信号与线性系统分析习题答案期末复习题及答案.pdf

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1、信号与系统习题解析c1-1画出下列各信号的波形【式中 =后（，）为斜升函数。(2)/(/)=e,-o o r o o(4)/(r)=(s in r)(7)f(t)=2%(k)解：各信号波形为(2)f(t)=e,-o o z (r +2)-2)-3)e(z -3)(r l)_ e(2+1)e(z 1)_1-4写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。/(I 11 一012345678*(b)1 J ,一小；i：i21 O I 2 3 4 k(a),/G)-3-2-1 O 1 2 3 4 石(c)解图示各序列的闭合形式表示式分别为；(a)/(A)=(6 +2)(b)/()=(4-3)7)(c)/)=

2、(_ 6 +2)(d)/(A)=(1)%(公1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。(2).(k)=c o s与Z+?)+c o s 4上+令(5)力 =3cos+2sin(R)解：(2)该序列的周期应为c o s(芋 一个)和 c o s(?)的最小公倍数c o s 件.十 年)的 周 期 为 8,c o s 传 +看)的 周 期 为 6 该序列的周期为24。(5)该序列不是周期的。c o w 的周期为27r,s in(7c 力的周期为2,若序列周期为T,则T是 2 的整数倍，也是27r 的整数倍,这不成立，不是周期的。1-6 已知信号/的波形如图1-5所示，画出下列各函数

3、的波形。/(/-W-1)(5)f(1-2 0fxdx00(1)(2)df(t)F 解：各信号波形为(1)/。一 1)(6)/(0.5Z-2)(a)z a-w-1)(5)/a-20(6)f(0.5 r-2)xpdj(8)1pam1-7 已知序列/伏）的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。图 7(1)于*2)*)(2)f(k-2)s(k-2)(g7(7)(9)w工J(3-Ml/犍a+7)3(z+70下列是各系统的零状态响应%（）。稳定的？（5）yz s（k）=f（k）f（k-i）（8）yzs（k）=f（i-k）判断各系统是否是线性的、(3)%Q)=/Q)COS(2R)(6)%(%)=(2 2

4、)/(%)解（1）系统满足齐次线性和可加性.则系统为线性系统,%（，一加）=，/（，-Z d）系统为时不变系统。当t t o时，/（/）=。，则此时有V、（，）=7/（，）=。，则系统为因果系统d?当 fd）=（力时,）=6 =0 时,8,则系统为不稳定系统.%+%）=力（D +力（,）W I力（八十八（，）I,系统为非线性系统。以（，一心）=/匕 一 公 二系统为时不变系统。当，砧 时/=0,有 外 =f（t）=0,则系统为因果系统.若/（?）8,有.=/（?）8,则系统为稳定系统。（3）系统满足齐次和可加性，则系统为线性系统。yK（r rd）=/（f ，d）cos 2汽（f 小）二 半 t

5、 a）cos（2r）则系统为时变系统。当，V 4 时,/=0,则此时有.（/）=fd）cos（2浦）=0,则系统为因果系统。若 于 8.有.=fa）cos（2 a 8.则系统为稳定系统。（4）系统满足齐次线性和可加性则系统为线性系统。系 统 的 迟 延 输 入 为 匕），则系统的输出为/（-，一7d），则有T O ,/（z-rd）J =，（一，一G r 以（/一 公=f（?+f d）因此系统为时变系统。若 f V G 时寸=0,则有一 f V%即，一，时.%=/（-r）=0,因此系统为非因果系统。若/（?）8则有 外 =1 /（-r）8,因此系统为稳定系统（5）系统不满足可加性，则系统为非线性

6、系统。TU。,/一相）口 =/一储）/一 七一D=）=一 相），则系统为时不变系统。若 V M时,/（幻=0,则此时外）=/&）/&-1）=0 则系统为因果系统。若f k 8,则.（）=1）8 则系统为稳定系统。(6)系统满足齐次线性和可加性则系统为线性系统。丁 0,，(归一居，=a-2)/a储)手 a一包一2)/a 储)=以式左一Q)，则系统为时变系统。若 k v k。时,/)=o.则 此 时 有.a)=(A-2)/a)=0,则系统为因果系统。若 f(k)8,则当f 8时,=(4 2)J(Q 不一定为有限大，则系统为不稳定系统。(7)系统满足齐次线性和可加性,系统为线性系统。kI d一七)羊

