2021-2022学年北京五十七中高二（上）期中数学试卷（解析版）.pdf

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1、2021-2022学年北京五十七中高二（上）期中数学试卷一.选择题（每题4 分，共 40分）1 .复 数 碧-的 共 辗 复 数 是（）2 i-l3 3A.1 B.i C.-i D.i5 1 5 12.不 等 式 工 1成立的一个充分不必要条件是（）XA.O X C.0 xl D.xac B.acb C.cab D.bca6 .已知圆M的方程为f+V-6 x-8 y=0,过点P（0,4）的直线/与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为A C,弦长最长的弦为B。，则四边形A B C。的面积为（）A.3 0 B.4 0 C.6 0 D.8 07 .如图，已知发用=1 0,图中的一系列圆是圆心分别A,B

2、的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3,，n,利用这两组同心圆可以画出以A,B为焦点的椭圆，设其中经过点M,N,P的椭圆的离心率分别是e”，eN,ep,则（)A.eMe,iep B.epeM=eN C.eMeNep D.epeMGp,K AD LAB,BCX.AB,AO=5,BC=10,43=6,NAPD=N CPB,则点AABP的面积最大值为（）A.6 B.12 C.181 0.关于曲线C：/+产=1,给出下列四个命题：曲线C 关于原点对称；曲线C 关于直线、=对称曲线C 围成的面积大于7 T曲线C 围成的面积小于T T上述命题中，真命题的序号为（）A.B.C.D.24D.二.填空题

3、（每题5 分，共 30分）11.已知椭圆*+4产=1的离心率为乎，则实数m等于.12.已知圆 C：（x-6）2+（y-8）2=4 和两点 A（0,-m）,B（0,tn）（机 0）,若圆C 上存在点P,使得/APB=90,则，的最大值为13.已知点 p(x,y)是直线 fcv+.y+4=0(Q 0)上一动点，PA,P8 是圆 C：x2+/-2y=0的两条切线，A、B是 切 点,若四边形P 4 C 8的最小面积是2,则 上 的 值 为.2 21 4 .如图，椭 圆 片 三-l(a b 0)的左、右焦点分别为、F2,过椭圆上的点尸作y轴 的 垂 线，垂 足 为Q,若四边形为菱形，则 该 椭 圆 的

4、离 心 率1 5 .已知函数/(x)=&s i n 3 X,g(x)=&cos 3 X,其 中3 0,A,B,C是这两个函数图象的交点，且不共线.当3=1时，Z VI B C面 积 的 最 小 值 为；若存在4 B C是等腰直角三角形，则 3的 最 小 值 为.1 6 .如图，正方体A B C。-A i fi i GDi的棱长为2,点P在正方形A B C。的边界及其内部运动.平面区域卬由所有满足A P粕 的 点p组成，则w的面积是；四面体P-AtBC的体积的最大值是三、解 答 题(共6小题，满分0分)17.函数/(x)=C O S(7TX+(p)(0(p 和三角形A O E 所在平面互相垂直，

5、NB/CD,ABLBC,N D A B=60 ,A B=A D=4,AEDE,A E=D E,平面 A B E 与平面 C E 交于 E E(1 )求证：CD/EF；(I【)若 E F=C ),求二面角A-BC-F余弦值；(H I)在线段3 c上是否存在点朋使得AM,E M?若存在，求 8 M 的长；若不存在，说明理由.19.若存在 A B C 同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(I )求/A的大小；(I I )求 c o s B 和 a的值.条件：s i nC=14条件：a y c；O条件：6-4=1;条件：b c o s A=-,.2 22 0

6、.椭圆*Z 工=1上一点尸.49 24(1)APQ B为直角三角形，求点尸的坐标;(2)P FJP F 2 0，求点p横坐标取值范围；(3)|P F；+P F 2 1的取值范围.21.P是 圆/+产=4上的动点，P点在x轴上的射影是。，点M满足而=2而.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过P(l,5)作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.(3)过点N(3,0)的直线/与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以O A,OB为邻边的平行四边形O A E B的顶点E的轨迹方程.22.设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x e A,都有x-1&4或x+l e A,则称A为自邻集.记集合

7、4,=1,2,n(22,nGN)的所有子集中的自邻集的个数为所.(I)直接写出4的所有自邻集；(I I)若为偶数且2 6,求证：4的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数;(H I)若 心4,求 证:an2an.i.参考答案一.选择题(每题4分，共40分)1.复 数 碧-的 共 轨 复 数 是()21 133A.q i B.i C.-i D.i51 5 1【分析】根据已知条件，结合共加复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.解 2+i _(2+i)(-2i-l)_-5i.解：*2TT-(2 i-l)(-2 i-l)=5-1,六复数患-的共辗复数是21-1故选：D.2.不等式工

