2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之旋转法（教师版）.pdf

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1、2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之旋转法（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.如图，在四边形 A8C。中，ZADC=ZABC=90,AB=BC=5,BD=1,则 RtA ADC的周长为（）A.5&B.7夜 C.972 D.1272【答案】D【分析】延长。C到E,使CE=AQ,由 四 边 形 内 角 和 及 邻 补 角 定 义 可 得 进 而推出4人 口 打 丝C E 8,容易得到OBE为等腰直角三角形，再利用勾股定理求得A C,最后等量代换求得放AOC的周长.【详解】解：延长0 c到E,使CE=AO,连接BE,：/AZ)C=/ABC=90。，ZDAB+ZDCB

2、=36Q-90-90=180,/NBCE+NDCB=180,NBCE=ZBAD,在 4。8和4 CEB中，AB=CB ABAD=ZBCEAD=CE.MADB注ACEB(SAS),N1=N2,D B=B E=1,VZ1+Z3=9O,.,.N 2+/3=NOBE=90,.OBE为等腰直角三角形，D E =lDB2+BE2=7/2，：AB=B C=5,ZABC=90,A C =A B2+BC-=572A D C 的周长=AO+OC+AC,C E+C D+A C=D E+A C=12&故选D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握

3、相关知识进行求解.2.如图，正方形A 5 c o 中，点 E、尸分别在线段5C、CO 上运动，且满足NEA尸=45。，AE.A尸分别与5 0 相交于点M、N,下列说法中：B E+D F=E F;点A 到线段E尸的距离一定等于正方形的边长；5E=2,D F=3,则 SA/EF=15；若48=6及，B M=3,则M N=5.其中结论正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【分析】根据旋转的性质得到 BH=DF,AH=AF,Z B A H=Z D A F,得到NE4”=N E 4F=45。，根据全等三角形的性质得到EH=EF,N A EB=/A EF,于是得到BE+BH=BE+DF=

4、EF,故正确；过 A 作 AGLEF于 G,根据全等三角形的性质得到A B=A G,于是得到点A到线段E F 的距离一定等于正方形的边长，故正确；求出EP=B E+Z)F=5,设 8C=8=”,根据勾股定理即可得到SAAEF=1 5,故正确；把 AW绕点A 顺时针旋转90。得到 A B Q,再证明 AMQ且AAMN(S A S),从而得M Q=M N,再证明Z A B Q+Z A B M=90,设 M N=x,再由勾股定理求出x 即可.【详解】解：如图，把 尸 绕 点A顺时针旋转90。得到4 3,由旋转的性质得，BH=DF,AH=AFf NBAH=NDAF,V NE4尸=45,ZEAH=NBA

5、H+NBAE=ZDAF+Z8AE=900-ZEAF=45f：.ZEAH=ZE4F=45,在 AEF和 AE”中，AH=AF 4EAH=ZEAF=45,AE=AE：./AEF/AEH(SAS),:EH=EF,：.ZAEB=NAEF,；BE+BH=BE+DF=EF,故正确；过A作AG_L跖 于G,ZAGE=ZABE=90f在ZkABE 与 AGE 中，ZABE=ZAGE 即 D E=行,故答案为：旧.【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5.如图，A O A B 和A O C D 中，

6、OA=OB,OC=OD,N A O B=N C O D=a,A C、B D交于M图3(1)如 图1,当a=90。时，Z A M D的度数为(2)如图2,当a=60。时，求N A M D的度数；(3)如图3,当 O C D绕O点任意旋转时，N A M D与a是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用a表示/A M D,不用证明；若不确定，说明理由.【答案】(1)9 0；(2)1 2 0 ；(3)存在，Z A M D=1 8 0 -【分析】(1)如 图1中，设OA交B D于K.只要证明4 B O D四 A O C,推出N O B D=N O A C,由/A K M=N B K O,得N A M K

7、=N B O K=9 0。可得结论.(2)如图2中，设OA交BD于K.只要证明 B O D丝 A O C,推出/O B D=/O A C,由NAKM=N B K O,推出 NAMK二 NBOK=60。可得结论.(3)如图3 中，设 O B交 A C于 K.只要证明 BODgZkAOC,可得NOBD=NOAC,由NAKO=NBKM,推出 NAOK=N B M K=a.可得NAMD=18(T-a；【详解】解：(1)如 图 1 中，设 0 A 交 BD于 K.VOA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,AZBOD=ZAOC,AABODAAOC,AZOBD=ZOAC,VZAKM=ZBKO,.ZA

