2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选 择 题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.（2 分）方程/-6 x-1=0 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A.1,-6,-1 B.1,6,1C.0,-6,1D.0,6,-12.（2 分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意.月饼是首选传统食品,不仅美味，而且设计多样.下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）B.D.3.(2 分)将 抛 物 线 向 下 平 移 1个单位长度，得到的抛物线是()LAA .y 1 2 -1 1 BD.7=1 2+1 11C.y=2(x

2、 l)2 D.y=(x +l)24.(2 分)用配方法解方程f+2 x-3=0,下列配方结果正确的是()A.(x-1/=2 B.(x-1#=4 C.(x+1)2=2 D.(x+1)2=45.（2 分）如图，AB是半圆。的直径，点 C,。在半圆。上.若 NABC=50,则N8OCC.130 D.1406.（2 分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP旋转，得到M 1 M P,则旋转中心是（）A.点 A B.点 B C.点 C D.点 O7.（2 分）己知抛物线其中H 0,下列说法正确的是（）A.该抛物线经过原点B.该抛物线的对称轴在），轴左侧C.该抛物线的顶点可能在第一象限D.该抛物线

3、与x 轴必有公共点8.（2 分）如图，在aABC 中，Z C=9 0Q,AC=5,2 C=1 0.动点 M,N 分别从 A,C 两点同时出发，点 M 从点A 开始沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点 N 从点 C 开始沿CB向点B 以每秒2 个单位长度的速度移动.设运动时间为r,点 M,C 之间的距离为y,/XMCN的面积为S,则 y 与 r,S 与，满足的函数关系分别是（）A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）9.（2 分）若点A（5,5）与点B 关于

4、原点对称，则点B 的坐标为.10.（2 分）若 点（0,a）,（3,b）都在二次函数y=（x-1）2 的图象上，则与6 的大小关系是：a b（填或 =1 1.（2 分）如图，矩形A B C Z）中，A B=3,2 c=4.以点4为中心，将矩形A B C Q 旋转得到矩形ABCD,使得点笈落在边A D k,此时08的长为.DD A B1 2.（2 分）如图，在平面直角坐标系x 0），中，抛 物 线 产 加+法+。的对称轴为直线x=2,与 x轴的一个交点为（1,0）,则关于x的方程a x 2+x+c=0 的解为.1 3.（2 分）如图，C,。为 A8的三等分点，分别以C,。为圆心，CD长为半径画弧

5、，两弧交于点E,F,连接E F.若 48=9,则 所 的长为.1 4.（2 分）1 27 5 年，我国南宋数学家杨辉在 田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积8 6 4平方步，宽比长少1 2步，问宽和长各几步.若设长为x步，则 可 列 方 程 为.1 5.（2 分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A,B,连接A B,再作出A B的垂直平分线，交A B于点C,交油于点。，测 出 AB,C 的长度，即可计算得出轮子的半径.现测出A B=4C 3 CDlcm,则轮子的半径为

6、cm.IDB16.(2 分)已 知 M(xi,yi),N Cx2,”)为抛物线(aW O)上任意两点，其中OWxi+px+q的解集.X20.(5 分)如 图，A,B 是。上的两点，C 是油的中点.求证：=AC 2 1.（5分）已知：A,8是直线/上的两点.求作：4 8 C,使得点C在直线/上方，且N 4 C B=1 5 0 .作法：分别以A,8为圆心，A B长为半径画弧，在直线/下方交于点O；以点。为圆心，O A长为半径画圆；在劣弧而上任取一点C （不与4,8重合），连接AC,BC.Z AB C就是所求作的三角形.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明

7、：在优弧循上任取一点M（不与4,B重合），连接AM,BM,OA,OB.OA=OB=AB,是等边三角形.A Z AO B=6 0.V A,B,M 在。上,A ZAMB=ZAOB（）（填推理的依据）.：.ZAMB=3 0.,/四边形A C B M内接于。0,.,.N AM 8+N AC B=1 8 0（）（填推理的依据）.A Z AC B=1 5 0 .-A B I2 2.（6分）已知关于x的一元二次方程2-2奴+/-1=0.（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围.2 3.（6分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方

8、向为x轴方向，1?为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在8点处达到最高位置，落在x轴上的点C处.小明某次试投时的数据如图所示.(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式;(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离0 C的长度)不小于1 0%,成绩为优秀.请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀.2 4.(5分)关 于x的一元二次方程/+6 x+c=0经过适当变形，可以写成(x -n)=p(山W”)的形式.现列表探究/-4 x-3=0的变形：变形mnP(x+1)(x -5)=-

