2021-2022学年上海中学高考临考冲刺数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1 .全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2 B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2 .请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知a b 0,则下列不等式正确的是()A.B.|/a-Z j|/-a|C 卜 _ 身|e*-o|2 .已知函数/(幻=忙2 +(/2)e 0),若函数

2、f(x)在xw R上有唯一零点，贝 的 值 为()A.1 B.,或 0 C.1 或 0 D.2 或 023.若 x+M(x,y e R)与互为共扼复数，则x+y=()1-zA.0 B.3 C.-1 D.44 .设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和V轴的正半轴交于A 8两点，点。与点p关于)轴对称，。为坐标原点，若 丽=2序，且 诙 丽=1，则点P的轨迹方程是()3 3A.X2+3 3 2=1(%0,y 0)B.x2 3 y2=l(x 0,0)3 3C.3 x?-5)，=l(x 0,y0)D.3 x?+/)；=l(x 0,y 0)5 .执行如图所示的程序框图，则输出的5=()23D._2

3、6.设0夕1,随机变量J的分布列是2 3则当在（,/内增大时，J-101p;(l-p)231-p3A.E ）减小，0（9减小A.B.C.9.已知正四棱锥S-A B C D的侧棱长与底面边长都相等,A 1 R V 2A.-B.-C.-（）B.E G）减小，。片）增大C.E C）增大，D（J）减小 D.增大，。（4）增大7.已知四棱锥E-A B C D,底面A3 Q 9是边长为1的正方形，0=1,平面E C D _ L平面AB C O,当点C到平面A8 E的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A a 亚 BR 1 n 1C D 16 3 38.已知直线/：氐+y +2 =0与圆。：一+丁=4交于A，B

4、两点，与/平行的直线4与圆。交于M,N两点，且AO IB与AO M N的面积相等，给出下列直线4：百x+），-2G=0,6x+y-2 =0,x Gy+2 =0,氐+y +2 6=0.其中满足条件的所有直线 的编号有（）D.E是 的 中 点，则AE,所成的角的余弦值为（）1 0.已知实数0 a 7 B.ac2 b c2a bC.lnalnb D.（l,则/r/（2）I二（A.1 B.2 C.31 2 .函数/（x）=s i n 2 x+m s i n x+3 x在 上单调递减的充要条件是（）6 3A.m-3 B.m-4 C.m -D.m 43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1

5、3.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众4 01 0女性青年观众3 08 0现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 8人，则 的 值 为.1 4 .函数/(x)的定义域为卜1,1),其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(2-x)+g(x)=0,且当x e(O,l)时，g(x)=x).给出下列三个结论：g(o)=。；函数g (x)在(一1,5)内有且仅有3个零点；不等式/(-%)0的解集为x-l x 0.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.

6、1 5 .春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为P,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物1 0株，设X为其中成活的株数，若X的方差O X =2.1,P(X=3)=3,AA=AB =4,则异面直线4B与A C所成角的余弦值为()AV 2 R 2 2&n 4A.B.-C-D.一5 5 5 5三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2分)(本小题满分1 2分)已 知 椭 圆C：三+三=二 二 。)的离心率为F，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4V-.(1)求椭圆C的标

7、准方程;(2)过点A(1,0)的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点，且 三+三=二 三(二0)0为坐标原点,当I三-三I V二 时，求t的取值范围.1 8.（1 2分）在 AB C中，内角A民C的对边分别为a,仇c,且8 c o s之 上 工-2 c o s 2 A=32（1）求A；（2）若a=2,且AABC面 积 的 最 大 值 为 求AABC周长的取值范围.7 T1 9.（1 2分）在四棱锥P A 3CD中，底面A B C。为直角梯形，A D/B C,Z A B C ,2 ，面2A B C D,A D =3 A E,A B =B C =2A E=2,P C =3.（1）在线段P Z

8、）上是否存在点尸，使C F 面 说 明 理 由；（2）求二面角EPC-。的余弦值.2 0.（1 2 分）已知（x +1）=%+%（工 1）+。2（工一1）+。3（*一I），+a”（x-1）”,（其中e N*）S“=q +%+%+.f-a,.求S“；求证：当24时，S“（-2）2+2 2.2 1.（1 2 分）已知函数/（x）=e*-x +；x 2.（1）若 为工工2，且/（石）=/（%2），求证：/（二 ；1）。；（2）若xeR时，恒 有/（司23/+奴+。，求他+匕的最大值.2 2.（1 0分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、