8、1成立的一个充分不必要条件是()XA.0 x 1 C.0 x l D.xacB.acbC.cabD.bca【分析】利用函数/(X)的解析式以及函数的周期性和奇偶性，将“=f(5),b=f(2)，c=f(-U)进行转化，然后求出数值比较即可解：因为当在(0,1)时，f(x)=2*+x,又一(x+2)=/(元),且/(x)为奇函数，所以/(5)=f(3)=f(1)=0,即=0,1 1b=f(百)=2,卷 0，故。，c _LC=f (-5)=_f (1)=-f e )=_ 2 2 卷 0,故 c ac.故选：A.6.已知圆M的方程为好+尸-6犬-8y=0,过点P(0,4)的直线/与圆M相交的所有弦中

9、，弦长最短的弦为4 C,弦 长 最 长 的 弦 为 则 四 边 形A B C C的面积为()A.3 0 B.4 0 C.60 D.80【分析】根据题意，把圆M的方程化为标准方程，求得圆心坐标与圆的半径，结合直线与圆的位置关系可得4 C、8。的值，进而分析可得答案.解：圆 M-.jr+y2-6x-8y=0 可 化 为(x-3)2+(y -4)2=25,其圆心为(3,4),半径r=5,可得点尸(0,4)在圆内.过点P(0,4)的最长弦。8为圆M的直径，则|。8|=1 0,最短的弦为过P与 直 径 垂 直 的 弦，且网P|=3,以1=2每 石=8，又由 A C 1.B D,则四边形 A B C D

10、的面积 S=2XSAABC=AXACXB)=40；故选：B.7 .如图，已知H8|=1 0,图中的一系列圆是圆心分别4,B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3,n,利用这两组同心圆可以画出以A,8为焦点的椭圆，设其中经过点M,N,P的椭圆的离心率分别是e”，eN,e P，则()A.eM=eN=ep B.ep eM=eN C.eM N ep D.ep eM eN【分析】通过数格子，得到焦半径。，在分别求出过P,M,N的椭圆的长轴2圆 根据椭圆的离心率e=,求出椭圆的离心率，再比较其大小.a解：通过数格子，得到椭圆的焦距一定为1 0：2 c=1 0 c=5一下是各点的对应表：【指经过该点

11、的圆的半径】以A为圆心的圆的半径对 P：1 3对M：3对N：5所以由椭圆的第一定义得到：以B为圆心的圆的半径31 17对过 P 点的椭圆：|PA|+|PB|=2 4=|3+1 3|=1 6,a=8,e 工 毒P a 8对过 M 点的椭圆：MA+MB=2a=3+i=l4,。=7,e1mf a 7对过 N 点的椭圆：I I M 4I+I N例=2。=|5+7 =1 2,a=6,N a 6所以显而易见：C P C M1,故”的最大值为附=，所以?=士,故选：C.9.如图，直二面角 a-A B-,Pea,C e p,D G p,J.A D L A B,B C L A B,A D=5,B C=1 0,A

12、 B=6,Z AP D=Z CP B,则点 A B P的面积最大值为（）C.1 8D.2 4【分析】利用直二面角，得到 PA O 与aP BC是直角三角形，由 P A D s P B C,得到P B=2 P A,作 垂足为 M,令 A M=r,从而得至l j PA?-产=4 如 2 -(6 -D 2,求出 P A,进而求出P M,由二次函数的性质求解P M的最大值，即可得到答案.解：由已知，直二面角a-A B-0,且 AB为平面a和平面0的交线,因为C 6 0,。印，所以 D 4 C B，C M 0,又。A _L A B,C B A.A B,所以 M J _a,C B la,则 PA O与AP

13、 BC是直角三角形,又 N A P D=N B P C,故 PA O s PB C,又 A O=5,B C=1 0,所以 PB=2 PA,作垂足为M,令 A M=t,在两个Rt A PA A f和Rt Z i PB M中，P M是公共边且PB=2PA,所以 P M _ p=4PA 2 -(6-/)2,解得尸出=1 2-今,所以 PM=/1 2-4t-t2=V-(t+2 )2+1 6;则P M的最大值为4,所以PA B面积的最大值为S X 6 X P 6 X 4=1 2.-2 m2 K 2故 选:B.1 0.关于曲线C：d+y2=l,给出下列四个命题：曲线C关于原点对称；曲线C关于直线y=x对称