8、MK=ZBOK=90o,.,.ZAMD=180-90=90.故答案为90.(2)如图2 中，设 O A 交 BD 于 K.图 2VOA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,.ZBOD=ZAOC,AABODAAOC,AZOBD=ZOAC,VZAKM=ZBKO,，NAMK=NBOK=60,.ZAMD=180o-60=120,(3)如图3 中，设 O B交 A C于 K.图3VOA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,AZBOD=ZAOC,/.BODAAOC,.ZOBD=ZOAC,VZAKO=ZBKM,.ZAOK=ZBMK=a.A ZAMD=180-a.【点睛】本题考查几何变换综合题、等

9、腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用：“8 字型”证明角相等.6.如图所示，已知AABC为等腰直角三角形，NS4C=90。，E,尸是8 c 边上的点，且 ZE4F=4 5 .求证：BE2+C F2=E F2.【答案】见解析【分析】方 法 1,将 M C F 绕点A 按顺时针方向旋转90得M B D，所以4)=町，/B A D =Z.CAF,Z A B D =Z C =45 ,B D =CF ,证明?1)丝ZAE/可得瓦=/)；,由勾股定理可得结论.方法2,将 AABE沿直线A E翻折得AAG,连接FG,则AB=A G =AC,/BAE=Z G A E,NB=NA

10、GE=45。，证明AAGF丝A 4 C F,易得NEG尸=90。，由勾股定理可得结论.【详解】方法1如图88所示，将AACF绕点A按顺时针方向旋转90。.图8-8A 8c为等腰直角三角形，ZBAC=90,AB-AC.旋转后AC边与AB边重合，记旋转后的三角形为A AD=AF,ZBADZCAF,ZABD=ZC=45,BD=CF.：ZE4F=45,ZBAC=90,，ZBAE+ZCAFZBAE+ABAD=ZDAE=45=ZFAE.在 AA)E 与 AAEb 中，AD=AF .-P-A=-D-A-，即Hn-P-A-=-C-A-，CA BA DA BA*/ZCAP+ZPAB=ZBADZPABf：NCAP

11、=/BAD,：./CAP/BAD,：.ZPCA=ZDBA=90,：.N O 8 A=9 0。；C(2)如图 4,:AC=BC,PA=PD,ZAPD=ZC=a,图4CABPAD,：.ZCAB=ZPADf CA:PA=AB:ADf:.ZCBA=ZCAB=ZPAD=ZPDAf：.ZCAB-ZPAB=ZPAD-ZPAB,即 N C 4 P =N B W./CAP=NBAD,C4/OOAAZ),J ZDBA=ZC=a.妙解2(1)如图 5,补图，ZDBA=9Q；将4 PHD逆时针绕点P 旋转9 0。得 PEA,：CA=CB,ZC=90,AZCBA=ZCAB=45,将PH D旋转得到aPEA.：PB=PE

12、,ZCAE=ZPEB=45f：.Z PEA=180-Z PEB=135,.ZPBD=ZPEA=135f：.ZDBA=ZPBD-Z PBE=135-45=90,D 图5(2)如图6,过点P作PE/AC交AB于点E,图6:./PEB=/CAB,ZBPE=ZACB=a.AC=BC,Z C B A=Z C A B9:./PEB=/PBE,PB=PE.又丁/BPD+ZDPE=/EPA+/DPE=a,:.ZBPD=ZEPA.,:PA=PD,在 PBD和 BAE中，PB=PE NBPD=NEPAPD=PA：.AP D B P A E(SA S),:.ZPBD=ZPEA.ZPBA=ZPEB=1(180-a)=

13、90-,NPBD=/PEA=180-NPEB=90+-a ,2:./DBA=4PBD-/PBA=a.妙解3(1)如图 7,补图，ZDBA=90；过P作PEIIAB交AC于点E.*：CA=CB,ZC=90,.,.ZCBA=ZC4B=45,V PEIIAB,：.N CPE=N CBA=N CEP=N CAB=45。,:.CP=CE,ZPEA=180-Z CEP=135,:.PB=EA,：ZBPD+ZERA=180-ZDM-Z CPE=45,ZEPA+ZEAP=45:.NBPD=NEAP,在 BPD和4 E4尸中，PB=AE ZBPD=ZEAPPD=AP：./BPD/EAP(SAS),：.ZDBP=

14、ZPEA=35f .Z DBA=ADBP-Z CBA=135-45=90,(2)如图8,过点P作PE/AB交AC于点E.cD图8 CB=CA,：.4CEP=ZCAB=/C PE=/CBA,:CP=CE,BP=AE.：/BPA=/BPD+ZAPD=/P A E+/C ,而 ZAPD=NC=a,:./BPD =/P A E,在 BPD和 4尸中，PB=AEM=ZC=90,ZEPD+ACPA=80-ZDB4=90,ZCPA+ZCAP=90,:/EPD=/C AP,在EPQ和CAP中，PE=ACM=ZC,NEPD+N C附=180。-N。%二180。-N C=N C%+N CAP,:.NEPD=NPA

