物理习题集.pdf

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1、习题一映射与函数1,讨论y=(2、+2 r)ln(x +71+x2)的奇偶性.2、若的的定义域是 01,求 心，1)的定义域.3、若/切是以2 为周期的周期函数，且在闭区间 0,2 上/(X)=2X X2,求在闭区间 2,4 上尬的表达式.4、f(x)=x+,(p(x)=-,求力夕的+1与 9 昭;+2.+x5、求 定 义 域 产 7 +a r cs i n3-3x56、x已知/夕=1+co s x,9 =s i n ,求力%).17、设人)=0-1忖 11 4-Y8、证明函数./）二 在 区 间（0,+8）内单调减.x9、设g(x)与y(x)分别为(一8,+8)内的单调增加函数与单调减少函数

2、.令(x)=g/(x),(p(x)=(x),试讨论 (x)与(p(x)各自的单调性.10、设4 B、。是任意三个集合，证明：对偶律(4口8尸=3 0 1)相:11、设映射 匕 ZuX,Bu X,证明：/(NU 8)=/(N)U/(8)12、收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1 台，售价就降低1分,但最低价为每台75元.将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数；将厂方所获的利润P表示成订购量x 的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？习题二数列的极限1、请列举两个数列U,均使得）=0,但 l i m 与

3、 l i m +均不存在.2、一1已知l i m-=1,求 N 使当 N 时，有 +11-1 10-4./7 +13、估算极限 l i m 一 8(J +1-).n7Ts i n l i m 1 一 8 n l i m 一 8(T)、(4+)YI(4)S y4、用“N 定义证明:(1)l i m 一 oo3+12+132 l i m 4二0.5 设数列&”有界，又H m、n=a证明l i m x._ y n=0.习题三函数的极限、无穷大与无穷小1、根据函数极限的定义证明:(1)lim(5x 4-2)=12X T2lim 皿=0XT8 X2、求 危)=工,0 =旦 当 x T O 时的左右极限，

4、并说明它们在x-0 时的X X极限是否存在.ex x 01 -4-Y4、说明l i m 一 不存在.x-0 11 -ex5、.2x 4-1求h m-并说明理由（常数加无穷小）.18 X6、用无穷小的理论说明l i m x s i n，=0.,3 0 x习题四极限运算法则1、.3x 4-1l i m-S T X+12、limx-l2x2-x-1 2x2+x+13、l i m-3x+14、h m-x-8 x-+1x3+2x25、l i m.-2(X 2产A l i m f 1 3 O、11IIH _)1 1-x 1-x37、lim(Jx2+%+1 Jx 1+1).r-+(2x-l),00(3x-2

5、)2008、lim-.-i(2x+l)5002xsinx 19、hm.arctan f Vx2+1%10、证明：设 lim/(x)存在，limg(x)不存在，则 lim(/(x)+g(x)不存X XQ X T XO X T XO在.习题五 两个重要极限 无穷小比较s i n wx1、l i m-t a n 3x2、l i m-.10 x3、l i m x co t xx 0 s i n 2x4 l i m-2。s i n 5x-.l-co s 3x5、l i m-s o x s i n xx6、l i m 2W s i n (x 工 0)8 2n7、l i m(x s i n 4-s i n

6、x)1 X X8、l i m(l -x)rX TO门 r n+xY、9、l i m -X)i n r(x +i Y10 l i m -x +2 J1 1、利用等价无穷小性质求极限 l i mX TOa r ct a n 3x5 x l i mx-OX l i mX TOt a n x-s i n xs i n3 x1 2、利用两边夹法则证明:l i m Jl +=1n1 3、x,=1 0,xw+1=j 6 +x，试证明数列&极限存在，并求此极限.习题六函数的连续性与间断点1、研究下列函数的连续性，并画出函数的图形(1)f(x)=x22-x0 x ll x 2危)=2、已知歹=x1X 1Y元-有

7、间断点，x=k兀 +,x=kTT,(k-0,1,2,)tanx 2试确定其类型，对于可去间断点补充定义使之为连续点.1 Y已 知 网 吧台X 指出网的间断点及其类型并做出其图像4、设 y（x）=,X H .;研究）在点x =0 处的左连续性与右连续性.1-re0,x=05、要使兀V）连续，常数4,b 各应取何值？1 .sinx,Xx 0 x习题七初等函数连续性、闭区间连续函数性质1、lim n(ex+|x|)2、limX TlV 5x 4 y/Xx-13、lim(l+3tan2x)coUX TO i sinx4 lim In-x5、当。为何值时，/(x)=Q+Xx 06、证明方程一-3x=1至

