二次函数与平行四边形存在性问题-2021年中考数学压轴题汇编（解析版）.pdf

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1、专题6 二次函数与平行四边形存在性问题好题快递【例1】（2021赤峰中考真题）【例2】（2021湘西州中考真题）典例剖析【例3】（2021梧州中考真题）【例4】（2021郴州中考真题）【例5】（2021海南中考真题）题组一题组二题组三满分训练（精选中考真题模拟题共28道）题组四题组五题组六题组七考法综述.X_/以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容

2、易漏解.方法揭秘解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A的坐标是（*，X）,点B的坐标是（,），则 线 段A B的中点坐标是卢+电M+%)2 22.平行四边形A B C D的顶点坐标分别为（4,力）、（/，力）、（左，%）、（%，”），则%+%=XB+XD3.已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内找到一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况:典例剖析.【例 1】(2 0 2 1 赤峰)如图，抛物线y=-7+6 x+c 与 x轴交于/(-3,0)、B(1,0)两点，与

3、 y轴交于点C,对称轴/与x轴交于点尸，直线小ZC,点E是直线N C上方抛物线上一动点，过点E作m,垂足为H,交/C于点G,连接N E、E C、C H、A H.(1)抛物线的解析式为;(2)当四边形/“C E面积最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，连接E 凡 点 P是 x轴上一动点，在抛物线上是否存在点。，使得以G E、P、。为顶点，以 EF为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，说明理备用图【分析】(1)利用待定系数法构建方程组求出从C即可.(2)如 图 1 中，连 接 O E.设-w2-2w+3).由题意/C 直线机，推出4 C 4 的面积是定值,因为

4、S 边 彩4ECH=S沙EL S-C，推出当/改?的面积最大时，四边形4 rc H 的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.(3)如图2 中，因为点。在抛物线上E F是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点0 的纵坐标为土 互，构建方程求解即可.4【解析】(1)-f+6x+c 与 x 轴 交 于(-3,0)、8(1,0),1-9-3b+c=0l-l+b+c=0解得户=-2,I c=3二抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.故答案为：y-x2-2x+3.(2)如 图 1 中，连接O E.设 E(加，-拉2-2楸+3).图1,：A(-3,0),C(0,3),：.OA=OC3,

5、AC=3瓜/。直线用，./C H 的面积是定值，,S四 边 形 力K C”S/E C+S/x/C ，当NEC的面积最大时，四边形力E C 的面积最大，：SMEC=SN EBS&ECO-SAJOC=LX3X(-W?2-2m+3)+X3X(-m)-A x 3 X 3=-旦(加+3)2 2 2 2 22+生，8，;-旦V O,2；.，”=-3时，的面积最大,2:.E(-3,1 .).2 4(3)存 在.如 图2中，因为点。在抛物线上E F是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点0的纵坐标为土 生，4图2对于抛物线y=-%2-2丫+3,当旦时,4-，-2 +3=为,解得 x=-（舍弃）或-4 2

6、2；.。1（-X 型）.当 尸Q（2 4-生 时，4_2-后 I-%2-2x -3=-正，解得 x.2 V 31,-至)，Q(44224综上所述，满足条件的点。坐 标 为(-工，型)或(2扈,2 4 2-四或(之应，-生).424【例2】(20 21湘西州)如图，已知抛物线y=a x2+6 x+4经过/(-1,0),B(4,0)两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接3 C,求直线8 c的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使4 P+P C的值最小，求点尸的坐标，并求出此时/P+P C的最小值；（4）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M使得以4、C、M、N

7、 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.（2）设 8 c 的解析式为把8,C 两点坐标代入，转化为方程组解决.（3）可以连接8 c 交直线=旦 于 一 点 P,连 接 以，此时处+PC的值最小，最小值为线段8 c 的长.2（4）观察图象可知，满足条件的点N 的纵坐标为4 或-4,把问题转化为解方程求解即可.【解析】(1)把 Z(-1,0),B(4,0)代入y=a?+6x+4,得到a_b+4=016a+4b+4=0解得a=-lb=3.y=-，+3x+4；(2)在夕=-x2+3x+4 中，令 x=0,则 y=