15、C,在口 和 ACAP 中，PE=AC ZEPD=ZCAPPD=AP:.EPD%/CAP(SAS),NE=NC=a,CP=DE.,:PE=CB,：PEBP=CB BP,B E =CP=DE,：.Z.EBD=Z.EDB=90-a ,2 :CB=CA,NC=a,ZCBA=ZCAB=900-a ,2 ZDBA=180。-NB。一NC3A=a.【点睛】本题考查旋转，等腰三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，相似三角形判定与性质，解题方法很多，需要根据辅助线作出准确图形是解题关键.8.在小ABC中，AB=AC,将线段AC绕着点C 逆时针旋转得到线段CD,旋转角为a,且。a 1 8 0 ,连接 AD、B

16、D.(1)如图 1,当NBAC=100。，a=6 0 时，ZCBD 的大小为；(2)如图 2,当NBAC=100。，(z =2 0 时，求NCBD 的大小；(3)已知NBAC的大小为m(6 0 /n =30.方法2如下图所示，构造等边三角形ADE,连接CE.在等腰三角形ACD中，ZACD=20,J ZC4)=ZCZM=80,N84C=100,ZBAD=20.可证C E/结合角度，可得 NC4E=NCQE=20。，ZACE=/DCE=10。.在AZ3和aAC5中，AB=ACE=&3，再根据OE=A -=C D,即可解出答案.(3)根据A、B、C、D 四点共圆，得到当点D 在线段A B 的垂直平分

17、线上且在A B 的右侧时，A A B D 的面积最大.在 D A 上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CW=A”=&，由30=AQ即可得出答案.【详解】解：(1)如 图 1 中，由题意：NBAEBCD,；.AE=CD,BE=BD,；.CD+AD=AD+AE=DE,：ABDE是等腰直角三角形,/.DE=V2 BD,.DC+AD=V2BD,故答案为啦.（2）AD-DC=42BD.证明：如图，过点B 作 B E L B D,交 M N于点E.AD交 BC于 O.ZABC=ZDBE=90,：.ZABE+NEBC=ZCBD+ZEBC,：.ZABE=ZCBD.：ZBAE+ZAOB=9Q,ZBCD+ZC

18、OD=9Q,ZAOB=ZCOD,：.ZBAE=ZBCD,：.ZABE=Z D B C.又：AB=CB,CDBAEB,CD=AE,EB=BD,为等腰直角三角形，DE=-J2BD.;DE=AD-AE=AD-CD,AD-DC=6BD.（3）如图3 中，易知A、B、C、D 四点共圆，当点D 在线段A B的垂直平分线上且在A B的右侧时，AABD的面积最大.图3此时D G,AB,DB=DA,在 DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=AH=五,BD=AD=2+1.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.10.(1)问题引

19、入：如 图 1,点尸是正方形48。边 CD上一点，连接A R 将 AAO尸绕点A 顺时针旋转90。与A ABG重 合(0 与 5 重合，F 与 G 重合，此时点G,B,C在一条直线上)，NGA户的平分线交5 c 于点E,连接E凡 判断线段E尸与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由.(2)知识迁移：如图2,在四边形A 5C 0中，NAOC+N8=180。，A B=A D,E,尸分别是边5C,CO延长线上的点，连接4E,A F,且NA4O=2NE4凡 试写出线段8E,EF,O F之间的数量关系，并说明理由.(3)实践创新：如图3,在四边形A8C。中，ZABC=90,AC平分N Z M 8,点 E

20、在AB.,连接 OE,C E,且NOA8=NOCE=60。，若 DE=a,AD=b,A E=c,求 BE的长.(用含a,b,c 的式子表示)【答案】G)E F=G E,理由见详解；(2)B E-D F=E F,理由见详解；(3)8 E=-理由见详解【分析】(1)根据SAS直接可证4 GAE/FAE即得G E=E F；(2)在 BE 上取 8G=O尸，连接 4 G,由 N A 3C+NB=180。，Z A D F+ZADC=S00,得/B=N A D F,从而SAS证 A8G丝A O F,再通过SAS证 G4E义项E,得 G E=E F,从而解决问题；(3)作 C F L 4 O,交 4。的延长

21、线于尸，M Z F G=B E,连接C G,由(2)同理可两次全等证明出D E=G D即可.【详解】解：(1)E F=G E,理由如下：/绕 点 A 顺时针旋转90。与A A B G重合，：.AG=AF,：AE 平分 NGAF,J.ZGAEZFAE,在 GAEffA AAE 中，AG=AFC=180,：.ZB=ZADF9在 A3G和 A。尸中，BG=DF ZB=ZADF,AB=AD：.(SAS),:/BAG=NFAD,AG=AFfZBAD=2ZEAF,：.ZGAF=2ZEAF,：.ZGAE=ZEAFf在AGAE和 中AG=AF!尸与AG4尸中，AE=AG ZEAF=ZFAG,AF=AF：.AE

