半倍角模型-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）.pdf

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1、专 题 1 5半倍角模型【导入】如图，已知aA B C 中，N B A C=9 0 ,AB=AC,D、E是 B C 边上的点，将AB。绕点A 旋转，得到A C D.(1)求N D 4。的度数.(2)当ND 4 E=4 5 时，求证：D E=D E；【解答】解：(1)将 A8 O 绕点A 旋转，得到AC。:.NDAD=/B A C,4 c=9 0,：.ZDAD=9 0；(2)证明：ABC绕点A 旋转，得到AC。，：.AD=AD ,ZDAD =ZBAC=90 ,V Z D AE=4 5：.ZEAD =N D A D -ZDAE=90 0-4 5 =4 5 ,：.ZEAD =N D A E,在 AE

2、 O 与AE。中，AE =AE,-Z.E AD =Z E AD、AD =AD ,：./AED/AED(S AS),：.DE=D E.【方法点睛】图形分析(关键点)：共顶点的两边相等(旋转必备条件)，夹角的一半(旋转角的一半，旋转后形成角平分线)OA=OB,z2=zl+z3把AOBF旋转至AOBF止 匕 时0 E平分NFOF.即N2=N1+N4【例1】如图，E是正方形A8 C Q中C Q边上一点，以点A为中心把AO E顺时针旋转9 0 .(1)在图中画出旋转后的图形;(2)若旋转后E点 的 对 应 点 记 为 点 尸 在B C上，且NE 4尸=4 5 ,连接E F.求证：AM F丝若正方形的边长

3、为6,A E=3 a,则E F=(1)解：如图，4 8 M为所作;D f.B F C(2)证明：；ABC)是正方形，:.NBAD=90,/ADE绕点A 顺时针旋转9 0得到ABM,：.AM=AE,ZMAE=90,又；NE AF=4 5 ,；.NM 4 F=4 5 ,：.ZMAF=ZEAF,在 AM F和?1后 尸中，AM =AE,NM AF=NE AF,AF=AF,解：AMF/XAEF,：.EF=MF,即 ME=BF+MB,而 BM=DE,:.EF=BF+DE,在 R tZ AQ E 中，DE=J(3 V 5)2-62=3,：.CE=6-3=3,i i i E F=x,贝 IJ 8 尸=x-3

4、,:.CF=6-(x-3)=9-x,在 RtCEF 中，：CF1+CE1=E F2,：.(9-x)2+32=X2,解得X=5,解 EF=5.【例 2】如图，在ABC中，AC=BC,N AC B=ct,点。、E在 AB边 上(点。在点E 的 右 侧)，且/A C B=2 N D C E.将线段C。绕点C顺时针旋转a 角得到线段C F,连结AF、EF.【感知】如图，当 a=6 0 时，则A C D E乡/C F E.(不需要证明)【探究】如图，当 a=9 0 时,(1)NE4/的 度 数 为.(2)线段A E D、0 8 之间什么数量关系？请说明理由.【应用】(3)如图，当 a=120,ZBCD=

5、5时，请直接写出BCD、ADC ZiACE这三个三角形的面积比.图 图 图【解答】解：（1）:在ABC中，ACBC,ZACB=a,a=90,Z A C B 2 Z D C E,.ABC是等腰直角三角形，NACB=90,：.AC=BC,/a 4c=N 8=45,由旋转知，CD=CF,/OCF=90,：.Z A C F=Z B C D,在ACT和BCO中,AC=BC,Z ACF=Z BCD,CF=CD,A A A C F A B C D(S AS),：.ZCAF=ZB=4 5 ,AF=DB,：.Z E A F=ZBAC+ZCAF=90 ；故答案为：9 0。；(2)AE1+DB1=D E1t 理由如

6、下：V a=9 0,/A C B=2/D C E,：.ZDCF=90 ,Z D CE=4 5 ,A ZFCE=90 -4 5 =4 5 ,：N D C E=N F C E,在 O CE 和 FCE 中，CD =CF,Z D CE =Z FCE,CE =CE,：./DC E A F C E(S AS),:DE=EF,在 R tZ X AE F 中，AE1+AF2=E F2,又AF=DB,.AE2+DB2=D E2.(3)如图3,将 8 CO 绕 点 C 顺时针旋转12 0 ,连接A R EF,二 A B C 是等腰三角形，Z A C B=120 ,：.A C=B C9 N8 AC=N8=3 0

