2020-2021学年吉林省四平第一高级中学高一（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年吉林省四平第一高级中学高一(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知复数z满足(2+i)z=1 5,则复数z在复平面内所对应的点的坐标是()A.(6,-3)B.(6,3)C.(10,-5)D.(10,5)2.下列调查方式中，不适合的是()A.调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式B.调查某班学生的体重，采用普查的方式C.调查一条河流的水质，采用抽查的方式D.调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式3.已知向量2=(一1,3),b=(2,-1),若(N+k3)1 落 则k=()A.8 B.-2 C.1 D.24.袋子中有5个大小质地完全相同的球

2、，其中2个白球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个白球的概率是()A.B.|C.5 D-10 5 10 55.已知根，是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若?n/a,n/a,则B.若a l/7,m/a,n/?,则m J,nC.若ma,m夕,则。0D.若 n 1 6,m l n,则 a _ L 6.(T4)2O21+2=()A.2+i B.2-i C.1 D.37.在菱形A8CC中，|而-而|=|而|=4，点E是BC的中点，则 荏 前=()A.4A/3-8 B.-4 C.-4 7 3-8 D.-128.在长方体力BCD-AiBiCWi中，A B

3、 =B C =2,441=2百，点E,尸分别是A,CG的中点，点P是AD1的中点，则异面直线E尸与8P所成角的大小是()9.已知复数Z,Z2是方程/+6乂 +25=0的两根，贝 欧)A.Z1，Z2的实部都是3B.Zi，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称c.|Z1|=|z2l=5D.z1Z2=-2510.某企业开展“学党史庆建党100周年”活动，为了解该企业员工对党史的学习情况,对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A,B,C,O四个区间内，根据调查结果得到如图统计图.已知该企业男员工占|,则下列结论正确的是（）女职I：得分在方图 为职I：得分扇形图A.男、女员工得分在A区间的占比相同B

4、.在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数C.得分在C区间的员工最多D.得分在。区间的员工占总人数的20%11.在力BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2b，且 ABC的面积S=+c?则 ABC周长的最大值是（）A.6 B.6+2V3 C.4V3 D.6V312.如图，力BC是边长为6的等边三角形，点P在 ABC所在平面外，平面PAC1平面ABC,点力是棱BC的中点，点E,F）一%分别在棱 AC,PA 上，且4F=2PF,AE=3CE,PE=CE.现,/给出下列四个结论：7（CE 平面PA C；BF是定值；三棱锥B-CEF体积的最大值是不；若三棱锥P-ABC的体积是券，则该

5、三棱锥外接球的表面积是57兀.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、单 空 题（本大题共4小题，共20.0分）第2页，共18页1 3 .某 校 1 2 名学生参加该市组织的科技竞赛，得分分别是9 5,8 7,9 6,9 2,8 5,8 8,8 9,8 2,9 8,9 1,9 5,8 9,则这组数据的第5 0 百 分 位 数 是.1 4 .一艘轮船向正北航行，航速为4 0 千米/时，在 A处看灯塔P在船北偏东3 0。的方向上，半小时后，船航行到8 处，在 8 处看灯塔在船的北偏东75。的方向上，则此时船与灯塔之间的距离是 千米.15 .在直三棱柱4 B C-&B 1 C 1

6、中，44=4,A B =A C =2,4 B A C =90,点、E,尸分别是棱A 3,CG的中点，一只蚂蚊从E点出发，绕过三棱柱A B C -的一条侧棱爬到点尸处，则 该 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 程 是.16.已知A盒中有3 个红球和2 个白球，8 盒中有4 个红球和3 个白球，若从A盒中随机取出1个小球放入B盒中，再从B盒中任取1球，则取到的球是红球的概率是三、解答题(本大题共6 小题，共 70.0 分)17.已知向量3 =(4,3),b=(m,6)-(1)若m =3,求向量五，石夹角的余弦值;(2)若a方,求(2 莅一万)(五+垃的值.18.某地园林局为了解某披树木的生长情况，随

7、机抽取了 10 0 株树木测量它们的树干周长(单位：分米)，根据调查数据，分成 2 0,3 0),3 0,4 0),4 0,5 0),5 0,60),60,70)五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求样本中树干周长不小于4 0 分米的树木数量；(2)估计这批树木树干周长的中位数.19.如图，在正方体ABCD-AIBIGDI中，E,尸分别是A B,B i C 的中点.(1)求证：E F平面4 4 C C 1；(2)若E F=3,求正方体4 B C D -4/修1。1的体积.2 0 .我们在生产、生活中产生的大量垃圾正在严重侵蚀我们的生活环境，垃圾分类是实现垃圾减量化、资源化、无害化，避 免

