2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学模拟练习试卷.pdf

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1、202L2022学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学模拟练习试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）C.A.北京大学浙江大学)2.（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（A.3 cm,5cm,Scm3.C.3 cm,3 cm,（3分）和点PA.(3,2)5cmD.3 cm,4 cm,Scm（-3,2）关于x轴对称的点是（）B.(-3,2)C.(3,-2)D.(-3,-2)B.icm,8C 2,1 8cm4.（3 分）如图，AABC 沿 A8 向下翻折得到

2、 A B D,若/A B C=3 0 ,Z A D B=1 0 0 ,则NBAC 的度数是（）A.1 0 0B.3 0C.5 0D.805.（3分）如图，过 A B C的顶点A,作 BC 边上的高，以下作法正确的是（）B6.（3 分）下列命题中正确的有（）个三个内角对应相等的两个三角形全等；三条边对应相等的两个三角形全等；有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等;等底等高的两个三角形全等.A.1B.2C.3 D.47.（3 分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则/I 的度数为（）8.（3 分）如图，ZVIBC中，AH=AC,N B=3 0，点。是 AC的中点，过点。作。E

3、J_AC交 于 点 E,连接E4.则 NBAE的度数为（）9.（3 分）在平面直角坐标系X。），中，已知点A（0,8）,点 B（6,8）,若点P 同时满足下列条件：点尸到A,B 两点的距离相等；点 P 到Nx。），的两边距离相等.则点尸的坐 标 为（）y八A B0 xA.(3,5)B.(6,6)C.(3,3)D.(3,6)10.（3 分）已知直线/及直线/外一点P.如图,（1）在直线/上取一点A,连接必；（2）作外的垂直平分线脑V,分别交直线/,见 于 点 B,O；（3）以。为圆心，0 8 长为半径画弧，交 直 线 于 另 一 点 Q（4）作直线PQ.C.A P=B Q下列结论中错误的是（）B

4、.PQ/ABD.若 P Q=B 4,则NAPQ=60二、填空题：本大题共8 个小题,每小题3 分，共 24分.11.（3 分）五边形的内角和为.度12.（3 分）如 果 等 腰 三 角 形 有 两 条 边 长 分 别 为 和 3的，那么它的周长是.13.（3 分）等腰三角形的一个角等于40。，则它的顶角的度数是.14.（3 分）已知射线O M.以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以点 A 为圆心，A O长为半径画弧，两弧交于点B,画 射 线O B,如图所示，则NAOB=度OB1 5.（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作上若=2,

5、则该等腰三角形的顶角为.度1 6.（3分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，可以看作是由 A B C经过若干次的图形 变 化（轴 对 称、平 移）得 到 的，写 出 一 种 由 48 C得至“D E F的过程:JA,L B(r 2 -：1 7.（3 分）如图，A B C 中，ZB A C=9 0 ,ZC=3 0 ,A O _L B C 于。，B E 是N A B C 的平分线，且交A Z）于点P,如果AP=2,则 AC 的长为.1 8.（3分）如图所示，在长方形A B C。的对称轴/上找点P,使得必8,P B C均为等腰三角形则满足条件的点P有 个.D C三、解答题：本大题共9个小题，共4

6、6分.19题5分，20题4分，21-25题每题5分，26,27题每题6分.1 9.（5分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，ABC 中，B C A B A C,在 8 c 边上取一点 P,使N4PC=2N4BC.小路的作法如下：作AB边的垂直平分线，交 B C 于点P,交 A 8于点Q；连接AP.请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：是 A 8 的垂直平分线：.AP=,（依据：）；A ZABC=,（依据：）.Z A P C=2 Z A B C.20.（4 分）点。为ABC的边8 c 的延长线上的一点，。尸，AB于点尸，交

7、AC于点，ZA=35。，ZD=40,求NACO 的度数.21.（5 分）已知：如图，F,C 是 AO 上的两点，S.AB=DE,AB/DE,AF=CD.求证：BC=EF.22.（5 分）已知：如图，C 是线段A 8的中点，ZACE=ZBCD.求证：AD=BE.ED2 3.（5分）如图，ABC中，AB=BC,/ABC=9 0 ,尸为A B延长线上一点，点E在8 C上，SLAE=CF.（1）求证：AE CF；2 4.（5分）如图，在平面直角坐标系x O），中，点0 （0,0）,A（-1,2）,B（2,1）.（1）在图中画出 4 0 8关于y轴 对 称 的 并 直 接 写 出 点4和点切 的坐标；（