8、少有一个根介于1和2之间.7、证明方程x=a sin x+b(a 0.6 0)至少有一个不超过a+6的正根.8、设函数/(x)在0,2司上连续，且/(0)=/(2a),证明：在 心 上至少存在一点 x,使 fi x)-/(x +a).9、若/(x)在(a,b)内 连 续，且。/W吃 W x”/(x)在 a,+8)连续，且l im/(x)存在，证明/(x)在 a,+8)有界习题八导数概念1、求导数Wy=x4 广 源 2口 X2VX5尸;7x2、己求物体的运动规律为s=/3(/w),求这物体在，=2 秒的速度.3、求曲线歹=co sx 上点,g)处的切线方程和法线方程.4、在抛物线歹=8 2 上取

9、横坐标为为=1 及=3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪点的切线平行于这条割线.5、讨论y=a 乂在x=0 处的连续性与可导性?6、设 9(x)在 x =a 处 连 续,f(x)=(x-a)(px,求 r(a).X%18、f W =X2x 0二。求了:及 小 0).9、证明函数/(x)X 0,在点x =0 处连续，但不可导.x0确定参数4,6,C 的值.7、设y=y(x)由方程5 x =0所确定，试 求 包 ，噌出厂0 dx8、设歹=y(x)由方程x ey)=所确定，/Q)二 阶 可 导 且 求d2ydx2 19、利用对数求导法求导数(1).=J x s i nx j l-e”(2)y

10、-(s i nx)ln10、求下列参数方程所确定的函数的导数坟 yx =Itna ns(iln +t eT)6号球去习题十二相关变化率、函数的微分、微分在近似计算中的应用1、设 y=3 3-x,在X o=2 处，Ar=0.01时 与 求 与 力2、设V=/()在/处可微，Av是/(x)在/处的增量，求 lim 4y.3、yJ。均可微，求 力 4、4=-=rdr,求 45、y=e(sin2x,2,d尸/d(sin2x),求 46、已知kc o s ,普存，需.7、利用微分证明：当国很小时，=1一，.（提示：设/（）=，1 +X 1 +将 X z 视为）8、落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最

11、外一圈波半径的增大率总是 6米/秒，间在2 秒末扰动水动血积的增大率为多少？习题十三 中值定理1、若“b 0,说明/()=,在 4上满足拉格朗日中值定理的条件，并X求出使/3)-/(a)=成立的2、证明方程/+%一 1 =0只有一个正根.3、若/(%)是 上 的 正 值 可 微 函 数，则 有 点J e(。,6)使喘*4、设/(x)在 上 连 续，在(a,6)内可导，0aO),求证存在一点 e(a,b),使/(6)-/(a)=等(/).5、证明下列等式或不等式.八、1 2x 兀，、(1)a r c t a n x a r c c o s-=(x 1);2 l +x2 4,a a-b.a a-b

12、,.八、(2)I n 0);a b b(3)当 x l 时，ex ex；(4)|s i n x2-s i n x|3)，其中a x x2 x3 b,证明：在(X 1,3)内至少有一点J,使得0(6)ex-s i nx-1li m-s (a r c s i nx)丫 +qin X2、说明li m 存在,但不能用罗必塔法则求得.x3、已知/(x)有一阶连续导数，/(0)=/(0)=1,求 lim/i n)TX TO ln./(x)Qin 3 V n4、当。与6为何值时lim(艺 啜+=+6)=0.*7 X3 X-5、若/(x)有二阶导数，证明/(x)=lim/区+h)-2/+白 三 一 h)6、设

13、/(%)有 二 阶 导 数，在x=0的 某 去 心 领 域 内/(x)H 0,lim =0,/(0)=4,求lim(l+)1K TO%x 0%习题十五泰勒公式1、写出/(x)=xW 在/=1 处的三阶泰勒公式.2、求函数y =x e 的阶麦克劳林展开式._ 1 13、证明 V mc=l +x x2 H-,(0 1).2 8 -v 716(1+而4、证明：函数/(x)是 n 次多项式的充要条件是/+D(x)三0.5、求一个二次多项式P2(x)，使2、=02。)+。(,)，式中，0(/)代表XT 0时比,高阶的无穷小.6、若/(x)在“有”阶导数,且/()=/S)=/=f=f(6)=0,证明：在(