9、25-2x(x -4)=3043(x -1)(x -/)=61t6(x-2)2=7227回答下列问题：(1)表格中f的值为;(2)观察上述探究过程，表格中，与“满足的等量关系为；(3)记/+6 x+c=0 的两个变形为(x -m)Cx-n)=p i 和(x-m2)(x -M 2)=p 2 (p iWp 2),则 工也的值为2 5.(6分)如 图，A B为。的直径，弦C D与A B交于息E,ZC=7 5 ,ZD=45 .(1)求/A E C的度数；(2)若A C=1 2,求C O的长.A2 6.（6分）在平面直角坐标系x。），中，抛物线y u ax Z+Z j x+Z /0）经过点4 （1,-1

10、）,与y轴交于点B.（1）直接写出点B的坐标；（2）点P（m,n）是抛物线上一点，当点尸在抛物线上运动时，存在最大值N.若N=2,求抛物线的表达式；若-9 a -2,结合函数图象，直接写出N的取值范围.2 7.（7分）如图，已知N M O N=a （0 a=1 80 -a.（1）依题意补全图；求证：O C=O D+A D；（2）连接C D,若C D=O D,求a的度数，并直接写出丝的值.2 8.（7分）在平面直角坐标系x O y中，对于第一象限的P,Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P,x轴正半轴上存在点。，使PPQ。，且Nl=N 2=a（如 图1）,则称点P与点。为a-关联点.（1）

11、在点。I（3,1）,Q1（5,2）中，与（1,3）为4 5 -关联点的是；（2）如 图2,M（6,4）,N（8,4）,P（如8）（机 1）.若线段MN上存在点。，使点 P 与点。为 4 5 -关联点，结合图象，求，的取值范围;(3)已知点A (1,8),B(”，6)(n l).若线段AB上至少存在一对3 0 -关联点,直接写出的取值范围.图1图2备用图2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本题共16分，每小题2 分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1 .（2分）方程7-6 x-1=0 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是

12、（）A.1,-6,-1 B.1,6,1 C.0,-6,1 D.0,6,-1【解答】解：方程/-6 x-1=0,二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,-6,-1.故选：A.2 .（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意.月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样.下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）【解答】解：选项A、C、。不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转18 0。后与原图重合，所以不是中心对称图形；选 项 C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转18 0。后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：B.3.（2 分）将 抛 物 线/向 下 平 移 1个单位长度，得到的

13、抛物线是（）A.y =x2 1 B.y =x2 4-1C.y =2（久一1）2 D.y =（x +l）2【解答】解：将抛物线y=*/向 下 平 移 1个单位长度，得到的抛物线是：），=#-I，故选：A.4.（2分）用配方法解方程/+2x-3=0,下列配方结果正确的是（）A.（x -1）2=2 B.（x -1）2=4 C.（x+1）2=2 D.（x+1）24【解答】解：/+2x-3=0.X2+2X=3；./+2x+l =l+3（X+1）2=4故选：D.5.（2分）如图，A B是半圆O的直径，点C,。在半圆。上.若NA B C=5 0 ,贝I J/B OC【解答】解：是半圆O的直径，A ZACB=

14、90a.又NA B C=5 0 ,A ZA=40,:四边形A B DC为圆。的内接四边形，.NA+/B OC=18 0 ,；.NBDC=140,故选：D.6.（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将 MNP旋转，得到 Mi MPi,则旋转中心是（）A.点 A B.点 B C.点 C D.点力【解答】解：线段N N i,线 段 PP1的垂直平分线的交点为点8,故点B 为旋转中心.7.（2 分）已知抛物线y=/+6 x+c,其中H 0,下列说法正确的是（）A.该抛物线经过原点B.该抛物线的对称轴在y 轴左侧C.该抛物线的顶点可能在第一象限D.该抛物线与x 轴必有公共点【解答】解：抛物线y=

15、o?+版+c,V c0,.抛物线不会经过原点，故 A 错误；,.C O,；.a、l）异号,.抛物线在y轴的右侧，故8错误；.顶点可能在第一象限，也可能在第四象限，故C正确；当 a0,h 0,.顶点在第一象限，此时抛物线与x轴没有交点，故。错误；故选：C.8.（2 分）如图，在A B C 中，ZC=9 O,AC=5,B C=1O.动点 M,N 分别从 A,C 两点同时出发，点M从点A开始沿边A C向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动.设运动时间为f,点M,C之间的距离为y,MC 7 V的面积为S,则），与f,S与，满足的函数关系分别是（）A.

