2020-2021学年河南省商丘第一高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）.pdf

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1、2020-2021学年河南省商丘第一高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、单 选 题（共12小题）.I.已知集合 A=X|X2-2XW 0,B=x|O W l o g 3xW 9,C=（xx=2 n,nG N,则 4 n B e c=（）A.2 B.0,2 C.0,2,4 D.21 42.已知a+3i（l+i）=2+bi,（a,bER,i为虚数单位），则实数2a -6的 值 为（）A.5 B.6 C.7 D.83,设命题p：V xeR,使得炉-3x+2W 0成立，则命题-p为（）A.3xo G R,使得 X O?-3X O+2O 成立C.V xeR,使得/-3工+2 0成立D.以上都不对n

2、 1 z*4.在（a x-亍）的展开式中，若含x 项的系数为240,则正实数“=（）XA.B.2 C.3 D.425.函数f（x）=Nsi rt r-x在区间-T i,IT的图象大致为（）c.O Q6.在等比数列 “中，若 a 2a 6二:p a +a q +a d +a/T 则=（）乙。4 乙 J 4。4 42 43 44 453 1A.1 B.q C.-3 D.4 37.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口 2出来，那么你取胜的概率为（）/0 0 0/o o o o/A 1 2 3 4 5 6A.B.C

3、.5 7 D.以上都不对6 32 168.已知a 0,b 0,若不等式1-。恒成立，则实数加的最大值为（）2a+b a b 个A.3 B.4 C.8 D.92 29.已知F i、B分别是椭圆C：一看=1（a b 0）的左、右焦点.若椭圆C上存在点P，使得线段尸西的 中 垂 线 恰 好 过 焦 点 则 椭 圆c离心率的取值范围是（）10.如图，棱长为2的正方体ABC）-ABG i中，尸在线段8 G （含端点）上运动，则下列命题正确的序号是（）4七8 Q：三棱锥。iPC的体积不变，为当；TT4 P平面ACD i；4 P与。i C所成角的范围是 0,A.B.C.D.TT11.已知函数f（x）=2si

4、 n（3 x+O）（30,/（幻）=2,/（尤2）=0,若M-X 2I的最小值为,且吗）=1，A.卷+2k,看+2k,k E ZC.+2k,g+2k,k Z6 622.若函数f（x）吟x+l n x-2 x-l nxA.2,乌3e-1 e则/（x）的单调递减区间为（）B.3+2k冗，g+2k兀 ,k z6 6D.t+2k,+2k ,k Z6 6三个不同的零点，则实数。的取值范围是（）B.（2,）e-1 eD.-2e e-1二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）x-y-l013.若实数x,y满足不等式组,2x切-4 0上，x 若X方程/（x）=g（x）在区间-5,6上有7个不同的实数

5、根，则实数k的取值范围为16.已知正项数列”“）的前项和为S”且对任意的6N*满足4（S n+l）=（a n+l）2，则三.解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足 勺疝 上tanA+tanB c(1)求角A；(2)若 a=7,6=5,求ABC 的面积.18.如图，在四棱锥 P-A 8 c。中，PA_L平面 ABC。，AB/C D,且 CD=2,AB=,B C=22,PA=1,ABA.BC,N 为 P。的中点.(1)求证：4V平面PBC；(2)在直线P D上是否存在一点M,使得直线C M与平面P

6、 B C所成角的余弦值为封逅,26若存在，求出器的值；若不存在，说明理由.19.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共 有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球M/KSA-V200W,已知这种球的质量指标孑(单位：g)服从正态分布N (270,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积。分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.已 知 第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0 p l).(1)如果比赛准备了 1000个排球，估

7、计质量指标在(260,265内的排球个数(计算结果取整数).(2)第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为/(p).(i)求出/(p)的最大值点po；(i i)若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求X的分布列.参考数据：SN(w,。2),则 (p-。?四+。)弋0.6826,p 卬-2。6 0)过 点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线/与X轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,.1 ,各 点 均 不 重 合 且 满 足=入1MQ,PN=X 2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若尢+入2=-3,试证明：直线/过定点并求此定点.2 2

