学易金卷：2021-2022学年高二数学上学期期中测试卷（苏教版2019）01（考试版+全解全析）.pdf

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1、2021-2022学年上学期期中测试卷01高二数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.测试范围：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每个小题绐出的四个选

2、项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x G y 1 =0 的倾斜角为（）.3几 门 c nA.B.C.D.-4 3 4 62.设me R,则，=1是直线A：x-2 y+l=0 与直线/2：2%-4），+?=0平 行 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.若直线/将圆（x-l f +（y+2=9 平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为（）A.x+y+1 =0 或 2x+y=0 B.x-y+l=0 或x+2y=0C.才-y+l=0或 2 x-y =0 D.x-y-1 =0或x-2 y =04.若 直 线=与圆C:（*-2 y+（y-

3、l）2=2相切，则直线/与圆D:（x-2）2+y2=3的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定5.椭 圆 寸+工=1 与 双 曲 线 鸟 一 色=1 有相同的焦点，则 m 的 值 是（）4 m in 26.如图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水位上升0.5m后，水面 宽 是（）A.2/6m B.瓜mC.26 m D.73m7.若点P 为共焦点的椭圆G 和双曲线C?的一个交点，”，鸟分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为G，双曲线离心率为小，若 西 西=0,则g +*=（）A.4 B.3 C.2 D.18.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262 公

4、元前190年）的 著 作 圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（太 0且2工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆.已知5。，0），A（3.0）,圆。:0-2）2 +，2 =/（/0 0）上有且仅有一个点。满足1户川=2|尸 0,则 r 的取值可 以 为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.方 程 工 +工=1表示的曲线为C,下列正确的命题是（）4-k k-lA.曲线C 不可能是

5、圆：B.若1上 4,则曲线C 为椭圆：C.若曲线C 为双曲线，则 4：D.若曲线C 表示焦点在工轴上的椭圆，W Jl/r b 0)的离心率为!，左、右焦点分别为吊心，。为坐标原点，点P在椭圆Ca-b 2上，且有|；|=4,”产K=6 0。.(1)求椭圆。的方程；(2)已知过点(2,0)的直线/与椭圆C交于M,N两点，点。(8,0),求证：4M Q O LN Q O.2 2.在平面直角坐标系x O y中，已知点后(一2,0),3(2,0),点M满足|MF1|十|MF2|=4&，记M的轨迹为C.(1)求C的方程：(2)设/为圆/+必=4上动点7(横坐标不为0)处的切线，P是/与直线y =2夜 的

6、交点，。是/与轨迹C的一个交点，且点7在线段P Q上，求证：以P Q为直径的圆过定点.2 1.已知抛物线C：/=2 p x (p 0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点，|MF|=8,且/O F M=(。为坐标原点).(1)求抛物线C的方程：(2)过点F的直线/与抛物线C交于4 8两点，求A A O 8面积的最小值.2021-2022学年上学期期中测试卷01高二数学全解全析1234567891()1112DAAADCCACDACDADABD1.【答案】D【分析】求出直线的斜率后可求直线的倾斜角.1详解】直线x-6，-1 =0 的 斜 率 为 小，故其倾斜角9满足tan 8=当，而。0,万），故0

7、=2，6故选：D.2.【答案】A【分析】根据直线4：x-2 y +1 =O与直线 2 x-4,+/=0 平行，求得m 得范围，再根据充分性和必要性得定义即可得出结论.【详解】解：若直线4：x-2产 1 =0 与直线4：2 x-4 y+m=0 平行，则加工；，所以 =1是m w；的充分不必要条件，即切=1是直线4：1-2），+1=0与直线/2：23-4），+/=0 平行的充分不必要条件.故选：A.3.【答案】A【分析】分两种情况讨论：（1）直线/过原点；（2）直线/在两坐标轴上的截距非零，且相等.分别求出两种情况下直线/的方程，即可得解.【详解】由题意可知，直线/过圆心（L-2）,分以卜.两种情

