2020-2021学年吉林省吉林市昌邑区亚桥高级中学高一（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年吉林省吉林市昌邑区亚桥高级中学高一（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）L复 数 篇=（）A.i B.-i C.-+-i D.-+7 14 4 5 52 .已知m,n为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若m a,m/p,则a口 B.若m _ L a,a lg,则Tn 6C.若 m u a,m L p,则 a _ L/?D.若 m u a,al/?,则 m 1 3.在 A B C中，b=c-cosA,则A A B C的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.”幸福

2、感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间 0,1 0内的一个数来表示，该数越接近1 0表示满意度越高.现随机抽取1 0位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,1 0,则这组数据的8 0%分位数是（）5.A.7.5 B.8 C.8.5如图：在平行六面体48。一4 8传1。1中，M为&G与B i。1的交点.若AB-a AD =b AAr=c 则卜列向量中与丽相等的向量是（）A.-a+-b+c2 2D.9B.吴+颉+EC.-la-1b+cD.+H6.修:经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是附唐时代国子监算学科的教科书

3、十部书的名称是：倜髀算经仇章算术豳岛算经（f五曹算经掰子算经糠侯阳算经佛丘建算经伍经算术陶古算经缀术小.小明计划从这十部书中随机选择两部书购买.则选择到 九章算术的概率是（）A.；B.。C.1 D.i210 5 57.A B C的面积为S,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 s =（a+b）2-c2,则t an C的值是（）7 B,-i C：D.-l8 .随着科技的发展，使用支付宝消费的方式逐渐风摩全国.某市公交公司统计了最近一个月使用支付宝乘车码的乘客年龄情况，如图所示，则下列说法中，正确的有（）超过半数使用支付宝乘车码的乘客年龄在3 0岁及以下；若照年龄进行分层样调查，年龄在 3 6

4、,4 0 的乘客取了2 4人，则年龄在2 4岁及以下的乘客被抽取了6 8人；可以预测，该市在使用支付宝乘车码的所有年龄段的乘客中，年龄在 3 6,4 0 的人数最少.年龄分布条形图二、多 选 题（本大题共4小题，共2 0.0分）9 .在 A A B C 中，|而|=2,|而|=1，AB+AC =2AP 则（）A.P F P C 0 B.P B +P C =0 1 1,_*RC.P B=-2 A B-2 A C D.AP BP =-41 0.在A B C中，角4,B,。所对的边分别是a,b,c下列说法中正确的是（）A.4 B是s讥4 s讥B的充要条件B.若 荏 前V 0，则 A B C为钝角三角

5、形第2页，共24页C.若4 8 C为锐角三角形，则si nA cosBD.三角形的面积公式为S =：a 2鳖1 1 .在力B C中，内角4 B，C的对边分别为a-，以 已 知 鬻=白，S-B C=平，且b =V3 则（）A.cosB=：B.cosB C.a +c =V3 D.Q+c =2 V3N21 2 .如图，在正方体4 B C 0 4 B i C i）i中，点P在线段B i C上运动，贝 联）A.直线8。1 平面4道道B.三棱锥P-46。的体积为定值C.异面直线4 P与4】。所成角的取值范用是 4 5。,9 0。D.直线G P与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为 日三

6、、填 空 题（本大题共4小题，共2 0.0分）1 3 .投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审,则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用.若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为：，复审的稿件能通过评审的概率为g各专家独立评审，则投到该出版社的1篇 稿 件 被 录 用 的 概 率 为.1 4 .如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至何处时测得公路北侧一山顶。在西偏北3 0。的方向上，行驶6 0 0 z n后到达B处，测得此山顶在西偏北7 5

7、。的方向上，仰角为3 0。，则此山的高度C D =m.15.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4 W m,则圆锥底面圆的半径 P七二等于 m.16.已知四棱锥P-4B C D 的底面ABCD是矩形，其中4。=1,AB=2,侧棱P4 1底面ABCD,且直线PB与CD所成角的余弦值为正，则四棱锥P-4BCD的外接球表面积5为.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.设向量五=(1,2),b=(2,1)?=(-2,1).(1)若向量五 A 3 与向量不平行，求；I的值；(2)若向