14、曲线C围成的面积大于n曲线C围成的面积小于i r上述命题中，真命题的序号为()A.B.C.D.【分析】将方程中的x换为-x,y换 为-y,方程不变，判断出对；通过将方程中的x,y互换方程改变，判断出错；由方程上的点的坐标有界判断出对，错.解：对于，将方程中的x换 成-x,y换 成-y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故对对于，将方程中的x换为y,y换为x方程变为俨+f=l与原方程不同，故错对于，在曲线 C 上任取一点 M(xo,yo),x o4+yo2=1,*/t x o l 0)上一动点，PA,P8 是圆 C：-2y=0的两条切线，A、8 是切点，若四边形PACB的最小面积是2,

15、则 大 的 值 为 2.【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2,转化为三角形P8C的面积是1,求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解A的值.解：圆 C：/+炉-2y=0 的 圆 心(0,1),半径是r=l,由圆的性质知：S PACB=2S&PBC,四边形P A C B的最小面积是2,.SM B C的最小值S=l=*rd (d 是切线长):d最 小 值=2圆心到直线的距离就是P C的最小值,V l2+22=%0,：.k=2F i、F2,过椭圆上的点P 作 y轴的垂线，垂足为Q，若四边形QBPQ为菱形，则该椭圆的离心率为_ 1三【分析】根 据 题 意 可 得P F i

16、=2X2cXcos30 =2 c,根据椭圆定义有PFi+PF22，c+2c=2a,即可求解.解：根据题意可得QQ=FIB=PF2=2C,在直角三角形QQO中，因为Q B=2c,F Q=c,所以/QF1 0=6 0。，.-.P F i=2X2cXcos30 =2后，PF+PF 22 c+2c=2a,.K _-c _ r 1 _ 百-1,a 愿+1 2故答案为：返 工.215.已知函数/(x)=J，si n3X,g(x)=&c o s 3 x,其中 3 O,A,B,C 是这两个函数图象的交点，且不共线.当3=1时，Z V I B C面 积 的最小值为2n；IT若存在AB C是等腰直角三角形，则 3

17、 的 最 小 值 为.一 2 一【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积.利用等腰直角三角形的性质的应用求出3 的最小值.解：函数f(x)=5/务i n3x,g(x)=J C O S 3X,其中3 O,A,B,C是这两个函数图象的交点，当 3=1 时，f(x)=&s in x，g(x)=&cosx.所以函数的交点间的距离为一个周期2Tt.高为加 亨 冷 亚=2所以：SA A BC=y-27 T.(1+1)=27 1.如图所示:当 3=1 时，ABC面积的最小值为2n；若存在AABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则磊二=2（亚

18、喙 右 李）解得3 的最小值为夕TT.TT故答案为：2ir,16.如图，正方体43CQ-A归C M 的棱长为2,点 P 在正方形A8C。的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足A F（内 的 点 P 组成，则 W 的面积是 二 ；四面体P-A l8 c的体积的最大值是4 -3-【分析】由已知可得平面区域卬是以A 为圆心，以 1为半径的3 圆面，由圆的面积公式求 得 W的面积；由题意可得，当P 在边A。上时，四面体p-4 B C 的体积有最大值，再由棱锥体积公式求解.解:连 接 A P,则AiA_LAP,：AA=2,A1P=V5.：.AP=,以A 为圆心，以 1为半径作圆交正方形ABC。所得4

19、圆，1oJT.w的 面 积 是:X 71 X l2 ：4 4由 题 意 可 知，当p在 边AD上 时，四 面 体P-A BC的 体 积 的 最 大 值 是1 1 4y X y X 2 X 2 X 2-J-故答案为：告.三、解 答 题(共 6 小题，满分0 分)1 7.函数/(x)=cos(nx+(p)(0q)-)的部分图象如图所示.(I)写出3 及图中M)的值；(H)设 g CO=/(x)t/(刈4)，求函数g(x)在 区 间 劣 泉上的最大值和最小值.可得回的值.，可得p的值.c o s（Ttro+），6(II)先求得g(X)的函数解析式，由 x -y.y .可得兀r x/兀4/-2兀r，从

20、而可求函数g(X)在 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值.4 0【解答】(共 13分)解：(I)V-=cos(0+(p)2和三角形AOE所在平面互相垂直，AB/CD,AB1BC,N D A B=6 0 ,A B=A D=4,AEDE,A E=D E,平面 ABE 与平面 CDE 交于 E(1)求证：CD/EF；(I I)若E F=C D,求二面角A-B C-F余弦值；(I I I)在线段2C上是否存在点M使得A M L E M?若存在，求B M的长；若不存在，说明理由.【分析】(/)证明CDABE,根据线面平行的性质即可得出CL E F；(/)建立空间坐标系，求出平面ABC和平面BCF

