2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之半角模型.pdf

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1、2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之半角模 型（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.如图所示，在 RtAABC中，A B=A C,。、E 是 斜 边 上 的 两 点，且ND4E=45。,将AAOC绕点A 按顺时针方向旋转90。后得到 4 尸 8,连接E R 有下列结论：5E=D C；Z B A F=Z D A C；NE4E=NZME；B F=D C.其中正确的有（）【答案】C【分析】利用旋转性质可得 A B F A C D,根据全等三角形的性质一一判断即可.【详解】解：；AADC绕 A 顺时针旋转90。后得到 AFB,：./ABFACD,：.Z B A F=Z

2、C A D,AF=AD,B F=C D,故正确，A Z E 4F=Z B A F+Z B A E Z C A D+Z B A E A B A C -ZDA=90-45=45=NDAE故正确无法判断BE=C,故错误，故选：C.【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.2.如图，正方形ABC。边长为2,5M、ON分别是正方形的两个外角的平分线，点 P,。分别是平分线BM、ON上的点，且满足NE4Q=45。，连 接 PQ、PC.C Q.则下列结论：BPOQ=3.6；Z Q A D=Z A P B,NPCQ=135。；BP2+D Q2=P Q2.

3、其中正确的有（）DAA.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】C【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断.【详解】,四边形 ABC。是正方形，.AO=AB=2,ZBAD=90,ZPA Q=4 5,二 /84P+/Q A D=45,：8例是正方形的外角的平分线，.ZMBC=135,，ZB A P+ZA PB=4 5,：.Z Q A D=Z A P B,二正确：:B M、ON分别是正方形的两个外角的平分线，/.尸=/QD4=135。，Z QA D=ZA PB,：./A B PA Q D A,：.B P：

4、D A=B A：D Q,:.B P-D Q=B#=*=4,二错误；:.B P：D A=B A：D Q,.四边形ABC。是正方形，：.A B=B C=C D=D A,:.B P：B C=D C：D Q,；B M、ON分别是正方形的两个外角的平分线，NPBC=NQDC=45。,二BPCs/XOCQ,：.ZBCP=ZDQC,：.ZPCe=360-Z BCD-Z BCP-ZCC=90,BC=4,AB=AC,NCBD=30。，M,N 分别在 8。，CD 上，N M AN=4 5,则 AOMN 的周长为.【答案】26+2【分析】将 ACN绕点A 逆时针旋转，得到 A B E,由旋转得出/N A E=90。

5、，AN=AE,ZABE=ZACD,ZEAB=ZC A N,求出N E A M=/M A N,根据 SAS 推出 AEMAANM,根据全等得出MN=ME,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出 DMN的周长=B D+D C,代入求出答案即可.【详解】将 ACN绕点4 逆时针旋转，得到A A B E,如图：由旋转得：NNAE=90,AN=AE9 NABE=NACD,/E A B=/C A N,ZBAC=ZD=90,ZABD+ZACD=360-90-90=180,ZAB)+ZABE=180,:E,B,M 三点共线，V ZMAN=45f ZBAC=90,.ZEAM=ZEAB+ZBAM=Z

6、CAN+ZBAM=ZBAC-NMAN=900-45=45,NEAM=NMAN,在 AEM和 ANM中，AE=AN/EAM=NN AM,AM=AMA/AEM/ANM(SAS),；.MN=ME,：.MN=CN+BM,.在 Rtz 8C 中，NBDC=90。,ZCBD=30,BC=4,-CD=g BC=2,BD=BC2-CD2=yj42-2r=2 也,:./DMN 的周长为 DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2y/3+2,故答案为：26+2.【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键.4.如图，在 RtA ABC 和 Rt

