中考数学压轴10 二次函数与线段关系及最值定值问题 (教师版).pdf
《中考数学压轴10 二次函数与线段关系及最值定值问题 (教师版).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学压轴10 二次函数与线段关系及最值定值问题 (教师版).pdf(60页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘弓题io:次函数。线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类
2、型的题目中比较常用.类 型 一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边.如图1,已知点A的坐标为(3,4),点8是x轴正半轴上的一个动点,设OB=x,那么我们在直角三角形A8H中用勾股定理,就可以得到y关于x的函数关系式.类型二,图形的翻折.已知矩形0ABe在坐标平面内如图2所示,A 8=5,点O沿直线EF翻折后,点。的对应点。落 在 边 上,设AZ)=x,O E=y,那 么 在 直 角 三 角 形 中 用 勾 股 定 理 就 可 以 得 到y关于x的函数关系式.【典例分析】例1 如 图1,在RSABC中,Z B A C=90,NB=60。,BC=16cm,4。是斜边BC上的高,垂 足
3、为BE=lc m,点M从点8出发沿8C方向以lcm/s的速度运动,点N从点E出发,与点“同时同方向以相同的速度运动.以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点。时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为f(s).(1)当/为何值时,点G刚好落在线段A D?(2)设正方形M/VGH与 RSABC重叠部分的图形的面积为5.当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于f 的函数关系式并写出自变量t的取值范围;(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连结O P,当 7为何值时,ACPO是等腰三角形?思路点拨1.用含,的式子把直线8 c 上的线段长都表示出来.2.重叠部分的图形
4、是正方形,临界时刻是点,落在A B 匕 和点G 落在AC上.3.等腰三角形CPO不存在OP=DC的情况,因为以0 c 为半径的圆。与线段AC只有一个交点.满分斛冬 如 图2,当 点G刚好落在线段HD上时,DA-0.而 n 3 D-5 M-U V=4-L l=3-r,所以 3 r=0.解得 r=3.图 2图 3(2)重彘部分的图形是正方形,存在两种情况:当在.4。的左侧时,正方形MVG/f的大小不变,边长为1,S=l.如 图3,当月落在4 8上时,5M=m:ftan30。=叱.所 以 叱 WV4.3 3如图4,当在.4。上时,正方形的边长为1-3,S=(L3.如 图5,当G落在.4C上时,.羽=
5、HGtan30=(.3).由 A O=4 6,得 且 Q-3)+(-3)=4 G.解得 t=6 百一 3.所以 4WW6G-3.3AD(M)图4A图5(3)等腰三角形C P 存在两种情况:如图6,当P C=P。时,点P在。C的垂直平分线上,N是。C的中点.此时 f=3+6=9.如图7,当C P=C O=1 2时,在R S C P N中,由C O S 3 0 空 二 如,得。V =6月.CP 2此时/=1 5-6 7 3 .图6图7考点伸梭当 点G落 在 上 时,CG:JG的比值是多少呢?如 图5,CN CNAG DN GNcot 30=手.例2如 图1,曲线是抛物线的一部分,与 轴 交 于 V
6、、B两点,与 轴交于点C,且表达式为八=(/一2 _3)(A3).(2)由 C D x轴,可 知 C、D 关于抛物线y i的对称轴x=l对称,所 以 D(2,-4).如 图 2,由省一 1,0)、C(0行)、。(2笛),可得因此点C在.0 的垂直平分线上.如果四边形.4 8 的对角线互相垂直平分,那么四边形/CDW 是菱形,此时点M 在 x 轴上,不在抛物线”上.因此只存在MC垂直平分A D 的情况.如图2,如图3,过点A、M 分别作x 轴的垂线,与直线CQ分别交于点G、H,那么/ADG=/CMH.由于 tanNAOG=4=正,所以N A Q C=3 0。.因此=D G 3设-丹 3+7如,那
