2020-2021学年江苏省苏州市昆山市柏庐高级中学、周市高级中学高二（下）第二次段考数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年江苏省苏州市昆山市柏庐高级中学、周市高级中学高二（下）第二次段考数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.（）分）1 .下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A./(x)=|x|,g(x)=V x7C./(x)=言，g(x)=x +12.(x-专 T 展开式的常数项为()A.-56 B.28B./(x)=V x g(x)=(V x)2D./(x)-(VZX)2,5(X)-C.56 D.283.20 20 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这

2、5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1 名医生和1 名护士被选中的概率为（）A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.34.已知函数f（x）=4%3/n|x|,则/（x）的图象大致为（）5.某校高二期末考试学生的数学成绩我满分1 50 分）服从正态分布N（75,M）,且P(60 f 9 0)=()A.0.4B.0.3C.0.2D.0.16.已知函数/(x)的定义域为 1,2,则函数g(x)=/(2x)+J T K 的定义域为()A.0,1 B.-1,0 C.-i,1 D.-|,0 7.定义在R 上的函数/(x)满足/(x)=/(2-x)及/(x)=-/(-%)，且在 0,1 上有/(x)

3、=r2,则/管)=()8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设=/?,用 幻表示不超过x 的最大整数，则 丫 =口 称为高斯函数，也称取整函数，例如：一 3.7 =4,2.3 =2,已 知/(切=需 一 5则函数y =/(x)的 值 域 为()A.0 B.-1,0 C.-2,1,0 D.-1,0,1 二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9.已知a、b、c、d 是实数，则下列一定正确的有()A.a2 4-h2 B.a +工之2aC.若工 9则Q v ba bD.若 Q v b v O,c d bd1 0 .下列说法正确的是

4、()A.对于独立性检验，f 的观测值越大，判 定“两变量有关系”的把握越大B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1C.随机变量 B(n,p),若E(x)=30,D(x)=2 0,则n =45D.以;=c e匕拟合一组数据时，经名=my 代换后的线性回归方程为;=0.3%+4,则c =e4,k=0.311.下列函数中，是奇函数或者增函数的是()A./(%)=sinx+(0%)B,/(%)=-%2+4x(0%0恒成立”的充分不必要条件可以是()A.一2 0 B.a C.a D.a 0),得 劭=,若(劭+。2+。2020)2-(%+。3+02019)2=1，则Q=.16.函数/(x)

5、=冷 1 的 递 增 区 间 为；若a e 一表0,则函数g(x)=(x-2)1-a(x+2)零 点 的 取 值 范 围 是 .四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.已 知/(外=式 誓。一 1)(1)解不等式/()9；(2)求f(x)的最小值.18.己知函数/(无)=ln(x+1)ax的图象在=2处的切线与直线2x+3y+1=0平行.(1)求a 的值；(2)若关于x的方程=i(m-2x)在区间 1,3 上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.19.已知函数/(%)=/+c(b,c c R),且f(%)W 0的解集为(1)求函数/(%)的解折式(2)解关于的不等式m/(x)2(

6、%一?n-1),(m 0)；(3)设g(x)=2f(x)+3 i,若对于任意的修，冷 W -2,1都有|g(xi)g(%2)|SM,求M的最小值.20.党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效,建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且f

7、lOx2+500%,0 x 40车辆当年能全部销售完.(1)请写出2020年的利润%)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润=销售一 成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.21.某大学为了解数学专业研究生招生情况，对近五年的报考人数进行统计，得到如数据：第 4 页，共 17页年份20152016201720182019X12345报考人数y3060100140170(1)求y关于久的线性回归方程:一：，并预测2020年(按=6计算)的报考人数;y-u JC 十 C L(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N OR2).根据往年统计数

8、据，n=385,M=225.录取总分在400分以上的人，请预测2020年该专业录取的人数(最后结果四舍五入，保留整数).参考公式：其中8=瑞 等 欢 空，a-v-b x-y-bx+a 优式须r)2 Q-y ox参考数据:若随机变量 X N(,o2),则 P(-aX n +a)=0.6826,P(fi-2a X 4+2。)=0.9544,P(-3b X 1).(1)证明：/(x)递增；(2)已知4 0,若关于x的不等式/(e)伍x 2 M-i 在(i,+8)上恒成立，求4的范围.答案和解析1 .【答案】A【解析】解：.只有当定义域和对应法则相同的时候，才能保证函数相同，可知选项8、C、。中，定义