8、量石+表与向量石一下互相垂直，求日 的值.18.一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表:第4页，共24页网购金额(单位：千元)频数频率0,0.5)30.050.5,1)XP1,1.5)90.151.5,2)150.252,2.5)180.302.5,3yq合计601.00若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已 知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少

9、有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.1 9.如图，在矩形力B C D 中，AB=2AD =4,点E 是C D 的中点，将 Z M E 沿线段4 E 折起到P A E 的位置，尸为P B 的中点.(1)证明：C F/平面P A E；(2)若P B =2 V 3，求证：平面P A E，平面4 B C E.2 0.某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏4 8。内(不考虑宽度），知NB=4 C =1 2 0。，AB=BC =3 km,C D =6 k m,现在计划以A C 为一边种植一片三角形的草地 4 D E,为这群牛提供粮草，AE =1 2 0

10、.(1)求间的护栏的长度,(2)求所种植草坪的最大面积.第6页，共24页2 1.如图，多面体4BCDEF中，四边形4BCD是菱形，Z.ABC=6 0,兄4 1平面4BCD,FA/ED,AB=FA=2ED=2.(1)求二面角F-BC-4的大小的正切值;求点E到平面4FC的距离.2 2.关注大众身体健康的同时，也需关注大众的心理健康，某机构为了解市民心理健康状况，分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：问卷得分40,60)60,80)80,90)90,100专项心理等级 有隐患一般良好优秀已知专项心理等级为一般的有

11、680人.(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数;(2)在专项心理等级为有隐患的市民中，老年人占|,中青年占现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因，并从中选取2人列为长期关注对象，求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；(3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案是：以抽取样本为例，市民心理健康指数平均值不低于0.8,只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.（每第8页，共24页答案和解析1.【答案】C【解析】2 z =j iZ2X 2-20=_ 1 3g，2+2i(2-20(

12、2+2i)4 4,故选：C.根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解.本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.2.【答案】C【解析】解：对于4，若m a,m/?,贝以 或0：与0相交于直线1,且/m；故A错误；对于8,若m J L a,al,由面面平行的判定定理可知，若z n有可能在平行/?内，故8错误.对于C,若mu a,ml氏则由面面垂直的判定定理可知，只有a-L。，故C正确.对于D,若m u a,a l 3，则ml4或m 3，或mu 0.故。错误.故选：C.对于4,若m a,m/p,根据空间位置关系，当m平行于两个平面交线的时候，a与口 相交；对于8,根据空间位置关系，当Ml a,a

13、1 0时，m有可能在平面0内.对于C若讥在平面a内，ml。，由面面垂直的判定定理判断.对于D,若m在平面a内，a _ L ,由空间位置关系可得m 1 0或m/?或m u /?.本题考查了空间直线与平面，平面与平面的位置关系的判定，考查了空间想象能力，属于中档题.3.【答案】c【解 析】解：把C 0 S 4 J+c J：代入已知等式得：b=c.b 2+c 2-q 2,2bc 2bc整理得：a2+b2=c2,即C为直角.则 4 B C一定是直角三角形.故 选：C.利用余弦定理表示出C O S A,把C 0 S 4代入已知等式，整理得到。2+接=2,即可确定出三角形形状.此题考查了勾股定理、余弦定理

14、在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.4.【答 案】C【解 析】解：因为 10 x80%=8,所以数据3,4,5,5,6,7,7,8,9,10的80%分位数是|x(8 +9)=8.5.故 选：C.根据百分位数的定义，即可求出该组数据的80%分位数.本题考查了百分位数计算问题，是基础题.5.【答 案】A【解 析】第10页，共24页【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出丽.本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决.【解答】解：:询=函+9=c+BD=c+（BA+B C）=c+1（-a +b）