7、 _/)=)工 一 七)，则系统为时变系y-0 j=0统。k若 8,则系统为不稳定系统。（8）系统满足齐次线性和可加性，系统为线性系统。T 0,/（-）=羊 一 相）=f（l 一归+包），则系统为时变系统.若 瓦 时/（）=0,则 1 一 V/，即1 一即时，.（）=f（l-）=。，则系统为非因果系统。若/（）|8,则当4 f 8 时,/X A）=/1 幻 （0+）=丁 工（0_）=_y （0一）=0即%（0一）=G =23 工（0一）=。2 =0则系统的零输入响应为 以（，）=2cos?,，02-2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其。+值y（0+）和y（0+）。（2）了+6）p）+

8、8），）=/）,M 0_）=W（0_）=l J（f）=M）（4）y）+4 y（r）+5 y（f）=_ m y（0_）=l,y（0_）=2 J（f）=e2z ）解：（2）/+6“+8 yG）=*（，）设/（？）=4”（，）+/（，）+0（，）+%（，）则有/（z）=2 （？）+/（，）+力（r）/i （?）=a（?）+|7o（，）clr同 理？（，）=4（，）一 片（，）丫2（，）=生。）/i （?）d r整理得 面”（八+（6a +），（/）+（8a +6 +c）6（，）+8/2（，）-6一 +y0?）j=/（，）J =6I 8a +6 +c=0 I c=28.有 y（0 _）=-*（，）&一

9、 6 o-=6/.1y （0+）=）（0_）6=56（，）ck+0_ 0+71 （?）d ro_J（O+）-y（O _）=0-*（力山一 6 一 S （，）d，+28 -6 a）d r +r t u九 山0_=2 8（0+）=29(4)y(t)+4yf(t)+51y =2e-2,e(?)+d(z)令，(，)=ad(t)+了式 t)则有)，()=7(.t)y(t)=不(，)鲂(:)+九(力+4 )+5 为*才=-2e-z,e(/)+5(z).a =1f0+3，(0+)1y(0_)=I X i (r)d?=0J o.(0+)=17(0+)-/(0_)=|F d f +*y0(z)d r =1Jo_

10、 J 0_jf，(0+)=32-4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。(2)/(/)+4/(0+4 X 0 =/(，)+3/(0,X 0_)=l,y(0_)=2,/(0=e%(t)解：（2）由零输入响应的性质可知.要求零输入响应即求解微分方程y X (t)+4)工(z)+43,(1)=o%(0+)=1 ,?工(0_)=2解此方程得3,（，）=C i e-2r 一（工 t寸匚代人初始值得必(0_)=C i =1y 工(。-)=2(；+C2=2解以上两式得Cl=l.C?=4.则系统的零输入响应为白(力=厂 -4/-2“0由零状态响应性质可知.求零状态响应即求

11、解微分方程+4 X()=6(f)+2e-e(f)/()_)=(0 _)=0方程右端含有冲激项两端对0-到 0+积分 /(/)&+41 +y/(力 df+4+/(，)df、。一 、口 一 V.。+.0+=6(力山+2 e-e(Z)d?考虑到)，/()的连续性得_y/(0)一了 /(0)口 -41j7(0-)一”(G_=1得)=)/()_)+1 =1.1y/(0+)=37(0_)=0当，0 时，微分方程可化为yff(Z)+43/(2)4-45/(?)=2er此方程全解为(f)=C：e-2/+I t”2 e-f 2 0代人初始值得J/（O+）=c -2=0y，（O Q=-2 G +C z 2=1解以

12、上两式得G =-2,G =-1 ,则系统的零状态响应为y r Ct）=2e-2f t e 2 t+2e，“0系统的全响应为y（t）=工（力 +y/（r）=e 2!3/e-2 1 2 e!t 02-8如图2-4所示的电路，若以 为输入，R为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。十图2-4解 由 KCL 得 s（z）=（，）+。（，）又由各元件端电流和端电压的关系可得uR（t）=Ri R（t）=uc（t），C（，）=（-y-M c（f）由以上三式可解得 cR（，）7 7“R（，）=i s（，）代人数值得(r)2 R(，)=2is(t)设系统单位冲激响应为人（?）则八满足解方程得代人初始

13、值得则系统的冲激响应为系统的阶跃响应为“+2力=0I/J(O _)=2人=(；e-2 rt 0A(0 _)=C i =2/i(r)=2 e-2 fe(r)g（，）=/i (j r)d T=2 e 2 1(1 r)c Lr=(1 e-2 r)e(r)2-12如图2-6所示的电路，以电容电压必为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。+0.5 H+(D1图2-6解 由K V L与K CL得“s(z)=wc(r)（，）=，R（，）+i c（）各元件端电流和端电压的关系为取力=1与R（Z）=R iR（t）（，）=C c（，）联立以上各式解得LC i一 右（，）+“c（，）=s（f）代人数值得，c（z）+3wc