8、4,：.C(0,4),设 B C 的解析式为y=kx+b,:B(4,0),C(0,4),.b=4,l4k+b=0r.fk=l lb=4.直线B C 的解析式为y=-x+4.(3)如 图I中,由题意/,8关于抛物线的对称轴直线=旦 对称，2连接BC交直线x=旦于点尸，连接RJ,此时P A+P C的值最小,最小值为线段BC的长=J 7 =4点,此时P(S,旦).2 2(4)如图2中，存在.观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4,对于抛物线y=-/+3x+4,当y=4时，x2-3x=0,解得x=0或3,：.N (3,4).当 y=-4 时，x2-3x -8=0,解得 V 41,2：.N 2(

9、-4),N 3(-4),2 2 _ _综上所述，满足条件的点N的坐标为(3,4)或(起 退1,-4)或(主 退1,-4).2 2【例3】(20 21梧州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+b x+c经过点/(-1,0),B(0,3),顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点。(3,-1)为原抛物线上点/的对应点，新抛物线顶点为E,它与y轴交于点G,连接C G,E G,CE.(1)求原抛物线对应的函数表达式；(2)在原抛物线或新抛物线上找一点尸，使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；(3)若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作C

10、E的平行线，分别交两条抛物线于点M,N,且点N分别在y轴的两侧，当M N=C E时，请直接写出点K的坐标.(2)利用平移的性质求出新抛物线的解析式为y=(X-2)2-2=X2-4X+2,推出G(0,2),因为点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，所以观察图形可知，满足条件的点尸在过点G平行C E的直线上，构建方程组求出点尸的坐标，再利用平移的性质推出尸(4,1),但是点尸 不在新抛物线上.(3)设经过点K的直线为)，=-L+b,在第二象限与原来抛物线交于点J,由平移的性质可知J,N两4 9y=x+4x+3点的横坐标的绝对值的差为8,4 1 ，消去y得到，4小+1 7丫+1 2-4 6=0

11、,推出x i+x 2=工,y=-x+b4.v i X 2=3-b,根 据 用-切=8,可 得(x i+、2)2-4.Y 1 X 2=6 4,由此构建方程求出b即可.【解析】(1),抛物线产/+以+经过点4 (-1,0),B(0,3),.卜=3,I l-b+c=0小=4 c=3/.原来抛物线的解析式为y=7+4.什3.(9y=x+4x+3/_A由 i ,解得，x-4或y=x+2 I y=3(2)：A (-1,0),D(3,-1),点A向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到D,:原来抛物线的顶点C (-2,-1),.点C向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到E,：.E(2,-2),新抛物线的解

12、析式为y=(x-2)2-2=，-4X+2,：.G(0,2),点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，,观察图形可知，满足条件的点尸在过点G平行C E的直线上，.直线C E的解析式为y=-I r-1,4 2直线G F的解析式为y=-lx+2,了C (舍弃)，3_6-:.F(-4,3),6=在彳=后 但3+1 2=后:.F G=CE,，：F G E C,四边形E CF G是平行四边形，由平移的性质可知当尸(4,1)时，四边形C E尸G是平行四边形,但是对于新抛物线y=7-4 x+2,x=4时，y=2W l,满足条件的点尸的坐标为(-4,3).(3)设经过点K的直线为歹=-L+b,在第二象限与原

13、来抛物线交于点/,4V.Z A/=,C=V l 7 MN=yyi，.,.川=2/1 7由平移的性质可知，J,N两点的横坐标的绝对值的差为8,由，9y=x +4 x+3 ,消去y 得到，4)+l 7 x+1 2-4 b=0,y=x+b.Xl+X2=-工X|X 2=3-h,4；仅1-X 2|=8,(x i+%2)2-4XIX2=64,/.(H)2-4 (3-6)=6 4,4.-,9 27.6 4：.K(0,9 27)【例4】(20 21郴州)将抛物线了=以2(/0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线，:y=a (x-h)2+k.抛物线与x轴交于点4 B,与y轴交于点C.已知4 (-

