2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一（上）期中数学试卷-附答案详解.pdf

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1、2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一（上）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共4小题，共2 0.0分）1 .若M 4 0,则“M n N =0”是“N =0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 .若a,b为非零实数，则下列不等式中成立的是（）A.|a+&|a-b B.N 7 abC.（FA Nab D.+-23.下列函数中，在区间（-甩0）上是严格增函数且其图像关于y轴对称的是（）A.y =X 3 B.y =%2 C.y=X 2 D.y-x24 .函数y=W+：的图像（）A.关于原点成中心对称B.关于y轴成轴对称C.既关于原点成中

2、心对称又关于y轴成轴对称D.既不关于原点成中心对称也不关于y轴成轴对称二、单 空 题（本大题共1 2小题，共5 4.0分）5 .1 6的4次方根是.6.集合P =x|0 x 5,x E Z,M -xx2 2 5,则P C l M =.7.设a：1 W x V 3,出 2,当x+、取到最小值时.，x的值为.9 .不等式依2一姓一1 0的解集为刈一 1 x 2对所有实数x恒成立，求等号成立时x的取值范围是1 2 .若（a-3）4 0,则.ax+ax1 4 .若一个直角三角形的面积为4 c m 2,则此三角形周长的最小值是 cm.1 5 .如果关于x的不等式氏-3|+氏-4|。的解集不是空集，则实数

3、a的取值范围是f(x-a)2,x 0若f()是f。)的最小值，则a的取值范围为三、解 答 题(本大题共5小题，共76.0分)(X2 6%+8 01 7.解不等式组x+3、)匕2.1 8.已知基函数y =x。的图像经过点(8,2).(1)求该函数的表达式；(2)证明：该幕函数的图像关于原点成中心对称；(3)证明：该幕函数在区间(0,+8)上是严格增函数.1 9 .(9设X6 R，求方程枚一2|+|2*-3|=|3/-5|的解集；(2)若不等式M -ax+a 1 0对X G(1,2)恒成立，求实数a的取值范围.第 2 页，共 12页20.(1)证明对数换底公式：当N 0时，logbN=警哼(其中a

4、 0且a 7 1,b 0且b片logaV1).(2)证明：8是无理数.21.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鞋鱼的游速可以表示为 总，单位是m/s,9是表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鞋鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鞋鱼静止时耗氧量的单位数；(3)某条雄鱼想把游速提高lm/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？答案和解析1 .【答案】B【解析】解：若M H 0,“N=0”可 得 M n N =0，若M *。，如M =1,2,且“M n N =0，则N =0,3,故选：B.利用充分必要条件，可以直接作出判断.本题考查了充分必要条件，集合之

5、间的关系，学生的逻辑推理能力，属于基础题.2 .【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于4,当a 0 b 时，|a +b|a b|,4 错误；对于B,当a、b0时，0 b时，+-0,。错误；故选：C.根据题意，举出反例分析选项是否正确，综合可得答案.本题考查不等式的基本性质，注意举出反例分析不等式是否成立，属于基础题.3 .【答案】C【解析】解：4 y =/在区间（一 8,0）上单调递减，不符合题意；B：、=/为非奇非偶函数，图像不是关于y 轴对称，不符合题意；C：y =x-2 为偶函数且在区间（_ 8,0）上是严格增函数，符合题意；D：y =为非奇非偶函数，图像不是关于y 轴对称，

6、不符合题意;故选：C.根据题意，分别检验各选项中函数的奇偶性及单调性即可判断.第4 页，共 12页本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题.4.【答案】A【解析】解：y=含+扣勺定义域x|x#O关于原点对称,又/（T）上+工=工+工,2-x-l 2 1-2X 2所以/（一 x）+f（x）=J+工 +4+!=与+1=0,八 1 V 7 1-2X 2 2X-1 2 1-2工所以/（一X）=-/（X）,所以/（X）为奇函数，图像关于原点对称.故 选:A.先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验函数的奇偶性即可判断.本题主要考查了函数奇偶性的判断及奇函数性质的应用，属于基础题.5.【答

7、案】2【解析】解：（2）4=16,16的4次方根是2,故答案为：2.利用有理数指数塞的运算性质求解.本题主要考查了有理数指数辕的运算性质，是基础题.6.【答案】1,2,34,5【解析】解：.集合P=x0 x 5,x G Z）=123,4,5,M=x|x2 25=-5,5,.p C M =1,2,3,4,5.故答案为：1,2,3,4,5.集合P=x|0 x 5,x G Z =1,2,3,4,5,M=xx2 2,得x-2 0,所以+工=尢-2+工+2 2 2 /(X-2)()+2 =4.x-2 x-2 g 八4-2，当且仅当-2 =,即x =3 时等号成立，所以当 +力取到最小值4 时，x 的值为

8、3,故答案为：3.由x 2可得-2 0,则x +=x 2+2,进一步利用基本不等式即可确定当x +七取到最小值时所对应的式 的值.X-Z本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.9.【答案】(一 4,0 .【解析】解：k =0 时原表达式为一1 0 成立；k力0,不等式k/一 一 1 0 恒成立等价于：I*+4 卜 0,解得一4 上 ；综上k 的取值范围为一 4 f c 0；故答案为：(4,0 .讨论k 与0 的关系，分别求出表达式恒成立的k 的范围；kfO,不等式k/k x 1 0的解集为 x|1 x，a 0,.原不等式等价于 a/-fax 1 2对所有实数x