8、况讨论：-2-0（1）直线/过原点，则该直线的斜率为2=-2,此时直线/的方程为y=-2 x,即2x+y=0：（2）直线/在两坐标轴上的截距非零且相等，可设直线/的方程为.*+y=a（*（）,则有a=l-2 =-l,此时，直线,的 方程 为*+产 1=0.综上所述，直线/的方程为+1 =0或2x+y=0.故选：A.4.【答案】A【分析】由直线/与圆C 相切可构造方程求得h分别在k=2+石 和&=2-6 两种情况下，利用通过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系.【详解】由圆C 方程知其圆心C（2,l）,半 径 为 近，直线/与圆C相切,.1=应,解 得：*=2 6,由圆Z）方程知

9、其圆心。（2 0）,半径r=G，圆心。到直线/距离4=R M.k2+1当 2=2+6时、d2-r2=T),(2+可+1=解得：m=-2,/.x2=-2 y,当水位上升0.5 m后，即将 y =-1.5 代入 丁=-2)，即 f=-2 x(-1.5),解得：*=括水面宽为2 6 m.故选：C.7.【答案】C【分析】可设椭圆长轴为2 4,双曲线的实轴为2%,焦点为(c,0),设巾=|丽=|用|,利用椭圆和双曲线的定联立即可得解.【详解】设椭圆长轴为招，双曲线的实轴为2%,焦点为(c,0),设 加=网 =|户同，所以+=2 q ,|相一=2 a二，平方和相加可得/+，/=2(a/+”2。，由 西 丽

10、=0则/2鸟=9 0 ,所以 m2+n2=(2 c)2=4 c 2,所以2(4+/。=府，即 疗+/2=2/，;华=2,c1 1 c即T7+/=2.故选：C8.【答案】A【分析】设动点P的坐标,利用已知条件列出方程,化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：(.r-2)3+y2=r(r 0)上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值.t详解】设动点P(x，F),由|网=2|户 ,得(x-3)2 +y 2=4 F+4)，2,整理得(x+l f +/=4,又点尸是圆C：(-2)2+;/=产(0)上有且仅有的一点，所以两圆相切.圆(x+l f +V=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,圆C：(x

11、-2y +y 2=，(r 0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,当两圆外切时，+2=3,得r=l,当两圆内切时，卜-2|=3,r 0,得r =5.故选：A.9 .【答案】C D【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的特征求解判定.【详解】二 十2-=1，当4-4=-1次=:时为曲线C为圆，故A错误；4一&k-24-0 若C为椭圆得：卜-1 0 解得：1 *4且*故B错误：4-k*k-l 若C为双曲线(4-&-1)0,解得；A 4,故C正确；4-kk-C表示焦点在x轴上的椭圆，得 4-k 0解得故D正确.故选：C D.1 0.【答案】A C D【分析】利用相交直线系方程和圆系方

12、程可判断A D的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判断C的正误.【详解】直线/：(3+in)x+4 y-3 +3川=0可化为：/:3.v+4 y-3+m(x+3)=0,(3 x+4 y 3 =0(x =-3 ,.由|r+3 1 0 可得=3 故直线/恒过定点(-3,3),故A正确.当”1 =0时，直线/:3 x+4，-3=0,圆心到该直线的距离为d=三,因为=故圆C上有且仅有四个点到直线/的距离都等于1,故B错.因为圆C与曲线/+r-6A-8 y +/H =0恰有三条公切线，故两圆外切，故卬=2=J(O-3),(0-4 f =5 =2+1 25-4 ,故机=1 6,故 C

13、 正确.当?=1 3时，直线/：4.r+y+9 =0,设尸(,-4。-9),则以O P为直径的圆的方程为x(x-a)+y(y+4 a+9)=0,而圆=4 ,故A B的直线方程为-a t+(4 +9)y +4 =0,1 69整理得到(一4+4)，)+9，+4 =0,由1 9 y +4 =0可得故直线A 8经 过 点,与，-故D正确.故选：A C D.1 1 .【答案】A D【分析】设P(M),则从而可得及 再结合已知条件可得 =!,进而可求出椭圆的离心率，可对A,B选项判断：由已知条件可得四边形4户4。为平行四边形，则 有 以 结 合 已 知 条件可得*“*6=-：,从 而 可 知 及 的 值

