中考数学压轴07 二次函数与平行四边形存在型问题（教师版）.pdf

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1、突皿中考智学压轴：学霸秘笈大揭秘1 019版)弓题07:次函数。、F行四边形存在型同题【典例分析】W T 2 1.如图，抛物线丫=0%2+加 _ 3经过点火2,-3),与久轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,S.OC=3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且ZBDO=4 B/C,求点。的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点4 B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.(1)根据当x=0时，y=-3,可知C(0,-3)根据OC=3OB,可知B(-1,0)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.(2)如图

2、：连接A C,作 BFJ_AC交 AC的延长线于F,根据已知条件得到AFx 轴，得到F(-1,-3),可知NBAC=45。,设 D(0,m),则 OD=|m|根据NBDO=NBAC=45。,即可得到结论；(3)设M(a,a2-2a-3),N(1,n),以 AB 为边，则 ABMN,AB=M N,如图：过 M 作 ME_L对称轴 y 于 E,AF_Lx 轴于 F,于是得到AABFT 4 N M E,证得 NE=AF=3,ME=BF=3,得到 M(4,5)或(-2,11)；以 AB为对角线，BN=AM,BNA M,如图3,则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，于是得到结论.满分解答(1)当x =

3、0时，y =-3,C(0,-3),：O C =3 O B,O B =1.-.B(-L O).-.(.3-V(f t0-，二抛物线解析式为y =x 2-2 x-3.(2)连接A C,作 B F,A C 交 AC的延长线于F,VA(2,-3),C(0,-3),，AFx 轴，：.F(-1,-3),，BF=3,AF=3,.ZBAC=45,设 D(0,m),则 OD=|m|,VZBDO=ZBAC,ZBDO=45,AOD=OB=1,/.m=l,/.Di(0,1),D2(0,-1)；设 M(a,a*-2 a-3),N (1,n),以A B为边，贝A B=N I N,过X作 正1对称轴y于E,A F l x轴

4、 于F,则 A A B F 丝 Z i N M E,.N E=A F=3,N 1E=B F=3,a-1=3,二.a=4 或 a=-2,.,.M (4,5)或(-2,5)；以AB为对角线，BN=AM,BNA M,如图，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，AM(0,-3),综上所述，存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，M(4,5)或(-2,5)或(0,-3).例2如图，直线AD对应的函数关系式为y=-x-1,与抛物线交于点A （在x轴上）、点D,抛物线与x轴另一交点为B （3,0）,抛物线与y轴交点C （0,-3）,（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点

5、作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段P E长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P,使得四边形G F E P为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q,使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由.（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；（2）根据直线解析式表示出点P的坐标，利用抛物线解析式表示出点E的坐标，再用点P的纵坐标减去点E的纵坐标，整理即可得到P E的表达式，再联立直线解析式与抛物线解析式

6、求出点D的坐标，得到点P的横坐标的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答；（3）把抛物线的解析式转化为顶点式，然后求出点F的坐标，并利用对称轴根据点P在直线上求出点G的坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式解方程即可判断并求出点P的坐标；(4)当点H在x轴下方时，根据平行四边形的对边平行且相等，可得点H的纵坐标与点D的纵坐标相等，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，再求出HD的长度，然后分点Q在点A的左边与右边两种情况求出点Q的坐标；当点H在x轴上方时，AQ只能是平行四边形的对角线，根据点D的坐标得到点H的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，然后根据点H的横坐标表示的点到点

7、Q的距离等于点D的横坐标表示的点到点A的距离相等求解即可.满分蟹答(1)令y=0,贝I -X-1=0,解得x=-1,所以，点A的坐标为(-1,0),f a-b +c=0 (a=1设抛物线解析式为 y=a x 2+b x+c,(3,0),C (0,-3)在抛物线上，|9Q+3/+C=0,解得|b=-2,I c =-3 c =-3所以，抛物线解析式为y=x 2 -2 x -3：(2);P是线段A D上的一个动点，过P点 作y轴的平行线交抛物线于E点，设点 P (x,-X-1),则点 E 的坐标为(x,x2-2 x-3),P E=(-x-1)-(x2-2 x-3),=-x-1 -x2-2 x-3 ,