15、1 _ 1 _ _=-a +-b +c2 2故选：4.6.【答案】D【解析】解：健经十书是指汉.唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是附唐时代国子监算学科的教科书十部书的名称是：倜 髀 算 经 九章算术少施岛算经少伍曹算经痣小子算经便侯阳算经少侏丘建算经/历经算术少掰古算经少掇术.小明计划从这十部书中随机选择两部书购买.基本事件总数n =C：o =4 5,选择到 仇章算术少包含的基本事件个数m=盘 盘=9,则选择到 九章算术的概率是P w=v故选：D.基本事件总数n =%=4 5,选择到 仇章算术J）包含的基本事件个数m=盘 盘=9,由此能求出选择到 九章算术的概率.本题考查概率的求法，

16、考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围,属于中档题.首先由三角形面积公式得到SA.BC=a b sin c,再由余弦定理,结合2s=(a+b)2-c2,得出sbiC 2cosC=2,然后通过(sinC-2cosc=4,求出结果即可.【解答】解：v ABC=ctbsinC,由余弦定理：c2=a2+b2 2abcosC,二由2s=(a+b)2 可 得:absinC=(a+b)2-(a2 4-62-2abeosC),整理得si九 C 2cosc=2,A(sinC-2cosc

17、尸=4,.(sinC-2cosC)2 _ 4sin2C+cos2Ctan2C-4tanC+4.-=4,tan2C+l:.3tan2C+4tanC=0,C G(00,180),tanC4-3故选：B.8.【答案】C【解析】解：对于，由图可知使用支付宝乘车码的乘客年龄在30岁及以下的占30%+34%=6 4%,即正确；对于，由分层抽样可得年龄在24岁及以下的乘客被抽取的人数为手=102,即错第12页，共24页误；对于，由样本估计总体，由图可以预测，该市在使用支付宝乘车码的所有年龄段的乘客中，年龄在 36,40 的人数最少，即正确，即说法正确的有，故选：C.先阅读题意，再结合分层抽样判断即可.本题考

18、查了分层抽样，重点考查了阅读能力，属基础题.9.【答案】BCD【解析】【分析】由已知得P点是BC的中点，根据平面向量的数量积运算、向量的加减与数乘混合运算,结合图象分别计算，从而判断正误.本题考查了向量数量积的运算性质，向量的加减与数乘混合运算，属于中档题.【解答】由|荏|=2,|宿=1,AB+AC=2AP,显然P点是BC的中点，对于Z：PC-PB=PB-PC|cosl80 8,则a b,则sbM sinB,若si n A sinB,则ab,则4 B,故 A BsinA si n B 的充要条件，故选项A正确；AB 前 0 二N B 为锐角，无法判断 A B C 为钝角三角形，故选项B错误；若

19、A A B C 为锐角三角形，则4 +B,且4、B 都是锐角，故 A 8 0,故si n A si n(-B),即si n/cosB,故选项C正确；a b.asinB,:-=-,:.b=-,sinA sinB sinA二三角形的面积公式为s=labsinC1 asinB.厂 1 7 sinBsinC=2aS m C=2a故选项。正确；故 选:AC D.由正弦定理及性质大边对大角可判断选项A；第14页，共24页由向量数量积定 义 知 为 锐角，从而判断选项B；由 4 B C 为锐角三角形可得A 三一 B 0,从而判断选项C；由正弦定理及三角形的面积公式可判断选项D.本题考查了三角形的性质应用及正

20、弦定理的应用，属于中档题.11.【答案】AD【解析】解：.cose _ _b_ _,整理可得：sinBcosC =2sinAcosB sinC cosB,cosC 2a-c 2sinA-sinC可得 si n B c o sC +cosBsinC =si n(B +C)=si 兀 4 =2slnAcosB,v A G (0,7 1),sinA 0,可得c o s8 =故 A 正确，8 错误；B E(0,7 r),*8 =SB C=岁，且b=-ac-sinB=a c?解得a c =3.4 2 4由余弦定理可得：3 =a?+a c =(a +c)2 3 ac=(a +c)2 9,解得a +c =2