7、A BCD 中，ZBAC=ZBDC=9Q,BC=8,AB=AC,NCBD=30。，BD=4出,M,N 分别在 BD,CD 上，NMAN=45。，则 DMN 的周 长 为.【答案】4g+4.【分析】将 ACN绕点A逆时针旋转，得到 A B E,由旋转得出/NAE=90。，AN=AE,ZABE=ZACD,NEAB=NCAN,求出/E 4 M=N M 4 N,根据 SAS推出 AEM丝4VM,根据全等得出M N=M E,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出。C,即可求出AQMN的周长=8D+OC,代入求出即可;【详解】将AC7V绕点A逆时针旋转，得至如图：由旋转得：NM4E=90。，AN=AE,N

8、ABE=NACD,NEAB=NCAN,：ZHAC=ZD=90,：.ZABD+ZACD360-90-90。=180。，ZABD+ZAB=180,：.E,B,M三点共线，V ZMAN=45,ZBAC=90,：.NEAM=NEAB+NBAM=ZCAN+ZBAM=ABAC-ZMAN=90-45。=45。，NEAM=/MAN,在 AEM和 A M 0中，AE=AN 公AM=NNAM,AM AM：./AEM/ANM(SAS),:.MN=ME,：.MN=CN+BM,.在 RtA 8C)中，ZBDC=90,NCBD=30。,BD=46,CD=BDxtanZCBD=4,二 ADMN 的周长为 DM+DN+MN=

9、DM+DN+BM+CN=BD+DC=4g+4,故答案为4 G+4.【点睛】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线.5.在 AABC中，ZACB=90,CA=CB,点 E,尸在 A 8边上，NEC尸=45。.若AE=10,EF=1 5,则 BF 的长为.【答案】5标【分析】将CE绕点C顺时针旋转90。得到C G,连接GB,G F,可得AACE丝Z iB C G,从而得FG2=AE2+BF2,再证明AECF丝G C F,从而得后 产 二人序+台 产，进而即可求解.【详解】解：将CE绕点C顺时针旋转90。得 到C G,连接G3,GF,/ZBCE+ZECA=ZBC

10、G+ZBCE=90：.ZACE=ZBCG.,在4CE与ABCG中,CE=CG9：ZACE=ZBCG,AC=CB：.AACEABCG(SAS),A ZA=ZCBG=45,AE=BG,：.NFBG=NFBC+NCBG=9U。.在/?/FBG 中，NFBG=90,/.FG2=BG2+BFQ=AEr+BF2.又丁 ZECF=45,:.ZFCG=NECG-NECF=450=ZECF.在 ECF与A GC/中，EC=CG=180。，点 N,M分别在边BC,C D ,ZAWV=60。，请直接写出线段BN,DM,MN之间的数量关系.【答案】(1)M N =D M +B N,证明见解析；(2)MN=8N DW,

11、证明见解析；(3)M N =D M +B N.【分析】(1)根据正方形的性质和旋转的性质可证VADM会AABE,利用SAS可证VAMN丝 VAEN,则可得：M N =D M +B N ；(2)根据正方形的性质和旋转的性质可证VADM丝AABE,利用SAS可证VAMNAAEN,则可得：M N =B N -D M ；(3)根据正方形的性质和旋转的性质可证VADM四AABE,利用SAS可证VAMN0VAEN,则可得：M N =D M +B N ；【详解】证明：(1)如图，：四边形ABCD是正方形；.AB=AD,ZABC=ADC=?BAD=90将VADM绕点A 顺时针旋转90,得至lj.ABEVADM

12、 丝 AABEAM=AE,DM=BE,ZA1AD=EAB fjMAE=BAD=90*?MAN 450?EAN?MAN 45在AAMN和AAEN中IAM=AEi?M4N?EAN|AN=4N VAMNVAEN(SAS)MN=EN,:EN=EB+BN=DM+BN,:.MN=BN+DM(2)如图，将VADM绕点A 顺时针旋转90,得到 M EMBEC N图；四边形ABCD是正方形；.AB=AD,/iABC=ADC=?BAD=90,/VADM绕点A 顺时针旋转90,得到.ABE/.VADM 丝 AABE：.AM=AE,DM=BE,fjMAD=EAB 1AE=BAD=90,?MAN 450?EAN?MAN

13、 450在AAMN和AAEN中IAM=AEMAN?EAN|AN=AN VAMN丝VAEN(SAS)MN=EN,/BN=EB+EN=DM+MN,即：MN=BN-DM；(3)如图，D将VADM绕点A 顺时针旋转120,得到.ABEVADM 丝.A B E：.AM=AE,DM=BE,EAB fjMAE=BAD=120PQDMAN=60 回N=MAN=60在AAMN和AAEN中AM=AE2 MAN?EANj AN=AN VAMN名VAEN(SAS)MN=ENQEN=BE+BN MN=DM+BN；【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会.