7、么(g/-当 X+76)一(-G)=6 x.整理,得13x+2 4=0.解得犬=一土/万.所以点时 的横坐标为=目 画.2 2(3)如 图 2,如 图 3,由于乙式心=30 ,当 CW1 一 宜)时,/O C 2 3 0;所 以 0 g 巫。C=i,阳 1,0).3所以直线C V 为 j,=M x-如图4,过点P 作渐的垂线,垂足为K,P底际E,过点M 乍 J 轴的垂线交P 奸尸.所以S s g=S5va+SSE=1 P E Q i F -N K).因为M F+AK为定值,因此当P E 最大时,的面积最大.设尸(九 m+7 6),E Q w,百 加-百),那么3 3PE=(6m 6)-(立/一
8、 12 1 +7 6)=一立向+1W-8 V 33 3 3 37 3后H-12所以当.?=巴 时,P 取得最大值,P MN 面积最大.2此时P (蓝吟).F f/M考点伸展第(3)题也可以这样思考:如图5,由于M N是.定值,因此点尸到的距离最大时,?!/可 的面积也最大.过点P 作M N的平行线,当这条直线与抛物线只只有一个交点时,两条平行线间的距离最大,也就是说方程组13x-2y=y=-j3x+b,只有一组解,即=().解得-lOx+21)例 3 如 图 1,AABC为等边三角形,边长为小 点尸在8 c 边上,DFLAB,EFLAC,垂足分别为。、E.(1)求证:xBDFsCEF;(2)若
9、 a=4,设 BF=?,四边形AQFE面积为S,求出S与机之间的函数关系,并探究当,“为何值时S取得最大值;(3)已知A、D、F、E 四点共圆,已知求此圆的直径(用含“的式子表示).2思路点拨1.用割补法求四边形ADFE的面积比较简单.2.当 A、D、F、E 四点共圆时,由于/E D F=N E A F,那么在AACF中,两角及夹边就是确定的,可以解这个三角形.满分解答(1)如图 1,因为N 5=/4 6 0 ,ZBDF=ZCEF=90,所以B D F sM E F.(2)如 图2,当 等 边 三 角 形 月 的 边 长a=4时,S拄c=4币.在 RtZLBD尸 中,Z5=60 B F=m,所
10、以50 =1 泄,FD=m.2 2所以 SUDF=BD-FD=m2 81k在 RSCEF 中,ZC=60,CF=4m,所以 CE=(4 2),FE=-(4-/n).i巧所以 SKEF=-CE-FE=(4-m)2 8因此 S=S G E4D FE=S3BC-SD F SEF=4 /3 (4 -w)=-?w*-r y/3tn-r 2y/3=-(w-2)*+3、万 8 8 4 4所以当加=2时,S取得最大值,最大值为3 4.此时点尸是3。的 中 点(如 图3).(3)如 图4,由于A、。、F、E四点共圆,所以N E AF=N E DF.因为N AE/=90 ,所 以AF是圆的直径.在 R t ZkE
11、 AF 中,由于 t an/E AF=立,设 E 4岳,EA=2x.EA 2PF r-在 R t ZkE CF 中,N C=60,所以=6 因此 C=x.E C由4 C=E 4+E C=m 得2 r+x=.所以3所以在R t AE AF中,E F a,E A=L,由勾股定理,得圆的直径3 3 3图2 图3 图4考点伸展笫(2)题也可以求AO尸与%产的面积和.1 J 3 1 x/3由于 8。=一根,F D =mi 所以 A O=4 用,SADF=.2 2 2 81Fi 1/o由于 CE =(4-m),FE=J(4-m),所以 4 E=2 +帆,S EF(1 6-m2).2 2 2 8因此 S=S
12、ADF+S&AEF=/w(8 ni)+(1 6 A T?2)-nT+2 5/3.8 8 4例4如 图1,图2,已知四边形ABC。为正方形,在射线A C上有一动点P,作P E L A。(或延长线)于E,作尸凡L O C(或延长线)于R 作射线8 P交 所 于G.(1)在 图1中,正方形A8C。的边长为2,四边形A8F E的面积为y,设A P=x,求y关于x的函数表达式;(2)G B L E F对于图1,图2都是成立的,请任选一图形给出证明;(3)请根据图2证明:XFGCSPFB.思路点拨图1图21 .四边形A8F E可以用大正方形减去两个直角三角形得到.2 .画直线E P、F P,把正方形分割为
13、两个正方形和两个全等的矩形.满分斛答(D如 图3,延 长E P交5 c于延长F P交A B于.V,那么四边形/E R V和四边形C F P M是正方形.PF NP(2)如图 4,因为 t an N E bP=匕,t an/P 3N=2,M PE=NP,P F=N B,所以P F N B由A P=x ,可得正方形月E 2 V的边长为 J.2由于 S皿 产;OFQE=;x哼x(2-等X)所以 J=s gBFE=S A BC D SD EF-SBC FJ2 V 2 V 2 1 9=4 x(2-x)-(2-x)=j r+2 .4 2 2 4Q f cA N B所以F C=D E=2在x.2SHCF=;