14、a,6)内至少存在一点4，使/0 =0,4 0,证明:/(x)7 x.(先证/(0)=0 J(0)=1)1 X习题十六1、求下列函数的单调区间(1)/(x)=l-4 x-x2函数单调性与凹凸性/(%)=104x3-9x2+6x(3)/(x)=2x2-I n x(4)f(x)=xy/ax-x2(a 0)2、证明下列不等式(1)t an x x +x3(0 x )；32(2)x-x3 s i n x 0)3、若 点(1,3)为曲线=。/+瓜 2的拐点，求 4 人 并求曲线的凹区间和凸区间.4、问I n x =0)有几个实根，并确定根所在的区间.5、利用函数图形凹凸性证明X.+、，八 一 /万co

15、s -(co s X+co s X2)/2,V X,X2 e (-,6、已 知(2,4)是曲线y =/+办2+b x +c的拐点，且曲线在点x =3处有极值，求a,b,c.7、设/(x)在 0,+8)连续，在(0,+o o)可导，当 x 0 时，fi x)k l).3、要使容积为P的圆柱形闭合罐有最小的表面积，应有怎样的形状？4 求y =的极值.5、。为何值时，/(x)=o s i n x +；s i n 2x在x 处有极值，并求此极值.6、证明若夕?2。x2dx.0fO 25、估 计J,-dx的值.6、求证：2 旦1J 2+x7、利用积分中值定理证明H m 变为=o.一 8 X习题二十四微积

16、分基本公式1、填空题(1)j/(x)d x -/(/)d z =(3)s i n/2d/=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；dx人(5)s i n x2t/r =_ _ _ _ _ _ _；dx J。2、计算下列积分x +1,设/(x)=(X 1，求 /(x)d x.n n3、利用定积分定义求阳（E+E+-)n2+/4、求下列极限f c o s/2d/(1)li m 2-*TO 产s i n t,d/J o I5、li mX 8设/(x)0 且在 a向 上 连 续,令 F(x)=/d/+正,求证:(1)F x)2；(2)方程户(x)=0 在 4)内有且仅有一实根.6、设/”(x)0,x

17、e(0,1),证 明 /(x2)dx 0 x 0,使对一切的 x 有八/川”r/(/)d r.Jx JO习题二十六定积分的分部积分法1、填空题(1)设/(x)在 0,2 上 连 续，且/(0)=0,/(2)=4/2)=2 则J，(2x)dx =.(2)s i n7 2xdx=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.Jo2、计算下列积分：(1)f x ar c t an x dx;Jo i n d x =-(2)xexdx；Jo(4)j 2(x +x s i n x)dx|ln x|dx(6)s i n(ln x)dx，24 cos6 xdx0(8)2l+exsin4xdx3、设/(x)

18、为连续函数，证 明(，/()&,辿=(x-z)/(r)d/.习题二十七反常积分1、判断下列广义积分的收敛性，若收敛，求值：r+8 dx r 2 dx(1)I-(2)-&x ln x J i xlnxrdx(1+严(4)r-i dr j(k|+x)e，dxp+8 dx2、当左为何值时，广义积分I,收敛?当上为何值时，这广义积二 x(lnx)*分发散？当上为何值时.，这广义积分取得最小值？r+oo3、利用递推公式计算广义积分/“=1xne-xdx.习题二十八平面图形的面积1、计算下列各题：求 夕=,y=-x =和 =2 所围图形的面积;x x 2(2)y2 j/=一1 所围图形的面积;1 1 ,(

19、3)y=2x,xy=2,y =厂所围图形的面积(x 2 1).(4)0 =2(1 -s i n。)所围图形的面积;(5)x-a(t-s i n/),y =a(l-c o s f)的一拱(0 W 21)与横轴所围图形的面积.习 题 二 十 九 体 积1、求y=x=2,y=0,所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转,计算所得的两个旋转体的体积.2、由星形线x/+=a 9所围成图形，分别绕x轴及y轴旋转,计算所得的两个旋转体的体枳.3、求摆线x=a(f-sinf)y=67(1-cos/)0/3、已知 4(2,1,7),6(4,5,2),线段 A B 交x oy 面于 p 点，且 尸=1 2 3 ,求2值

