2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.设全集U=R,4=x|x 2-2x 1 B.xx 1 C.x|0%1 D.x l%0）在区间（0甫）上单调递增，则3的最大值为4o()B.1C.2D.48.对于函数y =/(x),若存在x o,使/(而)=一/(一 沏)，则称点O o J(x o)与点(一与，一/(一3)是函数/Q)的一对“隐对称点”若函数/=:2广:;二的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是()A.2-2V2,0)B.(-00,2-2V2 C.(-8,2+2企 D.(0,2+2遮二、多选题(本大题共4 小题

2、，共 20.0分)9.下列选项中，与si n(-丹)的值相等的是()A.2sml5sm75 B.cos!8 0cos420 sml8sm4210.关于函数/(x)=si n 2x -co s2x,下列命题中为真命题的是()A.函数y =/(x)的周期为兀B.直线无=?是y =f(x)的一条对称轴C.点(a 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心D.y =/(%)的最大值是加11.下列说法正确的是()A.若x,y 0,x 4-y =2,则2+2的最大值为4B.若 0,x +y +=3,则9的最小值为1D.函数y =+的 最 小 值 为912.已知函数/(X)=2COS22X-2,下列命题中的真

3、命题有()A.邹 E R,f(x +夕)为奇函数B.3a 6(0,乎)，/(x)=/(x +2a)对 e R恒成立C.V%!，X2 e R,若If(Xl)-/(X2)|=2,则|X1-X2I的最小值为3D.V*i，x2 G /?,若/(x j =/(x2)=0,则x2=kn(k e Z)三、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13 .函数/(x)=lg(2-x)定义域为.14.将函数y =si n x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的函数图象向左平移女个单位，最后所得到的图象对应的解析式是1 5 .f(%)=t a n C x +W)的 单 调 区 间 是 .

4、第2页，共17页1 6.己知函数/(x)=厂 4.若存在正实数k,使得方程/(x)=有三个互不相等Ix 十 x q x的实根与，x2,x3,则X 1+到+X3的 取 值 范 围 是 .四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知2sin0-cos6 _ 33sin0+2cos6 8(1)求tan。的值;(2)求2sin6cos6sin20-cos20的值.18.已知函数/(x)=丸+m 0 6/?)是奇函数.(1)求实数巾的值；(2)判断f(x)的单调性(不用证明)；(3)求不等式/(/一 )+/(-2)0的解集.19.己知tana=4V3,sin(a 0)=等，且。0 a 0)有四个

5、不等实根%1，%2，3/4,证明1%2 4=16;(3)在区间 1,4 上是否存在实数,b(a V b),使得函数f(%)在区间 a,b 上单调,且/(%)的 值 域 为 若 存 在，求出团的取值范围；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】解：丫 A=x|0 x 2,B=(xx 1,A C B=x|0 x 0,sina 0,故a为第一象限角，故选：A.由题意任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的定义，求得cosa 0,且sina 0,由此得出a所在的象限.本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的定义,属于基础题.3.【答案】A【解析】【分析】本题主要

6、考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题.利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：当“时，sine 1成立.6 2第6页，共17页RTT17T当c -时；满足疝I C ，但c ,不成立.6 2 6故 c :是 s i n e -1 的充分不必要条件.6 2故选：4.4.【答案】D12T T【解析】解：因为s i n a c o s a =云 V 0,a E(-,0),从而s 讥a 0,可得c o s a sina=cosa sina)2=V 1 2sinacosa=J l 2 x (|)=1.故选：D.由于s 讥a c o s a =-介 0,利用同角三角函数基本关系式即可求解c

7、 o s a -s i n a 的值.本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.5 .【答案】C【解析】解：函数/(%)是定义在 2,+8)的单调递增函数，若/(2Q2 5Q+4)V /(a2+a +4),则2 2a2-5 a 4-4 a2 4-a +4,解得0 V a W 或2%6,所以实数a的取值范围为(0,勺U 2,6),故选：C.由函数的定义域和单调性可得2 2 a2-5 a +4 7、故：我+(”萨工+石(k e z)，即：37r 247r4+2klT 7 T、一+户3co,即7Tk,且 k 6 Z3 4 2 +1 6k0 c o 2

8、,即3的 最 大 值 为2.故 选c.8.【答 案】B第8页，共17页【解 析】解：由隐对称点的定义可知函数/(X)图象上存在关于原点对称的点，设g(x)的图象与函数y=/+2 x,x 0,贝I x 0)有零点，解得 m=-x-|+2,又因一x-?+2 W-2|x x-+2 =2-2V2.当且仅当x =&时取等号，X y X：.m G(o o,2 2 V 2.故 选：B.由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，进而可解出.本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于基础题.9.【答 案】A B D【解 析】【分 析】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、二倍角公