14、B C.F C=;X2XQ一 誓0,D F cA N BN E F P=ZPBN.又因为N l =/2,Z1 +ZP B2 V=9O,所以N 2+/E F P=90。.所以 G 3_L E F.(3)如图5,由于G 8J _E F,Z B C F=90,所以8、C、G、尸四点共圆.所以/F CG=N P BF,N C G B=/C F B.又因为/C G/u/C G B+g O。,N B F P=N C F B+9 0。,所以N C G F=N B F P.所以“G C s A P F B.图 5图 6图 7考点伸展如图 6,由于 tan/EFP=tanNP8N,所以N E F P=N P B
15、 N.乂因为/P 5 N+N 1=9 0,所以/E F P+/l=9 0 .因此这种情况下,依然有BG1EF.第(1)题还有更简便的割补办法:如图7,连结EN.由于 S 四 边 畛 NBFE=SAENF+SABNF=-N F(E P +MP)=N F E M =2,2 2St,Al-N=A P2=X2 所以 y=S 边 般 AE=S 边 niNBFE+SAAEN=%2+2.4 4 4例 5 已知抛物线),=f+(2加 1)1十祖2-1 经过坐标原点,且当 0 时,y 随X的增大而减小。(1)求抛物线的解析式,并写出y=3-24。当x=a时,)二炉-31二乐一3。所以33=3。一东。所以=矩形,
16、5CD 的周长=2(W3+.孙=2(3。一人+3-2。)二一2(。一产+y。因此当a=;时,工的最大值为 冷。此时点X的坐标为(g$。如 图3,根据对称性,点H的坐标也可以是:)。考点伸展第(2)题的思路是:如图2,抛物线的对称轴是直线x=,当 8c=1 时,点 B 的坐标为(1,0),此时点2A 的横坐标为1,可以求得A8=2。第(2)题中,随“变化的图像如图4 所示。图 4【变式训练】1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2ax-3a(a0)与 x 轴相交于A,B 两点,与 y 轴相交于点C,顶点为D,直线DC与 x 轴相交于点E.(1)当 a=-l时,求抛物线顶点D 的坐标,0
17、 E 等于多少;(2)0 E 的长是否与a 值有关,说明你的理由;(3)设/DEO 邛,45p60,求 a 的取值范围:(4)以 DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形P D E.设 P(m,n),直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围.【答案】(1)(-1 ,4),3;(2)结论:0 E 的长与a 值无关.理由见解析;(3)-a-1 ;(4)n=-m-1 (m 1 ).【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题;(2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E 坐标即可判断;(3)求出落在特殊情形下的a 的值即可判断;(4)如图,作 P M,对称轴于M,PN
18、LAB于 N.两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)当 a=-1时,抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,:.顶点 D(-1 ,4),C(0,3),.直线CD的解析式为y=-x+3,E(3,0),,OE=3,(2)结论:0E的长与a 值无关.理由:,.y=a x;-2 a x -3 a,/.C(0,-3 a),D(-1,-4 a),,直 线 CD的解析式为y=a x -3 a,当时,x=3,.,.E (3,0),.O E=3,二.OE的长与a 值无关.当 忏 4 5 时,O C=O E=3 ,-3 a=3 ,*.a=-I,当。=6 0。时,在 R t Z i O C E 中,O
19、C=4 O E=3 G ,/.-3 a=3、”,,a=-73,.,.4 5 p 6 0 ,a 的取值范围为-a -1 .(4)如图,作 P M _ L 对称轴于M,P N_ L A B 于 N.ID.,PD=PE,ZPMD=ZPNE=905,ZDPE=ZMPN=90.ZDPM=ZEPN,/.A D PX A E PN,/.PM=PN,PM=EN,VD(-1,-4a),E(3,0),.EN=4-n=3-m,n=m-1 ,当顶点D 在 x 轴上时,P(1,-2),此时m 的 值 1 ,抛物线的顶点在第二象限,/.m l./.n=-m-l(m 1).故答案为:(1)(-1 ,4),3;(2)OE 的