21、的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；(/)设CM=f CB,求出京和而，令百”而=0求出f的值得出结论.【解答】(I)证明：JAB/CD,ABu平面ABE,CD(t平面ABE,.CD 平面 ABE,又CDu平 面C D E,平 面C D E Q平面ABE=EF,J.CD/EF.(I I)取 AD的中点N,连接EN,BN.：AE=DE,：.ENAD.又平面ADE_L平面ABC。，平面AOECl平面ABCO=AD,ENu平面A3E,；.EN_L 平面 ABCD：AN=AD=2,48=4,ZDAB=60,2B=V22+42-2X2X4X cos60=2V3.：.AN2+BN2=AB2,B

22、 P AN LBN.AOE是等腰直角三角形，AD=4,：.EN=2,以N 为原点建立空间直角坐标系N-x y z,如图所示，贝 ij N(0,0,0),3(0,273-0)，C(-3,0),尸(-1,2).BF=(1-V3 2),BC=(-3,-如、0)n*BF=0,1-x-/y+2z=0,设平面3 c 尸的法向量为=(x,y,z),则 一 即 ”二nBC=0,-3x-V3y=0.令y R l，则x=-l,z=l.于是n=(-l,1).又平面ABC。的法向量为而=(o,o,2)1 C O S口,N E=n N EIni INE I2 h近2X75 s由题知二面角A-BC-F为锐角，所以二面角A

23、-B C-F的余弦值为逅.5(III)不存在满足条件的点，使 A M,E M,理由如下：若则京 而=0.因为点M 为线段BC上的动点，设而则 M(3f-3,仃+,0),京=-5,禽+退，0),而=(3-3,(3/-3)(3/-5)+(板+F)2=0,化简得：2产-3 打3=0,方程无实根.所以线段8 C 上不存在点M,使1 9.若存在A A B C同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(I)求N A的大小；(I I)求cosB和a的值.条件：；1 4条件：a=c；条件：b-a=；条件：b c os A=【分析】若选择，JT(I)由正弦定理可得Sitvl

24、的值，结 合 人。=1,可求0 N A c,可得0 N C V-了，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式可求cosB,进而可求sin B,利用正弦定理即可求解的值.若选择，R JT(I)利用正弦定理可得s iM的值，由于bcosA=-三，可得范围即可求2 2解乙4的值；JT(II)由题意利用大边对大角可求0|,可 求b的值，根据正弦定理可得&解：若选择，(I )因为ac，s i nC=叵，由正弦定理可得s i nA=里 包 里=返，3 S3 1 4 c 2jr jr因为所以a Vb,可得OVNAV-y,可得N 4 =-./o7JT(I I)在 A

25、B C 中，a c，所以。c,所以 OVNCVo 4因为s i n C=g，可得 c os C=d i-s i 门 2，=3，所以C O S8=C O ST T-(A+C)=-c os(A+C)=s i nA s i nC -c os A c os C=X -X-2 1 4 2 1 4_ 1-T所以 sin S=V l-c o s2B=-W3 返由正弦定理可得T-=F，可得7 匕=8。，b a因为。-a=l,所以a=7.若选择,(I )因为a c，sin C=2，由正弦定理可得s i nA31 4R在 A 5 C 中，bcosA=-y,a*s i nC _ V3一 ,2所以 V N A VT

26、C,可 得/A=等.O7(I I)在 A B C 中，a=c O所以ac,IT所以 0 V N C V ,因为s i nC=，：J 可得 c os C=J _s i n2 c=今，所以 c os B=c os n-(A+C)=-c os(A+C)=s i nA s i nC -c os A c os C=-X X -2 1 4 2 1 41 1IT所以 sin S=V l-c o s2B=-1 4R因为 bcosA=-,5所以 Z=p=5,T返X 5由正弦定理可得4=*1芋=1=7.s i nB 5 V 31 42 22 0.椭圆&二二=i上一点P.4 9 2 4 1(1)AP Q B为直角三

27、角形，求点P的坐标；(2)画 画0,求点P横坐标取值范围；(3)|PF；+PF 2 1的取值范围.【分析】(1)分A PQF 2的直角顶点为三种情况时，求出P的坐标；(2)设尸的坐标，代入椭圆的方程，可得尸的横纵坐标的关系，代入数量积中，可得P的横坐标的范围；(3)将点P的坐标代入可得和向量的坐标，进而求出它的模的表达式，再由P的横坐标的范围求出和向量的模的范围.2 2解：(1)设P(xo,y o),可 得 为 _+也 _=1,4 9 2 4由椭圆的方程可得=4 9,6=2 4,所以可得c2=a2-按=4 9 -2 4=2 5,解得c=5,可得尸(-5,0),F2(5,0),当/PF|F 2为