21、g,故 C错误，。正确.故选：AD.由已知等式化边为角求得角B,即可判断4 与B；再由三角形面积求得a c,结合余弦定理求得a +c,即可判断C 与D.本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，空间图形中直线与直线、平面的位置关系，异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用，属于较难题.在4中，推导出为 C 1 1 B D 1，D C 1J.B D 1，从 而 直 线 J 平 面 4GD；在B中，由&C平面4G。，得到P 到 平 面 的 距 离 为 定 值，再由&G D 的面积是定值，从而三棱锥P-

22、AiG。的体积为定值；在C 中，异面直线4 P 与a0 所成角即直线4 P 与 成 角，通过分析，即可知异面直线A P与aD所成角的取值范用；在D中，以。为原点，Z M 为%轴，D C 为y轴，C D 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为【解答】解：在4 中，；AC B i。1,力 i G -L BB,BD n B B 1=B、,BlD1,BB u 平面B B i。1，A _ L 平面BBS 4 _ L B O ，同理，Dg L BD V 4 1c l n D C1=C i，A 1 G，)G U 4 GD,.直 线B D 1 1 平面41

23、 GD,故 A 正确；在B中，:A M/B i C,40u 平面&GD,B C C 平面&C 10,当 C 平面4 1 C i。，点p在线段&c上运动，.P到平面4G。的距离为定值，又 4 G D 的面积是定值，.三 棱锥p-4G。的体积为定值，故 B 正确;在C 中，异面直线4 P 与4 1。所成角即直线4 P 与B1 C成角，力 8 道为等边三角形，当P 为&C 的中点E 1寸，AP I B 当P 与点名或C重合时，直线A P 与直线&C 的夹角为6 0。.则其成角的取值范用是 6 0。,90。,故 C 错误；在。中，以。为原点，D 4 为x 轴，D C 为y 轴，/为z轴，建立空间直角坐

24、标系，x第16页，共24页设正方体A B C D 4 B 1 G D 1中棱长为1,P(a,l,a),则。(0,0,0),4(1,0,1),6(0,1,1),西=(1,0,1)，鬲=(0,1,1)，C P=(a,0,a-l).设平面46。的法向量记=(x,y,z),则 伫 友=x +z=0,取*=1,得元(n D C 1=y +z=0,直线C1 P与平面4G。所成角的正弦值为：I市河_ _|乔 卜|殖 a2+(a-l)2-V3 一 凤2(岭2吟 当a =时，直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为争 故。正确.故答案选：ABD.1 3.【答案】38【解析】解：投到某出版社的稿件，先由两位初

25、审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用.若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为；，复审的稿件能通过评审的概率为:，各专家独24立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为：P=-xi +C 2 xi xi x-=-.2 2 z 2 2 4 8故答案为：o利用相互独立事件概率计算公式直接求解.本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力,是中档题.1 4.【答 案】100V6【解 析】【分 析】设此山高

26、做?n),在ABC。中，利用仰角的正切表示出B C,进而在AABC中利用正弦定理求得儿本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解.【解 答】解：设此山高九(6)，则8。=6九，在ABC中，ABAC=30,ACBA=105,ABCA=45,AB=600.根据正弦定理得 W=上，sin30 sm 45解得 h=100V6(m)故答案为：100遍.1 5.【答 案】43【解 析】解：作出该圆锥的侧面展开图如右：由已知得OP=OQ=4,PQ=4/3所以COSNPOQ=一%故O Q =Z-U

27、r-OQ 2nT，设圆锥的底面半径为r,则2“=4 x拳 所以丁 =43第 1 8 页，共 2 4 页故答案为：I画出该圆锥的侧面展开图，利用解三角形的知识求解.本题考查圆锥的侧面展开图的性质以及扇形的弧长公式，属于基础题.16.【答案】6 7 r【解析】解：如图，四棱锥P 4 B C D 可补形为长方体.因为A B C D,所以直线PB 与C D 所成角等于直线PB 与Z 8 所成角，即co s 4 P8 4 =,5所以 t an/PB A =臆=%P A=1.设四棱锥的外BP接球半径为R,则(2R)2=12+M+2 2,即4 R 2=6,所以表面积为6 7 r.故答案为：6 7 r.因为2