14、（，）+2 c（Z）=2 s（Z）当激励us?）=（r）时方程右端不含有冲激项，则uc(0+)=0，c(0+)=0方程的解为 uc(r)=G e+C 2 er +l 10代人初始值得MC(O_)=G +。2 +1=0 c(。-)=G 2 C2=0解 得G =-2，G =1,则系统的阶跃响应为g(r)=c(f)=(2 e-f+e-2 r+1)(，)系统的冲激响应为h=?g(，)=(2 e-r-2 e-2?)(r)2-1 6 各函数波形如图2-8 所示，图 2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。(1)/()*力。)(2)工*力(3)/*力。)(4)/*力*力(5

15、)/*2以一力(-3)解 由已知可得f(/)=-yr(?2)r(z)2)(r(r)=fe(?)为斜升函数)/2(r)=6(，-2)+3 C +2)力 =6(，-1)+3(，+1)/(，)=6(1 2)6(，一3)-6(，-4)力 */2(，)=力(？)*6(/2)+6(，+2=-U-2)+力4+2)=-r(r 4)r(?-r 2)r(z)r(t 2)T-r(?4)波形图如图2-9(a)所示。(2)力 *力=/i(r)(，-1)+6(，+1)=力(，-1)+力(，+1)=*-厂(r +3)-厂(/+1)-r(t-1)+-3)J J J J波形图如图2-9(b)所示。（3）力 *九3=力（八*6

16、2）6（7 3）+双，一4）=力，-2）一 力（，-3）+/（，-4）=）-r（t-1）-r（z -2）r（f 3）-r（z -4）-r（z 5）+J J J J J*（-6）波形图如图2-9(c)所示。（4）力（，）*/2（r）*/2（z）=力（，）*6（，-2）+6（，+2）_*6（f 2）6（，+2）_=力（，）*6（/4）2d（t）d（t 4）_=力（，+4）+2力（，）+力（，-4）1 Q R=十4 +6）4 +4）+会（1 +2）2厂+沙（，-2）一 厂（，-4）+y r（r+6）波形图如图2-9(d)所示。(5)/1(r)*L2/4(r)-/3(r-3)=力(，)*26(，-2)

17、26(/3)+26(，-4)一6(，-2)6(，-4)=/1(，)*6(f 2)26(t 3)+6(，-4)_=力(，-2)2力(，-3)+力 C 4)=-r(z)r(t-1)-r(f 2)+2r(t 3)-r(f-4)r(f-5)+J J J6)波形图如图2-9(e)所示。(e)图2-92-2 0已知/=。),力 =(，)-2),求必)=力 *-1)*9。2)解/2(r-l)*6(，-2)=/2?-3)f；(t)=6。)-6(，一 2)；.九&-3)=6a 3)6(，-5).y(t)=力(,)*人(，-2)*6(，一2)=力(，)*/2 (t 3)=/i(r)*3)一6(才 5)=力(，-3

18、)一 力(，一5)=(J 3)E(?3)e(?-5)J+2e(f 5)=(r-3)e(r-3)-(r-5)e(r-5)2-2 2某LTI系统，其输入/与输出y的关系为y )=2 7)/(x-2)办求该系统的冲激响应除)。解 令/=:，则工一 2)=6(-2),由输入输出的关系可得h =e _ f 故(/_2)也=I e-2 e -(r-1 -2)dJ L】J -=*=e-2(i%1r(?!)=e-2 /-2)e(，3)H=2则系统的冲激响应为Mt)=e-2(,-2)e(-r+3)2-28如图2-19所示的系统，试求输入/=时，系统的零状态响应。图 2-19解 系统中含有两个积分器，则系统为二阶

19、系统。设右端积分器输出为N（f）,则积分器的输入分别/（，），/（，兀由左端加法器可得N（，）=）（，）-3（，）2/（2）即/=Z（r）+3/（，）+2*，）由右端加法器可得y（，）=2N（Z）N 由上式可得yr）=了 +X U）3/（r）=213za）7+3/（，）2y（t）=212%（了+2将以上三式相加得/（，）+3/（，）+2丁 （D=2才”（）+3（，）+2.（，）了一 （，）-3%（，）2z（，）_考虑到式/（?）=/+3 J ）+21，消去上式中工得/（%）+3/）+2）（，）=2/（r）+/选择新变量V(Z),使它满足方程y (r)3 y i (，)一 2(，)=/(r)设其