14、3,0),点P是抛物线H上的一个动点.(1)求抛物线的表达式；(2)如 图1,点尸在线段/C上方的抛物线，上运动(不与4 C重合)，过点P作垂足为),交/C于点E.作/C,垂足为尸，求2：厂的面积的最大值；(3)如图2,点。是抛物线，的对称轴/上的一个动点，在抛物线，上，是否存在点P,使得以点力,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(I)根据将抛物线=如2 QW O)向左平移I个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线从y=a (x-A)2+k,可得顶点坐标为(-1,4),即可得到抛物线H：ya(x+1)2+4,运用待定系数法将

15、点N的坐标代入，即可得出答案；(2)利用待定系数法可得直线4c的解析式为y=K 3,设PC”，-混-2?+3),则E (?，加+3),进而得出尸=-(m+3)2+9,运用二次函数性质可得：当 一旦时，P E有最大值也，再证得 防2 4 2 4是等腰直角三角形，即可求出答案；(3)分两种情形：当4 c为平行四边形的边时，则有P 2 N C,且尸0=4 C,如图2,过点尸作对称轴的垂线，垂足为G,设力C交对称轴于点，证得P O G丝/CO (4 4 S),根据点P到对称轴的距离为3,建立方程求解即可；当4 C为平行四边形的对角线时，如图3,设4 c的中点为，则M(一旦，3),设点P的横坐标为2 2

16、x,根据中点公式建立方程求解即可.【解析】(I)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1,4),抛物线：尸a (x+1)2+4,将/(-3,0)代入，得：a(-3+1)2+4=0,解得：a=-,二抛物线，的表达式为y=-(x+1)2+4；(2)如图 1,由(1)知：y=-x2-2 x+3,令x=0,得y=3,：.C(0,3),设直线AC的解析式为y=x+.VJ(-3,0),C(0,3),.f-3m+n=0,ln=3解得：(m=1.ln=3/.直线AC的解析式为y=x+3,设 P(m,-?2-2加+3),则 (?,m+3),:PE=-m2-2/w+3-(加+3)=-w2-3?=-2 4V-l0,.,当?

17、=-旦 时，尸E有最大值a,2 49：OA=OC=3f ZAOC=90,.4OC是等腰直角三角形，ZACO=45,：PD 上 AB,ZADP=90,/ADP=NAOC,：.PD/OC,A ZPEF=ZACO=45,u：PF VAC,尸是等腰直角三角形，:.PF=EF=JPE,2S&PEF=LP F E F=工PE2,2 4.当 zn=一反时，SAPEF城火根=L x (9)2=生；2 4 4 64(3)当/C为平行四边形的边时，则有尸。/C,K PQ=AC,如图2,过点P作对称轴的垂线，垂足为G,设NC交对称轴于点”,则 NAHG=ZACO=NPQG,在尸0G和4CO中，PGQ=NAOCPQ=

18、AC：.P Q G ,A C O(4 4 S),：.P G=A O=3,.点P到对称轴的距离为3,又,.=-（x+1#+4,抛物线对称轴为直线x=-1,设点 P（X,y）,则|x+U=3,解得：x 2或x=-4,当 x=2 时，y=-5,当 x=-4 时，y=-5.点 P 坐 标 为（2,-5）或（-4,-5）；当/C为平行四边形的对角线时，如图3,设4 c的中点为“，：A(-3,0),C(0,3),：.M（一旦，3）,2 2.:点0在对称轴上，.点。的横坐标为-I,设点。的横坐标为X,根据中点公式得：x+（-1）=2 X （-3）=-3,2x=-2,此时y=3,：.P（-2,3）；综上所述，

19、点P的坐标为（2,-5）或（-4,-5）或（-2,3）.图3t,图1【例5】(2 0 2 1海南)已知抛物线夕=2+且r+c与x轴交于4、8两点，与y轴交于C点，且点/的坐标为4(-1,0)、点C的坐标为(0,3).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如 图1,若该抛物线的顶点为P,求 P 8 C的面积；(3)如图2,有两动点。、E在 CO 8的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点8同时出发，点。沿折线C 0 8按C-O-B方向向终点8运动，点E沿线段B C按8-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为，秒，请解答下列问题：当t为何值时