7、,由旋转知，CD=CF,ZDCF=120,ZACF=ZBCDf在AC尸和BCD中，AC=BC,，ZACF=ZBCD,、CF=CD,/.AACFABCD(SA S),：.ZC AF=ZB=30,AF=DB,ZAFC=ZBDC=180-ZB -ZBCD=135,NEA尸=N8AC+NC4/=60,V ZD CF=120,ZDCE=60,：.ZFC E=nO -60=60,：NDCE=NFCE,在(?和中，CD=CF,zDCE=zFCE,CE=CE,DCE 4FCE(S A S),:DE=EF,ZCFE=ZADE=ZB+ZBCD=45,/.ZAFE=90,在 RtZXAEF 中，ZEAF=60,A

8、ZAEF=30,：.EF=yAF,AE=2AF,：.DE=EF=V3AF,BD=AF.:,SABCD：SACDE：S&ACE=BD：DE：AE=AF：y/3AF：2AF=1 ：V3：2.【例 3】已知四边形 ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,NABC=12 0，N M B N=6 0，N M B N绕 B 点旋转，它的两边分别交A D 0 c （或它们的延长线）于 E,F.（1）当N MB N 绕 B 点旋转到A E=C 尸 时（如 图 1）,试猜想线段4 E、C F、E F 之间存在的数量关系为.（不需要证明）；（2）当绕8点旋转到A E A C 尸时，在图2 和图3 这两种情

9、况下，上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立，线段A E、C F、E F 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【解答】解：（1）4 E+C F=E 凡理由如下：延长。C 至点K,使 C K=A E,连接BK,在 A4 E 与 BCK 中,BA=BC,Z BAE =NBCK,AE =CK,：./BAE/BCK(SAS),：BE=BK,/ABE=/KBC,V ZFBE=60,ZABC=20,：.ZFBC+ZABE=60,；NFBC+NKBC=6()Q,：NKBF=NFBE=66,在AKBP与E3F中，:KB%4EBF(SAS),:KF=EF,BK=BE,zKBF=zEBF,BF=

10、BF,:.AE+CF=KC+CF=KF=EF；(2)解：AE-CF=EF,理由如下：延长。C至G,使CG=AE,由(1)可知，BAEm4BCG(SA5),:BE=BG,NABE=NGBC,/G BF=/G BC-ZFBC=ZABE-ZFBC=nO+ZFBC-60-ZFBC=60,:NGBF=NEBF,:BG=BE,NGBF=NEBF,BF=BF,:AGBF AEBF,:.EF=GF,：.AE-CF=CG-CF=GF=EF.【专题过关】1.已知在ABC,AB=AC,D、E是BC边上的点，将AB。绕点A旋转，得到AC。，连结 E.若 DE=D E,ZBAC=90,DE=2BD,判断)EC形状，并加

11、以证明.【解答】解：EC是等腰直角三角形;证明：VZBAC=90,AB=AC,：.ZB=ZACB=ZACD=45,:.ND CE=450+45=90,由（2）知，DE=D E,：DE=y/2BD,：.DE=y/2BD,AB。绕点A旋转得到4C。，：.BD=CD,：.DE=yf2CD,在 RtZXOEC 中，cosZC ED=y,/.ZCED=45 ,Z C)E=90 0 -Z CEO=45 =N CED,.O EC是等腰直角三角形.2.如图，在ABC 中，/BAC=140,AB=AC,D,E 在 BC 上，NDAE=70,ZAD=45,试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究3D DE,C

12、E之间的等量关系，并证明你的结论.【解答】可证，:.BF=CE,AFD四AED(SAS),：.FD=DE,V ZADE=45C,/.ZADF45,故尸=90,在 心8力尸中，由勾股定理，得8产=8炉+。产,/.CE2=BD2+D2.3.在平面直角坐标系中，已知点4(0,4),B(4,4)，点 M,N 是射线OC上两动点(0 M AD),ZD=90,BC=CD=2,NABE=45,若 AE=1 0.求CE的长度.【解答】解：过 8 作 D A的垂线交D 4 的延长线于M,M 为垂足,延长。M 到 G,使 M G=C E,连接8G,易知四边形3CQM 是正方形，则8EC与8GM 中，BC=BM,z

