CQ 的中点，NABC=60。，：.ABAE,PAAE,：PAHABA,PAB,；A E u平面以E,平面以B _L平面用E.解：（H I）棱P B上是存在中点F,使得C F平面f i 4 E.理由如下：取A 8中点G,连结G F,CG,.在四棱锥P-A 8 C E）中，巩1.平面A B C C,底面A 8 C O为菱形，E为C）的中点,：.CG/AE,FG/

35、PA,CGCFG=G,AEHRA=A,平 面C F G 平面出E,：C F u平面 CFG,：.CF/平面 PAE.【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.2 1.（1 8分）（1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）.【分析】（1）先叙述直线与平面平行的性质定理，再写出已知、求证，并作出

36、图形，然后由线面平行的定义和两直线平行的定义进行证明；（2）先叙述三垂线定理，再写出已知、求证，并作出图形，然后由线面垂直的判定和性质进行证明；（3）先叙述平面与平面平行的判定定理，再写出已知、求证，并作出图形，然后由反证法进行证明.【解答】（1）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.已知：a/a,a cp,a A p=/7,求 证:a/b.证明：因为a n 0=，所以8 u a,因为a a,所以与b无公共点，因为a u 0,%u 0,所以a 6.(2)三垂线定理：在平面内的一直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和

37、这条斜线垂直.已知：如图布、尸。分别是平面a的垂线、斜线，A0是 尸0在平面a内的射影，且A O,求证：aLPO.证明：因为a u a,aAO,又 办_ L a,a u a所 以 胆_ L a,A O _ L a,PAQAO=A,所以a _ L平 面%O,又P O u平面PAO,所以a,尸。；(3)平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知 a u 0,/?c p,aCb=P,a/a,b/a,求证：a 0.下面利用反证法证明：如图，假设a与0相交，设交线为c,因为 a a,a u 0,a C 0=c,所以“c,因为a,6 u 0,a n p=c,所以 bc,由平行公理可得，a/b,与。6=尸矛盾，所以假设错误，故a 3【点评】本题考查线面平行的性质定理、三垂线定理和面面平行的判定定理的证明，考查转化思想和推理能力，属于基础题.