20、，4 BD E的面积等于段；10在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点R使 得 依 次 连 接D F、F E、E 4得到的四边形/0 F E是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.4(2)把解析式配方得顶点式，即可得顶点坐标，令y=0,得 8 点的坐标，连接0 P,可求的SAPBC=&OPC+S&OPB 0OBC，=l-O Cxp+lO B-yp -1-O B-O C,即得结果.(3)在08C 中，B C O C+O B,当动点E 运动到终点C 时，另一个动点。也停止运动，由勾股定理得8 c=5,当运动时间为f 秒时，B E=t,过 点 E 作 E N Lx轴，垂足为M根 据 相 似

21、 三 角 形 的 判 定 得 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得，点 E 的坐标为(4-刍，3),分两种情形讨论当点。在线段CO上运动时，0 f=-&2+且什3;(2).抛物线、=-当 2+且叶3=-3(X-3)2+Z.,4 4 4 2 16.抛物线的顶点P 的坐标为（3,匹）,2 1 6-旦 丁+当 旬 令y=0,4 4解得：XI=-1,42=4,8 点的坐标为（4,0）,。8=4,如图，连接OP,贝 I SZP8C=S/OPLSAOP8-SNOBC，=OC即|+工 。炉物|-L-O B-O C2 2 2=JLX3X3+JLX4X匹-J1X4X32 2 2 1 6 2=2+匹-64

22、8=至，V.P8 C的面积为韭：8(3).,在O5C 中，B CO C+O B,当动点E运动到终点。时，另一个动点D也停止运动,：O C=3,0 8=4,.在 RtZO8C 中，S C=JQB2+QC2=5,.04W 5,当运动时间为/秒时，B E=t,如图，过点E 作瓦SL x轴，垂足为N,则BENsABC。,B N-E N-B E-t一 一,，一，.-.fB O C O B C 5:.B N=,EN=3t,5 5.点E的坐标为(4-A z,3.r),5 5下面分两种情形讨论：I、当点。在线段CO上运动时，0V/V3,此时C D=t,点、D 的坐标为(0,3-/),:S4BDE=SABOC-

23、SCDE-SBOD=XB8C O -JLCZ)|X|-1.OBOD2 2 2=ix 4 X 3 -ix/X (4-A/)-AX4X(3-02 2 5 2=2 ,5当 SA6 O E=2 3时，1 0 5 1 0解得力=-近3 (舍去)，四=近旦3,_ 2 2；=建2II、如图，当点。在线段0 8上运动时，3W忘5,80=7 7,SBDE BD*EN,2=Ax（7 -1）x 32 5=-3 入 2 1 ,1 0 1 0当&B D E=W 3 时，1 0.3 a+2 1,_ 3 31 0 1 0 1 0解得/3=土 逅，f 4=上 遮 3,2 2又 XWS,.7 52 _ _综上所述，当f=近3或

24、 t=时,SBDE-2 2 1 0当点。在线段O C上，根据平行四边的性质得，尸坐 标 为（凶，型）,3 6当点。在线段0 8上，根据平行四边的性质，尸坐标为（3,3）.综上所述：尸坐 标 为（改，至）或（3,3）.3 6满分训练1.（2 02 1海州区一模）如图，抛物线、=/+法-3的图象与x轴交于/（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C,直线/与抛物线交于点8,交y轴于点。（0,3）.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点、P(m,0)为线段O B上一动点，过 点P作x轴的垂线E F分别交抛物线与直线/于点E,F,连接CE,CF,B E,求四边形CE8F面积的最大值及此时机的值；(

25、3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线M N/C交直线/于点M是 否 存 在 点 使 以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将4 8坐标代入中，利用待定系数法可求；(2)求出直线/的解析式，用，表示点E,尸的坐标，进而表示线段 凡根据S叫 边 形CEBF=SACEKSA8EF=ZEFOP+LBP=LEOB,用含1的代数式表示四边形CE8尸的面积，利用二次函数的性质，通过2 2 2配方法得出结论；(3)分点在直线8 0的下方和点M在直线8。的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，过A/作轴于E,过N 作NFJ