8、不写画法，保留画图痕迹）2 5.（5分）如图，点。在 ABC的A B边上，且N AC=N A.（1）作/B O C的平分线。E,交B C于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线。E与直线A C的位置关系（不要求证明）.D26.（5 分）如图，在等腰直角ABC中，ZACB=90,P 是线段BC上一点，连接AP,延长BC至 点 Q,使 得 C Q=C P,过 点。作于点”，交 AB于点M.（1）若/CAP=20,则/A M Q=（2）判断A P与 QM的数量关系，并证明.点NACB=90,点。在 BC的延长线上，例 是 BD的中E 是射线C 4上一动点，

9、且 CE=C）,连接A。，作 QFLA。，。尸交EM延长线于点A D D F（填“=”、“回互 为“顶补等腰三角形”，A M是“顶心距”.如图2,当NBAC=90时,AM与OE之间的数量关系为AM=DE；如图3,当/BAC=120,ED=6时，A M的长为.(2)猜想论证：在 图1中，当NBAC为任意角时，猜想4例 与OE之间的数量关系，并给予证明.(3)拓展应用如图 4,在四边形 ABCO 中，AD=AB,CD=BC,ZB=90,ZA=60,CD=43在四边形ABC。的内部找到点P,使得以。与P8C互为“顶补等腰三角形”.并回答下列问题.请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为;直接写出

10、a P B C的“顶心距”的长为.2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学模拟练习试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.北京大学浙江大学【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可.【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；8、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D.不是轴对称图形，故此选项错误.故 选:B.【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这

11、时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2.（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A.3cm,5cm,Scm B.8cm,Scm,1 8 c/nC.3cm,3cm,5cm D.3cm,4cm,Scm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”,进行分析.【解答】解：43+5=8,不能构成三角形，故不符合题意；8.8+8=1 65,能构成三角形，故符合题意；D3+4=7 V 8,不能构成三角形，故不符合题意.故选：C.【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差,而小于两边的和是解决问题的关键.3.（3分）和

12、点尸（-3,2）关于x轴对称的点是（）A.（3,2）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（-3,-2）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.【解答】解：点 尸（-3,2）关于x轴对称的点是（-3,-2）,故选：D.【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.4.（3分）如图，Z V I B C沿A 8向下翻折得到 A B O,若乙4 B C=3 0 ,ZADB=OO,则Z B A C的度数是（）A.1 0 0 B.3 0 C.5 0 D.8 0【分析】由翻折的特点可知，Z A C B=Z A D B=m ,进一步利用三角形的内

13、角和求得/B 4 C的度数即可.【解答】解：:A B C沿A B向下翻折得到4 B Z）,：.ZACB=ZADB=OO ,/B A C=1 8 0 -Z A C B -Z A B C=1 8 0 -1 0 0 -3 0=5 0。.故选：C.【点评】此题考查翻折的特点：翻折前后两个图形全等；以及三角形的内角和定理的运用.5.（3分）如图，过ABC的顶点4,作BC边上的高，以下作法正确的是（）【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答【解答】解：.四个选项中只有-C正确.故选：C.【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟记三角形高线的定义是解题

14、的关键.6.（3分）下列命题中正确的有（）个三个内角对应相等的两个三角形全等；三条边对应相等的两个三角形全等；有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；等底等高的两个三角形全等.A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS.ASA.AAS、H L.可得出正确结论.【解答】解：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；三条边对应相等的两个三角形全等，正确；有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；等底等高的两个三角形不一定全等，错误；故 选:B.【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS,ASA.AAS.H L.做题时要按判定全等的方法

15、逐个验证.7.（3 分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则/I 的度数为（）【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边。所对的角为50,然后根据全等三角形的性质得到/I 的度数.【解答】解：在左图中，边“所对的角为180-60-70=50,因为图中的两个三角形全等，所以N 1 的度数为50.故选：B.【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.8.（3 分）如图，ABC中，AB=AC,Z B=3 0，点。是 A C的中点，过点。作 OE_LAC交B C于点E,连接E A.则Z B A E的度数为（）A.30 B.80 C.90 D