9、式及两角和的三角函数.求出s i n(一答兀)的值，进而利用二倍角的正弦求值判断4利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D【解 答】解：s i n（一警）=s i n（-2兀+刍）=s i n?=：.6 6 6 2对于 A,2 s m l 5 s m 7 5 =2sinl50cosl50=sin300=对于 B,cosl8 0cos420 sinl8 0sin420=c o s（1 8 +4 2）=c o s 6 0 =与对 于C 2的2 1 5。-1 =930。=学对 于。,因为位几4 5 =2tan22.5l-ta n222.5可 得 潦 募后.与

10、s i n(一二)的值相等的是ABD.O故选：ABD.10.【答案】ACD【解析】解：函数/(x)=sin2x-cos2x=V2sin(2x-对于4函数的最小正周期为T=兀，故A正确；对于B：当久=?时，/(；)=1*V 2,故B错误；对 于C：当 时，=夜sin -3 =0,故点(，0)是y=f(x)的图象的一个对称中心，故C正确；对于。：当2x=2/兀+(/2)时，即 =忆兀+?(上2)时，函数的最大值为近，故。正确；故选：ACD.首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出函数的周期函数的对称轴函数的对称中心和函数的最值，进一步确定A、B、C、。的结论.本题考查的知

11、识要点：三角函数关系的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.11.【答案】BD【解析】解：A若x,y 0,x+y=2,则4+2丫 2 2库 杼=2 x 2=4,当且仅当x=y=l时等号成立，没有最大值，故A错误；B 若x ：,即2x-K 0,则函数y=2x-1+占+1 0,-(x+y)-2yxy,xy=3-(x+y)3-2/xy,即xy+2y/xy-3 5+sinzx coszx、Xsin2x cos V sinzx cos2x2叵 王 巫 王=9,当且仅当2s讥2%=cos2x时等号成立，故O正确；Y sin2x cos2x故选：BD.分别有基

12、本不等式变形，进而求解；考查基本不等式的灵活运用，命题真假的判断，属于高档易错题;第10页，共17页1 2.【答案】BC【解析】解：由题意,/(%)=2COS22X-2 =c o s 4 x 1；v /(x)=cos4x-1的图象如图所示；函数/(+/?)的图象是f Q)的图象向左或向右平移|夕|个单位，它不会是奇函数的，故A错误;f(x)=f(x+2a),cos4x-1 =c o s(4 x +8 a)-1,8 a =2kn,a =-,k e Z；4又a e(0节，.取a =?或 用，/(%)=/(%+2Q)对 R恒成立，B正确；-/(x2)l =|c o s 4%i -COS4X2I=2时

13、,出 不|的 最 小 值 为?=急=%(正 确；当/(/)=/(不)=。时，xr-x2=k T=f c -=y(f c G Z),.-.D 错误;故选：BC.化简函数/(x),画 出 的 图 象，根据图象平移判断函数f(x +0)不是奇函数，判断A错误；根据/(x)=f(x +2 a)求出方程在a e(O，r)的解，判 断8正确；由，(与)4/出)|=2时,Z 一上1的最小值为3 =3判 断C正确；当/&)=/(X2)=0时,与一%2 =/c r =y,判 断。错误.本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的应用问题，是综合题.1 3.【答案】(-8,2)【解析】解：要使函数

14、有意义，可得2-%0,即x 2.函数/(x)=l g(2 -)定义域为:(-o o,2).故答案为：(8,2).直接利用对数的真数大于0,求解即可.本题考查函数的定义域的求法，是基础题.1 4 .【答案】y =s i n()+【解析】解:将函数y =s i n x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，可得函数y =s i n g x 的图象；再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是y =s i n j(x +=)=s i n(|x +的图象，故答案为：y =s i n(i x +).由条件利用函数y =Asinx+3)的图象变换规律，可得结论.本题主要考查函

15、数y =Asin(a)x+9)的图象变换规律，属于基础题.1 5 .【答案】(-|+2%+2 k),k e z【解析】解：函数/(X)=t a n(x +，令一1 +攵7 1 无 +g /+k m k 6 Z,解 得-3 +2k V%V ：+2k,k E Z 9故/(%)的单调区间是(一|+2 k(+2k),k e z.故答案为：(-1 +2年+2k),k ez.利用正切函数的单调增区间得到一5+k n x +l 4 口 一 门7:“且%丰0 xz+4%,x 4作出y =g(x)的函数图象如下:所以直线y =k与y=g(x)的图象有三个交点，设三个交点的横坐标从小到大分别为与，x2,x3)由二

