2020-2021学年山东省济南市德润高级高一（下）期中数学试卷 - 解析版.pdf

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1、2020-2021年山东省济南市德润高级中高一(下)期中数试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5分)复 数(2+，)(|3 +4 4 7)的虚部为()A.3 B.-7z C.-3 z D.-7【分析】利用复数的运算化简式子，求得虚部.【解答】解：(2+i)(|3 +4i|T)=(2+i)(5-i)=l l +3 i,.其虚部为 3.故选：A.【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.2.(5分)设向量。=(3,a)，向量6=(-1,2),若向量“与向量6 共线，则机的值为()3 3A.-B.-C

2、.6 D.-62 2【分析】根据。与b共线即可得出6+%=0,从而可得出机的值.【解答】解：a与b共线，.,.3 x2 (1)/?=0,解得 zn =6.故选：D.【点评】本题考查了共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.3.(5分)设向量a =(,3),向量3 =(0,3),若向量2a-3 万与向量3 4-S 垂直,则的值为()A.B.C.y/2 D.土行2 2【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.【解答】解：向量a =(,3),向量6=(0,3),若向量2a-3。与向量3 a-b 垂直，则(2。一 3。)(3 4 6)=6。2-11。/+3=6(2+

3、9)1以9+3 乂 9=0,则 n=+y/3 ,故选：D.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.4.(5 分)已知A A B C 是边长为。的正三角形，那么A A B C 平面直观图 的面积为(）A V6 2 R 2 6?n V6 2A a B a C.c i D a16 32 16 8【分析】由原图和直观图面积之间的关系昆幽=立，求出原三角形的面积，再求直观图S侑 囱 4 A&C 的面积即可.【解答】解：正三角形ABC的边长为a,故 面 积 为 立/，而原图和直观图面积之间的关系4S直观图二,S原图故 直 观 图 4 斤。的 面 积 为 逅/16故选：A.

4、【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查.5.（5 分）如图，在 AABC 中，点。在 8C 边上，Z A D C =60,C D =A D =2,B D=4,则sin 3 的值为（）【分析】由题意可得A4DCt为等边三角形，可得AC=2,NC=60。，由余弦定理求得AC,再由正弦定理可得sin 8.【解答】解：ZADC=60P,C D =A D =2,可得AAZJC为等边三角形，可得AC=2,ZC=60.B C=4+2=6,由余弦定理可得 AB?=AC?+8C?-2AC 8C cosC=4+36-2-2-6-=28,2即 A C =2/7,2 x 6由正弦定理

5、可得si但空=g =筌故选：D.【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题.6.（5分）已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）A.16乃 B.20/C.24zr D.3 2乃【分析】画出图形，正四棱锥P-A B C D的 外 接 球 的 球 心 在 它 的 高 上，记为O ,求出POt,00,解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：正四棱锥P-A 8 8的外接球的球心在它的高上,记为O,P O=A O=R,P 01=3,OOt=3-R,在 必A。中，R2=3 +(3-R)2 得 R=2,球的表面积S=16%【点评】本题考

6、查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是利用直角三角形列方程式求解球的半径，是基础题7.（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为万，则球的体积为（）【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可.【解答】解：截面面积为万n 截面圆半径为1,又与球心距离为1 n球的半径是0,所以根据球的体积公式知唳=亨=卓，故选：B.【点评】本题考查生的空间想象能力，以及生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题.8.（5分）如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）A.ITTCIVT B.8万。2 C.9Trcnr D.1 XTCCITT【分析】由

7、图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的几何体，几何体的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积+半个球面.【解答】解：S =2zr x l x（l +2）+7r x l2+x 4 -x l2=9 故选：C.【点评】本题考查几何体的表面积，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.（5分）已知a,尸是空间中两个不同的平面，m,是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A.若?J _ a,_ L a,则加/B.若 ml/a,ml 10,则a/4C.若 a _ L ,ml

8、 I p ,则D.若 a/?,z_ L a,则【分析】由直线与平面垂直的性质判断4;由直线与平面平行及平面与平面平行的定义判断3；由平面与平面垂直、直线与平面平行的定义判断C；由直线与平面垂直、平面与平面平行的定义判断。.【解答】解：对于A,若 2_ L a,_ L a,则?/，故A正确；对于8,若加/a,m l!P ,则a/6或a与尸相交，故5错误：对于C,若 a _ L/7,ml Ip,则,”/a 或ua或机与a相交，故C错误;对于O,若_ L a,则机垂直a内的所有直线，又a/尸，则机垂直/?内的所有直线，则m V p,故。正确.故选：AD.【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、

