2020-2021学年河北省某校高一（下）期末考试数学试卷.pdf

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1、2020-2021学年河北省某校高一（下）期末考试数学试卷一、选择题1.已知复数Z=+亨由为虚数单位），则|2-1|=（)C呼A.更2B 52.在 ABC中，a=3,b=2,A=3 0,贝 iJsinB=()ASB|3.如图，AB是。的直径，点C,。是半圆弧4B的两个三等分点，AB=a,AC=b,则而等于（）221-TD-2a+b4.已知一组数据为20,30,40,众数的大小关系是（）A.平均数 第60百分位数 众数B.平均数（第60百分位数（众数C.第60百分位数 众数 平均数D.平均数=第60百分位数=众数50,50,60,70,8 0,其平均数、第60百分位数和+425.五一节放假期间，

2、甲去北京旅游的概率为右乙、丙去北京旅游的概率分别为:.3 4|.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）A 59A60Bl心D高6.如图，正方体4BC D-4B1G D 1的棱长为1,E,F,G分别为棱AB,G Q 的中点，经过E,F,G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（）7.在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是4 0,则成绩在8 0 100分的学生人数是（）频率0.015.0.010.005.8.已知平

3、面a l 平面0,ocC0=l,下列结论中正确的是（）A.若直线m J平面a,则m /?B.若平面yJ_平面a,则y C.若直线m l 直线L 则D.若平面y_L直线。则/_ 1二、多选题1.已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A.复数z的虚部为iB.|z|=V2C.复数z的共匏复数，=l-iD.复数z在复平面内对应的点在第一象限试卷第2页，总20页2.如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是（）12城市春运往返机票平均价格州 圳 京 州 海 津 庆 安 京 门 都 汉价格 涨

4、幅A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门3.若向量2=（75,3）,1=（n,通），下列结论正确的是（）A.若a,b同向，则n=1C.若了在之上的投影向量为3（是与向量Z同向的单位向量），贝旧=3D.若之与6所成角为锐角，贝 Un的取值范围是n -34.如图，点P在正方体ABCD-aB1C1D1的面对角线BG上运动，贝 ）A.三棱锥A-DiPC的体积不变C.DP 1 B B.&P 平面 AC%D.平面PDBi 1平面ACDi

5、三、填空题I.在长方体ABC。一4 当Ci%中，已知04=DC=4,DD1=3,则 异 面 直 线 与&C 所成角的余弦值为.2.水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发.市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，这5个班级中抽取的人数分别为5,a,7,7,1 0,若把每个班级抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为7,则 样 本 数 据 中 的 方 差 是.3.如果%,x2,x3,打的方差是：，贝3X2,3X3,3/的方差为.4.已知向量；=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若,则|b+|=.四、解答题1.甲、乙两射击运动员分别对一目标射

6、击1次，甲射中的概率为0 8 乙射中的概率为0.9,求：(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率；(3)两人中至少有一人射中的概率.2.在 ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=|.(1)若b=4,求sinA的 值；(2)若AABC的面积S-BC=4,求b,c的值.3.眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名.为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分试卷第4页，总20页布直方图.(2)试估计该学校学

7、生视力不低于4.8的概率：(3)从视力在 4.0,44)内的受测者中随机抽取2人，求2人视力都在 4.2,4.4)内的概率.4.如 图：某快递小哥从4地出发，沿小路48 T B e 以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10(公 里)，4DCB=45,4CDB=30。，AABD是等腰三角形，乙48。=120.(1)试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD-DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？5.如图，四棱锥S-ABCD的侧面SAD是正三角形，AB/C D,

8、且Z B IA D,AB=2CD=4,E是BS的中点.(1)求 证：CE 平面S4。；(2)若平面“1。_ L 平面4B C D,且BS=4或，求三棱锥B-E4C的体积.6.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.(1)从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.(2)从盒中任取一球，记下该球的编号a,将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b,求|a-b|1 2 的概率.试卷第6页，总20页参考答案与试题解析2020-2021学年河北省某校高一（下）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】复数的模复数的运算【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可