9、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.【详解】已知a 人 0,赋值法讨论”/?()的情况：(1)当时，令a=2,b 贝。卜排除B、C选项；(2)当0 h a 0时，只需/(Inf)=0,即hw-+l=0,令

10、g(f)=lnf 1+1,利用导数求其单调区间,t t即可求出参数，的值，当1=0时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：-f(x)=te2x+(t-2)ex-x (f 0),fx)=2te2x+(t-2)e一 1 =(fe*1)(2e+1),.当/0时，由/(x)=0得x=Inr,则fW在(_8,_ m。上单调递减，在(一In r,+8)上单调递增，所以/(Inf)是极小值，.只需/(-Inf)=0,即ln f-!+l=0.令g(f)=lnf 1+1,贝118)=1+1 0,二函数8(，)在(0,+8)上单t t t t调递增g(l)=。，r=l；当。=0时，f(x)=-2e

11、-x,函数/(x)在R上单调递减，V/(l)=-2 e-l0,函数在R上有且只有一个零点，t的值是1或0.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3.C【解析】计 算 出 =1 +2 由共辄复数的概念解得即可.1-Z【详解】.=l+2 i,又由共朝复数概念得：x=l,y=-2,1-z：.x+y-l.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共物复数的概念.4.A【解析】设A 3坐标，根据向量坐标运算表示出丽=2而，从而可利用乂丁表示出。力；由 坐 标 运 算 表 示 出 诙 旃=1,代入 a,b整理可得所求的轨迹方程.【详解】设A(a,O),B(0

12、,8)，其中a 0,b 0_ /fx=0.B P=2 PA ：.(x,y-b)=2(a-x,-y),即 J 2 y-b=-2y,=3 y 0P,Q 关于)轴对称.-.e(-x,y)/.O Q -A B -(-x,y)(-a,h -a x+b y-l+=1 (x 0,y 0)故选：A【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.5.B【解析】运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有i =I,S =3,第一次循环后5=不1=-2 01 9,循环结束，输出S=3,故选：B

13、【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.6.C【解析】E()=(-l)x l(l-p)+lp=|p-l,D(+=E(&2)_E1小，判断其在 j,：)内的单调性即可.【详解】1 1 2 1 (2 3、解：根据题意石(4)=(_ 1)乂,(1 _.)+,=,_ 鼻在 鼻,工内递增，Jj J J J *jE(,)=(-l)2,x1-(l-)+-1 p=-1=E(2)-E2()=1 (1 -p)+1 p-(|p-1)2=P2+P+=是以o=;为对称轴，开口向下的抛物线，所以在 j,：上单调递减，故选：C.【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望

14、与方差，属于中档题.7.B【解析】过点E作 7 7,CD,垂足为V,过”作H f _ L A 8,垂足为凡 连接E E因为C。/平面A 8 E,所以点C到平面1TA B E的距离等于点打到平面A 8 E的距离.设/。后=。（0。5）,将表示成关于。的函数，再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作E”_ L C。，垂足为H,过 作H F _ L A B,垂足为尸，连接E E因为平面E C ）_ L平面A Z J C D,所以七H _ L平面A 5 C D,所以E H上H F.因为底面A 3 C D是边长为1的正方形，H F/A D,所以H r =A D =1.因为C。/平面A 8 E,所以点

15、C到平面A B E的距离等于点H到平面A B E的距离.易证平面E F H _ L平面A 5 E,所以点“到平面A B E的距离，即为8到E尸的距离.7T,不妨设/8=。（0。4万），则 E H =si n6,E F yjl+sin2 0 因为 S“EHF=：E F h=；E H F H ,所以 力 .J I T而 万=si n 6，,si n。1 ,0h -7 7-所 以 一J T 7蓊一旧二?一 2，当8=5时，等号成立此时 E与 重合，所以m=1,V_A B C D=-x l2x l=-.故选：B.本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运

16、算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.8.D【解 析】求 出 圆 心。到 直 线/的 距 离 为：d =r,得 出4 4 0 3 =1 2 0。，根 据 条 件 得 出。到 直 线4的 距 离/=1或6时满足条 件，即可得出答案.【详 解】解：由已知可得：圆0：V+y 2=4的 圆 心 为（0,0）,半 径 为2,则 圆 心0到 直 线/的 距 离 为：d =-r,2二 Z A O B =120。,而4，。钻 与AOMN的面积相等，:.Z M O/V =1 2 0 或 6 0,即。到 直 线4的 距 离/=1或G时满足条件，根据点到直线距离可知，满足条件.故选：D.【点 睛】本题考查直