28、直角时，则x o=-c=-5,可 得 仇|=芷=啰,a 7这时P(-5,土学)，当N PF 2产 为直角时，xo=c=5,可 得 仇|=年，这时P(5,土 丝)；当为直角时，则 晤 庭=0,贝ij (xo+5,y o),(xo-5,泗)=0,B P xo2-2 5+yo2=O,联立加2 -2 5+2 4 （1 -21）=0,49整理可得沏2=祟，州2=2 5,4 8,乙。3 D所以可得入。=x泗=土 型 巨，5 7综上所述：AP Q B为直角三角形，求点P的坐标（-5,土 孕）或（5,土 孕）或（土7 7二返）或”一 返）；5 7-5 7（2）晤，庭0,则（羽+5,yo）（a-5,yo）0,即

29、为2 _ 2 5+时 0,2 2将 为 _+为=1,49 242代入可得冽2-2 5+2 4 （1 -X0 ）0,49可 得 的 言，可得Xo 2 或Xo -25 5 5而尸在椭圆上，所以血|转化求解顶点E的 轨 迹 方 程 为 4 y2_6X=O(03解：(1)设 M(x,y),则 D(x,0)由市=2 而，知P(x,2 y),.点P在圆3+产=4上，2：.x2+4y2=4,故点M的轨迹C的方程为工_+)2=1,4 -由 题 意，可知斜率上存在，设/：y-*=A(x -1)代入椭圆方程，消去y可得(1+4 二)f-4 k(2&-1)x+(1 -2A)2-4=0,14 k因为过点。(1，4)引

30、曲线c的 弦 恰 好 被 点。平分，所以-2 =1,解得女2l+4 k*=_ 2此时 (),所以直线/：(x-1),即/：y=g+l.(3)设 E(x,y),由题意知/的斜率存在，2设/：y=k(x -3),代入+y 2=l,4 得(1+4-)X2-24k2x+36lc-4=0,=(-241c)2-4 (1+4 Z:2)(36 R -4)0,得后、24 k2设A(x i,y),B(X 2,2),贝-5、1+4 1.、八 24 k3 八 -6 k*.y+yi=k(x i-3)+%(%2-3)=k(为+及)-6k=-6k=y.l+4 k2 l+4 k”.四边形0AE 8为平行四边形，.,工、,24

31、 k 2-6 k O E=O A+O B=(x i+x 2,+”)=(-y，2)，l+4 k l+4 k”又 羽=(X,y),24 k2x=-2.I l+4 k s ,-6 ky=-Fl+4 k消去 火得，f+4 V-6 x=0,50 VxB,3顶点E的轨迹方程为3年6=0 (0 x -).22.设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意X 6 A,都有x-1 6 A或x+le A,则称4为自邻集.记集合4=1,2,(22,n G N)的所有子集中的自邻集的个数为a“.(I)直接写出4的所有自邻集；(H)若为偶数且 26,求证：4的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数;(I I I)若

32、心4,求证：a,W 2M l.【分析】(I)通过题意可写出在4所有自邻集即在4范围内组成的集合.(I I)利用配对原则证明对于4的含5个元素的自邻集8=X|,X 2,X 3,X 4,X5),不妨设 X|X 2 X 3 C l n =bl+b3+,+bn-+b,u an=C l n-i+bnr下面只需要证明：bnan.y.自邻集含有-2,n-1,这三个元素自邻集含有-1，这两个元素，不含-2,且不只有-1,这两个元素，自 邻 集 只 含 有 这 两 个 元 素，这样的自邻集只有1个.可 得 与。”一|的关系，解：(I )4 的所有自邻集有：1,2,3,4,1,2,3,2,3,4),1,2,2,3

33、,3,4.(I I )证明：对于4的含5个元素的自邻集B=X 1,X2,X3,X4,X 5),不妨设 X lX 2X 3X 4 X 5.因 为 对 于 都 有 X L 1 C B 或 M+le B,i=l,2,3,4,5,所以 X 2=X|+1,X4=X5-I,X3X2+1 或 冷=%4-I.对于集合 C=+1 -右，+1-X 4,n+1 -X3,n+1 -X2,n+-x i,因为 1WX I X 2 X 3 X 4 X 5 W，所以 1 W”+1 -i=l,2,3,4,5,n+1 -X 5 n+1 -x i n+l-x j n+l-x2所以 b K a.-i,所 以 若 心 4,求证：an2 an.i.故 n4 时，a”这2azi 一 得 证.