9、得出.【解答】解：复数z=：+今（i为虚数单位），,一 1 1 V2.z 1=-2 2 则忆 1|=+-故选A.2.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由正弦定理直接得出答案.【解答】解：a=3,b=2,A=30,I r-r-k-t-m zpq -bsinA 2xsin30 1 由正弦定理得s】nB=,=-=“故选4.3.【答案】D【考点】向量的线性运算性质及几何意义圆周角定理【解析】连结CD、O D.由圆的性质与等腰三角形的性质，证出CD4B且ACD。，得到四边形力CD。为平行四边形，所以+再根据题设条件即可得到用2分表示向量AD的式子.【解答】解：连结CD、0D,:点C、。是半圆弧4B的两个

10、三等分点，弧AC=弧 8。，可得CD/AB,.CAD=Z.DAB=i x 900=30,?OA=OD.Z.ADO=/.DAO=30,由此可得 NQW=/-DAO=30,AC/DO,，四边形ACC。为平行四边形，可得G=A+晶，?AO=-A B =-a,AC=b,2 2T 1 T TAD=-a +b.故选D.4.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数【解析】从数据为20,30,40,50,50,60,70,80中计算出平均数、第60百分位数和众数,进行比较即可.【解答】解：平均数为：x(20+30+40+50+50+60+70+80)=50,88 X 60%=4.8,第5个数50即为第60百分

11、位 数.众数为50.它们的大小关系是平均数=第60百分位数=众数.故选D.5.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式对立事件的概率公式及运用【解析】试卷第8页，总20页根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果.【解答】解：甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为a P 93 4 5他们不去北京旅游的概率分别为|,三3 4 5至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，至少有1人去北京旅游的概率为P=l|x,x(=|.故选B.6.【答案】B【考点】截面

12、及其作法【解析】分别取BCM 4CG的 中 点 为 根 据 平 面 的 性 质 确 定 截 面 图 形 为 正 六 边 形EHNGFM,计算出MN=V 2,结合三角形的面积公式，即可得出截面图形的面积.【解答】解：分别取BC,AAl t CCi的中点为H,M,N,连接EH,HN,NG,FM,ME,B容易得出FGEH,GN/ME.H N/F M,则点E,F,H,G,M,N共面,且 FG=EH=GN=ME=HN=FM=J g?+针=当即经过E,F,G三点的截面图形为正六边形EHNGFM.连接MN,EG.F H,且相交于点。，因为 MN=AC=V l2+I2=V2,所以OE=OH=ON=OG=OF=

13、OM则截面图形的面积为6G X 号 x 乎sin60。）=手.故选B.7.【答案】D【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征频数与频率【解析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可.【解答】解：根据频率分布直方图得:第二小组的频率是0。4 x l0 =0.4,频数是40.，样本容量是昔=100.0.4成绩在80 100分的频率是（0.01+0.005）x 10=0.15,对应的频数（学生人数）是1。x 0.15=15.故选D.8.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由线面的位置关系可判断

14、A；由面面的位置关系可判断B；由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断C；由面面垂直的判定定理可判断。.【解答】解：4平面a!平面0,a C 0=I,若直线m 1平面a,则zn 夕或m u仇 故4错 误；B,平面a l 平面色若平面y_L平面a,则 7 或y与相交，故B错 误；C,平面a 1平 面 色a C 0=I,若m 1 I,则m u 0 或m 1/?,故C错 误；D,平面a_L平面0,ad/3=I,若平面y J_ 直线L又I u 仇 由面面垂直的判定定理可得y 1。，故。正 确.故选。,二、多选题1.【答案】B.C.D【考点】复数的模复数的基本概念【解析】试卷第10页，总20页由已知结合复

15、数的基本概念、复数模的求法及复数的代数表示法及其几何意义逐一核对四个选项得答案.【解答】解：4：复数z=l+i,，复数z的虚部为1,故4错 误；B,|z|=V l2+I2=V 2,故B正 确；C,复数z的共版复数2=1-i,故C正 确；D,复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),在第一象限，故。正 确.故选B C D .2.【答案】A,B,C【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可.【解答】解：4由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故4正 确；B,深圳和厦门对应的小

