2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一(下)期中数学试卷一、单选题(本大题共10小题，共40.0分)1.已知集合4=x|/=%,B=-1,0,1 ,则4 n B =()A.1 B.0,1 C.-1,0 D.-1,0,1)2.设复数z满足2(3-。=10。为虚数单位)，则 团=()A.3 B.4 C.V10 D.103.若向量五=(2,3),E=(1,2),则/小=()A.4 B.2 C.2 D.44.荏=反 是 四 边 形 48C C 构成平行四边形的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在4BC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

2、c,若4=30。，B=45。，a=2b，则b=()A.V6 B.V2 C.V3 D.2V66.若向量五=(1,一 2),b=(3,-1).则与B共线的向量是()A.(-1,1)B.(-3,-4)C.(-4,3)D.(2,-3)7.在 ABC中，内角A,8,C 所对的边分别为a ,c,c?=a?+炉 百 帅，则C=()A.60 B.30 C.60或 120 D.1209 .平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：PA+PB+PC=A B，则下列结论正确的是()A.P在 C A 上，且 方=2m B.P在 A B 上，且 而=2而C.P在 8 c 上，且 丽=2玩 D.P点为A A B C 的

3、重心10 .若钝角力B C 的内角A,8,C 满足A +C =2 B,且最大边长与最小边长的比值为相，则机的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+8)C.3,+8)D.(3,+8)二、单空题(本大题共7 小题，共 3 6.0 分)11.已知c os(1。)=|,3 G (0,),贝 U sin O=；cosO-.12 .已知向量五=(%3),石=(4,6),若五石，则实数x的值为；若五1 石,则实数 x的值为.13 .在A 4 B C 中，角 A,B,C所对的边分别为a,h,c.若a =V 7,b =2,A=6 0,则sinB=,c=.14 .已知向量五=(2,1),b=(-3,1).贝+;

4、向量不在向量方的投影向量是.15 .已知瓦，宅是单位向量，超=2瓦+可，而=-/+3 可，而=4瓦-五，若 A,B,。三点共线，则实数2=.16 .已知向量五=(c os。,sin。)，b =(1,V 3).则|2 3+B|的 取 值 范 围 是.17 .南宋数学家秦九韶在儆学九章少中提出“三斜求积木”，即以小斜募，并大斜幕,减中斜暴，余半之，自乘于上：以小斜寤乘大斜基，减上，余四约之，为实：一为从隅.开平方得积.现设 A B C 中，a,A c 分别为角A,B,C所对的边，S 为面积，则“三斜求积木”可用公式S=J；c 2 a 2 -(立 亭 丽 表示.若a =3,且b c osC c c

5、osB =巴，则 A B C 面积的最大值为_ _ _ _ _ _.3三、解答题(本大题共5 小题，共 7 4.0 分)18 .已知向量汇=(1,一1),b =V 2,且(2 万+3)7 =4.(1)求向量4 与石的夹角;(2)求|五+方|的值.第2页，共14页19.已知a,b,c 分别为 ABC三个内角A、B、C 的对边，且a2+非一 c?=B a b,则:(1)求角C；(2)若a=b=2,求ABC的面积.20.在A ABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,h,c,且百asinB-bcosA=0.(1)求角A 的大小；(2)若a=l,求 a的取值范围.21.在三角形ABC中，AB=2,AC

6、=1,4ACB=枭 D是线段B C 上一点，且 前=：反，F 为线段4 8 上一点.(1)若 同=x 而 +y 而，求x-y 的值；(2)求 而 同 的取值范围.2 2.已知函数/(%)=/+2%氏一 Q|4 x,其中(1)当Q=1时，方程/(%)=5恰有三个根，求实数人的取值范围；(2)若关于工的不等式/(%)-1 在区间百2 上恒成立，求实数。的取值范围.第4页，共14页答案和解析1.【答案】B【解析】解：.A=0,1,B=-1,0,1,二 A n B=0,1.故选：B.可求出集合A,然后进行交集的运算即可.本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.2.

