2020-2021学年山东省济南市德润高级中学高一（下）期中数学试卷（解析版）.pdf

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1、2020-2021学年山东省济南市德润高级中学高一（下）期中数学试卷一、选 择 题（共8小题，每小题5分，共40分）.1.复 数（2+i）（|3+4 4-i）的虚部为（）A.3 B.-7 z C.-3/D.-72.设向量之=（3,m），向量2），若向量；与向量E共线，则，的值为（）3 3A.B.-C.6 D.-62 23.设向量（n,3），向量E=（O,3），若向量2之-3芯 与 向 量 垂 直，则拉的值为（）A.土 冷 B.士 堂 C.7 2 D.7 34.己知A B C是边长为a的正三角形，那么A B C平面直观图/!B C的面积为（）5 .如图，在A B C 中，点。在 B C边上，Z

2、A D C=6 0 ,CD=AD=2,B D=4,贝l si n B 的值 为（）A.1 B.且 c.近 D.叵2 6 14 146 .已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）A.16 T t B.20i r C.24 n D.32n7 .用与球心距离为l的平面去截球，所得的截面面积为m则球的体积为（）A.4 B.必 C,我 兀 D.322L3 3 r 38.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）A.litem2 B.8n cw2 C.9n c/?z2 D.11 n ew2二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给

3、出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。9.已知a,0 是空间中两个不同的平面，m,是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A.若，w _ L a,n a,则 机 B.若加a,机0,贝！a 0C.若&_ 1_ 0,m 0,则，”_ L a D.若&0,m a,则根J _ 010.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2 R 相等，下列结论正确A.圆柱的侧面积为2TTR2B.圆锥的侧面积为如R?C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：211.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命

4、题正确的是（）C.A 尸 与 是 异 面 直 线 D.BN与。E 是异面直线12.在棱长为1 的正方体A 8C-A i 8Ci n 中，下列结论正确的是（）A.异面直线8Di与SC所成的角大小为90B.四面体。8 C的每个面都是直角三角形C.二面角。-B C-B i的大小为30D.正方体A 8C。-A山的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为返匚2三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.空间两个角a,p的两边分别对应平行，且a=6 0,则0=.14 .在四边形A B C。中，瓦=(4,-2),菽=(7,4),标=(3,6),则四边形A 8CD的面积为.15 .在A A

5、B C 中，A B=A C=5,BC=6,PA _ L平面 ABC,PA =8,贝ij P 至l j BC 的距离为.16 .如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测得N CA 8=4 5 ,N CB A=7 5 ,A B=120 米，贝I A B：BC=,这条河的宽度为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .已知平面向量彳=(3,4),E=(%x),3=(4,y),且！1(1)求b与c；(2)若：=2:-台n=a+c,求向量；、三的夹角的大小.1 8 .在s 1 nA-s 1 n C/iA-s 41电,2 c c

6、 o s C=a c o s B+6 c o s A这两个条件中任选一个，补b a+c充在下面问题中的横线上，并解答.在 4 B C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角C：(2)若 c=乖,a+b=A/li-求A B C 的面积.1 9 .如图，矩 形 与 梯 形A 8 C。所在的平面互相垂直，A D L C D,AB/CD,A B A D=2,C D=4,“为C E的中点.(I )求证：B M平面A O E尸；(I I)求证：B C L B D E.20.如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A B C-A B iG 中，F,M 分别是AC,4 G 的中点.求证:(

7、1)平面 ABiFi 平面 CiBF；(2)平面ABiFiJ_平面ACG4.B21.在四棱锥尸-4BC D中，底面A2CZ)是正方形，侧面PAO是正三角形，平面底面 ABCD.(1)证明：平面PAD；(2)求面PA。与面PQB所成的二面角的正切值.22.如图，四边形 A BCD 中，Z A D C=,AO=AB=BC=C,A E=E C,沿对角线AC将ACO翻折成AC。，使得BD=BC.(1)证明：BE VCD,-,(2)求直线BE与平面ABO所成角的正弦值.参考答案一、选 择 题(共 8 小题).1.复 数(2+t)(13+4/1-/)的虚部为()A.3 B.-7/C.-3i D.-7解:,