16、黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正 确；C,条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正 确；D,平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故。错 误.故选4 B C .3.【答案】A,C【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角平行向量的性质数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】解：4,设；=高，所以 口所以k=n=1,即2:旧 汇 所 以n=l满足,故4正 确；B,因 为 行 曰+3(-)=0,所以(今习也是与途直的单位向量，故B错 误；C,因为 在友上的投影向量为3、所 以 独=3,所以fn+3 6=3,所以n=3

17、,故C正 J(V 3)2+32确；D,因为a 与b所成角为锐角，所以a-b。且a,b不同向，所 以 馋#8 ,所以“6(-3,1)U(1,+8),故。错 误.故选AC.4.【答案】A,B,D【考点】直线与平面平行的判定平面与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】利用正方体的性质结合空间线面位置关系求解.【解答】解：对于4由题意知4DJ/BC1，从而B C/平面4。道，故BG上任意一点到平面ADZ内距离均相等，所以以P为顶点，平 面 为 底 面，则三棱锥4-O iP C 的体积不变，故4 正 确；对于B,连接&B,4 G,4 G a c 且相等，由于选项4 知：ADBC、所以B a G

18、 面ACD1,从而由线面平行的定义可得，&P 平面4C D 1,故B正 确；对于C,由于DC1平面B C G/,所以0 C 1 B G，若DP 1 B C j,则BG 1 平面DCP,BCi 1 PC,则P为中点，与P为动点矛盾，故c 错 误；对于D,连接DBi,由 OB11 ACS.DB1 LAD1,可得D B1面 力 从 而 由 面 面 垂 直 的 判 定 知，故。正确.故选4BD.三、填空题1.【答案】925【考点】余弦定理异面直线及其所成的角试卷第12页，总20页【解析】连接4 D,由4 DB1C得NB&D为异面直线4窗 与 所 成 的 角，由此能求出异面直线与&C所成角的余弦值.【解

19、答】解：连接&D,V A M/B iJ4 B 4 D为 异 面 直 线 与&C所成的角.连接8。，在&0 B中，=5,BD=4V2,则 COSNB&D =力1 8 2+4 1 0 2 8。22-ArBArD2 5+2 5-3 2 _ 92 X 5 X 5 -2 5 异 面 直 线 与BiC所成角的余弦值为安.故答案为：言2.【答案】2.8【考点】众数、中位数、平均数极差、方差与标准差【解析】由平均数的计算公式的出a的值，再根据方差的计算公式求解即可.【解答】解：由已知得：5+a+；+7+】。=7,解得a=6,所以样本数据中的方差是(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(1 0

20、-7)2 n o-=2.8.5故答案为：2.8.3.【答案】3【考点】极差、方差与标准差【解析】直接利用方差运算的结论求解即可.【解答】解：因为X i,X2,尤 3,%4 的方差是，则3.，3M 2,3巧，3%4 的方差为32 x1 =3.故答案为：3.4.【答案】5 点【考点】向量的模平面向量共线(平行)的坐标表示【解析】根据二I 山即可求出x=4,从而可求出+”=(5,5),这样即可求出山+A的值.【解答】解:.:a/b,：.x-4 =0,/.%=4,c=(3,4),?.b+c=(5,5),b+c=5 V 2.故答案为：5 V 2.四、解答题1.【答案】解：(1)设“甲射击一次，击中目标”

21、为事件4“乙射击一次，击中目标”为事件B,事件4 与B 是相互独立的.两人都射中的概率为P(4 B)=P Q 4)P(B)=0.8 x 0.9 =0.7 2 .(2)两人中恰有一人射中的概率为P Q 4 互)+P(AB)=0.8 x(1 -0.9)+(1 -0.8)x 0.9 =0.2 6 .(3)两人中至少有一人射中的概率等于1 减去两个人都没有射中的概率，所求的概率等于 1 一 P(AB)=1 -P(A)-P(B)=1 -0.2 x 0.1 =0.9 8 .【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】试卷第14页，总20页设“甲射击一次，击中目标”为事件4 乙射击一次，