7、【答案】C【解析】解：由z (3-i)=10得z=券=0靠：)=3 +i,贝 U|z|=VTo.故选：c.根据复数的基本运算法则进行化简即可.本题主要考查复数模长的计算，比较基础.3.【答案】D【解析】解：向量五=(2,3),b=(-1,2).则五 b=-2+6=6故选：D.直接利用向量的数量积求解即可.本题考查向量的数量积的运算，坐标运算，是基础题.4.【答案】B【解析】解：四边形ABC。构 成 平 行四边形=荏=觉，反之不一定成立，A,B,C,。四点可能共线，AB=泥是四边形A B C D构成平行四边形的必要不充分条件，故选：B.利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论.本题

8、考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5 .【答案】D【解析】解：因为4 =3 0。，B=4 5 ,a =2 百，由正弦定理得，号=上，sinA stnB所以b =竺 姓=巴 理=2 遍.sinA-2故选：D.由已知结合正弦定理即可直接求解.本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.6 .【答案】C【解析】解：向量方=(1,2),b =(3,1),则为+方=(4,一 3)，所以与五+B 共线的向量是2(4,3),其中;l e R；当；1 =一1 时，共线向量是(一4,3).故选：C.根据平面向量的坐标运算与共线定理，判断即可.本题考查了

9、平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题.7 .【答案】B【解析】解：cosC=吆匕=酗=更，2 ab 2 ab 2 C G (0,TT),1.C=3 0 ,故选：B.利用余弦定理将方程变形得到a 2 +加一 c 2 的表达式即可得到.本题考查余弦定理的应用，考查余弦定理的变形问题，属于低档题.第6页，共14页8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题.先判断函数的奇偶性，再利用/(兀)的符号确定选项.【解答】解：y f(.x)xcosx+sinx,则 f(-x)=xcosx sinx=f(x),/(x)为奇函数，函数图象关于

10、原点对称，故排除C,D,当x=兀时，y=/(7 T)=rtcosit+sin;r=-n 0,故排除 B,故选：A.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量加法的几何运算，向量共线的判断，属于基础题.将 成+两+正=四中的而移向，再化简整理得出 而=2方即可求解.【解答】解：将方+而+定=布移向得：PA+PC=A B-B,即：PA+PC=AB+JP=A P，再 移 向 得#=2 万，而与同共线，P 在 CA上.故选：A.10.【答案】B【解析】解：设三角形的三边从小到大依次为“，b,c,因为4+C=2 B,贝 必 l+B+C=3B=180。，故可得B=60。，根据余弦定理得：cosB=S+J-

11、竺_ 1,于是(2=a2+c2-ac,2ac 2因为 2BC为钝角三角形，故a?+炉 一 c 2 0,于是2a2-a c 2,则m=(2,即m e (2,+8).故选：B.由题意首先求得的大小，然后结合余弦定理即可得到m的取值范围.本题主要考查余弦定理及其应用，属于中等题.1 1 .【答案】II【解析】解：因为C O S 6。)=|,所 以si n e =|,又。e(o,|),所以 cos。V 1 si n20 -_ 4一 5故答案为：利用诱导公式以及同角三角函数关系求解即可.本题考查了三角函数的求值问题，诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查了运算能力，属于基础题.1 2.【答案】2 3【

12、解析】解：向量五=(x,3),h=(4,6)，若云3，则6 x 3 x 4 =0,解得x =2；若五 J L&，则 4 x -3 x 6 =0,解得 =(故答案为：2；利用共线的坐标运算即可求解x的值；利用向量垂直，数量积为0即可求解x的值.本题主要考查两个向量共线的性质，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题.13.【答案】亨3【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题.第8页，共14页由 正 弦 定 理 得 上=二一，由此能求出s in B,由余弦定理得c os 6（r =也 上，由此能求sm60 stnB 2x2c出 C.【解答】解：在 A B C 中，角

13、 A,B,C所对的边分别为a,b,c.a =k，b=2,A=6 0,由正弦定理得：一、=白，即=二一，sinA sinB sin60 0 sinB解得5讥8=草=叵.V7 7由余弦定理得：c os/1=b 2+c 2-a 即c os 6（T=把 匕，2 bc 2 x2 c解得c=3或c =一 1（舍），故答案为：叵；3.714.【答案】遍-3 b【解析】解：.向量方=（2,1）,b=（-3,1），a+b=（-1,2），.a+b =V（-l）2+22=V5，二向量五在向量方的投影向量|弓I cosd 奈=需，b =一沙故答案为：V 5;匕 根据已知条件，运用向量模的计算公式和向量的投影公式，即可

14、求解.本题考查了向量的线性运算，向量的投影，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.15.【答案】5【解析】解：由 已 知 可 得 前=配+方=（4 一1）瓦*+2瓦,因为A,B,。三点共线，则 而=前，即2 前+与=可（；1-1）江+2可，所以；:,一 1），解得4=5,故答案为：5.由已知求出向量80,然后利用三点共线建立关系式，即可求解.本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的问题，属于基础题.16.【答案】0,4【解析】解：,向量五=cosO,sinO）,b=（1,遮）,2 五 +方=（2 cos9 4-1,2s讥8+遍），=7 8 4-4 y/3 sin0 4-4 cos0 =+