20、长与 a 值无关;(3)-居aW -1 ;(4)n=-m-1 (m l).2.如图,抛物线y=。/+加+=3 0=5,;.8=。4 1 3 1 1 3 0=1,二(0,-D,.,.直线M D 的解析式为产*-1,由题意 P (叫,户+学训-3),H ni,in-1),F(.,0).,:FH=PH,:A-in=,炉+洋 川-3)解 得 =-V 3或6 (舍弃),当 尸 目=即 时,晒的值为 3(3)如图,:P F 是对称轴,F (0),HL -2)._ 1 _ 1V C(0,-3),:.HC =4 Z+1=2,A H=2FH=4,:.Q H I,在”A 上取一点 K,使得“K 疝,_ Z/3-竺
21、此时 K (8 ).HQ _ K HHK HA=l,:.H0=HKHA,:.HQ.KQ _ HQ _1 _ 1 1:4 Q HK=4A HQ,:.4 Q H K s丛A HQ,:.A Q AH 一 4,.。一 电Q,.,.鼠Q+Q E=K Q+Q,.,.当 E、Q、1=|串2+3)2*K共线时,4AQ+QE的值最小,最 小 值J 8 8 43.如 图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)已知点尸(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+F G最小,如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理
22、由.(3)如图2,连接A B,若点P是线段0 E上的一动点,过点尸作线段A B的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N (点、M、N都在抛物线对称轴的右侧),当 最 大 时,求A P O N的面积.【答案】(1)y=-W+2 x+3;(2)存在,G(1,0);(3)2.【解析】【分析】(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式:(2)根据轴对称的最短路径问题,作E关于对称轴的对称点曰,连接E F交对称轴于G,此时EG+F G的值最小,先求E,F的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点G;(3)如图2,先利用待定系数法求A B的解析式,过N作N H L x轴于H,交A B于Q,设N(m,-m2+2
23、m+3),则Q(m,-2 m+6)(l m 3),表示N Q=-m 2+4 m -3,证明 Q M N sz A D B,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=2时,MN有最大值,证明A N G P s a A D B,同理得P G的长,从而得O P的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=2代入计算即可.【详解】(I)设抛物线的表达式为:y=a(x-1户+4,把(0,3)代入得:3=a(0-l A+4,a=-L 抛物线的表达式为:y=-(x -1六4=-X2+2X+3;(2)存在,如 图1,作E关 于 对 称 轴 的 对 称 点 连 接E F交对称轴于G,此时EG+F G的值最小.
24、V E(0,3),.E(2,3),设EF的解析式为y=k x+b=-3 =b (k=3把 F(0,-3),E(2,3)分别代入,得(3=2 k +b,解得(b=-3,所以E F的解析式为:y=3x-3,当 x=l 时,y=3x l -3=0,A G d,0);(3)如 图2.设A B的解析式为广k x-b”,把 A(l,4),比3,0)分别代入,得:二;;,;,解得所 以A B的解析式为:y=-2 x-6,过N作N H l x轴 于H,交A B于Q,设 N(m,-m:-2 m-3),则 Q(m,-2 m-6),(K m A MN 5(m-2+TV55 0,.当m=2 时,MN有最大值;过 N
25、作 NGJ_y轴于G,V ZGPN=ZABD,NNGP=NADB=90,A ANGPAADB,PG _BD _2 _1 _ 1 _ 1NG AD42,PG-NG-2m,1 3 4 OP=OG-PG=-m?+2m+3 m=-m2 2m+3,113=一 +SAPON 20PGN 2(-m2 2m+3)m,1=x当 m=2 时,SAPON 2 2(-4+3+3)=2.1 34.如图,在平面直角坐标系中,己 知 抛 物 线丫=a2+勾-2与x轴 交 于A,B两 点(点A在 点B的左侧),与y轴交于 点C,直 线1经 过A,C两点,连 接BC.(1)求 直 线1的解析式;(2)若 直 线x=m(m 0)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考数学压轴10 二次函数与线段关系及最值定值问题 教师版 中考 数学 压轴 10 二次 函数 线段 关系 最值定值 问题 教师版
限制150内