16、.110【分析】根据NEAZ),只要求出/BAC,/E 4 O 即可解决问题.【解答】解：；AB=4C,：.ZB=ZC=3 0 ,.NBAC=180-30-30=120,OE垂直平分线段AC,:.EA=EC,：.ZEAD=ZC=3 0 ,A B A C -/EAO=90.故选：c.【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.9.(3分)在平面直角坐标系X。)，中，已知点A (0,8),点B (6,8),若点P同时满足下列条件：点P到A,8两点的距离相等；点P到/x O.v的两边距离相等.则点尸的坐 标 为()y小 O%A.(3

17、,5)B.(6,6)C.(3,3)D.(3,6)【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点P在线段A 8的垂直平分线x=3上，根据角平分线的性质解答即可.【解答】解：点A (0,8),点B (6,8),点P到A,8两点的距离相等，.点P在线段A B的垂直平分线x=3上，.点P到A x O y的两边距离相等，.点P的坐标为(3,3)故选：C.【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键.1 0.(3分)己知直线/及直线/外一点R如图，(1)在直线/上取一点A,连接见；(2)作 山 的垂直平分线MN,分别交直线/,附 于

18、 点B,O；(3)以。为圆心，长为半径画弧，交 直 线 于另一点。；(4)作直线PQ.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()oA.OPQ丝OAB B.PQ/ABC.A P=B Q D.若 。=%，则NAPQ=60【分析】连接AQ,B P,如图，利用基本作图得到B Q 垂直平分,O B=O Q,则可根据 S4S”判断OA8安O P Q,根据全等三角形的性质得N A B O=/P Q O,于是可判断PQ/AB；由B Q垂直平分P A得到。尸=Q 4,若P Q=P A,则可判断物。为等边三角形,于是得到NAPQ=60,从而可对各选项进行判断.【解答】解：连接AQ,B P,如图，由作法得B

19、Q垂直平分以，O B=OQ,，/P O 2=/A O B=9 0 ,OP=OA,.O A B d O P。（SAS）；Z A B O=Z P Q O,J.PQ/AB-,垂直平分 必，：.QP=QA,若 P Q=M,则 P Q=Q A=a i,此时B4Q为等边三角形，则/A PQ=60.故选：C.【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段：作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了菱形的判定与性质.二、填空题：本大题共8 个小题，每小题3 分，共 24分.11.（3 分）五边形的内角和为5 4 0 度.【分析

20、】边形内角和公式为（-2）1 8 0 ,把=5代入可求五边形内角和.【解答】解：五边形的内角和为（5 -2）X 1 8 00=5 4 0 .故答案为：5 4 0.【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理.1 2.（3 分）如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3 cm,那 么 它的周长是7 c m 或 8 a”.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2 c m 和 3 c m,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解答】解：当 2是腰时，2,2,3能组成三角形，周长=3+2+2=7 （cm）；当 3是腰

21、时，3,3,2能够组成三角形，周长=3+3+2 =8 （cm）综上所述，周长为7 c/n 或 8 c/n,故答案为：或 8 a”.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.1 3.（3分）等腰三角形的一个角等于4 0 ,则它的顶角的度数是 4 0 或 1 0 0 .【分析】由等腰三角形中有一个角等于4 0 ,可分别从若4 0 为顶角与若4 0 为底角去分析求解，即可求得答案.【解答】解：分两种情况讨论：若4 0 为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为4 0 ；若4 0 为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：1 8 0 -4 0 X 2=

22、1 0 0 .这个等腰三角形的顶角的度数为：4 0 或 1 0 0 .故答案为：4 0 或 1 0 0 .【点评】此题考查了等腰三角形的性质.解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用.1 4.（3分）已知射线OM.以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以点 A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点2,画射线0 3,如图所示，则度B.【分析】首先连接AB,山题意易证得 4 0 8 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得NA0B 的度数.【解答】解：连接根据题意得：0 8=0 A=4 8,*.A 0 8 是等边三角形，：.ZAOB=60.【点评】此题考查了等边三角形