8、=-(X勺 三 联 立 ，：二二3,解 得 忆；1，)；士3，所以，点D的坐标为(2,-3),.P是线段A D上的一个动点，K x x-2 x -3=-3,整理得，x2-2 x=0,解 得x 1=0,x；=2 （舍去）,.H D=2-0*2,.点A的坐标为（-1,0）,-1 -2=-3,-1-2=1,二.点Q的坐标为（-3,0）或（b 0）,当点H在 x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点 H到 AQ的距离等于点D到 AQ的距离，；点 D的纵坐标为-3,.,.点H的纵坐标为3,A x2-2 x -3=3,整理得，x2-2 x -6=0,解得 X l=l-J 7,X 2=l+,.点A的横坐标为-

9、1,点 D的横坐标为2,2 -（-1）=2+1=3,根据平行四边形的性质，1-+3-4-，1+3=4+，.,.点Q的坐标为（4-，0）或（4+，0）,综上所述，存在点Q （-3,0）或（1,0）或（4-/,0）或（4+，0）,使 A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形.例 3 在平面直角坐标系中，平行四边形4 B 0 C 如图放置，点4 C 的坐标分别是(0,4)、(-1,0),将此平行四边形绕点。顺时针旋转9 0 ，得到平行四边形A B OC .(1)如抛物线经过点C、4 4,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，4 M 4

10、 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下，若P 为抛物线上一动点，N 为十轴上的一动点，点Q 坐标为(1,0),当P、N、B、Q 构成以B Q作为一边的平行四边形时，求点P 的坐标.思路点桢(1)由平行四边形A BO C绕 点 O 顺时针旋转9 0。，得到平行四边形ABO C,且 点 A的坐标是(0,4),可求得点A，的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A，的抛物线的解析式；(2)首先连接A A，设直线A A，的解析式为：y=k x+b,利用待定系数法即可求得直线A A，的解析式，再设点 M 的坐标为：(x,-X2+3X+4),继而可将AAMA，的面

11、积，继而求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案.满分斛然解：(1):平行四边形4 B 0 C 绕点。顺时针旋转9 0,得到平行四边形A B OC ,且点4 的坐标是(0,4),，点4的坐标为:(4,0),:点A、C 的坐标分别是(0,4)、(-1,0),抛物线经过点C、4、4,设抛物线的解析式为：y =Q，+b x +c,ga-b+c=0c =4 ,1 6 a +4 b +c =0(a=-1解得：b =3 ,c=4 此抛物线的解析式为：y=-，+3 x +4;图1(2 琏接乂,设直线从彳的解析式为：)=kx+b.(b=4 U+b=0 解 得:w，直线A A 的解析式

12、为：j =f +4,设点M的坐标为：(乂一小+3 x +4),则SU M A，=X 4 X x2+3 汇 +4 (汽 +4)=-2 x2+8x =-2(犬-2)2+8,.当x =2 时，的面积最大，最大值5 二 4 n 4,=8,.M 的坐标为：(2,6)；(3)设点P 的坐标为(爸-V+3+旬,当P,N,B,Q 构成平行四边形时,平行四边形4 B 0 C 中，点4、C 的坐标分别是(0,4)、(-1,0),.点B 的坐标为(1,4),点Q 坐标为(1,0),P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，当B Q为边时，PN/BQ,PN=BQ,：BQ=4,.-x2+3 x+4 =+4,当一炉+