20、.4、从点(2-1,7)沿a=8i +9/-1 2 A的方向取A B =3 4,求点B的坐标.5、用向量理论证明：平行四边形N8C Z),E为Z 8的中点，则。E和/。相互为三等分.习题三十三 数量积、向量积1、已知a=2 i 3 J +A ,=，一/+3后和c=i-2 j,计算:(1)(a b)c-(a c)b；(2)(a+8)x(+c)；(3)(axb)-c.2、设a=(2,-3,1),b=(1,2,3)c=(2,1,2),求与。，力同时垂直且在c上投影为1的向量y .3,已知向量a=(3,4,0),6=(1,2,2),求a与。夹角平分线上的单位向量v.4、设 同=4,例=3,(a,b)啖

21、,求以a+28和a 38为边的平行四边形的面积.5、试用向量证明直径所对的圆周角是直角。习题三十四 曲面及其方程1、求以点（1,3,-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.2、一动点与两定点（2,3,1）和（4,5,6）等距离，求这动点的轨迹方程.3、将 x oy 坐标面上的双曲线4 x 2-9/=36分别绕x轴及绕y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.4、将 y oz 面上的抛物线/=5 z 分别绕y轴及z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.5、求球面，+/+z2=9与平面x +z =l 的交线在x oy 面上的投影方程.6、分别求母线平行于x轴及夕轴，且通过曲线2 x2+2+z2=1

22、6,；,的柱面x2-y2+z 2 =0方程.7、画出下列各方程所表示的曲面:(1)x2+2y2=14 9 亨 +/=(|)2(3)x=2(4)y2 z =08、求由上半球面Z=_7 2 _ y 2 ,柱面刀2 +J?一 以=0及平面Z=0所围成的立体在x oy坐标面和x oz坐标面上的投影。习题三十五平面及其方程1、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量。=(2,1,1)和办=(1,一1,0),试求:平面的点法式方程;平面的截距式方程;平面的般方程;(4)平面的一个单位法向量.2、按下列条件求平面方程：平行于x o z平面且经过点(2-5,3)；通过z轴和点(3,1,2)；平行于x轴且经过两点

23、(4,0-2)和(5,1,7)；（4）平面过点（5,-7,4）,且在x,y,z三个轴上截距相等.7F3、求通过点（3,0,0和点Q0,D且与x oy平面成:角的平面方程.4、求通过点（1,2 且垂直于两平面x +y =0和5 y +z =0的平面方程.5、求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离.习题三十六 空间直线及其方程1、点(1,2,3)且平行于y轴的直线方程.2、过两点Mx(3,-24)和(-1,0,2)的直线方程.3、用对称式方程及参数方程表示直线.x-y+z=1V2x+y+z=44、求点(-1,2,0)在平面x+2 y-z+l=0上的投影.x+y z+1=05、求点p

24、(3,-12)到直线仁 八的距离.2 x-y-b z-4 =02x 4 v 4 z=06、求直线4 在平面4%一歹+2=1上的投影直线的方程.3 x-y-2 z-9 =07、求 过 点”(1,0,1)且 平 行 于 平 面 不:3x+y+3 z-l=0 ,又与直线/：叶1=Z z l=z相交的直线方程.2 38、求点(2,13)关于直线三=5的对称点,y+z+1 -09、在平面x+y+z+l=0内，作 直 线 通 过 已 知 直 线 与 平 面x+2y=0的交点且垂直于已知直线，求此直线的方程.习题三十七多元函数的基本概念1、设/（工一歹,4 =，/,试求X2、设 Z=+1）,且当 =1 时2

25、 =%，求/（X）和 Z.3、求下列函数的定义域、4x-y2ln(l-x2-y2)z(2)u=ar c s i n (3)z =x-J y(4)u=yjR2 x2 y2-z2+yjz x2 y24、求下列极限 lim磐山X TOJT1x2+y2 lim j s(+y：)(4)x2 vy-0 J丽,孙k+1 T5、设函数/(x j)=匕，试问极限lim/X xj)是否存在？并说明理由.x+y,习题三十八 偏导数1、求下列函数的偏导数：(1)u=arc t an(x-)z,求*，v，二。2+2 设/(x,y)=J：e dt,求 人(1,2).(3)设2=5 11+/(5皿工-5也),其中/()可微

26、，求 ZZy.(4)z=(1+xy)y,求 Z”，Zy.y(5)w =xz,求,uv,uz.2、求曲线|z =Jl+“-+y 2在点(1,1,J 8)处的切线与y轴正向所成的角度.X=13、f(x,y)=x2+(y2-l)t a n ,求工.(x,l)._ _ 24、验证 r=yx2+y2+z2 满足ru.+ryy+r2.=-.5、设z=xln(中)，求丁faxay习题三十九1、求下列函数的微分(1)z=l n(t an ),求 d z.x 二 x ，求d u.全微分2、求函数z=l n(l +，+y 2)当x=1,y=2 时的全微分.3、求函数z=2当x=2,y=l,Ac=0.1,Ay=0.