9、域不同.选项A中，定义域和对应法则都相同，:只能选A.故选：A.只有当定义域和对应法则相同的时候，才能保证函数相同.本题考查同一函数的判断，考查同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .【答案】D1 1 2 4-4 r【解析】解：由。一泰）8 展开式的通项图+1 =或 严-_ 2）=（-l）rCrx,解得r =6,即。一表）8 展开式的常数项为（1）6 年=2 8,故选：D.1 24_4r _ A r由二项式定理及展开式通项公式得：Tr+1=Q 8-r（一表）r =（1）禺 丁，令当竺=0,解得r =6,即（X一壶）8 展开式的常数项为（一1）6 可=2 8,得解.本题考查了

10、二项式定理及展开式通项公式，属中档题.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.由题意样本空间所包含的样本点总数n（0）=cl=1 0,设恰有1 名医生和1 名护士被选中第 6 页，共 17页为事件4,则事件4包含的样本点个数n(4)=废=6,由此能求出恰有1名医生和1名护士被选中的概率.【解答】解：重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则样本空间所包含的样本点总数n(0)=谶=1 0,设恰有1名医生和1名护士被选中为事件4则事件4包含的样本点个数建(4)=C洌=6,则(4)=黯=卷=6-

11、故选：C.4.【答案】A【解析】解：当x 0,故函数/(x)在(-8,0)单调递增，排除选项B C；当x 0时，/(x)=4x-3lnx,f(x)=4 -1，易知，函数/(x)在x =；取得极小值，排除选项D.故选：A.当x 。时，求导可知/(x)在久=：取得极小值，排除选项。，进而得解.4本题考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查数形结合思想,属于基础题.5.【答案】D【解析】解：.数学成绩f服从正态分布N(7 5 4 2),则正态分布曲线的对称轴方程为x =7 5,又P(6 0 f 9 0)=|1 -P(6 0 f 9 0)=i(1 -0.8)=0.1.故选：D.由已

12、知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知P(6 0 f 9 0)=0.8,结合正态分布曲线的对称性得答案.本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量/和。的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.6 .【答案】D【解析】解:因为函数/Q)的定义域为-1,2 ,所以在函数g(x)=2 x)+-2 工 中,4解 得 卜 岸 31,B P-i x 0,l x：,但a b,C 错误；a b。中，若a b 0,c d b 0,-c d 0,则根据不等式的性质可知ac b d 0,故。正确.故选AD.10.【答案】AD【解析】解：对于独立性检验，产的观测值越大，判 定“两变量有关系”犯错误

13、的概率越小，把握越大，故 A 正确；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于1,故 8 错误；随机变量f B(n,p),若E(x)=np=30,D(x)=np(l-p)=2 0,则凡=9 0,故 C 错误；以J=c e-拟合一组数据时，经z=y代换后的线性回归方程为;=o,3x+4,。=/，k=0.3,故 O 正确.故选：AD.直接利用独立性检验和变量间的关系，回归直线的相关系数，均值和方差的关系，回归直线的方程的应用判断4、B、C、。得结论.本题考查独立性检验和变量间的关系，回归直线的相关系数，均值和方差的关系，回归直线的方程的应用，属于基础题.1 1 .【答案】BD【解析】

14、解：根据题意，依次分析选项：对于4,/(x)=sinx+(0%其定义域为(0,；),不是奇函数，设t =sinx,则y =t +在区间(0 片)上，t=s i nx 为增函数，且0 t 解可得 1 或x -1,函数的定义域为%|x 1 ，有f(-x)=归 宗=Tg言=函数/(%)为奇函数，符合题意，故选：BD.根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案.本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及复合函数的单调性，属于基础题.1 2 .【答案】CD【解析】解：/(%)为R 上的奇函数，且在(-8,0 上单调递增，./()在R 上单调递增,1,faex+2%)+f(xlnx-x2)0,