9、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.1 0.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2 R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为2万 4B.圆锥的侧面积为2万收C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2【分析】利用圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式即可得出结论.【解答】解：A.圆柱的侧面积=2万 7?*2/?=4 万/?2,因此A不正确；B.圆锥的侧面积=g x 2兀 Rx J（2R）2 +&=亚兀K,因此3不正确；C.圆柱的侧面积=4 汀六，因此与球面面积相等，可得C正确；D.圆柱的体积=开片、

10、27?=2万内，圆锥的体积=上万尺葭2我=二 店，球的体积=生/?3,3 3 3可得它们的体积之比为3:1:2,因此O正确.故选：CD.【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 1.（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）A./F与 CV平行B.与4V是异面直线C./F 与 3M 是异面直线 D.BN与 AE是异面直线【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判定A 与 6;由异面直线的定义判断C与D.【解答】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，跖 与 CV异面垂直，故 A错

11、误；与 4V 平行，故8 错误；8W u平面3 cW,F e平面3cM，A走平面F走BM,由异面直线定义可得，A F与 8M 是异面直线，故C 正确；DEu 平面 ADNE,N e 平面 AZWE,B 任平面 AWE,N 正 DE,由异面直线定义可得，BN与 AE是异面直线，故。正确.故选：CD.【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.12.（5 分）在棱长为1的正方体A 8CD-A SG。中，下列结论正确的是（）A.异 面 直 线 与 g C 所成的角大小为90。B.四面体。|QBC的每个面都是直角三角形C.二面角A-B C-瓦的大小为30。D.

12、正方体ABCD-ASGA的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为正【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A;由正方体的结构特征及直线与平面垂直的性质判断5;求出二面角4-S C-用的大小判断C;分别求出正方体ABC)-A B C Q 的内切球与外接球的半径，作差判断。.【解答】解：如图，在棱长为1 的正方体ABC。-A 8 G q 中，A G，平面 B B G C,则 D -L S.C,又 BC 工 BC,D.C.f BC、=C,B,C 1平面 B C R,则 BtC 1 BD,即异面直线B R 与 B C 所成的角大小为90。，故A 正确；D R 1 底面 A B C D,D D DB,

13、D D J D C ,再由 8 c，平面 DD.C.C,可得3C_L)C,BC DtC,得四面体.O 8 C 的每个面都是直角三角形，故3 正确；由 3C_L 平面。Q G C,可得 BC_LRC,BC CC,即 NRCG 为二面角D I-8 C-q 的平面角，大小为45。，故 C 错误；正方体ABC)-A A G 的内切球的半径为;，外接球的半径为暂，则正方体ABC。-A 6 G A 的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为与，故D正确.故选：ABD.【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.三、填空题：本

14、题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5 分)空间两个角a,的两边分别对应平行，且a=60。，贝!|夕=_60。或 120。_.【分析】根据平行公理知道当空间两个角口与/?的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到力的度数.【解答】解：如图，空间两个角a，力的两边对应平行,.这两个角相等或互补，a=60。，/?=60。或 1 2 0。.故答案为：60。或 1 2 0。.【点评】本题考查平行公理，本题解题的关键是不要漏掉两个角互补这种情况，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.1 4.(5 分)在 四 边 形 中，AB=(4,-2),A C =

15、(7,4),A =(3,6),则四边形 A B C。的面积为 3 0 .【分析】根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形A fiC D 为矩形，再根据向量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积.【解答】解：A B =(4,-2),A C =(7,4),A D =(3,6),4 0 =4 x 3-2 x 6=0 ,BC =A C-A B =(3,6)=AD,D C =A C -A D =(4,2)=AB,A B Y AD,BC/AD,AB I/DC ,：.四边形A B C Z?为矩形，.I AB|=42+(-2)2=72 0 ,|A D|=732+62=/4 5,二.四边形A B

16、C O 的 面 积 为 回 x J 布=3 0 ,故答案为：3 0.【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题.1 5.(5 分)在 A A B C 中，A B =A C =5,B C =6,%1.平面 ABC,上 4 =8,则 P到 3 c 的距离为_ 46【分析】由P是等腰三角形A B C 所在平面外一点，R 4 _L 平面ABC,我们易得m=P C,取 BC的中点 ,则 A C 3 C,且 P D L B C,利用勾股定理我们易求出4）的长，进而求出PD 的长，即点P 到 BC的距离.【解答】解：如下图所示：设 D 为等腰三角形ABC底面上的中点，则 PD长即