14、7.如 图，在正方形A5C。中，点尸在直线C 上，作射线A P,将射线AP绕点A 逆时针旋转45。，得到射线A。，交直线CD于 点。，过点8 作 BE_L4P于点E,交 4。于点尸，连接。凡（1）依题意补全图形;（2）用等式表示线段E,E F,。尸之间的数量关系，并证明.【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF,证明见解析.【分析】（1）根据题意补全图形即可.（2）延长F E 到 H,使 根 据 题 意 证 明 A 8“丝 A O F,然后根据全等三角形的性质即可证明.【详解】（1）补全图形(2)BE+DF=EF.证明：延长在至U 4,使 E 4=E F：BE LAP,：.AH=A

15、F,：.ZHAP=ZFAP=45,.四边形A B C。为正方形,：.A B=A D,ZB A D=9 0：.ZB A P+Z2=4 5 ,：Zl+ZB A P=4 5.*.Z1=Z2,4B H丝A Q F,：.D F=B H,：B E+B H=E H=E F,：.B E+D F=E F.【点 睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.8.已知，NPOQ =9 0 ,分 别 在 边O P,上 取 点A,B,使。4=0 8,过 点A平行于。的 直 线 与 过 点8平 行 于。尸的直线相交于点C.点 E,F分别 是 射 线。尸，。上动点，连接 C E,C F,E

16、F.(1)求证：O A =O B =AC=BC；(2)如 图1,当 点E,尸分别在线段A。，B0上,且NE C F =45时，请 求 出 线 段 /，A E,8尸之间的等量关系式；(3)如 图2,当 点E,F分 别 在A 0,8。的延长线上，且ZE C尸=1 35时，延 长A C交EF于 点 M ,延 长 BC交 EF于 点 N .请 猜 想 线 段 N,N M ,尸M之间的等量关系，并证明你的结论.【答 案】见解析；E F =AE+BF；(3)M N?=E N?+尸 才，见解析【分 析】(1)连 接A 8,通 过NPOQ =9 0 ,OA =O B得 到 为 等 腰 直 角 三 角 形，进而

17、得到N O A B =NOB A =45,根 据 过 点A平 行 于。的直线与过点5平 行 于0 P的直线相交于点C,可推出NC8A=45。，ABAC=4 5,最后通过证明1 0 8 岭A4CB,可以得出结论；(2)在射线AP上取点。，使 A=8 F,连接8,通过证明“CAD丝VCBF,得到CD=CF,NAC=Z B C F,再结合/E C F=45,ZAC3=90 推导证明 AECD丝ECF,得到m=E F,最后等量代换线段即可求解；(3)延长AO到点。，使得4 5 =8尸，连接8,通过证明CADNCBF,得到CD=CF,ZACD=Z B C F,再结合 NECF=135，推导证明 AECD

18、 也得到 ND=N b M,根据N)=N C F 3,等量代换可知N C R W=N C F8,又因为AC O Q,推出ZMCF=A C F B,进而得到MC=M F,同理可证CN=E N,最后根据勾股定理即可求解.【详解】解：(1)证明：连接AB.ZPOQ=90,OA=OB,AAOB为等腰直角三角形，ZOAB=ZOBA=45,又1 BC/OP,且 ZPOQ=90,BCLO Q,/C M =90,NCBA=45,同理，ABAC=45,在 AOB与4ACB中-AB=AB,ZOBA=ZCBFAAOB 且 ZACB(ASA),ZAOB ZACB=90,OA=OB=AC=BC(2)如图1,在射线AP上