22、击中目标 为事件B.(1)两人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B),运算求得结果.(2)两人中恰有一人射中的概率为P(4万)+P(AB)=0.8 x(l-0.9)+(1-0.8)x0.9,运算求得结果.(3)两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有击中的概率，即1-P颂)=1-P(A)-P,运算求得结果.【解答】解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件4 “乙射击一次，击中目标 为事件民事件力与B是相互独立的.两人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8 x 0.9=0.72.(2)两人中恰有一人射中的概率为PQ4后)+P(彳B)=0.8 x(1-0.9)+(1-0.

23、8)x 0.9=0.26.(3)两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有射中的概率，所求的概率等于 1 一 P(而)=1-P 0)P(互)=1-0.2 x 0.1=0.98.2.【答案】解：(I)：cosfi=|,B G (0,7 T),sinB=，.a=2,6=4,由正弦定理得二7=sin/1-.sm A4 =25(2)由S 0BC=jacsinF=c-|=4可解得c=5,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=4+2 5-2 x 2 x 5 x|=1 7,b=y/17.【考点】解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】(1)利用同角三角函数公式求出s in B

24、,再利用正弦定理求sinA的 值；(2)利用三角形面积公式求c,再利用余弦定理求b的值.【解答】解：（1）；COSB=I，Be（o,7 T）,4sinf i=-.5*.*a=2,b=4,由正弦定理得高=:.smA-sin4 =|.（2）由SAABC=acsinB=c-=4 可解得c -5,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=4 +2 5-2 x 2 x 5 x|=1 7,b=V 1 7 .3.【答案】解：（1）高一年级抽取的学生人数为：5 0 X =2 0 .1200+1080+720所以从高一年级抽取的学生人数为2 0.（2）由频率分布直方图，得（0.2 +0.3+1.0 4-1

25、.5 +1.2 +a）x 0.2 =1,所以a =0.8 .所以抽取5 0名学生中，视力不低于4.8 的频率为（1.2 +0.8）x 0.2 =0.4,所以该校学生视力不低于4.8 的概率的估计值为0.4 .（3）由频率分布直方图，得视力在 4。4.2）内的受测者人数为0.2 x 0,2 x 5 0=2,记这2 人为的,a2.视力在 4.2,4.4）内的受测者人数为0.3 x 0,2 x 5 0=3,记这3人为瓦，b2,b3.记“抽取2 人视力都在 4.2,4.4）内”为事件4,从视力在 4。4.4）内的受测者中随机抽取2 人，所有的等可能基本事件共有1 0个，分别为3。2），（%也）,3 1

26、 也）,（%也），（。2也），也），（。2，瓦），血 也）,（如坛），（%坛），则事件力包含其中3个基本事件：（瓦,与），3 1，坛），（坛,）,根据古典概型的概率公式，得P G 4）=总.所以2 人视力都在 4.2,4.4）内的概率为力.【考点】分层抽样方法频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】无无试卷第16页，总20页无【解答】解：（1）高一年级抽取的学生人数为:50 x =20.1200+1080+720所以从高一年级抽取的学生人数为20.（2）由频率分布直方图，得（0.2+0.3+1.0+1.5+1.2+a）x 0.2=1,所以a=0.8.所以抽取50名学生中，视力

27、不低于4.8的频率为（1.2+0.8）x 0.2=0.4,所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为0.4.（3）由频率分布直方图，得视力在 4。4.2）内的受测者人数为0.2 x 0,2 x 50=2,记这2人为的,a2.视力在 4.2,4.4）内的受测者人数为0.3 x 0.2 x 50=3,记这3人为瓦，b2,b3.记”抽取2人视力都在 4.2,44）内”为事件A,从视力在 4.0,4.4）内的受测者中随机抽取2人，所有的等可能基本事件共有10个，分别为（a。2），（%也）,（%也），（%也），（。2也），（。2也），（。2,瓦），（与也）,（瓦也）,电 电）,则事件4包含其中3个基本