8、.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为2 1.定义可导函数y=/(x)在X处的弹性函数为/(X)其中r (x)为了(X)f 的导函数.在区间。上，若函数/(X)的弹性函数值大于1,则称/(X)在区间。上具有弹性，相应的区间。也称作/(x)的弹性区间.已知函数/(x)=(x-1)e+lnx-tx(其中e为自然对数的底数).(1)当，=0时，求/(x)的弹性区间Q；(2)若/(x)1在(1)中的区间。上恒成立，求实数，的取值范围.选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分)+tL (/为 参 数)，以坐标原点Oy=-2+V3t为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

9、系，曲线C的极坐标方程为psin2e=4cos0.(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知点尸的直角坐标为(2,0),过点P作直线/的垂线交曲线C于。、E两 点(D在x轴 上 方)，求 高-上 的值.|PD|PE|2 3.已知函数/(x)=|x|.(1)求不等式-/(x+1)2的解集；(2)若不等式/(X-a)+f(x+2)Y x+3)的解集包含-2,-1,求a的取值范围.参考答案一、单 选 题（共 12小题）.1 .己知集合 A =X|X2-2X 0 ,B=x|0 W l o g 3 X 0成立C.V x eR,使得 N-3 x+2 0 成立D.以上都不对解：根据全称量词命

10、题的否定是存在量词命题，所以命题p：V x e R,使得/-3 x+2 W 0成立，则命题-7,为：3 x o G R 使得x -3 x o+2 O成立.故选：B.4.在（a x 2 T ）6的展开式中，若含4项的系数为2 4 0,则正实数。=（）XA.B.2 C.3 D.42解：在（a x 2 一与）6的展开式的通项公式为7ki=量，,（-1）12.介，令 1 2-4 r=-4,求得r=4,可得展开式中含L项的系数为。/42=240,则正实数。=4,故选：D.5.函数/（X）=N siav-x在区间-TC,n 的图象大致为（）解：函数/(x)=x2sinx-x,当犬=卫-1,y=2L x-l

11、-2 L.0,对应点在第一象限，排除A,2 4 2 4故选：D.6.在等比数列 0,中，若a32 a 5=工a2+a3+a4+a5=Y，则 J4a2 a3 a4a5A.1B.3C.-3D.43)解：根据题意，在等比数列”“中，若a 0 a u =3,则a u A2+a3a4=-g,4若 a2+a3+a4+a5=-则a3a4a5a 2 a 5 a 3 a 4 a 3 a 4 a 2 a 5a2 a3 a4 a5故选：C.+4343即7 .某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口 2出来，那么你取胜的概率为()/0

12、 0 0/。0。/A AI 2 3 4 S fA.工 B.旦 C.至-D.以上都不对6 32 16解：从顶点A到2总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是从A到2总共有d=5种走法，.在该游戏中，猜得珠子从口 2出来取胜的概率为：尸=吗 吗)5=品故选：B.8.已知a 0,b 0,若 不 等 式/。恒成立，则实数m的最大值为()2a+b a bA.3 B.4 C.8 D.9解：V a 0,b 0,不等式 恒成立o n W(L 2)(24+6)恒成立，2a+b a b f a b；若 0,b 0,贝lj(L 2)(2 a+b)=2+2+N丝2 4+2、但 生=8,当且仅当 b=a b a b V

13、a b2 a时取等号,”b 0）的左、右焦点.若椭圆C 上存在点P，使得线段PFi的中垂线恰好过焦点B，则椭圆C 离心率的取值范围是（）1-31-3O,z(D.则线段PF的中点Mxo-c y。、丁，万）C 线段PF1的中垂线恰好过焦点尸 2,k k yo 2 u.kPF.RF.M=-1 -XQ+C X0-C1C化为：-(x0+c)(XQ-3C)x2b2(1)+(xo+c)(xo-3c)=0,a 化为：x Q_ 2a2cxo+b2a2-32理=0,解得无0=用2-2且 c,c由于-aC-W a,又 0 e l,c解得i_L平面 AiBtCiDi,A iG u平面 AiBiCiDi,所以 DD1A