13、3 x+4 =4 0寸，解得：x.=0,xz=3,.用（0,4）,丁（3,4）；当一产+3 x+4 =-4时，解得：X.=f-,=二 -,玛（里9-4）,-4）;当B Q为对角线时，BP/QN,BP=Q N,此时P与艮，P；重合;综上可得：点P的坐标为：P：(0,4),P.(3.4),/,_ 4),gd平,一4)例 4在平面直角坐标系中，抛物线？=-；/+w+c 与%轴交于点4 B,与y 轴交于点C,直线y =x +4 经过4C 两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在4 c 上方的抛物线上有一动点P.如图1,当点P 运动到某位置时，以4 P,4 0 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上

14、，求出此时点P 的坐标;如图2,过点0,P 的直线y =日交4 C 于点E,若P E：0 E =3:8,求k 的值.思路点核(1)由直线的解析式y=x+4易求点A 和点C 的坐标，把 A 和 C 的坐标分别代入y=-1 x2+bx+c求 出 b 和 c的值即可得到抛物线的解析式；(2)若以AP,A 0 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，则 PQA O,再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由(1)中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；过P点作PFOC交 AC于点F,因为PFO C,所以aPEFs()(：,由相似三角形的性质：对应边的比1 3值相等可求出PF的长，进

15、而可设点点F(x,x+4),利用(_ y _/4)-(.4)=2,可求出x 的值，解方程求出x 的值可得点P 的坐标，代入直线丫=1即可求出k 的值.满分斛冬解：直线y=x+4经过4,C两点,点坐标是(一4,0),点C坐标是又；抛物线过.4,C两点,一 合(-守-4匕+c=0,解得:c=4C&=-11 c=4.抛物线的解析式为=-*一 -4.(2)如图11 2V y=-xL-x +4,2.抛物线的对称轴是直线X=-l.V 以4P，40为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,A PQ/AO,PQ=AO=4.,:P,Q都在抛物线上,：.P,Q关于直线x=-l对称，.P点的横坐标是-3,1

16、 _ 5.,.当x=_3时，y=-x(-3)2-(-3)+4=-,.P点的坐标是(-3,3；过P点作P F /0 C交4 c于点已：PF/0 C.F P E F -AOEC,PE PFk 才又 脸=；,”=4,：.PF=,设点广(x，x +4),(-7*2-x +4)-(x +4)=7，化简得：X?+4 x +3 =0,解得：x：=-1,x2=-3.当x =一I B寸,y=7)当x =-3 0寸 y=p即P点坐标是(-L；)或(-3 9.又：点P在直线y =人上，-k=-；或k =(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使P A +PC的值最小，求点。的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否

17、存在点N,使得以A、C、M、行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标.思路点拨N四点为顶点的四边形为平(1)设抛物线的解析式为 y=a x?+b x+c (a#0),再把 A (-1,0),B (5,0),C (0,-)三点代入求出2a、b、c的值即可；(2)因为点A关于对称轴对称的点*A的坐标为(5,0),连 接B C交对称轴直线于点P,求 出P点坐标即可；(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.满分斛答解：(1)设抛物线的解析式为y=m二+i.v+c,.抛物线经过 H (-1，),B(5,0),C(0,-2.5)三点，a b+c =Q,25a+5b+c=0,c=-2 5a=0.5,解得

18、,力=-2，c=2.5.所求抛物线的解析式为y=0 5 2.V-2.5.(2)如图，连结则5c与对称轴的交点就是所求的点P.设直线B C的解析式为y=kx+b,:B(5,0),C(0,-2.5),5 k+b=O,b=-2.5.解得A;=0.5,h=-2.5.：.直线B C的解析式为y=0.5x-2.5.：抛物线的对称轴为直线x=-b&=-22a 2 x 0.5把龙=2 代入 y =0.5 x 2.5 中，得 y =-1.5,P(2,-1.5 ).(3)存在，.当点N在x轴下方时，.抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,-1),Ni(4,一；)；当点N在x轴上方时，如图，过 点N作N D lx轴于