13、C=zBMG=90,、EC=GM,M B E C必BMG(S A S),:/M B G=N C B E,BE=BG,NABE=45,A ZCBE+ZABM=ZM BG+ZABM=45,即 N48E=NA8G=45,在48E与A 8G 中，(BE=BG,JzABE=ZABG,I AB=AB,/.(S A S),：.AG=AE=1O,设 C E=x,则 A M=1 0-JG4)=12-(10-x)=2+x,D E=1 2-x,在 RtZXAOE 中，A =A D1+DEL,.,.100=(x+2)2+(12-x)即，-I()X+24=0；解得：xi=4,12=6.故C E的长为4或6.5.如图，在

14、正方形A B C。中，E、尸是对角线3。上两点，且N H 4F=45,将/绕点A顺时针旋转9 0后，得到A 8。，连接E。.(1)求证：E 4是N Q E Q的平分线；(2)已知 5E=1,D F=3,求 E F的长.【解答】证明：(1):将A D F绕点。顺时针旋转9 0后，得到A 30,:.QB=DF,AQ=AF,NBAQ=NDAF,V Z A F=45,：.ZDAF+ZBAE=45,：.ZQAE=45,：.ZQAE=ZFAE,在AQE和AFE中,AQ=AF,-Z.QAE=Z.FAE,AE=AE,：.A Q E/A F E (SA S),ZAEQ=NAEF,是NQE 的平分线；(2)由(1

15、)得AQE丝ZXAFE,:.QE=EF,ZAD FZABQ,:四 边 形 ABC。是正方形，A ZADB=ZABD=45,：.ZABQ45,:.NQBE=NABQ+NABD=90,在 R d QBE 中，QET+BE=Q,又,：QB=DF,：.EF2=B+DF2=1+9=10,:.EF=VTO.【专 题 提 高】6.如图，AEP 中，NEAF=45,AG_LEF于 G,且 GF=2,G E=3,则 S4AEF=EG【答案】15【解析】证明：如图，将4EG沿 4 E 折叠得到A E 8,将AFG沿 4尸折叠得到4F。，延长8E 和相交于点C.：.AD=AG=AB,ND=NAG尸=90,ZB=ZA

16、GE=90,ZDAF=ZGAF,NBAE=NGAE,ZFAG+ZGAE,：.ZDAF+ZBAE=45,：.ZD AB45+45=90,即/B=N Q=N O A 8=90,AD=AB,四边形4 8 c o 是正方形.由折叠知，RtAABERtA/lGE,RtA/ADFRtAAGF,：.BE=EG=3,DF=FG=2,V F=5,设 A G=x,则 AB=BC=CD=AG=x,CE=CB-BE=x-3,C F=x-2.V C 2+C F2=E F2,:.(x-3)2+(x-2)2=52.解得 xi=6,X 2=-l(舍去).；.A G=6.A A E F 的面积=(E尸 A G=(X 5 X 6

17、=I 5.7.如图，在 A B C中，Z C A B=120 ,AB=AC,ZEAD=60 ,B C=3+g,若以 B。、DE.E C为边的三角形是直角三角形时，求B E的长.【解析】如图，将绕点4顺时针旋转120。，得到A F 8,.,.AF=AE,NABF=NACB,EC=BF,120：ZCAB=120 ,AB=AC,：.N A 8C=/4C 8=N 48尸=30；.NFBD=60 ,尸=120,Z A D=60,/4尸=60,S.AE=AF,ADAD,：./ADE/ADF(SAS)：.DF=DE,：以B。、DE、EC为边的三角形是直角三角形，.以B。、DF.B尸为边的三角形是直角三角形，.3。尸是直角三角形，若NBD产=90,且NF8D=60,：.BF=2BD=EC,DF=y/3BD=DE,V BC=BD+DE+EC=BD+2BD+y/3BD=(3+V3)80=3+百,：.BD=,：.DE=V3：.BE=BD+DE=l+6,若NBF)=90,且/FB=60,：.BD=2BF=2EC,DF=y/3BF=DE,V BC=BD+DE+EC=2BF+BF+V3BF=(3+V3)BF=3+W，：.BF=,：.BD=2,D E=AB=2+V3