23、的判定与性质.此题难度不大，解题的关键是能根据题意得至IJ 0B=0A=AB.1 5.（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作上若k=2,则该等腰三角形的顶角为90度.【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.【解答】解：.Y=2,二设顶角=2 a,则底角=a,a+a+2 a=1 8 0 ,；.a=4 5 ,该等腰三角形的顶角为9 0 ,故答案为：9 0.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键.1 6.（3 分）如图，在平面直角坐标系xO），中，力EF可以看作是由 ABC经过若干次的图形 变 化（

24、轴对称、平移）得到的，写出一种由 ABC得 到 的 过 程：将 ABC沿），轴翻折，再将得到的三角形向下平移3 个单位长度（答案不唯一）.【分析】依据轴对称变换以及平移变换，即可得到由 ABC得到 O EF的过程.【解答】解：将4ABC沿），轴翻折，再将得到的三角形向下平移3 个单位长度，即可得到/.故答案为：将4ABC沿 y 轴翻折，再将得到的三角形向下平移3 个单位长度（答案不唯-）.【点评】本题考查坐标与图形变化-对称或平移，解题的关键是灵活运用图形的基本变换解决问题.1 7.（3 分）如图，/WBC 中，ZBAC=90,NC=30,AD_LBC 于。，BE 是/ABC 的平分线，且交A

25、O于点尸，如果A P=2,则AC的 长 为 6.【分析】先计算出NABC=60,再根据角平分线的定义得到/ABP=NBP=30,接着计算出/84=30,则 B P=A P=2,然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出P D,从而得到AC的长.【解答】解：,.NA=90,ZC=30,.NABC=60 ,；BE是/A B C 的平分线，:./ABP=NDBP=30,：ADBC,：.Z BAD=30 ,：.ZPAB=ZPBA,：.BP=AP=2,在 RtPBD 中，P D=B=1,2.*.AZ)=AP+PO=2+1=3,在 RtAOC 中，AC=2A=6.故答案为6.【点评】本题考查了角平分线的性

26、质：一个角的平分线把这个角分成相等的两部分；角的平分线上的点到角的两边的距离相等.18.(3 分)如图所示，在长方形ABCO的对称轴/上找点P,使得以8,P8C均为等腰三角形则满足条件的点P 有5个.AIBD【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5 个符合条件的点：作A B或D C的垂直平分线交/于P;在长方形内部在/上作点尸，使 孙=A8,P D=D C,同理，在/上 作 点 尸，使 PC=Z)C,A B=P B；三是如图，在长方形外/上作点P,使 AB=BP,D C=P C,同理，在长方形外/上作点P,使”=AB,PD=DC.【解答】解：如图，作 A 8或 OC的垂直平分线交/于P,如图

27、，在/上作点P,使 =A B,同理，在/上作点P,使尸C=OC,A BDC如图，在长方形外/上作点P,使 A B=B P,同理，在长方形外/上作点P,使 PO=OC,综上所述，符合条件的点P 有 5 个.故答案为：5.【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答.三、解答题：本大题共9 个小题，共 46分.19题 5 分，20题 4 分，2L-25题每题5 分，26,27题每题6 分.19.（5 分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，ZVLBC 中，B C A B A C,在 BC边上取一点 P,使/A P C=2/A 8C.小路的作法如

28、下：作4 8 边的垂直平分线，交 8 c 于点P,交 A 8于点Q连接AP.请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：是 AB的垂直平分线,（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；A Z A B C=Z B A P,（依据：等边对等角）.Z A P C=2 Z A B C.【分析】作 AB的垂直平分线交BC于 P 点，根据线段垂直平分线的性质得到AP=BP,再根据等腰三角形的性质得/A 8 C=N B A P,然后根据三角形外角性质得到/A P C=2NABC.【解答】解：如图，点 P 为所作;理由如下：PQ是A

29、 B的垂直平分线：.A P=B P,（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；.N A B C=/B A P,（依据：等边对等角）.Z A P C=2 Z A B C.故答案为B P,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；N B A P,等边对等角.【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.2 0.（4分）点。为AABC的边8 C的延长线上的一点，于点凡 交AC于点E,ZA=35,ZD=40,求乙

30、4CD 的度数.【分析】根据三角形外角的性质，得N A C Q=N B+N A.欲求/A C。，需求N B.由D FL A B,得NAFQ=90.由N A F =/8+/。，得/8=-/。=50.【解答】解：F，A8,A ZA FD=90 .N A F D=N B+N D,:.N B=/A F D-ND=90 -40=50.A Z A C D Z B+Z A=5 0 0+35=85.【点评】本题主要考查三角形外角的性质、垂直，熟练掌握三角形外角的性质、垂直的定义是解决本题的关键.21.(5 分)己 知：如图，F,C 是 AD 上的两点，SLAB=DE,AB/DE,AF=CD.求证：BC=EF.