8、:(2+z)(|3+4z|-i)=(2+Z)(5-0 =11+3;,.其虚部为 3.故选：42.设向量；=(3,m)，向量E=G1,2)，若向量；与向量E共线，则?的值为()3 3A.B.-C.6 D.-62 2解：安 与E共线，/.3 X 2-(-1)/n=0,解得m=-6.故选：D.3.设向量Z=(n,3)，向量E=(0,3)，若向量2 7-支与向量eZ-E垂直，则 的 值 为()A.土 乎 B.土 里 C.7 2 D.7 3解：向量Z=(n,3)，向量芯=(0,3)若向量2之-3石与向量sZ-E垂直，则（21-3京（3；-0 =6=-11；%+3铲=6（层+9）-11X9+3X9=0,则

9、 =士 ,故选：D.4.己知ABC是边长为。的正三角形，那么A8C平面直观图AA B C 的面积为（）,2o 2 7-,3 2 cA.-a-B.-C.-a-D.16 32 16醇解：正三角形A B C的边长为“，故面积为返层，而原图和直观图面积之间的关系S 4S原图=返4 _故直观图 B C的 面 积 为 逅a2.16故选：A.5.如 图，在A8C 中，点。在 8 c边上，ZADC=60,C D=A D=2,8 0=4,贝l sinB 的值 为（)A.1 B.近 c.近 D.叵2 6 14 14解：ZAD C=60 ,C D=A D=2,可得AQC为等边三角形，可得AC=2,/C=6 0 ,3

10、 c=4+2=6,由余弦定理可得 AB1=A C1+BC1-lACBCcosC=4+36-226工=28,2即A C=2板,由正弦定理可得sinB=铝 乎 匚=2义孚=叵，福 14故选：D.6.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）A.16n B.20Tl C.24n D.32T T解：正四棱锥P-A 5C Q 的外接球的球心在它的高尸Oi上，记为。，P O=A O=R,尸。=3,001=3-/?,在 RtZV100 中，R2=3+（3-R）2得 R=2,，球 的 表 面 积 16ir故选：A.7 .用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为m则球的体

11、积为（）AA.-8兀 RB.冗 Cr.对o 2 兀 rD.-3y2兀-解：截面面积为n=截面圆半径为1,又与球心距离为1 n球的半径是正,所以根据球的体积公式知v球=4 2宜 上 返2 L,3 3故选：B.8 .如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）B.8 T le m 2C.9 7 1 c m 2D.1 lnc/n2解：S=2兀 X I X (1+2)+兀 X l24 y X 4兀 x l2=9 n,故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.已知a,0是空

12、间中两个不同的平面，机，是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A.若 z _ L a,_ L a,则m B.若 m a,m 0,则。0C.若 a，B，m 0,则加，a D.若 a由 则 z _ L 0解：对于A,若mJ _ a,n a,则 7 ，故A正确；对于8,若z a,m 0,则a 0或a与0相交，故B错误；对 于C,若a _ L 0,m 0,则加a或m u a或m与a相交，故C错误；对于。，若加J _ a,则?垂直a内的所有直线，又a 0,则加垂直0内的所有直线，则m p,故。正确.故选：AD.1 0.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2 R 相等，

13、下列结论正确的 是（）A.圆柱的侧面积为2 irR 2B.圆锥的侧面积为2TTR2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2解：A.圆柱的侧面积=2 n R X 2 R=4 n R 2,因此A不正确；B.圆锥的侧面积=,X 2 n R （2 R）2+区2=旄江叱，因此B 不正确；C.圆柱的侧面积=4 n R 2,因此与球面面积相等，可得C 正确；D.圆柱的体积=1 1/?2）正确.故选：CD.1 2.在棱长为1 的正方体A8C-AIBIG 口 中，下列结论正确的是（）A.异 面 直 线 与 5 c 所成的角大小为90B.四面体Q D BC的每个面都是直角三角形C.二