8、“垃圾围城”的有效途径.垃圾分类是一项“利国利民”的民生工程，需要全社会的共同参与.某社区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分第4页，共18页别设置了相应的分类垃圾箱.该社区为调查居民生活生活垃圾分类投放情况，随机抽取该社区部分垃圾箱中的生活垃圾(单位：袋)，得到如下数据：厨余垃圾可回收垃圾有害垃圾其他垃圾投放正确4202404565投放错误140401535(1)从调查的垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，估计这袋垃圾投放正确的概率；(2)现用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾，再从这6袋垃圾中随机抽取2袋，求这2袋垃圾中至少

9、有12 1.如图，在四棱锥P-A B C D中，平面P 4 D_ L平面A8CD,且四边形ABC。为矩形,4 B=1,A D=2,PD=E为 的 中 点，PE IDE.(1)证明：P 4 _ L平面A8C)；(2)求直线P C与平面P DE所成角的正弦值.袋是可回收垃圾的概率.B E C2 2.在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且3 acos B+V 5 bs讥A=3 c.(1)求角A;(2)若a=2,Z i/I BC的周长为6,求4 BC的面积.第6页，共18页答案和解析1.【答案】A【解析】解：由(2 +i)z=1 5,得z =湍言=嗤?=6-3 1,复数z 在复平面内

10、所对应的点的坐标是(6,-3).故选：A.把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2 .【答案】A【解析】解：人调查一批灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，所以采用抽查的方式，故 A 选项错误；8、调查某班学生的体重，需要知道每位学生的体重，所以采用普查的方式，故 B 选项正确；C、调查一条河流的水质，不可能把水全测一下，所以采用抽查的方式，故 C 选项正确；。、调查某鱼塘中草鱼的平均重量，不可能将鱼塘里的鱼全测一下，所以采用抽查的方式，故。选项正确，故选：A.根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、

11、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.3 .【答案】D【解析】解：根据题意,向量五=(一1,3),b=(2,-1)，则方+k 5=(2 k-l,3-k)，若0+kB)_ L 五，则(五 +kB)五=(1-2 k)+9-3 k=10-5/c=0-解可得k=2；故选：D.根据题意，求出五+的坐标，由向量垂直的判断方法可得0+kB)方=。，即计算即可得答案.本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的判断，属于基础题.4.【答案】C【解析】解：袋中有形状、大小都相同的5个球，其中2个

12、红球，3个黄球.从中随机一次摸出2个球，基本事件总数n =C 5 =1 0,这2个球中至少有1个白球的对立事件是这2个球中都是黄球，.这2个球中至少有1个白球的概率p=1 -冬=.L5 1U故选：C.先求出基本事件总数n =髭=1 0,再求出这2个球中至少有1个白球的对立事件是这2个球中都是黄球，由此能求出这2个球中至少有1个白球的概率.本题考查概率的求法，考查排列组合、等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.5.【答案】D【解析】解：对于A,若m a,n/a,则 或 如 异 面，或根，相交，故4错误；对于B,若。_1,夕，m/a,n/P，贝!|,小异

13、面：或“，相交，或，平行，故8错误；对 于C,若n t a,m/p,则。，或a,6相交，故C错误；对于O,若m _ L n,m,异面，可将,，平移至相交直线，与a、口 相交于a,h,由线面垂直的性质可得a,人 垂直于*/7的交线，由面面垂直的定义可得a故。正确.故选：D.由线面平行的性质和线线的位置关系，可判断4由线面平行、面面垂直的性质，可判断B；由线面平行的性质，以及面面的位置关系，可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的定义，可判断。.本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是平行与垂直的判定和性质，考查第8页，共18页转化思想和推理能力，属于中档题.6.【答案】A【解析】解：；=/

14、米二=Kl-l(l-l)(l+l).(言)2 0 2 1 +2=f2 0 2 1 +2=i +2.故选：A.根据已知条件，运用复数的运算法则，即可求解.本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.7.【答案】B【解析】解：在菱形A B C。中，|荏 一 南|=|四|=4，点E是BC的中点，iA E-B D =(A B +A D)-A D-A B =A D-AB 4-|7 1 Z)=|x 42-42 4-1 x4 x 4 x -=-4.2故选：B.利用已知条件求出数量积的向量，通过数量积的运算法则化简求解即可.本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是