31、【分析】证A3C丝OEF(SAS),即可得出结论.【解答】证明：AF=C,：.AF+CF=CD+CF,即 AC=DF,：AB/DE,Z A ZD,在ABC和 尸中，A B=D E,Z A=Z D A C=D F.,.ABC注A D E F (SAS),：.BC=EF.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明ABC丝OEF是解题的关键.22.(5分)己 知：如图，C是线段A 8的中点，Z A C E Z B C D.【分析】根据题意得出/ACZ)=/BCE,AC=8C,进而得出AOC丝BEC即可得出答案.【解答】证明：.C是线段4 B的中点，：.A

32、C=BC.：/A C E=/B C D,:.N A C D=N B C E,在 A Q C 和 B E C 中，N A=N B =/4.(1)作/B O C的平分线。E,交8 C于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线。E与直线AC的位置关系(不要求证明).【分析】(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可；(2)根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得 根 据 三 角 形 内 角 与 外 角 的 性 质 可 得 N2A=1 Z B Z)C,再根据同位角相等两直线平行可得结论.2【解答】解：(1)如图所示：(2)DE/AC平分 NB DC,NBDE=

33、LNBDC,2NA C =NA,ZACD+ZAZBDC,：.Z A=Z B D C,2，NA=NBDE,：.DE/AC.【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行.26.（5 分）如图，在等腰直角AABC中，NACB=90,P 是线段8 c 上一点，连接AP,延长BC至 点。，使 得 C Q=C P,过 点 Q 作于点”，交 AB于点M.（1）若/CAP=20,则 NAMO=65 .（2）判断A P与 QM的数量关系，并证明.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出N B A C=/B=45,则N%B=25,再由直角三角形的性质即可求解；（2

34、）连 接 A Q,由线段垂直平分线的性质得A P=A Q,则/Q A C=N B 4 C.再证NQMA=/QMB+45,/QAM=/QAC+45,然后证/B 4 C,得即可得出结论.【解答】（1）;ABC是等腰三角形，NACB=90,./B A C=/B=4 5 .：ZCAP=20,：.ZPAB=25.QHLAP 于点”,A ZAHM=90.；./A M Q=90-NB4B=90-25=65,故答案为：65.(2)解：AP=QM,证明如下:连接A Q,如图所示：V ZACB=90,：.ACPQ.又:CQ=CP,：.AP=AQ.：.ZQAC=ZPAC.：NQMA=NQMB+NB,NQMA=NQM

35、8+45.ZQAM=ZQAC+ZCAB,：.ZQAM=ZQAC+45.VACP2,AP_LMQ,ZBQM=ZPAC./Q4C=NB4C,：.ZQAC=ZMQB.：.ZQMA=ZQAM.：.AP=QM.【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明NQMA=NQAM是解题的关键.27.（6分）在ABC中，AC=BC,ZACB=90,点。在3C的延长线上，是的中点，E是射线CA上一动点，且CE=CQ,连接A O,作OFLAO,。尸交EM延长线于点F.E(1)如 图1,当点E在C 4上时，填空：A D =D F(填“=或(2

36、)如图2,当点E在C A的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断A D与D F的数量关系，并证明你的结论.【分析】(1)连接 B E,先证A C O名B C E(S A S),得4 Z)=B E,N E B M=N D A C,再证丝FDW (A S A),得B E=D F,即可得出结论；(2)连接 B E,先证A C。和B C E(S A S),得 A O=B E,Z A D C=Z B E C,再证B ME(A S A),得B E=D F,即可得出结论.【解答】解：A D=D F,理由如下:连接B E,如 图1所示：V Z A C B=9 0 ,A Z D C A=9 0 ,在 4 C O