9、恒成立，当且仅当x G 时，等号成立.故答案为：利用绝对值的几何意义，结合已知条件，推出结果即可.本题考查绝对值的几何意义，不等式的解法，是基础题.12.【答案】（一 8,4）U（：,3）【解析】解：不等式（a 3）-s 等价于（/三），（不高）*.第函数y=/在R上单调递增，工而？即（2a+l）（a-3）%（a+4）（2Q+1）（Q 3）V 0,解得a V-4 或-T a 3,即实数a 的取值范围为（一 8,-4）U（-i,3）,故答案为：(,4)U (,3).原不等式等价于(上9 (二一3，再利用募函数v=蓝的单调性可得吃 0,则 a*=22 原式=(/+厂 岁2 t 1+多=一 1 +。

10、尔=2 -1 +2二,ax+a-x 2 2故答案为：|.根据立方和公式即可求出.本题考查了指数基的运算，考查了运算能力，属于基础题.1 4.【答案】4 +2 V 2【解析】解：设该直角三角形的两直角边分别是a,b,根据题意，ga b =4,贝i j a b =8,所以此三角形的周长为，=a +b +y/a2+b2 2sab+7 Zab=2 V 8 +V 1 6 =4&+4)当且仅当a =b=2时等号成立，所以此三角形周长的最小值是4 +2 V 2.故答案为：4 +2 V 2.设该直角三角形的两直角边分别是a,b,则9 a b =4,即a b =8,进一步根据此三角形的周长为/=a +b +结合

11、基本不等式即可求出周长1的最小值.本题考查基本不等式的运用，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题.1 5.【答案】a l第8页，共12页【解析】解：4-3|+归-4|的几何意义是数轴上的点到3和4的距离之和,当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1.其它情况都大于1所以氏一3|+|x-4|1如果不是空集，所以a l故选A 1先求不等式|x-3|+|x-4|的最大值，要求解集不是空集时实数a的取值范围,只要a大于不等式|x-3|+|x-4|的最大值即可.本题考查绝对值不等式的几何意义，是基础题.1 6.【答案】0,2【解析】解:由于/(无)=(x-a)2,%+1 +a,%0则当 =0时

12、，/(0)=a2,由于f(0)是/(%)的最小值，则(一8,0 为减区间，即有QNO,则有。2工 工 +二+。，x 0恒成立，X由x+N 2 ”=2,当且仅当x=1取最小值2,x y x则 2 +a,解得一1 a 0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2 +a,解不等式a 22 +a,即可得到a的取值范围.本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题.1 7.【答案】解：原不等式组可化为(x-2)(x-4)0芸4,或x 2,故1%2或4 x 5,(1 V%V 5.原不等式组的解集为卜 1 x 2 或4 x 5【解析】分别解不等式，

13、取交集可得.本题考查含分式不等式的不等式组的解集，属基础题.1 8 .【答案】解：塞函数y =X。的图像经过点(8,2),所以8 a =2,解得a =1,所以y =X 3：(2)证明：因为函数y =f(x)=/的定义域为R,任取x R,则一x e R,又 f(x)=(x)3=x3=fix),所以/(久)是定义域R 上的奇函数，则该褰函数的图像关于原点成中心对称；(3)证明:任取*1、x2 G (0,4-0 0),且X 1%2，所以/(右)一/(%2)=君 一 球=(%1 -r2)(xf+%1%2+诏),因为0 X 1 所 以-x2 0,所以/(%1)/(X 2)，所以该基函数在区间(0,+8)

14、上是严格增函数.【解析】(1)把点的坐标代入函数解析式，即可求出a 的值，写出函数解析式；(2)证明函数为定义域上的奇函数，即可得出图像关于原点成中心对称；(3)利用函数单调性定义证明即可.本题考查了基函数的定义与性质的应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题.19 .【答案】解：当xs|时，则方程为2 x +3 2 x =5 3 x,解得 W|；当|x|时，则方程为2-+2 尢-3 =5-3 力 解得其=不 舍去；当|sx 0 即为(%1)(无一(a 1)0,当a =2 时，解集为 x|x 6 R 且X H 1,不等式在(1,2)恒成立；当a 2 时，解 集 为 a-1或 1,不等式在(1

15、,2)不成立；第1 0页，共1 2页当a 1或x 0,对a讨论，a =2,a 2,a 0,b Hl,lo g a b HO,因此上式两边可除以lo g a b，得 =瘠，(2)假设遮是有理数，则不妨设g=；(m,n为互质正整数)，从而：谭=3,m2=3 n2,可见m是3的倍数，设=3 p(p是正整数)，则3几2 =血2 =9 2 2,可见九也是3的倍数，这样，m,几 就不是互质的正整数(矛盾)，所 以 百=:不可能，所以日是无理数.【解析】(1)设lo g b N=x,写成指数式b*=N,两边取以a为底的对数，得力o g W=lo ga/V,两边可除以lo g a b，即可证明；(2)直接利用

16、反证法的证明方法，设旧是有理数，推出矛盾即可.本题主要考查了对数换底公式的证明和反证法的证明方法的应用，属于基础题.2 1.【答案】解：(1)”=10费 强,。=2 7 0 0,1 J 2700 1 r 3：.v=-to a3-=-x 3 =2 DS 100 2 2故它的游速是|m/s.(2)令u=0,则夕。3卷=0，解得。=10 0，故一条鞋鱼静止时耗氧量的单位数为10 0.(3)V V2-Vx=1,.，-log3 -log2 1,解得等=9,2 y3 100 2 3 100故它的耗氧量的单位数是原来的9倍.【解析】(1)将。=2 7 0 0代入v=?o g 3总，即可求解.(2)令十=0,则“。34=0,解出仇 即可求解.(3)令上 一巧=1，则3。3%一夕。32=1，即可求解.本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的性质是解本题的关键，属于基础题.第12页，共12页