20、冲激响 应 为)，则儿(0 _)=0 (0+)=1,此方程的解为/i 1(Z)=(e-f e-2 r)(/)则系统的冲激响应为=2品 +/)=(3 e-2 r-e-,)e(?)系统在输入信号/(/)=e(r)下的零状态响应为“(，)=g(z)=|h(x)dx =3 e-2 x e-x)dj r=(一-e-2 j+e-f)E(?)一 D C 一：/L2-2 9如图2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为均)=3-1)%(，)=)-(/-3)求复合系统的冲激响应。图 2-20解 设/（r）=6U）,利用系统的齐次性和可加性以及系统级联的性质可得出加法器的输出为V（z）=

21、6（f）6（，）*/E（/）+6（，）*/%（1）*Aa（r）=6（，）+儿（/+儿（力*儿3则复合系统的冲激响应y（t）=yi（，）*hb（t）=6（z）t 1）6（，-2）_ *Ls（z）式t 3）J=e（z）e（f 1）2）e（f -3）e（t -4）e（r 5）即/i（f）=（，）+e（z -1）+e（r 2）e（t 3）e（z 4）e（t 5）第三章习题0,/（k）=-H Y k3.1、试 求序列 I 的差分V（k）、W（k）和自1。解（1）/（无）的 闭 式 表 达 式 为 /（支）=（十/（）=/（吏 +1）/（归）=（0）*+1 （吏 +1）-（）&（归）O 9 k Z 1=（

22、&）“匚 3（及 +1）（）1 1 =1 1 k=-1/1（十）F,B O/（归）=fdk f（.k-1）=（-1-）*（/?）-1）O,k V O=（）上 匚 （）一2 d 1）H=Y 1 卜 （.，12/(，)=E()%()=2()口()=oo t=oo 1 =0=2-(y)4 e()=J lk心 一，k 0将初始值代人得 (-1)=y C-1)=C 2-1=-1解上式可得C =-2,于是得该系统的零输入响应%()=-2 2ke (k)=-2 e()零状态响应满足方程yf(k)-2 yf(k-l)=f(k)和初始条件3 7(1)=0。由上式可得yfCk)=/(/)+2?/(/1)则有3 7

23、(0)=f(0)+2 (-1)=2系统的零状态响应是齐次差分方程的全解，分别求出方程的齐次解和特解，得yf(k)=。2 人+%()=。/2 氏 +(2)将 切(6)的初始值代入，得(0)=Cj 2 =2解 得Cf=4,于是得零状态响应3 7(氏)=4 2 2 (4)系统的全响应为y(k)=%(%)+&)=(2 5-2)e(k)(3)零输入响应满足方程%纥)+2%纥-1)=0特征根为a=-2,其齐次解为%()=C (-2)3 2 0将初始值代入，得乂(-1)=C-(-2)-=-1解上式可得，C=2,于是系统的零输入响应为%(为)=2(2汽()零状态响应满足方程yf(k)+2 y,(k-l)=f(

24、k)和初始条件(-1)=0。由上式可得37(为)=f(k)2yf(k 1)则有3 7（。）=/（O）2 切（-1）=4系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解，分别求出差分方程的齐次解和特解，得yfCk）=C/（一 2 +%）=g（2 +（为+2）将”（A）初始值代入，得3 7（0）=。/（一2）。+2 =4解上式得g=2,于是系统的零状态响应yf（k）=2（2 +:+2 1 （氏）系统的全响应为（5）零输入响应满足方程%（4）+2 y，k 1）+%（4 一2）=0特征根为储=A2=一 1,其齐次解为.=G（+G 1）Y 0将初始值代入，得（-1）=-C+C 2 =3y 4 -2)=C 2 c2

25、 =1 5解以上两式得3=1,。2 =2,于是系统的零输入响应为%()=(2 4 1)(一 1)一 )零状态响应满足方程yf(k)-2yf(k-2)=f(k)由上式得y I(k)=f(k)2yj(k 1)yfk 2)由初始条件 力(一 1)=(-2)=0得“(0)=八。)一2 必(一1)yf(-2)=393 7(1)=/(D 一 2(0)一必(一1)=-y系统的零状态响应是非齐次方程的全解，分别求出非齐次方程的齐次解和特解，得yf（k）=G（1*+；（；O 乙将？/（）的初始值代入，得?/（0）=G+4=3“,=-G-C1 92+4=-4b Z解以上两式得C1=1-,C2=2,于是系统的零状态