17、线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.9.C【解 析】试题分析：设AC、BO的 交 点 为。，连 接E。，则/A E 1。为A E,5。所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，10.CA E2+OfiC-E Q-2 A E O A【解 析】A B利用不等式性质可判断，a。利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】1 c C解：对于A,.实数O vav，,c 0不成立a b a b对于A c=0不成立.对于C.利用对数函数y=In x单调递增性质，即可得出.对于。.指数函数y=(；)单调递减性质，因此不成立.故选：C.【点睛】利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解

18、决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.11.c【解析】结合分段函数的解析式,先求出了(-2)，进而可求出/(-2).【详解】由题意可得/(-2)=32=9,则/(一2)=/(9)=log2(9-l)=3.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.12.C【解析】先求导函数，函数在 工,上单调递减则f(x)WO恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质6 3和图象，列不等式组求解可得.【详解】依题意，f(x)=2cos2x+/ncosx+3=4cos2 x+mcosx+l,令cosx=f,贝b e g,当，

19、故4/+/加+1W0在；,等 上恒成立；1 14x+mx+1,04 2,，解得:4x+mx014 2明，-4结合图象可知，-8百犯,-故mW-3故选：C.【点睛】本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角“(或，)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .3 2【解析】由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.【详解】Q 1由题可知，抽取的比例为一=-

20、,被调查的总人数为4 0 +1 0 +3 0 +8 0=1 60人，4 0 5则分层抽样的样本容量是(x 1 60 =3 2人.故答案为：3 2【点睛】本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.1 4 .【解析】利用奇函数和g(2-x)+g(x)=0,得出函数y =g(x)的周期为2,由图可直接判断；利用赋值法求得g(l)=0,结合g(0)=0,进而可判断函数 =g(x)在(-1,5)内的零点个数，可判断的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数y =g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(-x),又g(2 x)+g(x)=0,所以g(2 x)=g(x)

21、,即g(x+2)=g(x),所以，函数y =g(x)的周期为2.对于，由于函数y =g(x)是R上的奇函数，所以，/(0)=0,故正确；对于，g(2-x)+g(x)=0,令x=l,可得2g(1)=0,得g(l)=0,所以，函数y=g(x)在区间-15上的零点为。和1.因为函数y=g(x)的周期为2,所以函数y=g(x)在(-1,5)内有5个零点，分别是0、1、2、3、4.故错误；对于，令子=一1,则 需 求/(。0的解集，由图象可知，0 /1,所以i x 0,故正确.故答案为：.【点睛】本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题

22、.15.0.7【解析】/、10p(l-p)=2.1由题意可知：X B(10,)，且 从而可得值.【详解】由题意可知：X B(10,).110p(l p)=2.1 100p2-100p+21=0p(X=3)0.5:.p-0.7故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题.16.C【解析】根据4 8/C 确定ZAC4是异面直线A乃 与AC所成的角，利用余弦定理计算得到答案.【详解】由题意可得AC=AR=5,48=C。=4夜.因 为A 8/C 2，所以ZAC。是异面直线AB与AC所成的角，记为工 AC2+CD；-AD;25+32-25 2

23、0故 cos J=-!-=-=-.2ACCR 2x5x472 5故选：c.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.三+弓=八(2)J e-1,-y)u(y.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、二：=二：+二:、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达

24、定理，得到二+二:、二/二;，利用三+三=二 三列出方程，解出二(二二)，代入到椭圆上，得到二:的值，再利用|三一三计算出二;的范围，代入到二二的表达式中，得到t的取值范围.试题解析：7二=?，.二；=/一 三=%.三=%即二；=2二;.又二=，X2=X2匚=二匚二=2、C,二二；=2,二；=4.二椭圆C的标准方程为=+三=/.4 4(2)由题意知，当直线MN斜率存在时,设直线方程为二=二（二 一/）,二（二二），二（二；，二:），二（二，二）,联立方程 :一 消去 y 得Q+2二;）二；一4二：二+2二；-4 =0,（匚=（-；）,因为直线与椭圆交于两点，所以二=16U4-4（1+2口 仅2

25、口4）=24以+16 陶 成立,又：二 二 +二二=二二二，/_ _ 0 +口：_ Q.-+-；=.-（1+2_*）“匕+“皿-=二+二;-2匚卜一匚一二。+2匚；）因为点P在椭圆三+三=让，所以-3+得于即2二；=二 七+2匚；），二；=急=1 一 表，又 E-三 I 一，BP|ZZ|0,解得二：1或二；a=2.进而求出周长的范围.【详解】解：(1)V8COS2-2COS2 A=32/.4(1+cos(B+C)-2 cos 2A=3整理得4cos之 A+4cos A-3=01 3解得cos A=或cos A=一 一 (舍去)2 2又 A(0,%)7 1A=；3(2)由题意知 SAAR=csi