15、8 sin(0+孑)，当sin(。+=-1 时，|2 方+石|取得最小值0,当sin(0+=l 时，|2 五+石|取得最大值4.|2 五+方|的取值范围是0,4.故答案为：0,4.根据向量苍=(cos0,sin。)，b=(l,V3)，求出|2 五+B|,利用三角函数的图象与性质，即可求出的|2五+的取值范围.本题主要考查了向量的模和三角函数的图象与性质，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题.17.【答案】?【解析】bcosC-ccosB=二由余弦定理知，b 贮 勺 =至,2ab 2ac 3V a=3,：b 9+b*2-*c2誓 _（C 2_9）2,当C2=9,即c=3时，s 取得

16、最大值些.4故答案为：越.46b9+/-匕2 _空6c-3化简得，b=V3c.s=曲C2a2 _ /2 +；-振）2=_ 卢产）2=1 J-C4+18c2-y =第10页，共14页利用余弦定理对已知等式进行化简，可得b =Bc，代入s中，将其转化为关于c的函数，再根据二次函数的图象与性质，即可得解.本题主要考查解三角形，还涉及利用二次函数解决最值问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)由五=(1,1)得|为|=V2,v|h|=V2,且(28 +b)b=2五 b+b=2 ab cos(a,b)+2=4 cos(a,b)+2=4,cos(a,b)=p向量五与石的夹角为

17、6 0。.(2)|a +K|=Jfa+b)*2=y/a2+2 a-b+b五|2 +2 a|b|c os(a,K)+|6|2=V6-【解析】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的求法，考查计算能力.(1)利用向量的数量积的运算法则化简已知条件，转化求向量五与方的夹角；(2)通过向量的模的运算法则转化求解|方+9|的值.19.【答案】解：(1)由余弦定理知，c os C =老 火 士 =缥=立，2ab 2ab 2 ,C E(0,71),n C =6-(2)v a =h =2,1 -1 -IA B C 的面积 S=-absinC=-x 2 x 2 x-=l.【解析 1(1)由余弦定理求

18、得c os C的值，即可得解；(2)由S=g a b s iz iC,得解.本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理和正弦的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.20.【答案】解：(1)由正弦定理知，意=高，v y/SasinB-bcosA=0,A y/3sinAsinB 一 sinBcosA=0,-sinBO,.：V3SmA-cosA=0,即 加4=鬻=菖，v A 6(0,7T),47 16(2)由正弦定理知，目bsinB?1b 前=痂，即b=2sinB,6 2A/3/J-a=2V3-2sinB-1 =4V3sinB-1，vB G(0,),A sinB 6(0,1,6，-2

19、36 a (1,4V3-1【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由同角三角函数的商数关系，得解；(2)由正弦定理推出b=2sinB,再结合B (0,法)，知sinB的取值范围，从而得解.本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.21.【答案】解：前=：玩，.AD-AB=(A C-A D),即|而=而 +评，.-.AD=-AB+-AC,3 3又 而=%+yACy2 1 x=-9 y=3 z 3211x y=-=J 3 3 3(2)在48C中,AB=2,AC=1,/-ACB=p Z.CAB=p BC=V

20、3,-FA=(CA+AFyFA=CA-F A -AF-设I而I =%,由题意，%6 0,2,CF-E4=CAFA cosCAB 一|行=一 =一(一 了十卷,第12页，共14页又X E 0,2 ,一0-：）26 -3,勺,即 赤 瓦 5 的取值范围为-3,2 .4 1O 1O 1O【解析】(1)由平面向量的线性运算可得而=I荏+l c,由平面向量基本定理即可求得 X,y的值，由此得解；(2)设|而|=x(0 x 1 2 x,xl1作出y =f。)的图象，由图象可得当一3 b 一1 在区间E，2 上恒成立，等价为%2 +2 xfx-a|-4 x 1,即为|x-a|22二 叱=2-三一升亘成立，1 1 2x 2x 2等价为Q 之2 ；+旦成立或Q -l,运用绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，结合函数的单调性和基本不等式可得所求范围.本题考查方程根的个数和函数恒成立问题解法，考查等价转化思想、数形结合思想和运算能力，属于中档题.第14页，共14页