19、点D,在A A N D与 M C O中,NAD=NCMO 2 )或(2 -y/1 4 )考点：二次函数综合题【变式训练】I.抛物线y=-x2+6x-9 的顶点为A,与 y 轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在 x 轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D 的坐标是()A.(-6,0)B.(6,0)C.(-9,0)D.(9,0)【答案】D【解析】【分析】首先确定顶一点坐标A 和 y 轴的交点坐标，然后根据抛物线的对称性确定点C 的坐标，进而确定D 点坐标.【详解】解：令 x=0得尸-9即 点 B 坐 标(0,-9),.y=-x:-6x-9(x-3)2,顶点坐标A(3,0),对称轴为

20、x=3,.C在抛物线上：四边形ABCD为平行四边形，.*.C(6,-9),.CD=6:AB=6;/.D (9,0),故 选 D.【点睛】本题考查了抛物线的图像性质，属于简单题，一般式化为顶点式，求出对称轴是解题关键.2.如 图，抛物线y=M-2x-3与 x 轴交于点A、D,与 y 轴交于点C,四边形A8CD是平行四边形，则点8 的坐 标 是()A.(-4,-3)B.(-3,-3)C.(-3,-4)D.(-4,-4)【答案】A【解析】【分析】首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出B点坐标.【详解】解：令y=0,可 得x=3或x=-l,点坐标为（-1,0）

21、；D点坐标为（3,O）j令x=O,贝.C点坐标为（0,-3）,四边形ABCD是平行四边形，二.AD=BC,AD/BC,.W=BC=4,.B点的坐标为（-4,-3）,故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键.13.如图，抛物线y 2 （x+2）（x-8）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,顶点为M,以A B为直径作。D.下列结论：抛物线的对称轴是直线x=3；。D的面积为1 6K；抛物线上存在点E,使四边形A C E D为平行四边形；直线CM与。D相切.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分

22、析】根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定;求得（D D的直径A B的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；过点C作C E A B,交抛物线于E,如果C E=A D,则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线CM、直 线CD的解析式通过它们的斜率进行判定.【详解】:在 y=：(x-2)(x-8)中，当 y=0时，x=-2 或 x=8,点 A(-2,0)、B(8 0),抛物线的对称轴为x=0 3,故正确；T O D 的直径为8-(-2)=10,即半径为5,G)D 的面积为25兀，故错误；在(X 2)(X-8)=了:一，一4 中,当 x=

23、0 时 y=-4,点 C-4),当 产-4时,为 一 3 7=7,解得：制=0、x：=6,所以点 E(6,-4),则 CE=6,VAD=3-(-2)=5,AAD#CE,四边形ACED不是平行四边形，故错误;1,3 1、25y=-x2-r-4=-(x-3)2-:?4 2 4 4一 25，点 M(3,425如图，连 接 CD,25过点历作MNl_y轴于点N,则有N(0,-)，MN=3,9 225VC(0,-4),：.CN=-f.工”二。M+肱 衿 丁,4 16在即 OD C 中，/C0D=9T,：.C F-6笆,.必/=(芋)2 =答,4 上 9 0,即 D C 1 C W,.C D 是半径，二直

24、线CW 与。相切，故正确，故选B.【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.4.已知二次函数y=x?+b x+c 图象的顶点坐标为(1,-4),与 y 轴交点为A.(1)求该二次函数的关系式及点A坐标；(2)将该二次函数的图象沿x轴 翻 折 后 对 应 的 函 数 关 系 式 是.；(3)若坐标分别为(m,n)、(n,m)的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求 m+n 的值.(4)若该二次函数与x轴负半轴交于点B,C为函数图象上的一点

25、，D为 x轴上一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积【答案】(1)y=x 2-2x-3,点 A 的坐标为(0,-3)；(2)y=-x2+2x+3；(3)m+n=l；(4)6 或 9+3 行 或 1 5.【解析】试题分析：(I)由y=x 2+b x+c 的二次项系数为1,顶点坐标为(1,-4),得出该二次函数的顶点式为y=(x-l)2-4,展开得到二次函数的关系式为y=x 2-2x-3,再令x=0,求出y=-3,得到与y轴交点A的坐标；(2)先求出y=x 2-2x-3 的顶点坐标(1,-4)沿 x 轴翻折后的顶点坐标为(1,4),再由二次项系数互为相反