37、和 8 C E中，CD=CE ZDCA=ZECB,AC=BC/.A A C D A B C E (S A S),：.AD=BE,N E B M=N D A C,V ZDAC+ZADC=90 ,ZFDM+ZADC=90 ,：.Z D A C=Z F D M,N E B M=Z FDM,是3。的中点，：.BM=DM,在 E8 M和尸D M中,，Z EB M=Z FDM,B M=DM，,Z EMB=Z FMD:AEBM m丛FDM(4SA),：.BE=DF,：.AD=DF,故答案为：=;(2)根据题意将图形补全，如图2所示：4 0与。尸的数量关系：AD=DF,证明如下:连接BE,：ZACB=90Q,

38、点。在BC的延长线上，/.ZA C D=ZBC=90,在ACO和BCE中，rA C=B C丝BCE(SAS),：.AD=BE,ZADC ZBEC,V ZACB=90,DFLAD,：.NBEC+/MBE=NADC+ZMDF=90,NMBE=NMDF,是8。的中点，在8M E和QMF中，Z MB E=Z MDF/!互 为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”.如图2,当NB A C=9 0 时，AM与O E之间的数量关系为A M=-1 D E；2 如图3,当NB A C=1 2 0 ,E =6时，AM的长为 2 .(2)猜想论证：在 图1中，当NBAC为任意角时，猜想A M与QE之间的数量关系，并给

39、予证明.(3)拓展应用如图 4,在四边形 ABCQ 中，AD=AB,CD=BC,ZB=90,ZA=60,C D=M，在四边形A8CO的内部找到点P,使得以。与P 8C互为“顶补等腰三角形”.并回答下列问题.请在图中标出点尸的位置，并描述出该点的位置为 点P是线段BC的垂直平分线与4 c的交点，；直接写出P 8 C的“顶心距”的长为 返.一 2 一【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得AM=BMCM=1BC,由全等三角形性2质可得8 c=E,即可求解；由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；(2)过点A作。于N,由等腰三角形的性质可得N D=L)E,2 2由全等三角形的性质可得N=AM,则

40、可得结论；(3)由“顶补等腰三角形”定义可求解；由“顶心距”的定义可求解.【解答】解：(1)：NBAC=90,NBAC+ND4E=1 8O：.ZDAE=ZBAC=90AB=AC,N8AC=90,AM IB C：.A M=B M C M=B C2：A B=A C=A D=A E,且NDAE=NBAC=90：.D A E/C A B (SAS)：.BC=DE,：.A M=DE2故答案为：12；/8AC=1 2 0,ZBAC+ZDAE=1 80：.ZDAE=f0,：AH=AC=AD=AE,ZDAE=60,ZBAC=1 2 0,.NABM=30,AOE是等边三角形：.AB=2AM,DE=AD=AE=6

41、=AB,：.AM=3故答案为：3(2)猜想：结论AM=Lf2理由如下：如图，过点A作ANJLED于NAE=AD,AN LED：.ZDAN=ZDAE,ND=L)E2 2同理可得：ZCAM=ZCAB,2；/D4E+NC4B=180,；./D 4N+/C4M=90,：ZCAM+ZC=90，：.ZDAN=ZC,：AMBC：./AMC=/AN)=90在ANO与4MC中，rZDNA=ZAMC-ZDAN=ZC,AD=AC：./AND/AMC CAAS),：.ND=AM：.AM=DE2(3)如图，线段8 c的垂直平分线交AC于点P,连接QP,BP,D理由如下：AD=AB,CD=BC,且 AC=AC.ACC丝

42、ABC(SSS)：.ZABC=ZADC=90,ZDAC=ZBAC=ZDAB=302A ZACB=60,AC2BC垂直平分BC：.PC=PB,且 NACB=60.PBC是等边三角形，：.ACPC,NBPC=60：.AP=PC,且/AZ)C=90：.AP=DP.AQP 是等腰三角形，ZADP=ZDAP=30Q,：.ZAPDUO,.NAP)+/8PC=1 80.%。与 PBC互为“顶补等腰三角形”.故答案为：线段BC的垂直平分线交AC于点P,如图，过点尸作PHL4。于点H,：/D4C=30,PHLAD,ZADC=90:.H P*A P,AC=2 C)=2愿：AP=PC：.AP=y3.“，=返2_.PBC的“顶心距”的 长 为 返2故答案为：返2【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，运 用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键.