27、2时的全增量和全微X分.y4、U-X 求 du习题四十多元复合函数的求导法则1、求导数d2r(1)z=arcsin(x-y),x 3t,y=4z3,求一.dt(2)设 z=2 J+v w,而 =x+y,v=x2,w=xy,求 dz.小 em(y-z).十 di/(3)u=-,而y=asinx,z=cosx,求 .a+1dx2、求下列函数的偏导数(/具有一阶连续偏导数)(1)u=/(,)(2)“=/(x,孙2,中sinz)V z3、设z=xy+x F(u),而 =上，F(w)为 可 导 函 数，证 明：xdz玄+y=z+肛d2Z4、设z=/(si n x,c o s%/+),/具有二阶连续偏导数

28、，求 三oxuy5、设2=-1-,其中/()可导，验证，2丫 +，Z y=4.f(x-y-)x y-y习题四十一隐函数的求导法则1、siny+ex-x y2=0,求生.dx2、设e F -2z+e-z=0,求丁，丁.ox dyX 7一=In ,求分，zv.z y3、设 e xyz=0,求.dxz 74、设尸(,v)是可微函数，而由方程/(x+,y+)=0 确定2 为工/的y x函数，证明：x 半+y 4 =z 一 孙.ox oyY =pu+z/sin v5、设，求人，叫，匕，匕，(提示：用微分的方法做).y=eu-u cos v习题四十二偏导数的几何应用1、计算t 一,冗 求曲线x=7-si

29、n/,y=1 -c o sZ,z=4si n,，在对应的/=万-的点处的切线方程及法平面方程.求 曲 线+2“v 一=12绕y轴 旋 转 一 周 的 旋 转 曲 面 在 点z=0（0,百，夜）处指向朝外的单位法向量.求曲面 一 z+=3在点（2,1,0）处的切平面方程及法线方程.丫 2.2.2 _ Q _ _ n2、求 在点（覃,1）处的切线和法平面方程.2x 3y+5z 4=03、为使平面3%一0一3z+16=0与曲面3/+/+z?=16相切，求h4、证明曲面2=切(上)在任一点处的切平面都通过原点.X5、证明曲面 +方+正=后(a 0)上任何一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.习题四

30、十三方向导数与梯度1、计算(1)求函数=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.设 f(x,y,z)=x2+2 y2+3 z2+9 +3x-2y-6z 求 gnW(1,1,1).2、函数=X +y+Z在球面X?+/+Z?=火2上点(X o J o,Z o)处沿球面外法线方向的方向导数.3、f（x,y）在（x0,y0）可 微，且 沿 x 轴 正 向 到 射 线/的 转 角 为T T T T4 =2,&=方向的方向导数分别是1，0,求/（X）在此点的最快6 3增长方向及最大增长率.4、函数”=盯?2 在点p（i,_ i,2）处沿什么方向的方向导数最大、最

31、小？并求此方程导数的最大值、最小值.5、求函数“=t 2+y2+Z）在曲线x=/,y=t2,Z =/3上点（1,1,1）处沿曲线在该点的切线正向（对应才增大的方向）的方向导数.习题四十四 多元函数的极值1、试利用函数在某点取得极值的定义讨论下面各题:点M(O,1)不为z=xye”的极值点.点(0,0)为z=x+sin2 y的极小点.2、求/(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值.3、函数z=肛(4一一 )在x=1,y=0,x+y=6所围成的闭区域上的最大值和最小值.4、抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=l截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.5 求由/+V +z?-2x+2y

32、-4z 10=0 确定的z=的极值.2 2 26、求 内 接 于 椭 球=+三+=1的最大长方体的体积，长方体的各个面a2 h2 c2平行于坐标面.7、在平面xoy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0的距离平方之和为最小.习题四十五二重积分的概念和性质1、设平面区域。由，+/相 所围成，试根据二重积分的几何意义计算I=皿 废 _ 丫2 _ y 2 d b.D2、设 平 面 区 域D由x=0,y=0,x+y=-,x+y=l所 围 成，记4人=j j l n(x+y)3 d v d y,/2=J J(x+y)d x d _y,I3=j|s i n(x +)3 d x d j；D D