26、LME于F,通过说明/0C丝得出N尸=3,设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG,G F,利用N G+G F=N F=3,列出方程，解方程，点“坐标可求；利用中相同的方法求得点M在直线B D的上方时点M的坐标.【解析】(1)将/(-1.0),B(3,0)代入y=ad+bx-3中得：(a-b-3=019a+3b3=0解得：卜=1.lb=-2,该抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3.(2)设直线/的解析式为夕=丘+,将8(3,0),D(0,3)代入上式得：(3ktn=0In=3解得:k=-ln=3直线/的解析式为：y=-x+

27、3.点。(m,0),7JLx轴,E点坐标为(加，用 2-2L 3),点尸的坐标为(w,-m+3).EF=-m+3-m2+2m+3-m2+m+6.,:B(3,0),：.OB=3.S 四 或 出 CEBF=SACEF+SABEF=EF*OP+-*BPX EF=FE*OB,2 2 2.1oQ 1 9 7SS四边形C EB F 下 X (-m t m+6)x 3=-万(m )卫 0,2当，=时，S四 边 形 CE8F有最大值=工.28即：当旭=_ 1 时，四边形CEBF面积的最大值为也.28(3)存在.当点旭在直线8。的下方时，如图,令 x=0,贝 ij y=-3.：.C(0,-3).：.OC=3.*

28、(-L 0),：.OA=.过 M 作轴于过N作NFLME于F,交x 轴于点G,丁四边形ACMN为平行四边形，:.ACMN,AC=MN.：NFLME,ME LOE,：.NF/OE.：.ZACO=ZMNF.在ZOC和MEN中，=一舒一次+3,y=0 时，X=-4 或%=2,：.C(2,0),3由(2)可知。(-2,抛物线的对称轴为x=-1,设 G(，-|n2-1 n+3),。(-1,p),8 与 y 轴交于点 E,E 为 CO 的中点，当 C。为对角线时，+(-1)=0,15此时 G(1,).8 当 C。为边时，若点G 在点0 上边，则+4=-1,则=-5,此时点G 的坐标为(-5,-着).71若

29、点G在点Q上边，则-1+4=,则=3,此时点G的坐标为(3,-等).综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为(1,务 或(3,-的 或(-5,-普)；【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3.(2 0 2 0荷泽)如图，抛物线y=，+bx-6与x轴相交于4 8两点，与y轴相交于点C,O A=2,O B=4,直线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点。，连接力。，B D,B C,CD.(1)求抛物线的函数表达式；9(2)若点。在x轴的下方，当8C Z)的面积是

30、y时，求的面积；(3)在(2)的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N,使得以点8,D,M,N为顶点，以8。为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理【分析】(1)根据0 4=2,0 8=4确定点N和8的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；3 Q 如 图1,过。作DGM轴于G,交BC于H,利用待定系数法求直线的解析式，设O(x,-表4 z3 9-6),则H (x,-x -6),表示。”的长，根据8C。的面积是一,列方程可得x的值，因为。在对称轴2 2的右侧，所以x=l不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；(3)分两种情况：N在x轴

31、的上方和下方，根据y=苧确定N的坐标，并正确画图.【解析】(1),：O A=2,0 5=4,：.A(-2,0),B(4,0),把/(-2,0),B(4,0)代入抛物线尸0?+云-6中得：:之：6,)。，.抛物线的解析式为：尸 -最-6；(2)如 图1,过。作。G _ L x轴于G,交BC于H,：.C(0,-6),设4C的解析式为：y=kx+n,(3、8。的解析式为：y=TZX-6,z3 Q设。(x,-x22 6),则(x,3-x-6),2n 3 ,2 O：.DH=x-6-(-X2-2%-6)=-5x2+3 x,9的面积是力219，一D H O B=一，221 3 2 9x 4 x (-x +3