16、正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系【解答】解：由题意得，A M=f,CN=2t,：.MC=AC-AM5-t,即 y=5-t,：.S=MCCN5t-i2,因此y是f的一次函数，S是r的二次函数，故选：D.二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）9.（2分）若点4 （5,5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（-5,-5）【解答】解：若点A （5,5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（-5,-5）.故答案为：（-5,-5）.10.（2分）若 点（0,a）,（3,b）都在二次函数y=（x-1）2的图象上，则。

17、与。的大小关系是：a ”，V”或“=【解答】解：尸（%-1）2,，抛物线开口向上，对称轴是直线x=l,.点（3,b）离直线x=l远，点 点（0,“）离直线x=l较近，:ab,故答案是：.11.（2分）如图，矩形A B C O中，A B=3,B C=4.以点4为中心，将矩形A B C D旋转得到矩形A B C ZJ,使得点9落在边AO上，此时QB 的长为 1 .D rD A B【解答】解：.四边形A B C D是矩形，；.N B A D=9 0 ,A D=B C=4,由旋转的性质可知，AB=AB=3,：.DB=A D-AB=4-3=1,故答案为：1.12.（2分）如图，在平面直角坐标系x O.y

18、中，抛物线y=a?+6 x+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为（1,0）,则关于x的方程以2+法+o=0的解为 1和3.【解答】解：；抛物线y=a?+以+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为（1,0）,.抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）,二关于x的方程cuc2+bx+c0的解为1和3.故答案为：1和3.13.（2分）如图，C,。为4 B的三等分点，分别以C,。为圆心，8 长为半径画弧，两弧交于点E,F,连接E F.若A B=9,贝 的 长 为 3取.E【解答】解：连接C E、E D、DF.F C,VC,。为A3 的三等分点，A B=9,：.A C C D=D B 3,四边

19、形E C F D 是菱形，.,.CD,E F 互相垂直平分，设 8、EF的交点为0,3:.c o/9：Z C O F=9 0 ,0F=y/CF2-CO2=19-7 =挈Y 4 /:.E F=2 O F=3 故答案为：3 V3.14.(2分)127 5 年，我国南宋数学家杨辉在 田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积86 4平方步，宽比长少1 2 步，问宽和长各几步.若设长为x步，则 可 列 方 程 为 x(x-1 2)=86 4 .【解答】解：长为x步，宽比长少1 2 步，宽 为(x-1 2)步.依题意，得：x(x-12)

20、=86 4.1 5.(2 分)数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A,B,连接A B,再作出48 的垂直平分线，交 AB于点C,交彳&于点。，测 出 A B,CQ的长度，即可计算得出轮子的半径.现测出A B=4 c z,CD=cm,5则轮子的半径为-cm.根据勾股定理得：OC2+BC2=OB2,即：(OB-1)2+22=OB2,解得：05=2.5；故轮子的半径为5c巾.故答案为：|.16.(2 分)已 知 M(xi,yi),N Cx2,为抛物线(aW O)上任意两点，其中0Wxi y2=ax21fA|y2-y i|=|ari2-ax=a(xi+

21、x2)|,V|y2-x2-xi=l,I 心 国 钉恒成立,一、1|4心 2.+1最 大 值 0 4 1,.*.2x1+1 21,1-x1+px+q的解集.y【解答】解：(1).,二次函数y=/+px+q的图象经过点A(0,-2),B(2,0),.W=一 24+2p+q=0,二次函数的解析式为y=/-x-2.(2)由图象可知，不等式履+b/+px+4的解集为0 x 0,A该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程7-1=0,得 x i=a-l,xia+,.方程的两个根均为负数，(a,1 V O,l a+IVO.解得-1.：.a的 取 值 范 围 为-1.23.(6 分)小明进行铅球训练，他尝

22、试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为x轴方向，1?为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在 8点处达到最高位置，落在x轴上的点C处.小明某次试投时的数据如图所示.(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离0C的长度)不小于1 0?,成绩为优秀.请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀.【解答】解：(1)如图所示.(2)解：依题意，抛物线的顶点B 的坐标为(4,3),点 A 的坐标为(0,2).设该抛物线的表达式为y=a