19、取点。，使=连接C7).ho图 1Q在 CAD与VCB/7中CA=CB 4 CAD=4CBF,AD=BF/.CADVCBF(SAS),.CD=C F,ZACD=ZBCF,v ZCF=45%ZACB=90 S*-ZACE+ZBCF=45%ZACE+ZACD=ZECD=45,NECD=/E C F,在AECD与A E C F中CD=CF NECD=NECFCE=CE.AECD g八ECF(SAS),*.ED=EF,又=ED=AD+AE=BF+AE,EF=AE+BF.(3)MN2=EN2+FM2.证明如下:如图2,延长AO到点。，使得AQ=即，连接。.在/力。与VC8/中CA=CB+ZCB=90,/

20、B C F +/D C B =900=NDCF,/F C D =/B C A =9 N,NEC尸=135。，/E C D =360-90-135=135，.ZECF=/E C D,在AECD与E C F中EC=EC,NGAE=/D4E=45,/GCE=90。，进而可证得 G4E丝D 4 E,根据全等三角形的性质证得GE=D E,再根据勾股定理即可得出结论；(3)当点。在点B 右侧时，将 ABD绕点A 逆时针旋转60。至 A C G,可证得ZGAE=ZDAE=30,ZGC=120,进而可证得 G4E丝 !根据全等三角形的性质证得GE=E,过 G 作 G H L E C,交 EC延长线于H,设 C

21、 E=x,易求得GE=OE=4-x,EH=x+),G H=B,在AGHE中，由勾股定理可求得CE的值；当点。在点8 左侧时，同样的方法可求得CE的长.【详解】解：(1)：四边形A8CO是正方形，：.AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=90,.,将 ADF绕点A 顺时针方向旋转90。至4 A8G,：.AG=AF,BG=DF,ZGAB=ZFAD,NABG=ND=90,ZABG+ZABC=90+90=180,点 G、B、E 共线，ZEAF=45,：.ZBAE+ZFAD=45f：.ZBAE+GAB=45f 即 ZGAE=45：.ZGAE=ZFAEf 又 AG=AR AE=AE,：./A E G/A

22、E F(S A S),:.GE=EF,；GE=BE+BG=BE+DF,:BE+DF=EF,故答案为：BE+DF=EF,AAEG；(2)猜想：BDZCE2二DE2,理由为：V ZBAC=90,AB=AC,：.ZABC=ZACB=45,如图2,将 ABD绕点4 逆时针方向旋转90。至A C G,连接EG,：.AG=AD,CG=BD,ZGAC=ZDAB,ZACG=ZABC=45,：.ZACG+ZACB=45+45=90,：.GE2=CG2+-CE2f.,NDAE=45。,：.ZDAB+ZEAC=45,：.ZGAC+EAC=45f BPZGAE=45:.NG AE=N D AE,又 AG=AO,AEA

23、E,(S A S),：.GE=DEf :GE2=CG2+CE2=BU+CE2,A B D2+C E2=D E2；图2(3):ABC 中，ZBAC=60,AB=AC=5,:4BC为等边三角形，二 ZABC=ZACB=60,由题意，点，E 均在直线8 c 上，点。在点E 的左侧，且ND4E=30。,二当点。在点B 右侧时，BD=1,如图3,将 4 8 0 绕点A 逆时针旋转60。至 A C G,连接EG,：.AGAD,CG=BD=1,ZGAC=ZDAB,4 C G=4 8 c=60。，V ZDAE=30,ZBAC=60,ZDAB+ZEAC=30,.N G A C+4A C=30,即/G 4E=30

24、：.NG AE=N D AE,又 AG=AD,AE=AE,.GAE丝DAE（SAS）,：.GE=DE,过 G 作 G H L E C,交 EC延长线于从ZECG=ZACG+ZACB=60o+60=120,NGCH=6Q。,在 RtAGC“中，CH=CG-cos600=-,G，=CG sin6（r=走，22设 C E=x,易求得 GE=DE=4-x,EH=x+y,在A G/E 中，由勾股定理得：（4-x）2=*+；）2+（正）2,解得：BPCE=|；当点。在点B 左侧时，BD=同理，将 A8O绕点A 逆时针旋转60。至 A C G,连接EG,易证 AGAE丝D 4 E,得 GE=DE,过 G 作