28、事件：（事件2）,电 也），电 也）,根据古典概型的概率公式，得PG4）=总所以2人视力都在 4.2,44）内的概率为总.4.【答案】解：（1）由已知得，AB=BD=10（公里），在 BCO中，,BD _ BC出 sin45 一 sin300，得 BC=5或（公里）.由 于：啜 虫 X 60 2 51.21 50,于是快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.（2）在AABD中，A D2=102+102-2 x 10 x 10 x（-1）=300,得4D=10遮（公里），在ABC。中，/.CBD=105,由.CD=5.R ,sinl05 sin30c，得CD=5（1+百）（公里），由于佝义 60

29、+15=20+15百 x 45.98 5 0,于是快递小哥不能在5 0分钟内将快件送到C处.（2）在 A B D中，A D2=1 02+1 02-2 xl0 xl0 x（一手=300,得4 D =1 0 8 （公里），在B C D中，/.CBD=1 05 ,由,。口 =R sinl05 sin30得C D =5（1 +7 5）（公里），由于I O、G+5（I+V的 X 6 0+1 5 =2 0+1 5 8 x 4 5.9 8 5 1.2 1 （分钟），60于是汽车能先到达C处.5.【答案】（1）证 明：取S 4的中点F,连接E F,/E是S B中点，EF/AB,B.AB=2EF.又；AB/CD

30、,AB=2CD,：.EF/DC,EF=DC,则四边形E F D C是平行四边形，EC/FD,又:E C C平面S A O,尸0=平面5:4。，C E 平面 S A D.（2）解：取）。中点G,连接S G,S 4 D是正三角形，SG LAD,平面S 4。1平面A B C D,且交线为4 D,SG _ L平面A B C D.AB LAD,试卷第18页，总20页，4 B _ L 平面S A D,贝 I J A B J.S A,故S 4 =y/SB2-A B2=4,SG=2 倔E 是S B 中点，点E 到平面4 B C D 的距离等于：S G =V 3,三棱锥B -E 4 C 的体积为：B-EAC=E

31、-BAC=x x 4x 4x V=竽.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(1)取S 4 的中点F,连接E F,证明四边形E F D C 是平行四边形，得出E C F。，CE/平面S 4 D ；(2)取4。中点G,连接S G,证明S G L 平面A B C D,求出点E 到平面A B C D 的距离，再由等体积法求三棱锥B -E A C 的体积.【解答】(1)证 明：取S 4 的中点F,连接E F,E 是S B 中点，EF/AB,S.AB=2EF.又：AB H CD,AB=2CD,：.EF/DC,EF=DC,则四边形E F D C 是平行四边形，EC I/FD,又：E

32、 C C 平面S A D,FDu 平面S A D,C E 平面 S A D.(2)解：取4 D 中点G,连接S G,V S 4。是正三角形，SG 1 AD,；平面S A D 1 平面A B C。，且交线为4。,*SG _ L 平面4 B C D.AB LAD,：.AB L S A D,AB 1 SA,故S 4 =y/SB2-A B2=4,SG=2 V IE 是S B 中点，；点E到平面4 B C D的距离等于：S G =V 3,三棱锥B -E 4 C的体 积 为：B-EAC=E-BAC=竽.6.【答案】解：(1)从盒中任取两球的基本事件有(L 2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4

33、),(3,4)六种情况，编号之和大于5的事件有(2,4),(3,4)两种情况，故编号之和大于5的概率为1=1 .o 3(2)有放回的连续去球有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 1 6个基本事件.而|a-b|2 2的包含(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2),共6个基本事件.所以|a-b|2 2的概率为白=，I O O【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析

34、【解答】解：(1)从盒中任取两球的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况，编号之和大于5的事件有(2,4),(3,4)两种情况，故编号之和大于5的概率为;=；.O D(2)有放回的连续去球有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 1 6个基本事件.而|。一切 2 2的包含(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2),共6个基本事件.所以|a-b|2 2的概率为白=，lo O试卷第20页，总20页