17、为P 点到BC的距离又4）即为三角形的中线，也是三角形3 c 边上的高BC=6,AB=AC=5,易得=qAB?-BD?=一 =4在直角三角形R4D中，又24=8;.PD=4非故答案为46【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，做出PD即为点P 到 BC的垂线段是解答本题的关键.16.（5 分）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测得 NC4B=45。，ZCBA=75,43=120米，则 AB:8C=,这条河的宽度为.2-CB【分析】利用正弦定理，把 边 化 角 求 出 丝，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD.BC【解答】解：

18、在 AABC 中，ZG4B=45,ZCR4=75,.-.ZACB=60,由正弦定理得丝=包 =包 竺=逅.BC sin A sin 450 2瓜+五=.-.AC=A 8S in li=-J =60&+2 0 ,sin B sinC sinC V3T作 8 _ L45,则 CD的长为河宽,在 R tA A D C 中，Z C AB=45,:.C D=AC-s in Z C A D=(60 /2 +2 0 6)=60 +2 0 5.2故答案为：逅，(60 +2 0 扬米.2【点评】本题考查正弦定理的运用，属于中档题.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

19、 7.(1 0 分)已知平面向量a=(3,4),b =(9,x),c =(4,y),且。/6,ac.(1)求I与(2)若m =2a-b,九=a+G,求向量相、的夹角的大小.【分析】(1)由4/b 求出元的值，由aJ _c 求出y的值，从而得出人、c；(2)计算而、方,利用平面向量夹角的公式求出c o s V成,n ,即得夹角的大小.【解答】解：(1)由/得 族-4 x 9=0,解得=1 2;由4 _1 _右得9 乂 4 +孙=0,x 1 2所以b =(9/2),c =(4,3)；(2)？=2。一 =(一 3,-4),=4 +C =(7,1)；所 以 次 =-3 x 7-4 x l =-2 5,

20、l”=J(-3)2+(4=5,I n|=+12=52；所以c o s =-=mxn 5X5A/2_ _ J 2 2所以向量，7?、的夹角为四.4【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键.1 8.(1 2分)在 和，in C.=即A_犯 生 2:8$。=4 0 8 +反 0$4 这两个条件中任b a+c选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在 A A B C 中，内角A,B,C的对边分别为a ,b,c,.(1)求角C;(2)c =y/5

21、,a+b=y/u,求 A A 8 C 的面积.【分析】若选择，(1)由正弦定理化简已知等式可得/+/-02=疑，由余弦定理可得c osC =，结合范围2C e(O,%),可求C的值.(2)由题意利用余弦定理可求得外的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.若选择,(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2si nC c osC =si nC,结合C为三角形内角，si nC 皿可得c osC 结合范围CeQ 办 可 求 C的值.(2)由题意利用余弦定理可求得M 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【解答】解：若选择，si nA-si nC =si nA-si nBha+c(1)由

22、正弦定理可得：伫 =巴 心，整理可得:b a+cer+b-c 2=cib,由余弦定理可得c osC=4 一 ：2abah _ 12ab2因为 CE(0,T),所以。=工.3(2)因为。=工，c=Ea +b=拒,3所以由余弦定理/=a?+川-2abcosC,可得5=+匕2 一 =(+。)2 一3 ab=ll-3 ab,解得a b =2,所以心g=；赤 犍=9 2 乂 咚=冬若选择，2c c osC =Q 8 s 3 +Z?c os4,(1)由正弦定理可得：2si nC c osC =si n A c os3+si n5c osA =si nC ,因为。为三角形内角，si nC VO,所以可得co

23、sC=，,2因为Ce(O,幻，所以C=&.3(2)因为C=C,c=6 a +b=5,3所以由余弦定理c?a2+b2-2abcosC,可得5=，/+b2-ab=(a+b)2-3ab=11-3ab,解得ab=2,所以 SMBC=g46sin C=g x 2x 曰=.【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.19.（12分）如图，矩形AD防 与梯形43C D 所在的平面互相垂直，AQ_LCQ,ABIICD,AB=AD=2,CD=4,用为 CE 的中点.（I）求证：8M/平面（II）求证：BC 平面BD

24、E.【分析】（I）取 D E中点N,连结MN,A N,证 明 四 边 形 为 平 行 四 功 形，从而可证 8W/平面（）先证明ED_L平面4 5 8,可得E D J_ 3C,再利用勾股定理，证明B C _L 8D,利用线面垂直的判定定理，证明8 c，平面3DE.【解答】证明：（I）取 D E中点N,连结MN,AN.在 AEOC中，M,N 分别为EC,的中点，（2 分）所以必V/C D,且 MN=，C。.2由已知 AB/CD,AB=-C D,2所以MN/U 5,且=所以四边形M W 为平行四边形.（4 分）所以 BM/AN.又因为ANu 平面ADEF,且 8M 仁平面ADE尸，所以BA7/平面