33、D试比较/“I2,A的大小.3、设f(x,y)连 续，且 八0,0)=1 ,根 据 积 分 中 值 定 理 计 算l i m f(x,y)d ox2+y2 r24、积 分 区 域D关于歹=0(x轴)对称，且/(x j)关于歹为奇函数，则J J 7(x，y)d b=D5、利用二重积分的性质估计下列积分值：(1)/=J J s i n2 x s i n2 y d(7，其中 是矩形区域：0 x ,0 y7T.D(2)/=J J(/+4/+9)d b,其中。是圆形闭区域：x2+y2 4.D(3)/=J J(X +y)3 d T,其中。由(一2)2+(夕-=2 所围成.D习题四十六 二重积分的计算(一)

34、1、计算二重积分 J J(3 x +2 y)d c r,。由x =0,夕=0及x +y =2所围成.D J.%,。由 国+回4 1所围成的闭区域.D x y d a,。由x =V及x-y =2所围成.D2、画出下列枳分区域，并交换累次积分的顺序:1 2dx八”刃 a1 2a-x 1卢 L J%/)产 sin x L ,xf(x,y)dyJO v-sin 23、求由平面x =0,y=0,x +y =l所围成的柱体被平面z =0及抛物面X2+丁2 =6-z所截得的立体的体积.4、计算下列二重积分(1)xy2dxdy,其中。=(x,y)I x 2 0/2 O,x?+/“；Djjs i i rx 很，

35、D=(x,)I x2 y =j (x9y)0 x -,0 y -；D I(4)0 y(x j)d x d y,其中/(x j)=,Di-x-y,x+y0 x 1,0 2）d rd y ,D=（x,j；）l x2+y2 0,y 2 0 .D(3)xyd(J,D:x2+(-1)2 0)所围成.DIX l _ X，y：d C T,D:由，+歹2 =1及坐标轴所围成第一象限内1+x2+y2的闭区域.计 算 口町口。，。是以坐标原点为圆心，a为半径的圆域D(5)求由平面y=0,ykx(k 0),z=0以及球心在原点半径为尺的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.4、计算 j j f X x2+2)d

36、xdyx2+y2 0,z 0,x2+y2+z2 WR2(R0)所围成的闭区域.(2)双曲抛物面Z=A J及平面x+y=l,z=0所围的闭区域.曲面z=x2+2y2及z=2 2所围的闭区域.2、计算下列三重积分！际苫篝彳,其中。为、z=。和x+y+z=1所围四面体.(2)jj|r2d x d y d z ,Q是由平面z=0,z=y,y =l及歹=/所围Q成的闭区域.(3)jjjz d rd y d z ,Q 由锥面 z=由 Ji及 z=/?(R 0,0)aR所围成.3、用先计算一个二重积分，再计算一个定积分的方法，计算下列三重积分(1)jj|z2d x d y d z ,其中 Q 是 两 个 球

37、：x2+y2+z2 R lax2+y2+z2 0)的公共部分.(2)J J J e,d x d y d z,其中Q是由单叶双曲面，一/+z2=i及 夕=0、y =2所围成的闭区域.习题四十九 三重积分的计算(二)利用柱面坐标计算(1)-h y2dxdydz,其中 Q 是山 z =(h z =aa 0),y=0Q及/+y2=2x围成的闭区域.(2)J j/斗|d v,其中Q是由曲面z =J x?+F 与 z =所Q围成的闭区域.2、利用球面坐标计算：(1)+y2+z2d v,其中 Q 由不等式/+(z a)2X-+y2 0)的公共部分.3、选择适当的坐标计算(1)J J J(x 2 +y 2)d

38、 v,其中 Q是曲面4 z 2 =2 5(/+J?)及平面z =5所Q围的闭区域.jjjd v ,其中 Q 由 /+/+z?2 1 ,x?+)/+z?W 1 6 和z 2 +4 2所确定.4、求由曲面z =-Y 一歹2及/+二2 =4 z所围立体的体积.习题五十 重积分的应用1、求双曲抛物面z =被柱面，+/=1(x 2 0,y 2 0)截下的部分的部分的面积.2、求锥面zn/PTT7被柱面z 2 =2 x所割下部分的曲面面积.3、求底圆半径相等的两直交圆柱V+y 2 =R2及/+z 2 =R 2所围立体的表血枳.4、在均匀半圆形薄片的直径上，要 接 上 个一边与直径等长的均匀矩形薄片，为了使