26、响应Oyf（k）=等（一1 +2 （1 +:（4）口 （尸系统的全响应为?（）=y,r（k）yf（k）=（4 4 +，）（+；（；）*【（）OJ 乙3.8、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。2)5)y(k)-y(k-2)=f(k)y(左)-4y(左-l)+8y(4-2)=/(左)(2)当系统激励f(k)=受h)时，原差分方程可化为h(k)-h C k-2)=3(h)则有人(-1)=A(-2)=0,方程的解为h(k)=G+。2(DY 0又h(k)=6(h)+h(h-2)则A(0)=8(0)+(-2)=1/(1)=台+以-1)=0将初始值代入，得/?(0)=C+。2 =1/?(1)=C

27、 i C2=0解 以 上 两 式 得，G=C2=则 系 统 的 单 位 序 列 响 应 为h(k)=y l +(-1)口()(5)当系统激励f(k)=6g 时，原差分方程可化为/?()一4 71(氏-1)+8力(氏-2)=6(k)则有(-1)=/2(-2)=0.方程的解为h(k)=(2 72)0.co s()4-C2s in(y)0又h(Q=台()+4 人(一1)一8/?(2)则A(0)=3(0)+4H 1)-8/J(-2)=1A(l)=(1)+4/K0)-8/J(-1)=4将初始值代入，得7 1 (0)=C i=1A(l)=(2 )(C 哙+。2 骼)=4解以上两式得G=1,C2=1,则系统

28、的单位序列响应为hCk)=A/2(2 y/2)k cos/-亳)c()3.9、求图所示各系统的单位序列响应。一了(a)/a)+,十?Q)A6i(c)系统输出即为左端加法器的输出，因此易得系统的差分方程令八我)=台 J),则系统的响应为单位序列响应人(左)，同时初始条件为h (1)=/z(-2)=/?(+1)=0。(1)由 左 端 加 法 器 的 输 出 为 可 知，相应的迟延单元输出为丁(归一1)。由加法器的输出可知系统的方程为丁 (左)=/()+1)O令 f(h)=8G),则系统的单位序列响应满足h(k)=(4)+(氏-1)以及初始条件力(-1)=0。则有A(0)=3(0)+累(-1)=1方

29、程的解为 h(k)=o将初始值代入，得 A(0)=G=1则系统的单位序列响应为 h(k)=(J)%)O(3)由左端加法器的输出为了(为)可知，相应的迟延单元输出为了小一 1),了(6 一2)。由加法器的输出可知系统的方程为y(k)=fCk)-y(k-l)-y C k-2)0 0令f(h)=台(大)，则系统的单位序列响应满足hdk)=8(h)-1)+九(4 一 2)0 0以及初始条件人(-1)=A(-2)=0。则有A(0)=S(0)4(-1)+4(-2)=10 07i(l)=8(1)-/i(O)+工人(-1)=-46 6 6由以上两式可解得3=曰 C =，则系统单位序列响应为0 0方程的解为h(

30、k)=C)(-/+C2(R,)0乙O将初始值代入，得/z (0)=C i+C2 1h(l)=+*y C2=春M Q=1（5），十三（5）。（3o Z 5 33.10、求图所示系统的单位序列响应。(a)根据系统框图可得出系统的差分方程，令方程右端只有3(6)作用时，可求得此时系统的响应为心(心，根 据L TI离散系统的线性性质和时移不变性可求得系统的单位序列响应。(1)设左端加法器的输出为才)，则相应延迟单元的输出为7柒一 1)白(-2)。由左端加法器的输出可得彳(6)=f(k)+4 1(4 1)3彳(2)即fCk)=4 jc(k 1)+3彳(左一2)由右端加法器输出可得y(k)=3 (6)jc

31、(k 1)由上式可得4 y(氏一1)=3 1)4 i(氏 一2)3 y(-2)=3 3/(-2)3 i(4 3)将以上三式相加可得y(k)1)+3 y (左2)=3 (A)-4JC(6 1)+3JC(为-2)一 1)4 i(2)+3 r(6 3)考虑到f(h)=jc(h)4JC(-1)+3JC(氏一2),可得系统的方程y(k)4 y (6 1)+3)(氏-2)=3/(f(k 1)令右端只有台()作用时，系统的单位序列响应为自(妨，它满足方程儿(右)一4(一 1)+3储-2)=3(6)以及初始条件(-1)=A(-2)=0。则有(0)=3(0)+4自(-1)-3/2)(-2)=13.11、各序列的