15、基础题.8.【答案】D【解析】解：连接P E,BG，则PE。1。，且P E =又G F D i D,且C#=1久。，所以P E G F,且P E =Q F,所以四边形P E F C i是平行四边形,所以P C J/E F,且p g=E F =22+(-22+(2 遮)2)2 =2 夜，所以N B P C i是异面直线E F 与B P所成的角或其补角，如图所示:又因为B P =P G =2 V2,B C 1=J 22+（2 遮）2 =4,所以8 P 2 +p=BC3所以 8 P l p c 1，所以 NBPCI=9 0。，即异面直线E F 与 B P 所成角的大小是看故选：D.连接P E,BQ

16、证明P C J/E F,得出N B P G 是异面直线所与8 P 所成的角或其补角,利用勾股定理的逆定理判断B P 1 PQ,即可得出异面直线E 尸与8 P 所成角的大小.本题考查了异面直线所成角的大小计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题.9 .【答案】C【解析】解：.复数z Z 2 是方程/+6 刀+2 5 =0 的两根，z=681=-3 +4 i,不妨取Z i=-3 4 i,z2=-3 +4 i,则z i，Z 2 的实部都是-3,故 A错误；Z i，Z 2 在复平面内对应的点关于实轴对称，故 B错误；|Z 1 I =|z2l =5,故 C 正确;Z 1 Z 2 =%|2 =2 5,故。

17、错误.故选：C.求解实系数一元二次方程可得Z i，Z 2,然后逐一分析四个选项得答案.本题考查实系数一元二次方程根的求法，考查复数的有关概念，是基础题.1 0 .【答案】A第1 0页，共1 8页【解析】解：由题意可得，该企业的总人数为（7 0+6 0+5 0 +2 0）+（1 -|）=5 0 0 （人），则男男员工为5 0 0 -（7 0 +6 0 +5 0 +2 0）=3 0 0（人），女员工为7 0 +6 0 +5 0 +2 0 =2 0 0（人），对于A,女职工在A区间所占的比例为2 0+（2 0+6 0+7 0+5 0）=1 0%,男职工在A区间所占的比例为1一 4 0%3 5%-1

18、5%=1 0%,故4正确，对于B,对于O区间，女员工的人数为5 0（人），男员工的人数为3 0 0 x 1 5%=4 5（人）,故8错误，对 于C,得分在A区间的总人数为2 0 +3 0 0 X 1 0%=5 0（人），得分在B区间的总人数为6 0 +3 0 0 x 4 0%=1 8 0（人），得分在C区间的总人数为7 0 +3 0 0 X 3 5%=1 7 5（人），得分在。区间的总人数为5 0+3 0 0 x 1 5%=9 5（人），得分在3区间的员工最多，故C错误，对 于。，得分在。区间的总人数为5 0+3 0 0 x 1 5%=9 5（人），总人数为5 0 0（人），得分在。区间的员工

19、占总人数的券=1 9%,故。错误.故选：A.根据已知条件，结合频数分布直方图和扇形图的数据，依次判断求解.本题考查了频数分布直方图和扇形图的应用，属于基础题.1 1.【答案】B【解析】解：因为Q=2b，且A B C的面积S=?（b 2+c 2 Q 2）,则2 =2 2bccosA,即可得s in A =2y2cosA 0,所以s in 2/l+（翳）2 =1,解得s in A=手，（负值舍去），可得c o s 4 =号所以由余弦定理可得1 2 =炉+c 2 -2儿1=（b +c）2 _|儿，即儿=!竺c）：士 凶,又b e W（等 产，当且仅当匕=c时等号成立，所以改竺 泸 区 （甘）2,整理

20、解得（b +c）2 3 6,即b +c/3,则BF=7BM2+M尸 2=J(3V3)2+l2=2夕为定值，故正确；对于，三棱锥B-CEF的高BM=3臼，当 的 面 积 最 大 时，三棱锥B-CEF的体积最大，当FM 1AC时，ACEF面积最大，二 三棱锥B-CEF的体积的最大值为：V=：SACEF-BM=ix|x C E,xM FxB M =j x i x|x l x 3 V 3 =2X2,故正确；对于，取2BC的中心为G,则4G=|4D =2 b,过点G 作平面ABC的垂线，垂足为 G,设三棱锥P-4BC的外接球的球心为O,则。在垂线上，设0G=X,外接球的半径为R,第 12页，共 18页则