39、整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？5、求由抛物线y=/及直线丁=1所围成的均匀薄片对于直线y=-l的转动惯量.（面密度为常量P）.6、一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域。由曲面z=x 2+j?和平面z=0,忖=a,|y|=a所围成，求物体的体积；求物体的质心；求物体关于z轴的转动惯量.习题五十一 对弧长的曲线积分1、计算下列对弧长的曲线积分(1)，x d s ,其中。为由直线y=x及抛物线丁=2所围区域的整个边界.(2),其中c为圆周一+/=/,直线y=x及x轴在第一象限内所围的扇形的整个边界.(3)I-d.v，其中 r 为曲线x=e cost,y

40、=e si nt,z=e x2+y2+z2上相应于/从0变到2的一段弧.(4 )J 2 y 2 +z 2 d s ,其 中 为 球 面，+y2 +z2 =2与平面x=y的交线.2、设螺旋形弹簧-圈的方程为x =a c o s f ,y=a s i n/,z=人/其中0/2 ，它的线密度为0(匕以2)=/+)；2+2 2,求它关于z轴的转动惯量/.3、设/为椭圆 +=1,其周长记为。，求,29+3x 2 +4 y2)d s .习题五十二 对坐标的曲线积分1、计算/=J （x +y）d x +（歹一 x）d y,其中 c 是：（1）抛物线V=x上 从 点（1/）到 点（4,2）的一段弧.（2）从

41、点（1,1）到 点（4,2）的直线段.（3）先沿直线从点（1,1）到 点（1,2）,然后再沿直线到点（4,2）的折线.（4）曲线x =2 +/+l,y=+i上 从 点（1,1）到 点（4,2）的一段弧.2、计算下列对坐标的曲线积分（1），包 士吗誓二 其中。为圆周/+_/=/（按逆时针方向Jc x+y饶行）.(2)0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).设为曲线x =/,y=t2,z=F上相应于/从0变 到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分JPd x +Q dy+Rdz化为对弧长的曲线积分.4、在x =a c o s/,y=b s i n/上每一点A/处有作用力 厂，尸

42、的大小等于点”到椭圆中心的距离，方向指向椭圆的中心.质 点P沿椭圆从点/(。,0)移到点8(0,6)时力F所作的功；当质点尸按正方向走遍全部椭圆时力耳所作的功.习题五十三格林公式及其应用1、利用格林公式计算下列曲线积分(1)4(2 x-y+4)d x +(5 y+3x-6)d y,L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.(2)(ex s i n y-my)dx+(ex c o s y-m)dy,其中 c 为从点 0(0,0)到点A(a,0)的上半圆周 x2+y2=ax(a 0).4指%其中,为圆周(、一1)2+/=2 c按逆时针方向绕行.（4）叩一,其中。为任一不

43、通过原点的简单光滑封闭曲线.（逆时1 一+4 y 2针方向绕行）2、证 明 曲 线 积 分 初 之 一/）改+（6 1-3孙2）5在北沙面内与路径无关，并求其值.3、验 证(2x c os y +y 2 c os x)d x +(2y s i n x-工2 s i n y)d y 为某二元函数/(x j)的全微分，并 求 U(x j)及积分r(1.0)2?J o(2x c os y +y c os x)d x +(2y s i n x-s i n y)之值.4、利用曲线积分求星形线x =a c os 3/,y =a s i n 27所围成图形的面积.5、设 尸=y i-旷+(x+y+z)A,求

44、一质点在力尸的作用下从点/(4,0,0)沿曲线：x=acosZ、y=asin/、z=/运动到点8(。,0,6)时所做2兀的功.习题五十四 对面积的曲面积分1、设球面/+必+z 2=R 2上任一点的面密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为左)，求此球面的质量机.2、计算下列对面积的曲面积分(1)2 x y-2 x2-x +z)dS ,其中 Z 为平面2x +2y +z =6在第一卦Z限中的部分；(2)，d S,其中Z为锥面z =67 在 柱 体/+/w 2x内的部分;(3)f f-dS ,其中Z是介于平面z =0及z =之间的圆柱iJx+y +z面/+/=R?(H 0).(4)J j(z +2