14、不 受 点 乙。的位置影响，设N P A A=a,N P A A=，由题意得t a n a-t a n d=g,则结合基本不等式可得t a n N A%4-2 0 ,从而得当点P为短轴的端点时Z A P 4最大，进而可求出co s N A P A：的最小值I详解】解：设P(x,y),则V=/(l-),a因为 A(-a,0),&(0),因 为 以 小 弓，所以所以q2,a2 2所以离心率e=怜五=当,所以A正确，B错误：因为点。，。是椭圆C上关于原点对称的两点，所以四边形AP&Q为平行四边形，所 以 =即&，因为岸4女人=-3,所以不受P,。位置影响，所以C错误；设/P A&=a,/P 4 A=

15、Z?,由题意得t a n a t a n/?=；,贝l j有NR%=一-力，第I I页第12页所 以 tan ZA PA,=tan(万 一 a 力)=一 lan(a+4)=一 +0”*=-;可得4 =-.从 而 可 求 出 椭 圆 的 离 心 率，设Z P A A=a,N P A A=夕，则 有tana.tanP=!，再 结 合 基 本 不 等 式可 得tan幺%=tan（%-a-夕）=-tan（a+夕）=-；a n a +t a n S,从 而 可 知 当 点P为 短 轴 的 端 点 时1 -tan a tan pN A P 4最 大，进 而 可 得 答 案，属于中档题12.【答案】ABD【

16、分 析】根 据 抛 物 线 定 义，满 足何尸=氏|+=7,根 据 抛 物 线 方 程 求 得 点 的 坐 标 即 可.【详 解】设M，）b），/O，儿。，由抛物 线 定 义 知，P=6,“尸=k|+=7,解 得/=一4,代 入 解 得 儿=动故 答 案 为：（-4,46）【分析】先 求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 以 及 准 线 方 程，再 设 出 点4 8的坐 标 进 而 得 到 点C,。的坐 标，设 出 直 线A 8的方 程 并 与 抛 物 线 方 程 联 立，利 用 韦 达 定 理 以 及 向 量 的 线 性 运 算 求 出 对 应 的 各 个 选 项 的 问 题，即 可 求解

17、.【详 解】由 抛 物 线 的 方 程 可 得：F（1,0）,准 线 方 程 为：x=-l.1 4【答案】x=2或 以 一3丁一5=。【分 析】求 出 圆 心 和 半 径，判 断 斜 率 不 存 在 的 直 线 是 否 是 切 线，斜 率 存 在 时 设 出 直 线 方 程，由 圆 心 到 切 线 距 离 等 于半 径 求 得 参 数 值 得 切 线 方 程.【详 解】设 直 线 A8 的 方 程 为：x=m y+l,A（Xi,y i）,B（xz,九），圆 标 准 方 程 是*-3尸+（4）2=1,圆 心 为（3,4）,半 径 为1.则 C(-1,力)，D (-1,y2),联 立 方 程:J易

18、 知 直 线x=2与 圆 相 切，设 斜 率 存 在 的 切 线 方 程 为y-l=A（x-2）,即S-20+1 =0,消去 x 整 理 可 得：y2-4 m y -4=0,所以 yi+y2=4m,yiy2=-4,所 以 心 而=(-2,%)%)=4+y H=4-4=0由做潟T=1 解 平44 8切 线 方 程 为y1+1=0即 4一 3)，-5=0.所以F U LF D,即/C FD=90。，所 以A正确,选 项 8：因 为|4 F|=3|8 F|,所以=3翔，即 生=-3力，且 yi+V2=4m,yiyz=-4,故 答 案 为：x=2或4-3 3，-5 =0.15.【答案】85【分 析】设