21、E G 2 =M G2+M E2=3+(|)2=芳，过点尸作G E的平行线交G O于点N,则P N =GE=N G =P E=|,2 2则在R t A 40 G中，R2=A O2=(2 V3)2+x2=1 2 +x2,在R t A P N。中，Q+|)2 +(y|32=R 2,解得x =|,/?2=1 2 +x2=.4 三棱锥P -A B C的外接球的表面积为4兀R 2 =57兀，故正确.正确结论的个数是4个.故选：D.取A C的中点M,连 接 证 明BM 1 A C,进一步证明D E B M,可得D E J.4C,再由面面垂直的性质可得D E _ L平面P A C判断正确；分别证明M F P

22、 E,D E/B M,结合D E 1 P E可得1 M F,由勾股定理求8 F为定值，即可判断正确；三棱锥B -C EF的高为定值，求出A C E F的面积最大值，即可求得三棱锥B -C E F的体积的最大值判断；取 A B C的中心为G,过点G作平面A B C的垂线，垂足为G,设三棱锥P 4B C的外接球的球心为O,则。在垂线上，求解三角形得到三棱锥P -A B C的外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断.本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系，考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题.1 3.【答案】9 0【解析】解:先

23、将数据从小到大排序得8 2,8 5,8 7,8 8,8 9,8 9,9 1,9 2,9 5,9 5,9 6,9 8,由于这组数据的第50百分位数即是求这组数据的中位数，所以这组数据的第50百分位数是8；x (8 9 4-9 1)=9 0,故答案为：9 0.先将数据从小到大排序，然后根据百分位数的定义求出50%位数即可.本题考查了中位数、百分位数的计算问题，是基础题.1 4.【答案】1 0 V2【解析】解：由条件有4B 2 P =30。，A B=2 0,A.PB A =1 8 0-7 5=1 0 5,4B PA =1 8 0-1 0 5-30 =45.由 正 弦 定 理 有 缶=缶，代 入 数

24、据 得 康=嬴，解得B P =W V2.故答案为：1 0 夜.利用条件求出A A B S 中的已知量，利用正弦定理列式求解.本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.1 5.【答案】-/1 3【解析】解：由E到尸有两种方法，方法一、将侧面当8 441 展开到与平面为A C C 1 在同一个平面，连接E 兄 可得E F =V（1 +2）2+22=V1 3；方法二、将侧面B 1 B 4必展开到与平面/BCG在同一个平面,连接 可得E F =J(l+2&)2 +2 2 =J 1 3+4立,所以该蚂蚁爬行的最短路程是g.将 侧 面 展 开 到 与 平 面&BCQ或平面4 4 CG在同一个平面，连

25、接E 尸，由勾股定理，计算可得所求最小值.本题考查三棱柱的侧面展开图的运用，注意运用勾股定理，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题.1 6.【答案】g【解析】解：若从A盒中取出的球为红球，则从8盒中任取1 球，则取到的球是红球的概 率 足 x 1 =b o o若从A盒中取出的球为白球，则从B 盒中任取1 球,则取到的球是红球的概率为:x ：=5 o 5则取到的球是红球的概率是1+合 为，第1 4页，共1 8页故答案为：40分两种情况，若从A 盒中取出的球为红球或若从A 盒中取出的球为白球，根据概率公式即可求出.本题考查概率的求法，考查了运算求解能力，属于基础题.17.【答案】解:(l)v 3

26、=(4,-3),石=(3,6)，：.a-b =1 2-lS =-6,|a|=5,b=3V5，向量落石夹角的余弦值为cos =看 高=薮 施=一 爱(2)-3/,24=-3 m,解得m=-8,五 1=-3 2-1 8 =-5 0,I五 1 二 5,b=10,(2 a-6)-(a+b)=2 a2+a-K-K2=2 x 52+(-50)-102=-100-【解析】(1)由cos=售,得解；(2)先由五a解出用的值，再根据平面向量的混合运算法则，即可得解.本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的坐标运算，以及混合运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.18.【答案】解：(1)由频率分布直

27、方图可知，样本中树干周长不小于40分米的树木的频率为：(0.035+0.02+0.01)x 10=0.65,故样本中树干周长不小于40分米的树木数量为100 x 0.65=65(株).(2)设周长的中位数为 x,则(0.015+0.02)x 10+(x-40)X 0.035=0.5,解得久7 44.29,故这批树木树干周长的中位数约为44.29.【解析】(1)先求出样本中树干周长不小于40分米的树木的频率，再结合频率与频数的关系，即可求解.(2)根据已知条件，结合中位数公式，即可求解.本题主要考查了频率分布宜方图的应用，以及中位数公式，属于基础题.1 9.【答案】解：(1)证明：如图，连接B