32、图形如图所示，求下列卷积和。工*/(左)力/)*力(左)力/)*/)力佐):/;/)*力/)由各序列的波形图可得出其表示式分别为：)=台(E+1)+23(氏)+3(氏一 1)f?(k)=3(左 +2)+2(+1)+8()+8(4-1)+8(2)=N E +2)(-3)fAk)=38(6)+23(为-1)+6(/2)力(E)=台(大)一 台(一1)+8(一2)一台(4-3)(1)力(6)*f 2 g=贺氏+1)+28(4)+S(氏一1)1*0(6+2)一冥左 一3)=e(E+3)+2e(%+2)+e(为 +1)e(k 2)2e(k 3)e(k 4)=，0,1,3,4,4,4,3,1,0,(2)f

33、2(k)*八(k)=晨氏+2)(一 3)*33)+28”-1)+8(%2)=3晨为+2)+2e(6+1)+N6)-3e(3)-2屋 -4)一(后 5)=，0,3,5,6,6,6,3,1,0,(3)于 3*力(左)=33(为)+2，(k-1)+醺 氏-2)*()一3 a-1)+台(氏 一2)一台(氏一 3)=3台(无)一k 1)+2台(4 2)2(k 3)一 k 4)d(k 5)=，0,3,1,2,2,-1,1,0,)(4)LfzCk)-fdk)3fAk)=晨上+2)一(-3)一 (+1)2台(右)一贺为-1)*33(4)+2 3 -1)+8(-2)=凝 +2)6(k)+Mk-2)*38(为)+

34、2，(k-1)+S(4一 2)1=3(k+2)+2SCk+1)-28(6)-2S(k-1)+2(k-2)+26(k-3)+8 a-4)=，0,3,2,3,2,2,2,1,0,3.13、求题3.9图所示各系统的阶跃响应。(a)y(k)=f(k)+-y(k 1)oy(k)-y(k 1)=f(k)o对于单位序列响应，有h(k)-生(-1)=M k)A(0)=-1)+8(。)=1特征方程为入一；=0,特征根为入=g(k)-1)=()g(0)=(1)+e(0)=1o又特解为 g/k)=yA a令 g(k)=C(-j+-k代 入g(0)=1得31C+y=1 =C=y乙LJ_ Q 1 ,1 、r:g g=T

35、 k)二o(c)=一 D+gy(6 2)+/(大)66对于单位阶跃响应g(6)+-J-g(左1)-J-g(2)=e(k)6 6g(0)=1i5g(l)=/8(。)+1 =三o o特解为g p(E)=1特征方程三+义一5=0,6 6特征根为 A i 2 =1乙 O,1 V k 1令 g(E)=l+c(-y)+D(代入g(O)，g(l)得+C+D =1 (c=C,D _ 5 4 l1-+T-T5.g凌)=+-y(y)3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。(a)设迟延单元的输入为(),则相应的输出为才(一1)。由左端加法器输出可得x(k)=f(h)+Jr(1)即 f(k)=x(k)-彳(1

36、)乙乙由右端加法器输出可得 y(k)=x(k 1)由上式可得-1)=一 1(-1)一 -2)将以上两式相加得y(k)-(6 1)=()1)(6 1)2)则有 y(k)为 1)=f(k)f(k 1)乙令方程右端只有台(大)作用，此时系统的响应为自(为)，它满足方程(氏)-y/2 1(-l)=6(k)及初始条件后(-1)=0。则有心(0)=3(0)+%(-1)=1方程的解为()=3 (9)%()将初值代入，得 自(0)=C.=1则有 h (k)=(；)&)J系统的单位序列响应为h(M=h j h)儿(A 1)=2 8)-1)=2 3)()%()Z乙系统的阶跃响应为g )=h(i)=2 8(,).)

37、&(，)/=O O f=-8=2 e(k)2 =(J)%)乙乙3.15、若LTI离散系统的阶跃响应g=（$），求其单位序列响应。解 由已知可得h(k)7 g(k)=g()g(k 1)(5)%(为)一(；)(1)乙乙=台()+(J pU 1)(4)%(1)乙 乙=8(k)一(：)1 (氏-1)=2 8 Ck)一(9)%(6)3.16、如图所示系统，试求当激励分别为（1）f（k）=（k）（2）/）=（。5）%时的零状态响应。97V-/(a)迟延单元输入为)(为)，则 相 应 的 输 出 为)一 1)，由加法器的输出可得系统的差分方程y(k)=f(k)-)(氏 一 1)乙(1)当激励f(k)=晨k)