25、 G H L E C,交CE于H,：ZACG=ZADB=120,ZACB=60,/GCH=60。,在 RtA GCH 中，C”=CG-cos60=!,GH=CG-sin60=正，2 0设 C E=x,易求得 GE=DE=6-x,EH=x-,在AGHE中，由勾股定理得：（6-x）2=（x-；）2+（正）2,2 2解得：x=35,即 C E=35,综上，CE的长为3方5 或;5.【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解一元一次方程、锐角三角函数等知识，综合性强，难度适中，熟练掌握相关知识的性质与运用，正确作出辅助线

26、，借助旋转性质得出全等三角形是解答的关键.1 0.（1）如图，在正方形A B C Z）中，E、F分别是B C,C。上的点，且 NE 4F =45。.直接写出8 E、D F、E F 之间的数量关系；（2）如图，在四边形A B C。中，A B=A D,Z =Z D =9 O,E、F分别是B C,CD.的点，且=求证：EF=B E+D F;（3）如图，在四边形A B C。中，AB =AD,Zf i+ZA D C=1 8 0,延长8 c 到点E,延长C O到点F,使得=则结论EF=3E+尸是否仍然成立？若成立，请证明;不成立，请写出它们的数量关系并证明.E【答案】（1）E F =B E+D F,理由见

27、详解；（2）见详解；（3）结论EF=BE+FZ）不成立，应当是E F=B E-F D.理由见详解.【分析】（1）在 C 的延长线上截取。连接A M,证出AABE丝AO M,根据全等三角形的性质得出再证明得 E F=F M,进而即可得出答案；（2）在 CO的延长线上截取。G=B E,连接4 G,证出 ABEgAAD G,根据全等三角形的性质得出B E=O G,再证明AAEF丝A G F,得 E F=F G,即可得出答案；（3）按 照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在8E上截取8 G,使 BG=。凡 连接A G.根 据（2）的证法，我们可得出。尸=BG,GE=E F

28、,那么E F=G E=B E-B G=B E-D F.所 以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的.【详解】（1）解：E F =B E+D F,理由如下：在正方形 A8CO中，AB=AD,ZB=ZADM=90,A B E=A D M，/.Z B A E=Z D A Mf A E=A Mf:ZE4F=45,ZBAE+ZDAF=ZDAM+ZDAF=90-45=45,/.ZEAF=ZMAF=45tXVAF=AF,AE=AM,，AAEF%AAMF,:.EF=MF=MD+DF=BE+DF；(2)在CO的延长线上截取O G=3E,连接A G,如图,V ZADF=90,ZADF+ZADG=SO0,：.NAO

29、G=90。，V Z B=90,.N3=NAOG=90。，:BE=DG,AB=AD,：.AABAADG(SAS),:/BAE=/DAG,AG=AEf：.ZEAG=ZEAD+ZDAG=ZEAD+ZABE=/BAD,：ZEAF=-ZBAD,2ZEAF=ZEAG,:.ZEAF=ZFAG9：AF=AF,AE=AGf：.(SAS),:.EF=FG=DF+DG=EB+DF；(3)结论=族+尸。不成立，应当是EF=BE-FD,理由如下:如图，在3E上截取B G,使BG=O F,连接AG.AVZB+ZADC=180,ZADF+ZADC=180,：.ZB=ZADF.在 ABG与 AD尸中,AB=AD=/A8 F+