26、数得出新抛物线的解析式为y=-(x-l)2+4,展开即可求解；(3)先 将(m,n)、(n,in)两点的坐标分别代入 y=x2-2x-3,得到 n=m2-2m-3 d),m=n2-2n-3(2),再用-，整理得出 m 2-n2-m+n=0,即(m-n)(m+n-1)=0,由 n#n,求出 m+n=l；(4)先 由 y=x 2-2x-3,求 出 B点坐标为(-1,0).当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况进行讨论：如果BD为平行四边形的边，那么根据平行四边形的性质得出B D A C,且 B D=A C,则 A、C 关于二次函数y=x2-2x-3 的对称轴x=l 对称，得 到

27、 A C=2,进而根据平行四边形的面积公式得到S，A B D C=AGO A,代入数值，即可求解；如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设BD与 AC 交于点P,由 P 在 x 轴上，其纵坐标为0,得出C 点纵坐标为3,再由C 为函数图象上的一点，把 y=3代 入 y=x2-2x-3,求 出 x 的值，得 到 P 点坐标为（匕 立，0）,则 BD=2BP=3+J 7,然后根据2S；ABCD=S A ABD+S ACBD,将数值代入即可求解.试题解析：（1）.二次函数y=x?+bx+c图象的顶点坐标为（1,-4）,.该二次函数的顶点式为y=（x-1）2 4 即 y=xJ2x-3,

28、当 x=0 时,y3.与y 轴交点A 的坐标为（0,-3）；（2）y=x2-2x-3 的顶点坐标为（1,-4）,二沿x 轴翻折后二次函数图象顶点坐标为（1,4）,新抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4,即将该二次函数的图象沿x 轴翻折后对应的函数关系式是y=-x2+2x+3；（3）.坐标分别为（m,n）、（n,m）的两个不重合的点均在二次函数产x?-2x-3的图象上，.,.n=m;-2m-3（D,m=n;-2n-3（Z）,-，得 n-m=（m;-2m-3）-（n;-2n-3）,整理，得 m-n-ni-n=C,（m-n）（m-n-1）=0,/m=n,.*.m-n=0,.m-n=b（4）；y=x

29、2-2x-3,当 y=0 时，x2-2x-3=0,解得x=-l或 3,A B 点坐标为（-1,0）.当以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况，如图：如果A D 为平行四边形对角线时，那么BDA C,且 BD=AC,二ACx 轴，A、C 关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=1对称，：A 点坐标为（0,-3）,.C 点坐标为（2,-3）,AC=2,So ABDC=AC0A=2 x 3=6；如果BD为平行四边形的对角线，那 么 BD与 AC互相平分，设 BD与 AC交于点P.P 为 B D 中点，BD在 x 轴上，.P在 x 轴上，其纵坐标为0,P 为 A C中点，A 点坐

30、标为 0,-3 ,C点纵坐标为3,把 产 3 代入J2x-3,得 3=x;-2x-3,解 得 x1=l-行，X;=1-T7(不合题意舍去)，二.C 点坐标为 币,3),P 点坐标为(安 匕，0),.,.BD=2BP=2x(=3-7 7,-S=ABCD=S_ABD_S_CBD=2S_ABD=-X(3-：.b=4,，点P(-2,6),过点P作PD_Ly轴:PD=2,。=4,./(-4,0),C(0,4)OA 4,OC=4,CD=2,S APAC1 111=S 梯形7100 P-S&PCD-S“AOC=/+4)x-PD x CD-尹4 x OC=-(2+4 x 4 =8存在点Q,使4 B,C,Q四点