38、时方程的解为1,93 f(k)=G(-z-)4+彳，氏)。乙 O又由 yz(-1)=0,/(0)=e(0)=1,可得V(0)=/(0)另/(-1)=1乙2则有”(0)=C +丁=1解得3=。，则此时系统的零状态响应为y 代 卜)=O O 乙3.18、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成，已知乙 的二2cos彳，啾k尸片以、激励/*()-城(),求该系统的零状态响应匕)。(提示：利用卷积和的结合律和交换律，可以简化运算。)（逆 豌=（球豌*G金心豌*（【7凡/一 加 二（小赖 吵*（1 7）0 =中叫*=叫*T心J=&讲 酣 睾 雎 飕 线 彭M（M嬲 熊4%1 =（冽 醐 聊 螂 猾 菖3.

39、22、如图所示的复合系统有三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为4的气的,砥 左）=（仁 5）,求复合系统的单位序列响应。解 复合系统的冲激响应为h（k）=心（万）*-2（为）则当激励为了）时，复合系统的零状态响应为y f（k）=fCk）*/“（）*/i 2（）=f（h）*h z （k）头 h i （k）=1 8（6）-a S（k-D *ake（k）*2 c o s（第）4=a%（为）一a ak e（k 1）2 *2 c o s（竽）=8（k）*2 c o s（）=2 c o s（第）4 4第四章习题4.6 求下列周期信号的基波角频率。和周期T。(1)eJ(2)cos匕(一3)(3)cos(

40、2r)+sin(4f)(4)cos(2加)+cos。加)+cos(5加)(6)cos白)+cos(/)+c o s)解 角 频 率 为。=100 rad./s,周 期 T=差=襦s(2)角频率为。rad/s,周 期 丁 =胃=4 s(3)角频率为0 =2 rad/s,周 期 T=系=式sJ L(4)角频率为。=n rad/s,周 期 7 =携=2 sJ L(5)角频率为。=4ra d/s,周 期 丁 =号=8 s412(6)角频率为。=获 rad/s.周 期 T=笆=60 sJ Uj x4.7 用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。(a)/(f

41、)sin八 忡(人加)2-I O 1 2 3 t(b)图 4-15解 周 期 丁 =4。=爷=手，则有1,44一 1 :4 4 +1/(r)=0,4A+lV rV 4 A +3由此可得Ta =-y j Tt/(r)COS(llQ t )d r =-y j f(t)C Q S(写 b d t=I cos()dr=sin/等=0,l,2 2 J-i 2 n it /、f2b =|Tr/(r)sin(nQ?)dr=/(r)sin()d r1 J-f 乙 J 2 N=1 sin 写=0,=1,2 (2)周期T=2.0 =旱=n,则有f（t）=s i n(j cr),0,2 4&Z 4 2 4 +12

42、4 +1 V f V 2 4 +2由此可得7,F”=f(t)e n(idt=-1 /(?)8=5|s i n(7 r r)e-i，l f i dr1 J-i Z J-i Z J o1 +L2“(1 一”2)=0,l,2,4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。（C）(d)图 4-18解（1）由/,（f）的波形可知力 =力（T）=一力（，土 各4 fT an=I /O c o s G G f ）dz则有 T J。，=0,l,2,=0aQ=a 2 =l）2 =b*=G则 力（r）的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（2）由/2（?）的波形可知力=-/2（-

43、r）仔=0则有1 4 fT,=1,2,|”=了|/（f）s i n（z i Qr ）dr则，2（，）的博里叶级数中含有的频率分量为正弦波。（3）由 力“）的波形可知八=/（一八则有=0J 4 什，=0,1 .2,|a =了/（r）co s（即 人。）的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波。（4）由 人）的波形可知，力（?）为奇谐函数.即T/=/4（r y）则有 a0=a2=aA=仇=仇=0即/J r）的傅里叶级数中只含有奇次谐波.包括正弦波和余弦波。4-11某 1C 电阻两端的电压“如图4-19所示,（1）求的三角形式傅里叶系数。（2）利 用（1）的 结 果 和=求下列无穷级数之和3 5 7

44、（3）求 1。电阻上的平均功率和电压有效值。（4）利 用（3）的结果求下列无穷级数之和iu/v一 O 2 3 4 t/s图 4-19解(1)由 (，)的波形图可知T=2,。=4 =7 T ,则11,2 z&24+1“=)|0,2k+1 V f V 2k+2则有a0=亨j u O d r =J u(r)dr=|dr=12 f?f1=-=I，cos(?Q)df=|u(z)cos(727r?)dr/J-J-J-1ri=I cos(727rr)drJ 0=0 =1,2,Irisin(7tf)dz=sin(，7r2)df-1 J o1 cos(nrc)】Q=-n=1 ,Z,则 U三角形式的博里叶级数为f