32、%)=2 4 7 2解得：x=l或3,点D在直线I右侧的抛物线上,1弓D(3,5)1 1 1 q AC:.A A B D 的面积=A B -DG =x 6 x -=（3）分两种情况：如 图 2,N 在 x 轴的上方时，四 边 形 是 平 行 四 边 形,图2-1,:B（4,0）,D（3,一 康，且 用 在 x 轴上,15 N 的纵坐标为一，4当y-竽时，即*，_|x -6=竽,解得：x=1+JT5或 1-VI5,15 一,15：.N(1-V 1 4,)或(1+小，)；44此时M 与。重合,：.N (-1,一印;J综上，点 N 的 坐 标 沏（1-V_14,15（_ 15 iqT）或（1+小，7

33、或（7,-/【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题.4.(20 20东莞市校级一模)已知，抛物线y=，+6x+c与x轴交点为/(-1,0)和点8,与y轴交点为C(0,-3),直线L：1与抛物线的交点为点4和点。.(1)求抛物线和直线L的解析式；(2)如图，点/为抛物线上一动点(不与Z、。重合)，当点/在直线入下方时，过点“作儿加轴交心于点N,求的最大值；(3)点A/为抛物线上一动点(不与工、。重合)，”为直线Z O上一动点，是 否 存 在 点 使 得 以C、D、M、M 为顶点

34、的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明(2)设点 A/的坐标为(?，n r -2m-3),则点 N (-“产+2加+2,-2？-3),则 M N=-n r+m+2,进而求解；(3)分 8为边、C D为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可.【解析】将 点/、C的坐标代入抛物线表达式得；二”。=,解 得：?；，故抛物线的表达式为：y=/-2x -3，将点力的坐标代入直线Z的表达式得：0=-上-1,解得：k=-,故直线L的表达式为：y=-x -1 ；(2)设点M的坐标为3”,m-2m -3),点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y=-x -1

35、得：m2-2 -3=-x -1,解得：x=-/M2+2/H+2,故点 N （-7M2+2m+2,m2-2m-3）,则 M N=m 2+2加+2-r n=-V -l 0)与x轴正半轴交于点/.抛物线乙的顶点为，对称轴与x轴交于点。.(1)求抛物线L的对称轴.(2)抛 物 线 八y=a 7 -4办 关 于x轴对称的抛物线记为，抛 物 线 的 顶 点 为 若 以。、M、力、时为顶点的四边形是正方形，求少的表达式.(3)在(2)的条件下，点P在抛物线 上，且位于第四象限，点。在抛物线上，是否存在点P、点。使得以。、。、P、。为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由.Ay【

36、分析】(1)根据抛物线的对称轴公式计算即可.(2)利 用 正 方 形 的 性 质 求 出 点M 的坐标即可解决问题.(3)分 8是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可.【解析】(1)抛物线 ya x1-4a x(a 0),:.抛物线的对称轴x=-器=2.(2)如 图I中,对 于 抛 物 线-4 ax,令y=0,得到a f-4ax=0,解得x=0或4,：.A(4,0),四边形。加I T是正方形，：.OD=DA=DM=DM=2,：.M(2,-2),M(2,2)把A/(2,-2)代入歹=依2-4 3可 得-2=4。-8m,.=1,.抛物线厂 的解析式为)=一 (x-2)2+2=-p+Z r.(3)

37、如图3中，由题意00=2.1 c 1 n当。为平行四边形的边时，尸0=8=2,设P (加，-w2-2阳)，则Q m-2,一宗(w-2)2+2(w-2)或?+2,(加+2)?+2(?+2),P Q/O D,.1-m01 -2m=-51 Cm-2)9+2 Cm-2)或一 1 厂9-2m=-51 (加+2、)-己)+2(加+2),2 2 2 2解得m=3 土 遮 或1 土次，：.P(3+V 3,V 3)或(3-V 3,-V 3)或(1一百，V 3)和(1+V 3,-V 3),当OO是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1,此时尸(1,-|),.点P在第四象限，.满足条件的点尸的坐标为(3-V 3,-

38、V 3)或(1+V 3,-V 3)或(1,-|).【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.8.(2020泰安二模)如图抛物线、=/+法+4(4#0)与x轴，y轴分别交于点/(-1,0),B(4,0),点C三点.(1)试求抛物线解析式；(2)点。(3,m)在第一象限的抛物线上，连接8 C,B D.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足N P 8 C=N O 8 C?如果存在，请求出点夕的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点N在抛物