14、ICI,又 Bii_LACi,B Q iu平面)iu平面 BDB,又因为 8QC1 i=A,所 以 平 面 BMB,因为BiOu平面BDB,所以因为 B Gn 4G=G,所以81。，平面4 BCi,又 Ai P u平面A18G,所以4尸，5 ,故正确;对于：根据题意，AC=C i=N=2&,所以 4 C G 是等边三角形，所以SAACD：得X 2&X2&X返=2 百，2 2因为 BCi A。,PEBCi,所以 V D,-AP C=V P-AD.C=V B-AD.C=1 S AADCd1-3，=2 义3,故不正确；3 3因为A C 4 C”A C u 平面4 s,Ai Ci C平面 ACD,所以

15、4G 平面ACD,因为 BG 4 O i,A DU平面 4 C)i,BCiC平面 ACD,所以BG 平面ACh,又 AICIU平面 A1BC1,BC u平面AiBG,AiCinBCi=Ci,所以平面AC。平面ABC,又 AiPu平面48C i,所以AiP平面A C Q i,故正确;对于：因为 8C4h,BC=AQi,所以四边形BCD xAx是平行四边形，所以 D C/AB,所以N B 4P 的大小为4 P 与 O C 所成角的范围，当点P 与 B 重合时，ZBAiPQ,根据题意，AC=CB=BAi=2 y2,所以 A iB G 是等边三角形，JT所以 N B 4C i=-,IT当 P 与 G

16、重合时，Z B A P=ZBAiCi=,37r所以4 尸与。1C所成角的范围为0,故正确；所以正确的有：.故选：A.1 1.已知函数f（x）=2sin（S x+O）（3 0,0。-）,/（加）|XLX2|的 最 小 值 为 右 且 吗）=1，则/（X）的单调递减区间为（,f（X2）=0,若）A.后+2k,看+2k,k J ZC.3+2k,g+2k,kZ6 6B.3+2 k兀,+2k加 ,kZ6 6D.+2 k,4+2kL kZ6 6解：函数f(x)=2s i n(3x+O)(3 0,0 4 T2T)(xi)=2,f(九2)=0,M -刈的最小值为 上：=&.*.0)=7 1.4 c o 21

17、7 1 1V f ()=l=2 s i n (2+年)=2 c o s(p,/.c o s q)=,e 时，t 0,x.,_ _ 1.。狄 -e./(-8,A ,e则微(?-)有三个交点，2 l-t e令g =A r-t=-r与+(i-t)-i，i-t l-t根据对勾函数的性质，要有三个交点,可得g g (0)e即高 g(0)解得：2 a 耳 .e-1 e故选：B.二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2 0分)x-y-l01 3 .若实数x,y满足不等式组 2 x+y-4=日 经 过 点（5,1）时，k=占,5经 过 点（6,1）时，k=g.6若在区间 0,6 上有5个根，则4的取值范围

18、是，!）.6 5故答案为：春 春）.1 6.已知正项数列 “）的前项和为S”且对任意的 eN*满足4（S n+l）=（an+l）2，则.（一近一k=l ak 7al l-ak+lV 7 解：对于正项数列 m 的前n项和为S,”且对任意的 6N*满足4（S n+l）=（an+l）2,当2 时，4（S n-l+l）=Qn-i+1），-得：4 an=an2-an.12+2 an-2 an_f整理得1）Can-an-1-2）=0,由于数列为正项数列，故 an-an-=2（常数）当=1时，解得 1=3,所以数列 m 是以3为首项，2为公差的等差数列;所以“=2+1.=_ _ _ _ _ _ _ _ _

19、_ _(-l)kak,/ak 4-l-ak+lV k (2 k+1)V 2 k+3 -(2 k +3)V 2 k+1故答案为：返.7三.解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)17 .在a A B C中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足 2：an B 上t an A+t an B c(1)求角4(2)若 a=7,b=5,求 ABC 的面积.解:(1)由?an B 上及正弦定理可知:t an A+t an B cc o s A c o s B所以2 s in B c o s A c o s B s in Bc o s B s in(A+B)s i

20、n C所以 2 c o s A=1,即 cosA,2又 AW (0,IT),Jr所以(2)由余弦定理 a1=b2+c2-2 bccosAf得 4 9=2 5+。2 -5 c,所以。2 -5 c -2 4=0,所以c=8(c=-3舍 去)，从而SAABC =b c s i n A=y X 5 X 8 X y-=lC h/3-18.如图，在四棱锥 P-A B C。中，P4 _L 平面 ABC。，AB/C D,且 C D=2,AB=1,B C=2&,PA=,ABA.BC,N 为 PC 的中点.(1)求证：AN平面PBC；(2)在直线P D上是否存在一点M,使得直线C M与平面P B C所成角的余弦值