26、n A=AADC 2 4be、,4,又2 +c2-a2=2/7ccos A,a=2,.b2+c2=4+be，S +c)?=4+3bc,16又b+c2.2b+c(-2,l,0)丽=(O,0,2),1=(2,1,-2)，函=(-2,1,0),4,EP=2z=0 fz=0设面PC法向量“=(x,y,z),贝叫 卅 八，即 c、/n,-PC=2x+y-2 z=Q y=2x取 x=l,./?!=(1,-2,0)同理可得面PC。的法向量后=(1,2,2)【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角.线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握:立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相

27、互转化、相互依存的.求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角.20.（1）3-2（2）见解析【解析】（1）取 x =l,则/=2 ；取 x =2,则 为+/+。2+/-h a-3 *.S”=q+a,+%+=3 一 2；要证 Sn （n-2）2+2n2,只需证 3 （-1）2 +2n2,当=4时，8 1 8 0；假设当=4（次24）时,结论成立，即3后 （左 一 1）2*+2&2,两边同乘以 3 得：3A+I 3 优一1）2+2/=女+2（女+1）2+（一3）2+4二一4左一2而（左一3）2+42一4%2=（后一3）2*+4（氏2-%-2）+6=（左一3）2*+4（左一2）（%+1

28、）+6 0A 3（也+1）-1）2 1+2（上+1 ,即=k+1时结论也成立，.当4时，3 （-1）2+2 成立.综上原不等式获证.21.(1)见解析；(2)2【解析】(D利用导数分析函数y=/(x)的单调性，并设用 ，则不 0,将 不 等 式 七 垣 0等价转化为证 明 玉+0,构造函数(x)=/(x)-X),利用导数分析函数y=(x)在区间(一8,0)上的单调性，通过推导出(王)0来证得结论；(2)构造函数G(x)=e -x-ox,对实数。分-,利用导数分析函数y=G(x)的单调性，求出函数丁=6(%)的最小值，再通过构造新函数/(/)=，一/i n f,利用导数求出函数y=e(r)的最大

29、值，可得出。人+人的最大值.【详解】(1)/(x)=e -l +x,/=e*+l 0,所以，函数y=/(x)单调递增，所以，当x 0时，/(力 0时，/”(x)0,此时，函数y=/(x)单调递增.要证尸 五 产)0,即证+0.不妨设王、2，则 玉0,下 证/一 玉，即证/&)=/)/(f),构造函数(x)=/(x)-f(-x)-e-x+x2-(e+x+-x2=ex-ex-2x(x 一2=0,所以，函数y=/i(x)在区间(8,0)上单调递增，王0,.(3)(),即/(王)一/(一王)0,即/(%)=/(%)0,-玉 0且函数y=/(x)在区间(0,+8)上单调递增，所以 一玉，即药+工2 0，

30、故结论成立；(2)由/(X)2 Q厂+ox +恒成立，得e or+Z?恒成立，-Gx)=ex-X-ax,贝!JG (x)=e TQ.当。0,函数_ y =G(x)在R上单调递增，当Xf-8时，G(X)f Y O,不符合题意；当 a =1 时，ab+b=O；当a 1时，令G (x)0,得x l n(a +l),此时，函数y=G(x)单调递增；令G (x)0,得x l n(a +l),此时，函数y=G(x)单调递减.G(XL=G 0 n(a +l)=(a +l)-(a +l)l n(a +l).,.(+1)0,设 一/In r,则“(r)=r(l-21 n r).当0 f 0,此时函数y=(。单调

31、递增；当.五 时，”(。0,此时函数y=(。单调递减.所以，函数)，=夕(。在 =”处取得最大值，即q(“皿=*(&)=.因此，(a +l)h的最大值为【点睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力,属于难题.22.(1)28种；(2)分布见解析，【解析】(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；(2)X的可能取值为0,1,2,3,再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.【详解】解：(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C：C：C；+C：C C；=28种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=-=,1 0P(X=D=*：+*/；JC；C：1 5,C；C；C；C；+C：C；=11p（x =2）=一泵 一二而p/Y-3）-C C _ 1）卡-田故x的概率分布为:X0123P1107151130115所以 E（x）=,.【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.