39、线的对称轴上，点“在抛物线上，当以“、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，(2)将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点。的坐标，再根据三角形全等证明N P 8 C=N O B C,最后求出直线BP解析式即可求出P 点坐标：(3)根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标.【解析】如图：(1).,抛 物 线 =/+云+3(a 7 0)与无轴，y 轴分别交于点4(-1,0),B(4,0),点 C 三点.C a 6+4=0*tl6a+4b+4=0解得抛物线的解析式为y=-/+3x+4.(2)存在.理由如下：y=-，+3x+4=-(x-1.5)2+6.25.点。(3,加)在第一象限的抛物线上，加

40、=4,：.D(3,4),VC(0,4)：OC=OB,：.ZOBC=ZOCB=45.连接CD,C。工轴，:,NDCB=NOBC=45,:/D C B=/O C B,在歹轴上取点G,使 CG=C0=3,再延长8G 交抛物线于点尸，在0C 8和GC8中，CB=CBZ.DCB=乙 OCB,CG=CD(S/S)：./D B C=/G B C.设直线B尸解析式为冲P=H+b&W O),把 G(0,1),3(4,0)代入，得k=-i,b=,:.BP 解析式为 yBP=-3+1.yBP=-4 工+1,y=-；+3.什4,当 y=yBP 时，-*1=-X2+3X+4,解得M=一,X2=4(舍去)，.19.,产

41、田3 19：.P(-7,).4 16(3)设点 N(1.5,)，当BC、为平行四边形对角线时，由 8C、MN互相平分，M(2.5,4-/7),代入y=-/+3 工+4,得 4-=-6.25+7.5+4,解得 n=-1.25,：.M (2.5,5.25)；当5M、N C为平行四边形对角线时，由 BAA NC 互相平分，M(-2.5,4+)，代 入 尸-f+3x+4,得 4+=-6.25-7.5+4,解得 n=-13.75,：.M (-2.5,-13.75)；当 VC、8N 为平行四边形对角线时，由 A/C、8N 互相平分，M(-2.5,-4),代入 y=-X2+3X4-4,得-4=-6.25-7

42、.5+4,解得 n=-5.75,：.M (-2.5,-9.75).综上所述，点”的坐标为:M(2.5,5.25),Mi(-2.5,-13.75),M3(-2.5,-9.75).【点评】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.【题组三】9.（2 02 1 铜梁区校级一模）已知抛物线y=a/+6x+3与x轴交于/、8两 点（点/在 点8的左侧）.与y轴交于点 C.其中 0c=。8,t a n/C/O=3.

43、（1）求抛物线的解析式；（2）尸是第一象限内的抛物线上一动点，0为 线 段%的 中 点，求 CP 0面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线C 8方向平移2孤个单位得新抛物线-M为新抛物线V的顶点.。为新抛物线V上任意一点，N为x轴上一点.当以M、N、C,。为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标.并选择一个你喜欢的N点.写出求解过程.【分析】（1）第一题将/8 C三个点坐标表示后，代入求值即可.（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值.（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点.【解析】（

44、1）抛物线解析式为y=+b x+3,令 x=0 得y=3,.点C坐 标 为（0,3）,：O G-08=3,坐 标 为（3,0）,V t a n ZC4（9=3,o一 c一_,3,0AO A=1 j .点力坐标为(-1,0),，设解析式为y=a (x+l)(x -3),代 入(0,3)得 a=-1,y=(x+1)(x -3)f=-(x2-2x -3)=-f+2 x+3=-(X-1)2+4,二抛物线解析式为：y=-(x-1)2+4；(2)为线段P 5中点,Scp Q=Scr,B 当&CP B面积最大时，CP。面积最大.设 P 坐 标(。，-/+2.+3),过点P作P H/y轴交B C于点H,P H