21、为殳医,2 6若存在，求出黑的值；若不存在，说明理由.DP【解答】(1)证明：取P C的中点E,连接BE,NE,为 PO 的中点，.,.NE/CD/AB,N E=CD=AB,2二四边形A B E N为平行四边形，J.BE/AN,又BEu平面PBC,AN C平 面PBC,.AN平面 PBC.(2)解：取 C Q 的中点 F,连接 A F,则 ABC F,A B=C D=C F,：.四边形A B C F为平行四边形，又AB_LBC,.四边形ABC尸为矩形，BP ABAF,；PA_L平面 ABC。，：.PAAB,PA1 AF,故以A为原点，AF,AB,A P所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的

22、空间直角坐标系，则 P(0,0,1),B(0,1,0),C (2料，1,0),。(2&,-1,0),设 而=入 而，则M (2加-2加入，A-1,入)，.5=(-2加入，入-2,入)，而=(。，1，-1),p c=(2&，1，-1),，一 /小设平面P2C 的法向量为(X，y，z),则n _PB =0u，即，y-z=0，n-PC=0令 y=l,则 x=0,z=l,n=(0,1,1),；C M与平面P B C所成角的余弦值为殳医，J 1-(&辔)c o s=v ZbX -2+X8 X2+(X-2)2+X 2x V 2h化简得，21入 2-5()入+24=0,解得 入或3 7直线P D上存在点M满

23、足题意，且 理=5 或孕.DP 3 71 9.第 13届女排世界杯于2019年 9 月 14日在日本举行，共 有 12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球M/KSA-V200W,已知这种球的质量指标；(单位：g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5 局 3 胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下：比赛中以3：0 或 3：1 取胜的球队积3 分，负队积0 分；而在比赛中以3：2 取胜的球队积2 分，负队积1 分.已 知 第 10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0 p l).(1)如果比赛准备了 1000个排球，估计

24、质量指标在(260,265 内的排球个数(计算结果取整数).(2)第 10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为/(p).(i)求出F(p)的最大值点po；(i i)若以外作为 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求 X 的分布列.参考数据：SN。2),则0(口-。R+o)-0.6826,p(p-2。?0,/(p)在(0,W)上为增函数；4 4当 左 昌 1)时，/(P)匕 0)过 点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线/与x 轴正半轴和y 轴分别交于点。、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足PH=入 MQ,PN=X 2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)

25、若入1+%=-3,试证明：直线/过定点并求此定点.2 2解：(1).椭 圆 七 卷=1 Q 10)过 点(0,1),a bz，=1,设焦距为2c,(1 分)长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，,.(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又犀=炉+解得“2=3.2 椭圆的方程为。+丫2=1.3 丫(2)由题意设尸(0,tn),Q(xo,0),M(xi,y),N(X2,”)，P(X=l)=C42X()2x ()5=_Z_,4 4 512P(X=0)=()3+C3X()x(A)3=J _.4 4 4 256；.X 的分布列：X3210p189812713256512512256设/方程为x=/(

26、y-m)，由 PH=人 M Q,知(x i,y-m)=入1(x o -x i,-y i)：.y-m=-y i A i,由题意入i W O,A =-1,yl同 理 由 际=人 2而 知，、_ inEo2 =y2:入i+入 2=-3,(巾+”)=0 (*),f 2 2联立 *3,得(於+3)y2-2 mt2y+fini1-3=0,x=t(y-m),需=4?2-4 (p+3)(/2加 一 3)o(*)且有y +y：=2mt 2t2+32 2_&v m o/止 止 止、y i y9=o-(*)t2+3(*)代 入(*)得由“2-3+7 n.2而2=0,()2=,.直线/与X 轴正半轴和y 轴分别交于点