45、T.b n=|(f)sin(7Qr)df=o cu(t)=等+X“s i n(；t r)=乙 n=l1 8T-S乙=I】一 （汉）.n（,Q）nit（2）波形图可知（,）=8Axn-1i -(-iys i n(等)=1则有o cs，?=11 -(-l)s i n(会)7 TTn即2-i -3 +5 7 n72t则可得无穷级数 s=i-4-+-4-+-=V3 5 7 4(3)1 Q电阻上的平均功率为1 fT 1 f i 1 Cl 1P=I u2(t)dt=u2(t)dt=dt=2 J-f Z J-i Z J o Z则电压有效值为u有效=6 =%v（4）由z z（?）的波形图可知u(?)=u2(t

46、)则P=u(t)dt=i u(t)dt=u(t)dt=g1 J f-Z J-i Z Jo Z将 id t)的傅里叶级数代人上式得1 cos(吟由 臣)&=1 7 t 2即得即4.17根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换(1)(2)/Q)=i-,-o o f o o)(f-2)“、2a/W=2-,-/0 0a-+t(3)/sin(2m)2加2,o o Z o o解（1）由于宽度为r.幅 度 为 1 的门函数g1（r）的频谱函数为rSa（笺），即grsin（竿）rSa（）=L CD2取 r=2.幅度为；.根据傅里叶变换线性性质有1-11=歹义 2Sa（a）=Sa（s）21,、即/2Sa（o）

47、注 意到 g2（r）是偶函数.根据对称性可得Sa（r）27c X 春旦2（3）=7tg2（3）根据时移性和尺度变换性可知久 Sa二 2六（？一 2）二=5 g4、3）eT2“由 f(t)=sm-子 二=2 Sa：2 7 r(r-2)可知7 t U L)_,e-i 2 B/一 =g4R(o)e-12,u=%(2)由于t t T 2 n-r ad/s2 aa?+/可知2 aa2+t22 7 r e-0-3 =2-3即f(t)=屋 J,一8 v r v 8 的傅里叶变换为2 Tr e-0 a-t（3）由于根据对称性可知s i n eoU)yg 2(r)陪一呆，3）,根据频域卷积积分性质可得-sin(

48、27tr)-i227rz1 r 1 z x 1 /、菰2 g 4*e 2心(口)又有即/(r)=-吗等，_ 8 v?v 8的傅里叶变换为3 V 47r rad/s3 rad/sf y 1 T A 4穴 rad/s4.18求下列信号的傅里叶变换(1)/)=/(-2)(2)/(r)=e-3(,-|)J(r-l)(3)/Q)=s gn(r-9)(4)(5)%)=(；一1)解(1)已知6(t)*1由时移性质可得8(。一 2)一 i再由频移性质可得了(，)的傅里叶变换e -S(t 2)一*广 即F(j Q =户(2)f(t)=e-3,-1)y(r-1)=y(r-1)-(3)5(r-1)=(1)+3合(。

49、-1)又at)-l,(r)一 j s,由 时 移 特 性 可 知 的 傅 里 叶 变 换 为F(j a)=(j o 3)e-i w(3)f(.t)=s g n(r2 9)=1 2 g 6(，)又究g 6 1=l g 6(r)e f&=e dt =2 s-(33)J-8 J-3 3乳 1二=2芯(3)则有笺/1 =26(3)-4s m(3s)(5)由e(f)芯(3)十：利用时移特性可得l 1 r 加e(t 1)_7r3(3)：6一8=Tcd(cu)+-Jg-J3再由尺度变换特性可得(3 1)-2_n8(2OJ)+Te：2(u=re台(a)+7-e2cv2-)2(D js即 f i t)的傅里叶变

50、换为F(jo()=8(3)+-r-e-i2wW4.19试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。(a)J,1、r r o r z t2 4 4 2(b)图 4-23解(1)由/,(r)的波形可得其闭合表达式为力(r)=_(?+r)-e(t-r)_由此可得1 (?)=r)e(t r)J r)8(t r)r又有E(t)-*-*7t8(,O J)+7 w8 -1可得e(r r)-*茄(3)+二二8(，士 r)-eMT则有乳 孔 =2sm(_)_ 2 c o Cr 3当 3=0时上式值为0,则有乳力 =22=J2 3co s(co r)-2 s i n(g j r)C D2 T（2）由a“）的波形