45、=(*a+2a+3)-(-a+3)=-a2+2a+3+a -3S,CPB=PH=9 0 ,.CD 42 v T 6 8$48=而=质=而（4）如图2,当点。与点。重合，点。与点P关于x轴对称时，四边形/。8尸的对角线互相平分，四边形/08P是平行四边形，此时点尸的坐标为（-1,4）,当P Q /A B,P Q =/8=4时，四边形Q 8是平行四边形，此时P点的横坐标为-1-4=-5,的纵坐标为：-2 5+1 0+3=7 2,.,.点P的坐标为（-5,-1 2）,当P 0 /A B,P Q =4 8=4时，四边形N 0 P 8是平行四边形，此 时 尸 点的横坐标为-1+4=3,：.P 的纵坐标为

46、：-9-6+3=7 2,.点P 的坐标为（3,-1 2）,综上所述：以/、B、。、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点尸的坐 标 为（-1,4）或（-5,-1 2）或（3,-1 2）.图2【点评】本题考查的是二次函数的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数的定义，灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键.1 2.(2 02 0长沙模拟)如图1,二次函数y=a f+b x+c (a W O)的图象交x轴于/(-1,0)、B(3,0)两(I)求该二次函数解析式，及。点坐标;(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过/、8两点，且与直线。相切，求点。的坐

47、标；(3)如图2,若 为 线 段8 c上一点，且满足SZMMC=S掺oc，点E为 直 线 上一动点，在x轴上是否存在点尸，使以点尸、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】(1)设该二次函数解析式为v=4 (x+1)(X-3),求出。=1,则二次函数解析式为y=7-2 x-3,得出顶点。坐 标 为(1,-4)；(2)设点P的坐标为(1,m),由待定系数法求出直线CD的解析式为y=-x-3,则直线CO与x轴的交点为G(-3,0),证 W G是等腰直角三角形，则/N G=4 5 ,设直线C )与圆尸相切于点0,连接P 0,由切线的性质得出P

48、 0_ L C Z),P Q=P A,则尸。是等腰直角三角形，得 P D=&PQ=&R4,由P O=|掰+4|,R4=y/4+m2,则1+4|=+疗,解 得?=4 2连，即可得出答案;(3)由题意得S，“BC-SzUBM=Soc，A B=O A+O B=4,由面积求出外 一下 由待定系数法求出直线8 c 的解析式为尸x-3,则/(*-1),同理得/的解析式为产-3-小 分三种情况，由平行四边形的性质和对称的性质即可得出答案.【解析】(1)设该二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),把点 C(0,-3)代入得：-3=a X lX(-3),解得：“=1,二次函数解析式为v=7-2 x-3,V=

49、x2-2x-3=(x-1)2-4,二次函数图象顶点。坐 标 为(1,-4)；(2)由(1)得：抛物线对称轴为直线x=l,点P是抛物线的对称轴上一点，.设点尸的坐标为(1，加)，设直线C D的解析式为y=fcr+6,把点 C(0,-3),点 0(1,-4)代入得：？：3解得：K=一%，直线8 的解析式为y=-X-3,当歹=0 时，x=-3,直线C。与 x 轴的交点为G(-3,0),OG=3,J G N=O N+O G=1+3=4,抛物线顶点。坐 标 为(1,-4),:DN=4=G N,ONG是等腰直角三角形，A Z N D G=4 5Q,设直线CD与圆尸相切于点0,连接尸0、P A,如图3 所示

50、：.以点尸为圆心的圆经过4、8 两点，且与直线CD相切,：.PQLCD,PQ=PA,.尸。是等腰直角三角形，：.PD=y/2PQ=y/2PA,PD=m+4,PA=-7(1+I)2+(m-0)2=V4+m2,/.|/M+4|=V2V4+m2,整理得：m2-Sm-8=0,解得：MJ=42V6,点尸的坐标为(1,4+2付 或(L 4-2V 6)；(3)存在，理由如下：S/-.AMC=SAAOC /(-1，0)、B(3,0),SABC S/ABM=SzAOCf AB OAOB 4,1 1 1 一 X4 X 3-5X4 X/M|=1 X 3,2 乙 乙 i i 9VA/yM=-4，设直线B C 的解析式