27、。、P,由题意 m t VO,-1 (满 足(*),得/方程为x=O+l，过 定 点(1，0),即(1,0)为定点.2 1.定义可导函数y=/(x)在 x处的弹性函数为/(x)其中，(x)为了(X)f(X)的导函数.在区间。上，若函数/(X)的弹性函数值大于1,则称/(X)在区间。上具有弹性，相应的区间。也称作.f (%)的弹性区间.已知函数/(X)=(X-1)elnx-tx(其中e 为自然对数的底数).(1)当/=0 时，求/(x)的弹性区间。；(2)若/1)1 在(1)中的区间。上恒成立，求实数/的取值范围.解：(1)当 f=0 时，函数/(x)=(x-1)F+袱，可得函数/)的定义域为(

28、0,+8),1 2 x ,1因为f (x)=ex+(x-l)ex+-X X2 x 函数y(x)是弹性函数f (x)-=-1,f (x)(x-l)ex+l n x此不等式等价于下面两个不等式组:(x-1)e X+l n x 0 e X+l n xO (x-l)e+l n x x2ex+l 0,所以/(x)在定义域上单调递增，又由/(I)=0,所以的解为x l；由可得 g (x)=x1ex+-(%-1)Inx (%2-x+1)e+l -lnx0,且 g (x)=(2X-l)ex+(x2-x+l)eX1=(x 3+x 2)e X l 在 q 上恒为正，X X则g (x)在x l上单调递增，所以g (

29、尤)g (1)0,故在x l上恒成立，于是不等式组(I )的解为x l,同的解法，求得的解为0 x l；因 为0 c x 1时，N e 0,(x -1)e+lnx 1在(1,+8)上恒成立，可得t(l-工)e X+nx-l在X 1上恒成X X立，设h(x)=(l)e x 4 L 则h (x)=(x _ x+l)产 1叫X X x2而(/-JC+I)ex+2 -lnx=g(x)+1,由(1)可知，在 x 1 上恒为正，所以,(x)0,函数(x)在(1,+8)上单调递增，所以(x)h(1)=-1,所以-1,即实数，的取值范围是(-8,-1 ,选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，

30、则按所做的第一题计分)22.在直角坐标系x O y中，直线/的参数方程为，巧+2 (f为 参 数)，以坐标原点。l y=-2+V 3t为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p s i n20=4 c o s。.(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P的直角坐标为(2,0),过点P作直线/的垂线交曲线C于。、E两 点(D在x轴 上 方)，求7 7人-r-U|P D|P E|的值.+t解：由 l，消去参数，得 x-y-5=0,y=-2+V 3t即直线l的普通方程为Fx-y-5=0；由 p s i n20=4 c o s 0,得 p2s i n20=4 p

31、c o s O,V x=p c o s 0,y=p c o s 0,俨=4元，即曲线C的直角坐标方程V=4 x；x”返 t(2)依题意，设直线D E的参数方程为4 2 G为 参 数)，1卜亍代入y 2=4 x，得 t?+8百t-32=0，设点。对应的参数为A,点E对应的参数为f 2,，t1+t2=-8 V 3贝N ,且。在x轴上方，有八0,f 2V o.1 1 1 2=-32,1 1 1 1 tl+t2-8 5/3 V 3|P D|I P E I%t2 ttt2-32 4即-i n 的值为返.|P D|IP E I 423.已知函数f(x)=|x|.(1)求不等式37(x-1)(x+1)2的解

32、集；(2)若不等式/(x-a)tM x+2)W f(x+3)的解集包含-2,-1 ,求a的取值范围.解：(1)：f(%)=国，：.3f(x-1)-f(x+1)2,即 3l x-1|-|x+l|2,所以，.、，或1 ,、，或、.-3(x-l)+x+l 2 1-3(x-l)-x-l 2 1 3(x-l)-x-l 2解得x W-1,解 得-lx 3,综合可得x V O或x 3,所以原不等式的解集为(-8,0)u(3,+8).(2)f(X-a)+f(x+2)Wf(x+3)即|x-a|+|x+2|W|x+3|.因为不等式f (x -a)+f(x+2)W/(x+3)的解集包含-2,-1 ,所以，|x -a|+|x+2|W|x+3|对于 x&-2,-1 恒成立.因为 x e -2,-1 1，所以，x+220,x+320,所以|x -a|+|x+2|W|x+3|等价于|x -a|+x+2 x+3,即|W 1恒成立，所以l&W a+l在-2,-1 上恒成立，所以，卜一5一2,解得一2.-l-l a+l即实数”的取值范围为-2,-1.