31、构成平行四边形,理由：以 为 边 时，CQ AB,CQ=AB过点C作 平 行 丁 的 直 线/,V C(0,4),二直线，解析式为y=4,.点Q在直线，上，设 Q(d,4),/.CQ d A(-4,0),/.AB=5：.d=5,/.d=+5,4(-5,4)或(5,4),以AB为对角线时，CQ必过线段月B中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，1(一 4,0),B(l,0),二线段月B中点坐标为(一；,0),2(0,4),一直线“解析式为)，=J +4,设点Q(m,：m+4),.,J(m +7 +4尸=+16,.m=0(舍)或 m=-3,-4),即：满足条件的点Q的坐标为Q(-5,4)

32、或(5,4)或(-3,-4).16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=一于2+fet+c的图象与坐标轴交于A、B、C 三点、,其中点A的坐标为(0,8),点 B 的坐标为(一4,0).(1)求该二次函数的表达式及点C 的坐标；(2)点。的坐标为(0,4),点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连 接 CZX C F,以 C D、C F 为邻边作平行四边形C D E F,设平行四边形C D E F的面积为S.求S的最大值；在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值.【答案】y=-*+x+8,C(8,0)；(2)5 0；1 8.【解析】【分析】(1)把 A

33、点和B点坐标代入y=-；x 2+b x+c 得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标(2)连结 D F,O F,如图，设 F (t,&2+t+8),利用 S w 边 柩OCFD=SACDF+SAOCD=SAODF+SAOCF,利用三角形4面积公式得到S A C D F-t M t+1 6,再利用二次函数的性质得到A C D F 的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；由于四边形C D E F 为平行四边形，则 C D E F,C D=E F,利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上

34、平移4个单位得到点D,则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E,即 E1 1(t-8,-H2+t+1 2),然后把E(1-8,-1 2+1+1 2)代入抛物线解析式得到关于t 的方程，再解方程求出t 后计算4 4 C D F 的面积，从而得到S的值.【详解】解：.二次函数y=-泞+B x+C 过 A(Q,8)、B(-4,0)两点,-4-4&+c=0 解6 1 c=8二二;欠函数的解析式为y=-:+x+S,当 y=0 时，解 得 沟=-4,x:=S,.C 点坐标为(8,0)；(2)如解图，连接 D F,OF,设 F(M,-%2+M+8),4S_CDF=S_ODF+S_OCF_ S_o

35、皿=，4xM+|x8x(-+M+8)-：x83=2M-NF+4M+32-16=-NF+6M+16当M=3时，ACDF的面积有最大值，最大值为25,.四边形CDEF为平行四边形，S CDEF=2S_CDF=50,A S的最大值为50;S=18.四边形CDEF为平行四边形，CDEF,CD=EF,点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D,.点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E,即E(M-8,-1M2+M+12),41,VE(M-8,-M 2+M+12)在抛物线上，41 1,(M8)2+(M8)+8=M2+M+12,4 4解得M=7,当 M=7 时，SACDF=-(7-3)2+25

36、=9,此时 S=2SACDF=18.7.(本小题满分12分)如 图，已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=x+l与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上.(1)二次函数的解析式为y=：(2)证明点(一m,2 m-1)不 在(1)中所求的二次函数图象上；(3)若C为线段AB的中点，过点C做C E _ L x轴于点E,C E与二次函数的图象交于D.y轴上存在点K,使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是.二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形SAPOE=2S AABD?若存在，求出P坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=；x 2 x+1；(2)详见解析

37、；(3)K (0,5)或(0,3),存在点P (6,1 6)和P(1 0,1 6),使得 SAPOE=2 SAABD.【解析】试题分析：(1)由二次函数图象的顶点坐标为(2,(),故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式.(2)把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定.(3)由直线y=x+l与二次函数的图象交于A,B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，设K点 坐 标(0,a),使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，贝lj K A=D C,且B A D K,进而求出K点的坐标.过点B作轴于F,则B F C E A O,又C为AB中点，求得B点坐标，可得到显POE=2