22、A FAGAF(SAS),:.EF=FG,*：DG+FD=FG,；BE+FD=EF；(2)解：四边形ABC。为正方形，：.AB=BCf ZB=ZC=ZA=ZD=90,:BE=3,EC=2,；AB=BC=5,翻折，设 A G=G E=x,则 BG=5x,在 RlBGE 中，BG2+BE2=GE2,/.(5-X)2+32=X2,解得：x=3.4,/.BG=5 x=L6,:翻折，:/GEF=ZA=90,，NGEB+NFEC=ZGEB+NBGE=90。,.,/FEC=NBGE,又N3=NC,ABGEsACEF,BG GECEEF 即:竽=今,2 EF17解得：EF=,417的长为?；(3)解：如图，连

23、接A居 设2尸。4=/尸 =根,UEF=EA9：.ZEAF=ZEFA=-(1800-tn)=9 0 -/w,2 2ZFQA=ZFEA,ZFO Q=ZAOEf：.bO Q sA A O E ,.FO QO =，AO EO.FO AO*%QOEO X V /FO A=/Q O E,：./FOAQOE,ZAQE=NAFE=90。g m,VZCF(2=34O,ZC=90,/.ZC Q F=90-ZCFQ=569,/ZCQF+ZFQA+ZAQE=180,.56。+m+90。一 =180。,2解得：加=68,V ZD=90,：.Z Q A D 90-Z A Q E=90_(90_g，”)1=m2=34,故

24、答案 为:34.【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等相关知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键.12.“半角型”问题探究：如 图 1,在四边形ABC。中，AB=AZ),ZBAD=120,N8=NAOC=90。，且NEAF=60。，探究图中线段BE,E F,尸。之间的数量关系.小明同学的方法是将 ABE绕点A 逆时针旋转120。到4 ADG的位置，然后再证明A A F E A F G,从而得出结论：EF=BE+DF（D如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180,E,f 分别是边BC,CD 的点，且NEAF=

25、gNA4O,上述结论是否仍然成立，并说明理由.（2）实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30。的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F 处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离？拓展提高（3）如图4,边长为5 的正方形A5CZ）中，点 E、尸分别在A3、C D h,AE=CF=i,。为 E尸的中点，动点G、H 分别在边A。、8 c 上，E尸

26、与GH的交点尸在0、尸之间（与 0、尸不重合），且NGPE=45。，设 AG=/n,求机的取值范围.【答案】（1）结论EF=BE+DF仍然成立，理由见解析；（2）此时两舰艇之间的距离是210海里;（3）8 8 4【详解】分析：（1）延长FD到点G.使 DG=BE.连结A G,即可证明 ABE丝ZiA D G,可得AE=AG,再证明 AEFgZSAGF,可得EF=FG,即可解题；（2）连接E F,延长AE、BF相交于点C,然 后 与（1）同理可证.（3）分别探讨当P 与 O 重合和H 与 C 重合时，即可求出m 的取值范围.点睛：（1）结论EF=BE+DF仍然成立；详解：如 图 1,延长FD到点

27、G.使 DG=BE.连结AG,图 1在4 ABE ADG 中，VDG=BE,ZB=ZADG,AB=AD,.,.ABEAADG(SAS),VAE=AG,/EA F=/G A F,AF=AF,.,.AEFAAGF(SAS),；.EF=FG,：FG=DG+DF=BE+DF,；.EF=BE+DF；(2)如图2,连接E F,延长AE、BF相交于点C,图2ZAOB=ZAON+Z NCH+/BOH=30+90+20=140,Z EOF=70,，Z EOF=-Z AOB,2XVOA=OB,ZOAC+ZOBC=(90-30)+(70+50)=180,符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立，即 EF=1.5x(60+80)=210 海里.答：此时两舰艇之间的距离是210海里.(3)假设P 与 O 重合，如图4,o延长CD 到 Q,使 DQ=BM，由“半角型问题”可知MN=NQ,设 B M=a,则 CM=5-a,MN=QN=a+3,VMN2=CM2+CN2,A(3+a)2=(5-a)2+22,解得：a=-,；.AG=；4 8 当 H 与 C 重合时，如图5,由知B M=-,4.AG=CM=5-=；4 4.m的取值范围为：8 4点睛：本题属于四边形综合题，题型较难，解题的关键在于结合题意熟练的运用相关知