30、/A8 C=60+60=12 0,过点尸作FHLBD交DB的延长线于点H,则N F B =6 0。，在 FBH 中,NFBH=60,贝尸=1,F H=8尸s i n 60=2 x 2 =石，2 2则 FD=ylFH2+HD2=y/l=ED故DE=不；（3）当 O E=A。时，贝i J/a 4 E=NO E4=7 5 ,贝1/4。：=18 0-2*7 5=3 0,在等腰 AB C 中，Z B A C=15 0,则 N A B C=/4 C 8=15。，将 AEC围绕点A旋转到AAPB所在的位置（点F对应点E）,连接O F,由（2）同理可得：A O E出4 ）尸（S AS）,：.DF=DE,：ZA

31、DE=ZABC+ZBAD=5+ZBAD=30,故/B A =15=ZABD,：.A D=B D=E D,设 8。=。，则 A O=B=a,则 BE=2”，过点C作C H I B A交B A的延长线于点H,贝叱HAC=2/A8C=30。，在 ABC 中，A B=A C=娓+近,ZHAC=30,设 A C=x,则 C H=!X,A H x,22由 8C2：（AB+AH）2+HC2 得:B C=（X+且 X）2+（；x）2,22将 x=#+近代入上式并解得：BC=4+2G；在4）中，A D=D E=a,ZADE=30,同理可得：A E=巫一拒a,2V ZABE=50,N A E B=7 5。,故NB

32、AE=90,在 R/AABE 中，AB2+AE1=B E ,即（V6+V2）2+（巫_&a）2=（2a）2,2解得。=2（舍去负值），故“=2,则 80=2,C E=B C -2a=4+2 月-4=2 6 ；当 OE=AE时，8。对应中的CE,故 B D=2 ；综上，8 0=2 或 2劣.B D E C图2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.1 3.如图，CA=CB,C A Y C B,Z E C F =45,C D =C F,Z A C D =ZBCF.D(1)求N

33、ACE+NB C/的度数；(2)以E为圆心，以A E长为半径作弧；以尸为圆心，以8尸长为半径作弧，两弧交于点G,试探索AEFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由.【答案】(1)4 5 ；(2)见详解【分析】(1)由C A L C B,可得N4 CB=9 0。，再根据NECF=4 5。，即可得出答案；(2)如图，连接O E,先证明 ECF四ECZXS AS),可得。E=E凡再证明4 C A D/C B F(S AS),可得AD=B F,Z CAD=Z B,即可得出/D4 E=9 0。，再利用S S S证明 E F G /X E D A,即可得出答案.【详解】解：VC4 1C

34、B,ZA C B=9 0,：.Z A C E+Z E C F+XB C F=9 0,N E C F=4 5。,：.NACE+NB CF=9 0o-NECF=4 5。；(2)M G是直角三角形，理由如下：如图，连接。区由（1）知，ZA C E+ZB C F=4 5 ,：N A C D=N B C F,：.Z A C E+Z A C D=4 5 ,即 N CE=4 5,NEC产=45。,.，NECF=NECD,在 EC/和EC。中，CF=CD ZECF=/ECD,CE=CE:ECFQAECD(SAS),：.DE=EFf在4。1。和4 C3F中，CD=CF ZACD=/BCF,CA=CB：./CAD

35、ACBF(SAS),：.AD=BF,ZCAD=ZBf：FG=BF,:,FG=AD,V ZACB=90,CA=CB,：./ABC是等腰直角三角形，：.ZCAB=ZB=45f：.ZDAE=ZCAB+ZB=90,在和ED4中，EG=EA.【详解】(1)证明：C E+C F=C D,理由如下：在 CO上截取CH=CE,连接E”，如 图 1所示：；“8C 是等边三角形,，NE C H=6 0,二ACE”是等边三角形,：.E H=E C=C H,ZCE/7=60,OE/是 等边三角形，:.DE=FE,NOEF=60。，/.ZDEH+ZHEF=Z FEC+ZHEF=i)0,NDEH=NFEC,DE=FE在