14、面角。i-B C-B i的大小为30D.正方体ABCO-的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为退二2解：如图，在棱长为1 的正方体ABCO-A/iG U 中，5 C J 平面 BBiCC 则 G G _L B|C,又 SC L B G,GCr BG=C,平面 BGO”则 C iC _L g,即异面直线8。与 S C 所成的角大小为90,故 4 正确；Qi_L底面 A8CC,：.DDiLDB,D D il.D C,再由 BC_L平面 QQiGC,可得8C，Z）C,BCDtC,得四面体O Q 8C 的每个面都是直角三角形，故 8 正确；由 8CJ_平面。iG C,可得 BC_LOiC,B C

15、 C C i,即 N O C G 为二面角A-B C-B i的平面角，大小为4 5 ,故C错误;正方体A BCD 的内切球的半径为&外接球的半径为返，2 2则正方体A B C D-A C x D的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为返匚,2故。正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.空间两个角a,0的两边分别对应平行，且a=60 ,则J=60 或1 2 0 空间两个角a，0的两边对应平行，.这两个角相等或互补，.飞=60 ,.邛=60 或 1 2 0 .故答案为：60 或1 2 0 .1 4.在四边形 A 8C3 中，7B=(%-2),正=(7,

16、4),而=(3,6),则四边形 A BC。的 面 积 为30 .解:A B-2),菽=(7,4),箴=(3,6),蔗标=4 X 3-2 X 6=0,B C=A C-A B=6)=标，DC=A C-AD=(*2)=标，A7B-L AE 前 标,ABDC.四边形A8CD为矩形，,*,1 ABl=V42+(-2)2=VsO,ADl=V32+62=V45,.四边形A B C D的 面 积 为 5X J 届=30,故答案为：30.15.在ABC 中,AB=AC=5,8c=6,P4_L平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离为 4、壮.解：如下图所示：设D为等腰三角形ABC底面上的中点，则P D长

17、即为P点到B C的距离又4。即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高：BC=6,A B=A C=5,易得 2=4在直角三角形PA。中，又；PA=8故 答 案 为 4/516.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测得NCAB=45,NCBA=75 ,AB=120 米，则 AB,B C=j _,这条河的宽度为（60+20仃）米.解：在ABC 中，NC4B=45,NCBA=75,Z A C B=6 0a,由正弦定理得AB_sinC _ sin600BC sinA sin4502.AC ABsinB sinC.4 c 研.sinBsinCV64V2120X-=60 扬 2

18、 0 遍,2作C _ L A B,则C 的长为河宽,在 R t Z A OC 中，NC4 8=4 5。，：.CD=AC-sinZCAD=-(60扬2 0捉)=60+2 0 .故答案为：器，(60+2 0 73)米.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知平面向量彳=(3,4),3=(9,x),3=(4,y),且Z E，-a-L 求E与4(2)若7=2彳-芯，n=a+c,求向量7、三的夹角的大小.解：(1)由得标-4 X 9=0,解得x=12；由之_1_ 3得9 4+刊=0,MH 3 6 3 6 、解得 y=-=-=-3；x 12所 以 芯=(9

19、,12),c=-3)；K=2；-b=-3,-4),n=a+c=(7，1)；所以*：=-3 X 7-4 X 1=-2 5,1 i r l=。(-3)2+(-4)2=5，l n l=V 72+l2=5V 2；所以 co s-255X 52一 返2，1 m I X I n I所以向量；、：的夹角为筌.18.在sinA-sinC/11-山-311一 电,2 cco s C=aco s B+反o s A这两个条件中任选一个，补b a+c充在下面问题中的横线上，并解答.在a A B C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1)求角C；(2)若。=遥，a+b=J Y i，求ABC 的面积.解：若选择，

20、sinA-sinC 二sinA-sinB,b a+c(1)由正弦定理可得：,整理可得：a2+b2-=ab,b a+c2 ,2 2 讣 I由余弦定理可得co s C=且 二 _=/=4，2 ab 2 ab 2因为 Ce (0,n),所 以C=-.TT_ _(2)因为 C=-,c=巡，a+b=7 Tl o所以由余弦定理 c2=a2+b2-2 ab e o s C,可得 5=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=11-3abf解得ab=2,所以 SABC=X/?s i n C=X 2义*=爽 2 2 /2 2若选择，2 cco s C=acosB+bcosA,(1)由正弦定理可得：2 s i n