23、(x-4)2+3,由抛物线过点4,有 164+3=2.解得a-表，,该抛物线的表达式为y=-存(x-铲+3；(3)解：令 y=0,得一 4)2+3=0.解得%=4 +4 K，x2=4-4V3(C 在 x 轴正半轴，故舍去).，点 C 的坐标为(4+4%，0).OC=4+4V3.由百|,可得OC4+4 x 10.小明此次试投的成绩达到优秀.24.(5 分)关 于 x 的一元二次方程/+6x+c=0经过适当变形，可以写成(x-w)(x-n)=p(mW)的形式.现列表探究/-4 x-3=0 的变形：变形mnP(x+1)(x-5)=-2-15-2x(x-4)=3043(x-1)(x-t)=61t6(X

24、-2)2=7227回答下列问题：(1)表格中r 的值为 3；(2)观察上述探究过程，表格中，与满足的等量关系为?+=4(3)记/+bx+c=0 的两个变形为(尤-，i)(jc-m)=pi 和(x-W2)(x-2)pi(piW p 2)，则 一 的 值 为 -1.m1-m2【解答】解：(1)x2-4x-3+6=6,，-4x+3=6,(x-1)(x-3)=6,所以r=3；故答案为3；(2)-1+5=4,0+4=4,1+3=4,2+2=4,所以出为一次项系数的相反数，即加+=4；故答案为m+=4；(3)由(2)的结论得到1+m=-6,机2+2=-所以?1+1=加2+2,即 n-2=-(wi-加2),

25、.九1一 九2.-=1.m1-m2故答案为-1.2 5.(6 分)如 图，AB为。0 的直径，弦 CO与 AB交于点E,ZC=75(1)求NAEC的度数；(2)若 AC=1 2,求 CO的长.,ZD=45.【解答】（1）解：V A,。在。上，ZD=45,NA=NO=45,V Z C=75 ,在ACE 中，NAEC=180-ZA-ZC=60；(2)解：连接O C,过。作。H_LCQ于 H,OA=OC,NA=45 ,/.ZACO=ZA=45 ,，NAOC=180-45-45=90，8AO。中，A O2+OC2=A C2f AC=12,：.A0=0C=6VLV ZAC=75,Z O C D=Z A

26、C D -ZACO=3 0 ,1.,.OH=50C=3V2,A CH =y/OC2-O H2=3V6,.,OH1,C。于 ，：.CD=2 CH=6V6.26.(6 分)在平面直角坐标系尤。y 中，抛物线)，=以 2+加+2(a*0)经过点A(1.-1),与 y 轴交于点B.(1)直接写出点B 的坐标；(2)点户(加，)是抛物线上一点，当点尸在抛物线上运动时，存在最大值N.若N=2,求抛物线的表达式；若-9 a -2,结合函数图象，直接写出N 的取值范围.【解答】解：(1)把 X=0代 入)=以 2+法+2 得，y=2,：.B(0,2)；(2)依题意，当 N=2 时，该抛物线的顶点为(0,2),

27、设抛物线的解析式为y=ax1+2,由抛物线过A(1,-1),得 a+2=-l,解得a=-3,抛物线的表达式为y=-3/+2；抛物线 y=ox2+bx+2(aW O)经过点 A(1,-1),-l=a+/?+2,:.b=-3-当 =-9 时，h=-3-a=6,则 y=-9/+6x+2,*4ac 块 4x(9)x2 36此时，函数有最大值-=:、=3,4a 4x(-9)当 a-3 时，b=-3-aO,贝 U y-2x2+2,此时，函数有最大值为2,；.2WN3.27.(7 分)如 图，己知NMCW=a(0 a l).若线段 M N 上存在点、Q,使点 P与点Q为 45 -关联点，结合图象，求加的取值

28、范围：(3)已知点A (1,8),B(,6)若线段AB上至少存在一对3 0 -关联点，直接写出的取值范围.图1图2备用图【解答】解：（1）过点P作 布 _ L y 轴于点A,过点。作轴于点B,图1,:P(1,3),a=45 ,.*.Z 1 =Z 2=45 ,./P P Q =9 0 ,ZPQO=45Q,.A P P 和/。0都是等腰直角三角形，：.AP=AP=,：.OQ=OP=AO-AP=3 -1=2,：PP/QQ,：.ZPQQ=9 0Q,./Q Q 45 ,.2 B Q 是等腰直角三角形，.当Q3=BQ=1时，点。的坐 标 为(3,1),.与(1,3)为 45 -关 联 点 的 是(3,1).故答案为Q i；(2)如图所示，图2对点P (3 8)(w l)而言，依定义，要使/l =N 2=a=45 则有：P 为(0,8-相)，。为(8 -m,0),于 是 函 数 产 尤-(8-m)(x 8 -m)上的点。即为点尸的45 若当点。在线段MN上时，现=4,则有x=1 2-m.由 62次.的取值范围是 2 b.