28、 4,底面A B C。，4 8 C D 为矩形，故把四棱锥P-A B C。可补形为长方体进行求解.本题考查空间几何体的外接球，可用补形法求解，属于基础题.17.【答案】解：(1)五=(1,2),方=(2,1)，c=(-2,l),向量丘一；1 3=(1 一2九2 ;I)与向量不平行，.与=平，解得；1 =：.一 Z 1 4(2)若向量石+力与向量石一力互相垂直，(6 +c)(6 c)=(片c2)+(2-1)d-c=0+(M2-1)-(-3)=0,jU 2 =,二 =+.【解 析】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.(1)由题意利用两个向量平行的性质，求得;I的

29、值.(2)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值.18.【答 案】f3+x+9+15+18 4-y=60解：（1）由题意得：18+y=2（3+X+9+15 3化简得：解 得：X=9,y=6,（Zx=3y/故p=0.15,q=0.1,补全的频率直方图如图示:贝匹=0.25 x 0.05+0.75 x 0.15+1.25 x 0.15+1.75 x 0.25+2.25 x 0.3+2.75 x0.1=1.7（千元），又；0.05+0.15+0.15=0.35,故这60名网友的网购金额的中位数为：1.5+0.3=1.8(千元),平均数1.7 2,中位数1.8 2,故根据估算

30、判断，该网店当日不能被评为 皇冠店”.【解 析】第20页，共24页本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是常规题.根据频数和与频数的计算问题，求出X与y 的值，再计算P与q的值；求出小组(0 5 1 与(2.5,3的 鬻，得出对应纵坐标，画出完整的频率分布直方图；组距(2)根据频率分布直方图，计算平均数和中位数即可.19.【答案】证明：(1)取4B中点G,连结FG,CG,在矩形4BCD中，AB=2AD=4,点E是CD的中点，F为PB的中点,FG/PA,CG/AE,v FG C CG=G,PA D AE=A,平面产CG 平面PEA,。?(=平面打刀,；.JAH2+AB2-

31、2 x A H x A B x cosBAH=J2 +I 6-2 x V 2 x 4 x y =V10v PB=2V3,PH2+BH2=PB2,PH 1 BH,=P H I 平面 ZBCE,v PH u 平面PAE,平面PAE 1 平面/BCE.【解析】(1)取4B中点G,连结FG,C G,推导出FGP 4 C G/A E,由此能证明平面FCG平面P E A,从而CF平面R4E.(2)取4E 中点H,连结PH、B H,推导出P”_L4E,PH 1 B H,从而P”_L 平面A B C E,由此能证明平面P4E L平面4BCE.本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间空间中线线、线面、面面间的

32、位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.【答案】解：(1)如图，连接AC,在 4 B C 中，Z B =1 20 ,AB=BC =3 km,根据余弦定理得，AC2=A B2+BC2-2AB-BC -co s l20 =9 +9-2 x3x3x=27,则 A C =3 V3.:NB =120,AB=BC,ABC A=30,乙4c o=9 0,且C D =6 km,AD =slAC2+C D2=V 27 +36=3V 7(fc m):(2)在 A C E 中，AD =3 用,N E =120。，根据余弦定理，63=A E2+D E2+A E-D E 3 AE -DE,当且仅当4E =D E =VH时取等号，:.AE D E 21,-AE -D E-s in l 200 3 AE -D E,从而得出A E -D E 0,8,100所以只常发放心提指导材料，不需要举办大讲堂活动.【解析】由频率分布直方图求a 的值，再由概率公式及统计的知识解决问题.本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查概率公式的应用，属于基础题.第24页，共24页