21、Cco s C=s i r b 4 co s B+s i n Bco s A=s i n C,因为。为三角形内角，s i n CW O,所以可得COs C=y,因为 CW(0,7 1),所以c=2.九_ _(2)因为 C=w，c=娓,a+b=，H，所以由余弦定理,AB y CE-所以 MN A2,且 M N=AB.所以四边形A B M N为平行四边形.所以 BM/AN.又因为ANu平面A D E F,且BMC平面AD E F,所以8 M平面AOEF.(I I )在矩形 AOEF 中，E D 1.AD.又因为平面AOEFL平面ABCD,且平面AD E FC平面ABCD=AD,所以E J _平面A

22、BCD.所以E)_ L8 c.在直角梯形ABC。中，A B=A D=2,8=4,可得BC=2&.在BCD 中，BD=BC=2 V 2 CD=4,因为 所以 BC_ LBD因为BOn E=,所以BCJ _平面B O E.AC2 0.如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A B C-481 G 中，F,Q分别是AC,4 G 的中点.求证：(1)平面A S A 平面CiBF；(2)平面 A8|Fi J_平面 ACCiA.【解答】证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A由C i中，V F,尸 1分别是AC,A iG 的中点，：.BF/BF,AF1/7C1F；又：B|Fin

23、AFi=Q,CiFCBF=F,平面 ABIFI 平面 CBF.(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A8C4BiG 中，,.，AAi _ 1 _ 平面 ABC,BF J_ AAi；又:房尸i_L4Q,AICIAA4I=AI,8F 平面ACCA,又 BiQu平面 ABF,平面 A8iFi _L平面 ACCiAj.2 1.在四棱锥P-ABC力中，底面ABC。是正方形，侧面PA。是正三角形，平面P A C 底面 ABCD.(1)证明：ABL平面PA。；(2)求面PAO与面PQB所成的二面角的正切值.【解答】(1)证明：.底面ABC。是正方形,：.ABLAD,平面 PAO_ L 底面 ABC

24、C,平面 PAOCI 底面 ABC)=A。,/.由面面垂直的性质定理得，A8 _ L平面PAD-.(2)解：由题意，P8。在面PA。上的射影为?!).设 A=a2，4 aPB。中，P D a,BD-J2a,PB=yi,.SB=/X a X2a2 a2 2/Z4 42a，面P A D与面P D B所成的二面角的余弦值为平，V 7/.面P A D与面P D B所成的二面角的正切值为名=工返.V3 32 2.如图，四边形 A BCD 中，Z A D C=,A D=A B=B C=y C D,A E=EC,沿对角线A C将AC。翻折成AC。，使得B D=B C.(1)证明：BE A.CD；(2)求直线

25、B E与平面ABZT所成角的正弦值.【解答】(1)证 明1：取 8 的中点为K,连EK,BK.：AE=E C,J.E K/AD.又 AD J _ C。，：.E KCD.在BCZT中，BC=BD,：.BK1,CD.C 平面 BEK,：.BEL CD,.证明 2：连。E,设 C=1,则 4Z7=AB=8C=8D=,：.ED=,B E=&,：.BE2+DE2=DB2,.BEADED,.又在等腰ABC中，BE VAC,平面AC,J.BEVCD,.(2)解：取AD的中点F,连EF,BF,：AE=EC,：.EF/CD,.又 A_LC,：.ADEF.又由题意知ABO为等边三角形，：.ADBF,.A。平面 BEF.在平面BEF内作E”J_BF于”，又EH_LAD,平面 ABZT.ZEBH即为直线BE与平面48所成的角.设 C=1,则 A O=,E F=p BF=-|,sin ZEBH=snZEBF=EF 1fBF 3直线BE与平面A3。所成角的正弦值为方.