19、椭 圆 长 轴 长 为2.,焦 距 为2 c,月 球 半 径 为R,根 据 已 知 条 可 得 出 关 于a、c、R的 等 式，求 出2c的值,即可得解.【详解】【分析】(1)利用点斜式求得边所在直线方程:设椭圆长轴长为2 a,焦距为2 c,月球半径为R,则a+c=00+Ra-c =15+R(2)利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC的距离，根 据 面 枳 戛.=7 以及点A 在直线2x-3y+6=0两式作差，可得2c=85,椭圆形轨道的焦距为85千米.故答案为：85.16.t 答案】粤【分析】根据已知条件求出|”|的长度，进而在心/，。八和尸/花，分别求出cosNP/W和cos/在 小 从

20、而建立等量关系求得(g j=g，进而可以求出离心率.be因为乙(c,0),一条渐近线方程为尿-胡=0,则归胃=6 j(-a,=&又因为归周=2|%|=乃,在 力PO鸟中，cos/尸 居 0 =2,-c在 呻 中,乐吗黯铲2b-2cAbe所以4/一册.即4c2 =7 6,因此4(?+/)=7必，即4?=釉2,4bc所以(9 g因此,叵3故答案为：粤17.【答案】(1)x+2 y-4 =0；(2)A(3,4)或(-3,0).第15页上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】(1)&=，采用点斜式设直线方程：y-l=-l(x-2)-2-2 2 2:.x+2 y-4 =0(2)YA 点在中线AO上

21、，把A 点坐标代入，2m-3+6=0点A 到直线BC:x+2y_4=0的距离,/=生 置 为=d B C=l xl，+-4|x 2 4=72/-3n+6=0|m=3 m=-3即+2 川=7=4 或 n=0所以，点A 的坐标为从(3,4)或 A(-3,0).18.【答案】(I)(X-2)2+(-1)2=4；(I I)答案见解析.【分析】(I)设圆心易知a=%,由圆C 与y 轴相切于点(0,1),可求出力以及一写出圆C 的方程即可.(I I)所给的两个条件，均可得C 到直线/的距离d=l,结合点线距离公式即可求办的值.【详解】(I)设圆心坐标为。(。力)，半径为由圆C 的圆心在直线x-2 y =0

22、上，知：a=2b.又丁圆。与 轴相切于点(0,1),，b=l,a=2,则厂=|。一 0|=2.圆C 的圆心坐标为(2,1),则圆C 的方程为(x-2)2+(,-1=4.(H)如果选择条件：ZACB=120,iTij|C4|=|CB|=2,二圆心C 到直线/的距离d=l,则 /=与詈1 =1,解 得 很=应-1或-石-I.如果选择条件：卜耳=2石，而|C4|=|CB|=2,第16页 圆心C 到直线/的距离d=l,则d=|2-l+w|Vf+T=i,解得m=五-1或-五 -1.如果选择条件：场.丽=-2,而|6|=|3 =2,故ZACB=1 2(F,圆心。到直线/的距离d=l,则d=2：+：=1,解

23、得/=夜一|或一夜 一 .VI+119.【答案】(1),)，2 =1；(2)1.【分析】(1)由焦距得J 由焦点到渐近线的距离为1 可得瓦。关系，从而求得，再由 2=+。2求得。得双曲线方程：(2)由|OP|=g忻 用=2,得/鸟为宜角三角形且/产工=90。，结合双曲线的定义求得|尸团归周，从而得三角形面积.【详解】解：(1)依题意，知2c=4,c=2.不妨设双曲线的右焦点K(2,0)到渐近线y 的距离为1,渐近线方程即版-ay=O,2 b lb,则 7门5力=1,ar=c2-b2=3 双曲线的标准方程为、-/=1.(2)在d R K 中，TO P 是边K，K 上的中线且|OP|=g 懈 用=