25、A D E f.（6 分）（II）在矩形4）防 中，EDA.AD.又因为平面 4）F _L平面ABC。，且平面 4）E F C 平面A B C D=A D ,所以_L平面4 3 8.所以 _ L 3C.（9 分）在直角梯形ABCZJ中，A B =A D =2,C D =4,可得8c=2&.在 ABCE中，BD=BC=2 ,C D =4,因为 B O?=C 2 ,所以 8C_LB.因为B OE=O,所以BC_L平面8 E.(13分)【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.20.（12分）如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱

26、柱ABC-A81G中，F,F1分别是AC,A G 的中点.求证:（1）平面AB/平面G BF；(2)平面 A 46 _L平面 ACGA.cB【分析】（1）由题意得出瓦片/8/，AFJ/CF,从而证明平面A B E”平面G B P；（2）由题意知A A _ L平面AS G，得 出 片 片,明；再由四片-L A G，得出8/L平面A C CX,从而证明平面A B M _ L平面ACC,A,.【解答】证明：（1）在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A B C-A与G中，F,匕分别是A C,AG的中点，:.B、FJ/BF,AFJ ICF；又与耳A耳=耳，C内BF=F,平面A B/平面C产尸.（2）

27、在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A B C 4.B C中，4 4,J L平面ABC，耳耳 _ L 4 4 ；又 A GAA=A，J.平面 4 C G A，又用平面ABE，平面A B M _ L平面A C G A.【点评】本题证明了空间中的平行与垂直关系的判定与性质的应用问题，是基础题.21.（1 2分）在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D是正方形，侧面R4）是正三角形,平面PADA.底面A B C D.（1）证明：M _ L平面R 4 D；(2)求 面 加)与面P/M所成的二面角的正切值.【分析】(1)根 据 平 面 皿 _ L底面A B C D以 及 即 可 证 得 相，

28、平面E 4 )；(2)利用面积射影法，求出面2 4。与面包)8所成的二面角的余弦值，即可求出面A 4 Q与面PD B所成的二面角的正切值.【解答】(1)证明：底面A B C D是正方形，.-.ABA.AD,平面底面A 8 C D,平面R W C底面 钻8=4),由面面垂直的性质定理得，A B _L平面P A D；(2)解：由题意，A P8D在面附。上的射影为A E 4 D.设 A D a,则 SSPAD=-a2,A P3。中，P D =a,B D =y2a,PB=0 a ,SA/WJ=g x a x J 2/=乎?,面Q 4 )与面尸D B所成的二面角的余弦值为77 面 NX与面也出所成的二面

29、角的正切值为2 2 K【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查面皿与面尸用 所成的二面角的正切值，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.2 2.(1 2 分)如 图，四边形 A B C Z)中，Z A D C =-,A D =AB=BC=JiCD,A E=E C,沿2对角线A C将A A C D翻折成A A C H ,使得BD=B C .(1)证明：BEYCDi(2)求直线B E与平面W所成角的正弦值.jycB B【分析】(1)证 明1：取CD的中点为K,连EK,BK.证明EKLCD.BK CD.然后证明BE_LCD;证明2：连O ,推出5_LEZy.BE A.A C,

30、得 到 班，平面AC。，即可证明3E_L C.(2)取A的中点F,连 所，BF,说明BH即为直 线 破 与平面所成的角.通过求解三角形推出直线3E与平面W所成角的正弦值即可.【解答】(1)证 明1：取C。的中点为K,连K,BK.AE=EC,:.EK/AD.又 47 _LCD,:.EKCD.在 AfiCD 中，BC=BD,:.BK1CD.;.CD_L平面BEK,:.BEA.CD.证明 2：连 ZX E,设 C77=l,W O AD=AB=BC=BD=y/3,;.Eiy=,BE=42,BE2+DE2=DB2,:.BE1,EU.又在等腰AA8C中，BE VAC,平面 AC。，:.BELCD.(2)解：取AZ)的中点尸，连EF,BF,AE=EC,:.EF/CD.又 47_LCD,.A iyE F.又由题意知4 3。为等边三角形，：.AD 1.BF,平面3E产.在平面BEP内作尸于”，又EH LAD,二 四，平面A3.NEB”即为直线BE与平面/R O所成的角.设 CZT =1,则 AQ=JL EF=,BF=、,2 2FF 1sin NEBH=sin NEBF=二一，BF 3直线BE与平面ABD所成角的正弦值为L3【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.