38、S AABD,设P(x,!X2-X+1),由题意可以解出x.4试题解析：(2)证明：设 点(一m,2m1)在二次函数y=；x?x+1的图象上则有：2m 1 =m2+m+1,4整理得 m24m+8=0.*.,=(-4)2-4 x 8=-160,，原 方 程 无 实 根，:点、(m,2m1)不在二次函数y=；x2x+1 的图象上.(3)K (0,5)或(0,一3)二次函数的图象上存在点P,使 得S.p oE=2S_ABD如图，过 点B作 BFJLX轴 于F,则B F 4 C E/A O,又C为AB中点，/.O E=E F,由 y=；x-x+l 和 y=x+l 可求得点 B (8,9).；.E (4

39、,0),D (4,1),C 4,5),.二 皿*轴.0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在AABC的内部(不包括AABC的边界)，求 m 的取值范围.(3)沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M 的坐标.(4)点P是直线A C上的动点，过点P作直线A C的垂线P Q,记 点M关于直线P Q的对称点为M，.当以点P、A、M、M，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标.【答案】(1)y=-x 2+2 x+4,(1,5)；(2)2 m 4;(3)(3,3)或(-1,7);(4)(1,3)或(-3,7).【解析】试题分析：(1)利用待定系数法，求

40、二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点A C下方，4 8上方，在求出坐标的范围.(3)当y=l时，-x2+2 x+4=l,解 得 尸-1或3,利用可得平移后的例的坐标.(4)连接M C,交P。于凡 设出各点坐标，则四边形C M F P是矩形，当四边形PAMM是平行四边形时,分别求出尸的坐标为(1,3)或(-3,7).试题解析：解：把 点-4(3,1),点C(0,4)代入二次函数尸to w得 9+3 b+c=1c=4b=解得c=.二次函数解析式为尸-.v-2.v-4,配 方 得 尸-(x-l).点”的坐标为(1,5).3m(2)设直线4 c解析式为尸底也 把点A (3,I),C(

41、0,4)代入得,/?=4解得:%=1。=4直线A C的解析式为y=-x+4,如图所示，对称轴直线户1与A A B C两边分别交于点E、点 把 户 1 代入直线AC解析式产7+4解得尸3,则点E坐 标 为（1,3）,点尸坐标为（1,1）,点 M 向下平移?个单位后，坐 标 为（1，5 -/n）,由题意：解得2 V 初4；：.2m 4.（3）如图，当 尸1 时，-.v;-2v-4=l,解得 r=-1 或 3,:.B(-1,1),/C (0,4),/.5C=712+3:=.yA0,：iXfZ则有0 （3-加）=2点%二H尸1,：.P（1,3）,当P 4 1 A/是平行四边形时，易知X P，=2 C

42、P,:.及（3-?）=2*/2 （一?），解 得w=-3,/.P （-3,7）,综上所述，满足条件的点P的坐标为3,3）或（-3,7）.点睛：1.求二次函数的解析式（1）己知二次函数过三个点，利用一般式，），=62+法+。（a/。）.列方程组求二次函数解析式.（2）己知二次函数与x轴的两个交点（内,0）（*2,0），利用双根式，y=。（无一%）（尤一%）（。工0）求二次函数解析式，而且此时对称轴方程过交点的中点，=怜.（3）已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式y =a（x /?+女，（。/0）求二次函数解析式.（4）已知条件中a,b,c,给定了一个值，则需要列两个方程求解.（5）已知条件有对称轴

43、，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同（王,y）（x2,y）,则可以得到对称轴方程x =五上强.22.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需耍得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.9.如图，二次函数y=-2，+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C,连 接 BA,B C,求aABC的面积；(3)在抛物线的对称