36、OE”和 FEC 中，NDEH=/FEC,EH=EC工 ADEH学 AFEC(SAS),:DH=CF,：.CD=CH+DH=CE+CFt：.CE+CF=CD；(2)解：CF=CE+CD理由如下：A8C是等边三角形，,NA=N8=NAC8=60。，悍EGHAB,交6 c于点G,如图2所示 NEGC=N8=60。，ZGEC=ZA=60,：.NEGC=ZGEC=NAC3=60。，.,GCE为等边三角形，:CG=CE=EG,皮甲为等边三角形，:ED=EF,/DEF=60。,J /DEG=/FEC,：4EGD9 4ECF(SAS),:.GD=CF,又 GQ=CG+CD：.CF=CE+CD.(3),ABC

37、是等边二角形,ZA=ZABC=NAC8=60。，作EG/A8,交BC于点G,如图所示A ZEGC=ZABC=60f NGEC=NA=60。，ZEGC=ZGEC=NAC8=60。，GCE为等边三角形，.CG=CE=EG,ZGEC=60:/GEC=/GEF+/FEC=60 EOF为等边三角形，:ED=EF,NDEF=60。,NDEF=NGEF+NDEG=60。；NDEG=NFEC,：AEGDqECF(5AS),:,GD=CF,又：GD=CD-CG,CG=CE：.CE+CF=CD【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;作辅助线构建等边三角形是解题的关键，

38、属于中考常考题型.15.(1)如图，在四边形A8CQ中，AB=AD,ZB=ZD=90,E,b分别是边8C,。上的点，且/4尸=(/瓦由.请直接写出线段 尸，B E,尸。之间的数量关系：C O上的点，且NE4 F=；N8 AO,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；(3)在四边形A B C。中，A B =A D,Z B+Z =1 8 0,E,尸分别是边B C,C D 所在直线上的点，且=请画出图形(除图外)，并直接写出线段E尸，B E,尸。之间的数量关系.【答案】(1)E F =B E+F D；(2)成立，理由见解析；(3)图形见解析，E F =B E-F D【分析】(1)延长E B到G,

39、使8 G=F,连接A G.证明 A G E和 A E F全等，则EF=GE,则E F=B E+D F,证明 A 8 E 和 A EF 中全等，那么 4 G=A F,Z 1=Z 2,Z 1+Z 3=Z 2+Z 3=Z EA F=Z B A D.从而得出 E F=G E；(2)思路和作辅助线的方法同(1)；(3)根 据(1)的证法，我们可得出/)尸 =B G,G E=E F,那么E F=G E=B E-B G=B E-D F.【详解】(1)延长EB至G,使8 G=)尸，连接4 G,ZA B G =ZA B C=Z D =9 0 ,A B A D,:.AABG 丝 AADF,A A G =A F,Z

40、 1 =Z 2,Z 1 +Z 3 =Z 2 +Z 3 =Z 4 F =-Z B A ,2，ZG A E=ZE A F,在AG4E和中,AG=AF9：GAE=ZEAF,AE=AE：.GAE Z E4(5AS),:.EG=EF,:EG=BE+BG,，EF=BE+FD.故答案为：EF=BE+FD(2)(1)中的结论仍成立，证明：延长C8至M,使BM=DF,AV ZABC+ZD=180,Z14-ZABC=180,Z/=ZD,在“BW和 AD/中，AB=AD Z1=ZD,BM=DF工 AABM 名 ADF(SAS),A F =AM,N2=/3,/NEAFJ/BAD,2Z2+Z4=-ZBAD=ZEAF,2

41、/.Z3+Z4=ZE4F B P ZMAE=ZEAF,在和ZiA在:中，AM=AF/连接AG,V Zfi+ZA)C=180o,ZADF+ZADC=18O,:.ZB=ZADF,二 在3G和 AO厂中，AB=AD ZABG=ZADF,BG=DF M G 名 An(S4S),/BAG=NDAF,AG=AFf:.4BAG+ZEAD=/DAF+Z.EAD=ZEAF=-4BAD,2.ZGAE=ZEAF,在4 6和AA E厂中，AG=AF ZGAE=ZEAF fAE=AE：./AEG 义 AAEF(SAS),:EG=EF,*/EG=BE-BG,:.EF=BEFD.【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.