45、x +|y)d 5,Z为 平 面;+g +：=l在第.卦限中的部分.3、求抛物面壳z =,（/+y2）（0Wzl）的质量，此壳的面密度大小为2P =z.4、求面密度为P o的均匀半球壳/+/+z2 =。2（2?0）对于z轴的转动惯量.习题五十五 对坐标的曲面积分1、JJxdydz+ydzdx+zdxdy,其中Z是柱面=1被平面z=o及Z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧.2、xyzdxdy,其中Z为柱面x?+z2=/在x2 0,y 2 0的两卦限内被平面y=0及 =%所截下部分，法向量的指向朝外.3、xydydz+yzdzdx4-xzdxdy,其中 X 是平面x=0,V=0,z=0,zx+y

46、+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.5、把对坐标的曲面积分JJPdydz+Q dzdx+Rdtdy化成对血积的曲血积分，其中2是平面3x+2歹+2后=6在第一卦限的部分的上侧.习题五十六 高斯公式1、设向量场 A(x,y,z)=盯 2，+产 2/+2才 2 4，求 d i vA,g r a(7(d i vA).2 设 为球面/+y2+z2=/的外侧，*x3d y d z +y3dzdx 4-zi dxdyz3、利用高斯公式计算下列曲面积分(1)*(y +2z)d y d z +(z 2l)d z d x +(x +2y +3z)d x d y ,其中 为三坐z标面与平面X +歹+z

47、=1 所围成的四面体的整个表面的外侧.(2)-z)d y d z +(z2-x)d z d x +(x2-y)d.r d y ,其中 E 为锥面Z =J，+/(o z -CO S H7T;Q nn=乙 平;=i y jn为常数）.n=2、证明：若fx及 。收敛,则 卜也|、（%+勾）2及 之 国n=l =1 =1 w=l 附=1 也都收敛.（提示：-=hn）n习题六叶塞级数1、求下列基级数的收敛区间：（讨论端点）:M=12-1,28 1 X 0 0 1 1 1(3)y(i+-+-+-+-)xn；=I 2 3 n8Z (-呜n=乙2+1M +1 我2、求下列基级数的收敛区间及在其区间内的和函数:

48、q xn2(+1)习题六 十 二 函数的塞级数展开I、将下列函数展开成X的基级数，并指出展开式成立的区间:ax(2)(1+x)l n(l +x)十.1 +x2 x a r c ta n x-l n(l +x2)2、将函数,展开成(x-3)的幕级数X3、将 函 数 _-展开成(x+4)的幕级数.+3x+28 14、将函数Inx展成(工 一 2)的塞级数，并证明也2=1.=2习题六十三 付氏级数1、设/（x）是 周 期 为2万 的 周 期 函 数，在 -匹万）上 的 表达式为/（X）=x+1,试写出在-巴 布 上 展成以2兀为周期的付立叶级数的和3 197函数S（x）,并求s（-5万），s,5（2

49、万）和2、已知/(x)是周期为2万的周期函数，(x)在(-肛 左上.的表达式为f(x)=X-7T X 0I八 将/(X)展开成付氏级数.x+l 0X7T3、将函数/(x)展开成付立叶级数Y/(%)=2sin (-兀 x7r)习题六十四 正弦级数、余弦级数、周期为2/的周期函数的付氏级数T T Y1、将函数/(x)=(二(O W x W%)展开成正弦级数、余弦级数.2、设/(x)是周期为6的周期函数，在一个周期内的表达式为：2,x+1 3 W x 0f(x)=，将f(x)展开成周期为6的傅里叶级数.1 0 x a2k=0,b2k=0,(%=1,23,-)若 f(x-兀)=/(x),则/(x)的

50、傅 里叶系数/小=0,b2 M=0,(左=0,1,2,3,).习题六十五常微分方程的基本概念、分离变量方程1、求下列方程的解(1)3ex tanydx 4-(2-ex)sec2 ydy=0 求通解.(2)ydx+(x2-4x)dy=0,y(l)=1 求特解.2、验证：V=。百 2-3,-1是了一9y=9 的解，但不是通解，其中q,“是两个任意常数.Y fp3、验证：_是y（l+个）+歹2=0的解.y =e-4、设曲线上点尸(x j)处的法线与x轴的交点为。，且线段尸。被夕轴平分，求此曲线方程.5、求一个微分方程，使其通解为：(x cJ+C y 。2尸=1.6、求下列微分方程满足所给条件的特解