44、轴上是否存在一点P,使得以0、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(l)y=-#+4 x-6；(2)6；(3)存在；P点坐标为(4,6)或(4,-6).【解析】【分析】(1)把 A 点和B 点坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求出b、c 即可得到抛物线解析式；(2)先 把(1)中的解析式配成顶点式，从而得到C 点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；(3)利用PCO B,则根据平行四边形的判定方法，当 PC=OB=6时，以 0、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形，从而可确定P 点坐标.【

45、详解】解：3)把 A(2,0),B(0,-6)代入尸一得，解得U 二.这个二次函数的解析式为y=-7X:-4X-6；1,1(2)Vy=-x2+4x-6=-(x-4)+2,这个二次函数图象的顶点坐标为(4,2),AC(4,0),.ABC 的面积二;x(4-2)x6=6；（3）存在.如图，：.点P在抛物线的对称轴上，/.PC/OB,当PC=OB=6时，以0、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形,此 时P点坐标为 4,6）或（4,-6）.【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质

46、.1 0.如图，二次函数y=ar2+bx+c的图像交了轴于4 1,0）,8（2,0）,交y轴于。（0,-2）,过A C画直（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，请判断是否存在以P、Q、0、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在y轴右侧的点M在二次函数图像上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切 点 为 且ACHMs4AOC（点。与点A对应），求点M的坐标。【答案】（1）y=x2-x-2（2）。|（2,2）,。2（1 +石+石）-。3（1-石 一百）；（-2 ,-2）。7 10(3)(1,一2)或(不丁)3 9【解析】试题分析：解：(

47、1).二次函数,1，=小 工+云+。的图像交X轴于a-LO)出(2,0),.设该二次函数的解析式为：P=a(x+lX x-2),又二次函数.=小 二+办 +。的图像交,1轴于。(02),将=0小=-2代入，得 2=。(0+以0 2),解得，。=1,.抛物线的解析式为 j =(x+l)(x-2),即2;(2)若 OC 为平行四边形的边，设 P(P,pz-p-2),Q(P,P),贝 “PQ=|p2-2p-2|,p、Q、o、C为顶点的四边形为平行四边形，则 上？一29一2卜2,，0=0 (舍 去)P z=2,p s=l+后,P4=1-0(1+、*+、曲2(1-卷 一 套)；若OC为平行四边形的对角线

48、，则4(-2,-2)。(3).CHMsaAOC,点。与点A对应，4MCH=NCAO情 形1：如上图，当“在点C下方时，:/M C H n/C A。.C M/无轴，2,点 在二次函数图像上，*-x2-x-2=-2 解得x=()(舍 去)或尤=1 ,M(l,-2)；情 形2：如图，当H在 点C上方时，；NMC”=NC4O,设C M 交 工轴 于 点P,设。P=x,则PC=PA=x+l,在 RrAPOC 中，OP=x,PC=x+l,OC=23 3由勾股定理，得%2+22=(x+l)2,解得，X=一,即。尸=一，2 23A T为直线C P与抛物线的另一交点，设 立 纹C M 的解析式为y=依一2,把P

49、(,0)的坐标代入，得23 4 4 4 7左-2=0,解得，%=,；.y=X-2,由一x-2 =x?-2,解得，x=0(舍 去)或x=2 3-3 3 3此时y=.用(，)，；点M的坐标为(1,一2)或(1，_)考点：二次函数在几何中的应用点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。1 1.如 图I,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,O),直线y=x 与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.(1)、求，的值及这个二次函数的关系式；(2)、P为线段A B上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次

50、函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为x,求与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3)、D为直线A B与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段A B上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由./0 C；xI I【答案、m=l,y=x2-2 x+l；(2)、h=-x2+3x(0 x,二 a=l.所求二次函数的关系式为 y=(x-l .即 y=x 2-2 x T.(2)、设 P、E 两点的纵坐标分别为”和/.P E=h=yP-V E=(x-l)-(x;-2 x-l)=-x2-3 x.即 h=-x 3 x (0 x