24、2,.为直角三角形旦/尸鸟=90。.”是双曲线(7上一点，.|历|一|刊:；11=26平方，得|P用2+俨用221P用|p段=12,其中|P用2+|叫=|周 =16,.|P司陶=2 ,应 岬=如 周 阀 1 =120.【答案】+=1;(2)证明见解析.16 12【分析】(1)由椭圆的定义可知|尸国=2。-4,在用中，由余弦定理和离心率可求得a=4,c=2,进而可得答(2)根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0,设出直线方程，联,汇直线和椭圆方程，利用韦达定理求得y +刈，)跖，要证明NMQO=/N Q O 就需要证明右Q+-36=0,16+?2-72/721k+k _ X 先 _ 2小，-

25、6()1 +!)_ 城 丁 城 石M Q NQ 石-8 ”8(ry,-6)(o?2-6)(ty,-6)(ry2-6)所以/M Q O =/N Q O,综上可知不论直线,的斜率是否为0,总有/MQO=NNQO.21.【答案】(1)y2=8x；(2)最小值为8.【分析】过点M 作准线的垂线，垂足为N,过 点 M 作 X轴的垂线，垂足为D,利用抛物线定义结合几何图形列式即可得解；设出宜线/的方程x=b+2,与抛物线方程联立，借助韦达定理求出弦八8 长，进而表示出aAOB面积即可得解.【详解】(1)抛物线C：/=2px(p0)的 焦 点 叱,0),准线方程为：x=_ g 过点M 作准线的垂线，垂足为N

26、,过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为D,如图，依题意得：iM/q T M N h p+lM H c o s a r,即8=+4,解得=4,抛物线C的方程为)，2=8X；(2)焦点F(2,0),由题意知直线/不垂直于y 轴，设直线/方程为x=沙+2,由尸?消去 x 得 y2-89-16=0,设,%),B(X2,y2),l r=8x2则有,+X=8,由=-16,|八 8|=而 7|%-分|,而坐标原点到直线/的距离d=7 年 了，因此，=gd|AB|=帆 一刃=-1 +，J _4，通=。6 4/+64 N 8,当且仅当，=0时取所以AAO8面积的最小值为8.22.【答案】1)+-=1；(2)证明见

27、解析.8 4【分析】(1)根据椭圆的定义即可求出结果：(2)特值检验求出以PQ为直径的圆过点0(0.0),然后设出直线的方程，与椭圆联立，进而证 得 丽,丽=0,即可得出结论.【详解】2a=4 五(1)由题意可知M 的轨迹是以后(一2,0),F2(2,0)为焦点，4&为 长轴的椭圆，所以Y=2,解a2=b2+(ra=25/2,得卜=2,故 C的 方 程 为 匕+=1；b=2 8 4(2)当动点7(2,0)时，则切线为x=2,所以P(2.2 0),Q(2.-旬，所以圆的方程为(6 2)工+卜孝)借卜当动点7(-2 时，则切线为x=-2,所以P(-2,2匈.Q(-2,-&),所以圆的方程为(X+2

28、*T 借)，当动点7(应，&时，则切线为y=-x+2 0,所以P(0,2应).0(2友,0),所以圆的方程为(工_ 国+(卜可=*第 19页卜_ 可+(广可=2,所以以PQ为直径的圆过定点。(0.0)：接下来证明以PQ为直径的圆过定点。(0,0).显然切线斜率不为0,故设切线/的方程为*=，世+，则。到切线/的距离=kllm2+1=2OOS-；丁，所以P(2限+八 2旬,因此=4+4,设Q(毛,)，x=my+1X2 y2,所以（产+2），2+27）+/一8=0,.T+T-A=（2 一4（病+2）（?-8）=4（8/一 25+16）=32,因此刈=-2mt-4V22（/r+2）_-mt-2V2w2+2.u n（2t-242m-m t-2y/2因此Q r 7-.一r -,I rn+2 nr+2 J所以 配 诙=(2鬲+)3-2 鬲b 2 鬲-8=2 二,八 8=0=9,诙,nr+2 m+2因此以PQ为直径的圆过定点。(0,0).第 20页溶二啕空O潴OOO