28、C i，A C 1.在正方形B C G当中，因为尸是B i C的中点，所以F是BG的中点.因为E，尸分别为A B,C B的中点，所以E F 4 G，又E F 2平面&ACG，4QU平面占4 C C 1，所以E F平面A-AC C-y.(2)因为E F =3,所以4 G =2EF=6.设 正 方 体 的 棱 长 为 则a?+a?+a?=(A C )?，所以a =2 V 5,a3=2 4 V 3故正方体的体积为a 3 =2 4 V 3.【解析】证明E F/I Q,再由线面平行的判定定理得E F平面4遇。6.(2)利用中位线 定 理 求 出 设 正 方 体 的 棱 长 为“，则a?+a?+a?=(A

29、 G)?,求出“再求体积.本题考查线面平行的判定定理，正方体的结构特征，属于基础题.2 0 .【答案】解：(1)从调查的垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，估计这袋垃圾投放正确的概率为：c 420+240+45+65 77P=-=.420+140+240+40+45+15+65+35 100(2)用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾,抽取到厨余垃圾的数量为:6 x420+140420+140+240+40=4,抽取到可回收垃圾的数量为:6 x240+40420+140+240+40=2,再从这6袋垃圾中随机抽取2袋,基本事件总数九=C g =1 5,这2袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾

30、包含的基本事件个数:m=C 4 C 2 +C/=9,第1 6页，共1 8页 这2袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率P 寸屋=1.【解析】(1)利用古典概型能估计这袋垃圾投放正确的概率.(2)用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6 袋垃圾，抽取到厨余垃圾的数量为4,抽取到可回收垃圾的数量为2,再从这6 袋垃圾中随机抽取2 袋，基本事件总数n=Cl=1 5,这 2 袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾包含的基本事件个数租=盘 废+废=9,由此能求出这2 袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.21.【答案】(1

31、)证明：连接4E.因为平面24。_L平面A8CZ),平面PAD CI平面ABC。=4。，AB 1 AD,所以AB 1平面PAD.因为P4 u 平面P A D,所以PA 1 AB.在AED中，AE=ED=V2.AD=2,所以AE2+ED2=AD2,即4 E 1 E D.因为 PE ID E,PEOAE=E,所以DE _1 _平面 PAE.因为PA u 平面P A E,所以PA ID E.因为AB,相交，所以P4 _L平面ABC。.(2)解:因为P4 1 平面ABC,4B=l.A D =2,E 为 8 c 的中点,PA=y/PD2-A D2=V2,所以三棱锥 P ECD 的体积 V=-ShECD-

32、PA=%x%x lx lx V2=,3 3 2 6在RtA PD E中，ED=y2,PE=2,所以 PDE的面积为：x 2 x 夜=鱼.设 C 到平面PDE的距离为d,则 x 迎 x d=号所以d=捌 C 到平面PD E的距离为因为 PC=AB2+BC2+PA2=夕，所以直线P C 与平面PDE所成角的正弦值为色=工=包.PC 夕 14【解析】(1)连接4E.只需证明P4 1 AB.PA 1 DE.即可证明PA 1平面A8CZX(2)利用等体积法求解C 到平面PQ E的距离，再求出P C,即可求解直线P C 与平面PDE所成角的正弦值.本题考查了空间线面垂直的判定、直线与平面所成的角，等体积法

33、的应用，考查了计算能力，属于中档题.22.【答案】解：(1)v 3acosB 4-/3bsinA=3c,由正弦定理可得 3sin4cosB+j3sinBsinA=3sbiC,v sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+sinBcosA,:.yJSsinBsinA=3cosAsinBv sinB H 0，y/3sinA=3cos4 可得tanA=V3,v A e(0,7i),An i4=-.(2).4=g,a=2,ABC的周长为6,二 匕 +c=4,由余弦定理小=b2+c2-2bccosAf 可得4=h2 4-c2 he=(ft 4-c)2 3bc=16 3 b c,解得be=4,*,SAABC 5bcsiziA=-x 4 x =V3.【解析】(1)由正弦定理，三角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 可 求=V 3,结合范围4 6(0,71),可求A的值.(2)由已知可求b+c=4,由余弦定理可求儿=4,进而根据三角形的面积公式即可求解.本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.第18页，共18页