15、:.faex+2 x)f(xlnx x2),v f(x)为奇函数 faex+2%)f(x2 xlnx),f(x)为增函数，ae%+2x x2-x b i x 在(0,1 上恒成立，a、(,-x2-x-ln-x-2-x)x M。*,X 6 (/0c,1di-设g(X)=%(0(1)则。，(为 二 经 也 等 卫 2,令g，Q)=o,则XU。，第10页，共17页目 一 ITZXQ XQ+3 =0,*,ITLXQ XQ 3,当x w(O,%o)时，g(x)单调递增，当xwQo，l)时，g(x)单调递减，当 =3时，g(%)取得极大值也为最大值为/_ 瑶r o g _ 3)_ 2%o _%o _ J

16、_ .2 _g(X。)西-e o+3 -K 0 -e3 .对任意的尤G (0,1 ,不等式恒成立时a 的范围为 专,+8),琮 分 S 琮 +8),E，e)金 琮 +o o),故选：CD.根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为a (巴 警 卫)盯X G(0,1 ,再利用导数求最值即可.本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系，以及分参后利用导数求最值是解决本题的关键.1 3 .【答案】2 2(尤2 0)【解析,】解：；y(V x _ 1)=3 x=2 !x l2,故/(x)=2 x2(x 0),故答案为：2 2。2 0)利用配凑法可求 )解析式；本题考查的知识点是函

17、数解析式的求法，熟练掌握求解函数解析式的方法及适应范围,是解答的关键.1 4 .【答案】7 2【解析】解：根据题意，设4 个侧面为4、B、C、D,先给底面涂色，有4 种涂法，/：cX然后给4 面涂色，有3 种；给8 面涂色，有2 种；/y-给C 面，若C 与4 相同色，则。面可以涂2 种；若C 与4 不同/色，则D 面可以涂1 种，所以共有4 x 3 x 2 x(2 +1)=7 2；故答案为：7 2.根据题意，设4个侧面为4、B、C、D,先给底面涂色，再分析4、B、C、。的涂法，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列组合的应用，涉及四棱锥的几何结构，属于基础题.15.【答案】1 企【解析】解

18、：已知（Q X-I）2 0 2 0=%+atx+a2x2 H-F a2020 x 2 0 2 0（a 0）,令 =0,可得a。=1.令X=1得，（Q-1）2020=%+%+g+Q 2020，令X=-1得，（-Q 1）2020=%Q +例-g+02020，而（Q。+。2+-卜 a2020）2 （。1+。3 T-卜 a2019）2=（。0+-a2020）（a0-一。3+。2020）=（a-l）2 0 2 0（-a-l）2 0 2 0=（a-l）（-a-l）2 0 2 0=（。2 1）2020=1,解得Q=/（负值和0舍）.故答案为：1,V2.令X=0,可得劭的值；分别令 =-1 以及X=1,即可求

19、解Q的值.本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题.16.【答案】(8,2),(-2,4-00)1,2【解析】解：,/（%）=（工于一2）,f(x)=(x-l)(x+2)ex-(x-2)ez _ x2e(X+2)2 0,(X+2)2,函 数/（%）=王 姬 的递增区间为（一 8,-2）,（-2,+oo）；令gQ)=(%2)e*a(x 4-2)=0,当x=-2时，g(x)。0,故。=累？*，函数f(x)=在(-oo,-2),(-2,+8)单调递增,当 T 8时，/(%)0且/(%)t 0；当 一 T 一

20、 2时，/(%)T+00;第 12页，共 17页当+-2 时，/(%)0 0;当久 一+8时，/(X)T +8;又Q G -|,呼-1)=-|，/2)=0，故X G -1,2 .故答案为：(8,2),(2,4-o o)；1,2 .依题意，可得/。)=熹*20,从而可得f(x)的递增区间；分离参数&=震 蜻，利用第一问的结论，用极限思想可得a 的取值范围.本题考查利用导数研究函数的单调性，考查极限思想与综合运算能力，属于难题.1 7 .【答案】解：(1)由x 一1 可得+1 0,故+.丝1 2 9可得，x2+6 x+9 9x+9,X+1即%2 3%0,解得K 3,又,，x -1,.%-1%3,故