16、次函数的对称性可知与+不=4,令/一 4%=4 可得%=2+2&或 2-2夜(舍去)，所以4%3 1,所以y=Wr为减函数，可得f c o=/一 3在R上为减函数.由/(/X)+/(_2)0,可得X)一/(一2),即/Q 2 -X)2,即/%2 0,所以x 2,故解集为(8,1)U(2,+o o).【解析】(1)根据函数奇偶性的性质，利用f(0)=0进行求解即可.(2)根据函数单调的性质进行判断即可.(3)根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可.本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数的奇偶性的性质，利用转化法是解决本题的关键，是中档题.1 9.【答案】解：(1)因为t an a=

17、4 Q,s i n(a 0)=今，且0 S a 0,所以c o s a=所以 s i n a=1 1 72 7(2)因为。1 a )所以。0,这与试验数据在u =0时有意义矛盾，所以不选择该函数模型；从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+c v,由试验数据得，a +b+c=0.7,8 a +4b+2c=1.6,27 a +9 b+3c=3.3,联立解得：a =0.1,b=02,c=0.8；故所求函数解析式为：Q=0.1*-0.2/+0.8 u,(0 v 3)(2)设超级快艇在A H段的航行费用为y(万元)则所需时间为其小时)，其中：0 3,结合(1)知，y =j (0.1/0.2/+0.8

18、1?)=0.3(v-I)2+7 所以当v =1时，讥=2.1答：(1)相应的函数解析式：Q=0.1/-0.2/+0.8，(0 v3)；当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元；【解析】(1)由表中V,。对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型，并求得相应的函数解析式；(2)利用函数配方求最值可得答案.本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础.21.【答案】解：(1)因为QM=PN=x,所以 MN=O N-O M =V 3-x2-,所以y=MN-PN=x-V3 x2 x2(0 x|).(2)当NPOB=时，QM=PN=则 OM=s

19、in。,又ON=代 cos。，所以MN=ON-O M =y/3cosd-sin。，所以y=MN PN=Ssindcosd-V3sin20(O 。g),即 y=V3sin(20+6 2故当时，y 取得最大值为日【解析】(1)利用QM=PN=x,得到M N的值，从而得到矩形面积的表达式；(2)利用边角关系，将 OM,ON,MM PN均用。的三角函数表示，然后得到)，的关系式，再利用辅助角公式和二倍角公式进行化简，即可求得函数的最值.本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了三角函数最值的求解、二倍角公式和辅助角公式的运用，解题的关键是用变量将所需要的量表示出来，属于中档题.22.【答案】解：(1

20、)令/(x)=0,解得x=1或x=4.(2)证明：如图，要使/(x)=m有四个根，则0 m l,令g(x)=x+：-5,当g(x)=m,则/一(5+4=0,第1 6页，共1 7页.,%4=4,当g(x)=-m,PJiJx2 (5 m)x 4-4=0,：冷,3=4,%i,%2*X3,X4=16.(3)当a,b U L2时，/(久)=5-。+，/(a)=5-(a +，/(b)=5-(b +，由&=m得，5b ab =5a aba b a b即5ab 4(a+b)=0,，b=5a 4由Be(1,2,解得g w a 4,由a 6 1,2),2a 8由7n=3=*=：+三一1，可得2 4 n 白.a a

21、 a2 a z 1 0当a,bU2,4,/。)=5-。+，由f(a)=mb,f(b)ma可得a+b=5,再由f(a)=7nb,得m=5 a-,-4,把b=5-a代入得m=1-4 2,5aaz5 i av 2 a 4,2 b a,A 2 a -,A m E综 上,当a,句 e 1,2时,m e 整 卷);当a,b 6 2,4,m E 翡).【解析】(1)令f(x)=0,求解即可.(2)如图，要使/(x)=小有四个根，则0 小 1,令g(x)=x+-5,当g(x)=m,转化求解四个根的乘积即可.(3)通过a,句 U 1,2时，求解/(a)=5-(a +，/(b)=5-(b+，由3=2=m,转化求解推出机的范围.a b当a,b e 2,4,/(%)=5-(x +1),推出僧=1一5靛，然后转化求解/n的范围即可.本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是难题.