21、/(%)9的解集(-1,0 U 3,+8)；(2)由%-1 可得+1 0,由基本不等式可得，/(X)=+6 X+9=生曳！=+1)+2 2=x +l+4,八 x+1 x+1 x+1 X+1?2心 +1)/+4 =8,当且仅当汽+1 =即 =1 时取等号，X+1因此函数f(x)取得最小值8.【解析】本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题.(1)由已知把分式不等式可转化为二次不等式，即可进行求解；(2)由/(%)=立 丝 型=任 过=口+1)+邛=x+l+4然后结合基本不等式即可求、/八/x+l x+1 x+1 x+1解.1 8.【答案】解：(1)由/(x)=l n(x

22、+l)a x,得/(=一 源 函 数 的 图 象 在 x =2 处的切线与直线2 x +3 y +1 =0 平行，八 2)=|-a-|,=1.(2)由(1)知,/(x)=l n(x+l)-x,二 由 f(x)=(m-2 x),得m=3 bl(x +1)-x,令 g(x)=3/n(x +1)-x,则 g(x)=/，二当lx 0；当2 x4 3时，g (x)1，得g(l)-g 0,g(l)2(x m 1),即(m x 2)(%1)0,所以当m=0 时，不等式的解集为(-8,1),当0 根 2时，不等式的解集为(一 8,$u (1,+8),(3)因为 E 2,1 时f(x)+3x-=7+2%3 6

23、-4,0 ，所以g(x)e 七,1 ，当|g(%)-g(x 2)l 4M时,M g,所以M的最小值为患.16第1 4页，共1 7页【解析】(1)由不等式的解集，可知二次函数的根，由韦达定理可得解析式;(2)对m进行分类讨论，解不等式即可；(3)关键是求|g(xi)-9(盯)|的最大值，由g(x)的单调性即可求得最值.本题主要考查二次函数的图象与性质，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)当0 x 40时,L(x)=9 x 100%-901x-+4300-2500=1800-(x+C10 x2+400%2500,0 x 4 0 ；(2)当0 x 40时，L(x)=1800-(x+1500,.当

24、x=100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元.【解析】(1)直接由题意分类写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量百辆)的函数关系式；(2)分别利用配方法与基本不等式求出两段函数的最大值，求最大值中的最大者得结论.本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用配方法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题.21.【答案】解：=|(1+2+3+4+5)=3,y=1(30+60+100+140+170)=100,Sp=1(%i-%)2=10,.b=阴=式 4 400)=P(X 385+15)=产=0 1 587,录取人数为：208 x 0.158

25、7=33.01 7 33,即2020年该专业录取的人数大约为33人.【解析】(1)由已知表格中的数据求出,；的值，令x=6即可解出；(2)研究生的考试成绩大致符合正态分布N(385,152),求出P(X 4 0 0),再由(1)即可解出.本题考查了回归直线方程，正态分布的性质，学生的数学运算能力，属于基础题.22.【答案】解：证明：1 1,2xlnx-2xlnx-x+-令9(x)=2xlnx x+1,则g(x)=2lnx 一点+1，当x 6(l,+8)时 丁 g(%)0,g(x)在(l,+8)上单调递增，且g(l)=0.,当%1 时，g(x)g(l)=0,即/(%)0,/(%)在(L+8)上单

26、调递增；(2)v A 0,x 1时，In%0,.不等式/(e&)ln x x2-1 可化为f (e&)U，即/(e&)/(x).e&(l,+8),由(1)知,/(%)在(1,+8)上单调递增,故只需e族 2 工 在(1,+8)上恒成立.两边同时取自然对数，得M In x,SPA 也恒成立，X令w(x)=?(X 1),则d(x)=，当x (l,e)时，“(x)0,9(%)单调递增，当x(e,+8)时,(p(x)0即可；(2)由题意，原 不 等 式 等 价 于 喘，由(1)f(x)在(1,+8)上单调递增，得只需 x在(1,+9)上恒成立，即 等恒成立，构造函数 1),求出 p(x)的最大值即可求解.本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查了转化思想,属中档题.